Занятие 11.7

Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии

Цель. Проверить электромагнитную силу независимыми методами.

Теория Пример Практика Файлы

На этой странице

Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии. Сохранённое решение FEMM 5. Узловой скаляр сохранённой модели. Показаны потенциал и его уровни, а не модуль B. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены. — 1. Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии1 — Магнитопровод — линейная сталь мю2000 · 2 — Обмоточная областьСохранённое решение FEMM 5. Узловой скаляр сохранённой модели. Показаны потенциал и его уровни, а не модуль B. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены.Открыть SVG целиком Результат отдельно Исходная учебная модель

Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии. Учебная геометрия до полевого расчёта. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены. — 2. Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии1 — Магнитопровод — линейная сталь мю2000 · 2 — Обмоточная областьУчебная геометрия до полевого расчёта. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены.Открыть SVG целиком Исходная учебная модель

Другие модели этой постановки · всего 5

Силы на сталь, постоянный магнит и соосную токовую катушку. Сохранённое решение FEMM 5. Потоковая функция ψ = 2πrAφ; интерполяция FEMM 5. Показаны потенциал и его уровни, а не модуль B. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены. — 3. Силы на сталь, постоянный магнит и соосную токовую катушку1 — Обмотка без потерь · 2 — Сталь линейная учебнаяСохранённое решение FEMM 5. Потоковая функция ψ = 2πrAφ; интерполяция FEMM 5. Показаны потенциал и его уровни, а не модуль B. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены.Открыть SVG целиком Результат отдельно Исходная учебная модель

Цель и задачи

Задачи

Вывести силу из тензора Максвелла в воздухе.
Выполнить WST для отдельного якоря.

Что нужно вспомнить перед началом

11.6 · Момент в скользящем воздушном зазоре FEMM

Место занятия в инженерной методике

Расчётная лабораторная работа · Получение силовой характеристики и проверка энергетического преобразования

Генератор с постоянными магнитами от конструкции ротора до ЭДС и нагрузочного напряжения — Зубцовый и нагрузочный моменты
Выбор обмотки и расчет момента в кольцевом зазоре — Протокол токового опыта
Сила в пазу: нагрузка меди, стенок и выбор глубины проводника — Силовая задача и воздушные контуры
Проводник на переменном токе: сопротивление, транспозиция и частота силового воздействия — Выбор частоты силового воздействия
Опыт Эрстеда: момент стрелки, эквивалентный ток и движение — Источник и аналитический момент
От магнитной цепи к карте \Psi (i,\theta ) и моменту SRM — Поле, цепь и механическая координата

Последовательность решения, отчёт и критерии результата

Магнитная цепь, потокосцепление, тяговая характеристика и потери образуют методику выбора зазора, обмотки и режима привода. Сила становится проектным критерием после сопоставления с нагрузкой механизма.

Лабораторная работа:

Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.

Последовательность решения

Обосновать постановку и способ измерения. Задайте координату, положительное направление и удерживаемое возбуждение. Выберите силовой интеграл и допустимую энергетическую производную.
Производная для идеальной цепи. Проверьте размерность, знак и условия зазорной или энергетической оценки до обработки полевого результата.
WST и три положения якоря. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Запишите силу и коэнергию для предусмотренных положений якоря.
Ответить на вопрос по своим результатам. Проверьте знак, единицу и геометрический множитель силы или момента; выполните сравнение, предусмотренное именно этим практикумом.

Что включить в отчёт

Оформление наблюдений. Положение, источник, сила или момент, область интеграла; для энергетической проверки — энергия или коэнергия соседних положений и шаг.

Как обосновать результат

Проверка из практикума. Изменение от половинного шага менее 2\,\%, от уточнения сетки менее 2\,\%; расхождение методов обсуждается с учётом обеих проверок.

Независимый контроль. Сопоставьте предусмотренные независимые силовой и энергетический методы при одинаковых токах либо напряжениях и одной системе координат.

Критерий выполнения. Сила около-28{,}560 \,\text{Н}; отклонение уменьшается приблизительно вчетверо относительно шага 0{,}1 \,\text{мм}.

Точность и расхождения. Уточните шаг перемещения отдельно от сетки зазора. Около нулевой силы или момента сравнивайте абсолютные значения с единицей; относительный процент там неустойчив.

Вывод для устройства

Свяжите характеристику с требуемым усилием, моментом или запасом к противодействующей нагрузке. Такой запас требует заданной механической характеристики.

Границы вывода. Магнитная сила отдельного привода не подтверждает работу всего аппарата: контактные усилия, пружины, трение, динамика и нагрев должны быть заданы и проверены по назначению.

Дополнительный расчётный метод

Гармоники МДС, затухание поля и момент в кольцевом зазоре

Аналитический эталон кольцевого зазора связывает относительный угол полей с электромагнитным моментом и показывает, как зазор изменяет результат.

Лабораторные работы по методу: Выбор обмотки и расчет момента в кольцевом зазоре

Получаемые величины. B_r(r,θ), B_\theta (r,\theta ); удельная энергия; T(\Delta \theta ) по Максвеллу и производной коэнергии; ошибки при изменении зазора

Задаём одинаковую систему углов, знаков и активную длину.
Рассчитываем поля каждого токового слоя отдельно и совместно.
Сравниваем радиальную и тангенциальную компоненты с аналитикой.
Получаем момент двумя способами и повторяем для уменьшенного зазора.

Страницы источника. PDF 1–5: аналитика и соглашения; 6–8: источник поля; 9–12: момент и энергия; 13–14: программа и варианты

Литература по методу

Силы на проводниках и зубчатом роторе: три независимых эталона

Три эталона силы проверяют интегралы постпроцессора и подготавливают расчёт моментной характеристики зубчатого ротора.

Лабораторные работы по методу: Сила в пазу: нагрузка меди, стенок и выбор глубины проводника

Получаемые величины. F=BIl; F/l=\mu _{I1}I2/(2\pi a); T(\theta ); ошибка силы при изменении сетки и внешней границы

Рассчитываем проводник в равномерном внешнем поле.
Рассчитываем два/три проводника, сравниваем Максвелла, Лоренца и аналитику.
Независимо уточняем сетку и размер открытой области.
Поворачиваем зубчатый ротор при фиксированных токах, затем изменить число зубцов.

Страницы источника. PDF 1–2: способы силы; 3–5: BIl; 5–6: провода; 7–10: зубчатый ротор и серия

Литература по методу

Распределение силы между проводом и стенками паза

Разделение сил на проводнике и стенках паза показывает, какую долю электродинамической нагрузки воспринимают медь, магнитопровод и крепление.

Лабораторные работы по методу: Сила в пазу: нагрузка меди, стенок и выбор глубины проводника

Получаемые величины. F паз, F провод, F стенки; доля F провод/F паз; зависимость силы от положения провода; чувствительность к контуру и сетке

Воспроизводим стороннее униполярное поле и собственный ток паза.
Проверяем общую силу относительно B стIl.
Определить силы на проводе и стенках разными контурами в воздухе.
Перемещением провода находим положение, при котором его доля равна 0,1.

Страницы источника. PDF 1–3: общая сила; 4–6: разбиение и точность расчёта; 6–8: программа

Литература по методу

Моделирование опытов Эрстеда и Фарадея

Момент магнитной стрелки связывает опыт с вычисляемой характеристикой. Сравнение дискретной токовой и полевой моделей отделяет статический момент от движения с заданной инерцией.

Лабораторные работы по методу: Опыт Эрстеда: момент стрелки, эквивалентный ток и движение; Измерительная рамка: от поля провода к ЭДС

Получаемые величины. момент стрелки M(\theta ); ошибка дискретизации токового слоя; эквивалентные \mu и намагниченность; угол и энергия движения при заданном Jмех

Зафиксировать геометрию провода, стрелки и источник.
Вычислить поле внешнего тока и силу каждого элемента эквивалентного токового слоя.
Суммировать моменты и уточнить число элементов/толщину слоя при сохранении полных токов.
Сравнить с FEMM при совместимых свойствах материала.
Для динамики добавить момент инерции и оговорённое трение, проверить шаг времени и баланс энергии.

Страницы источника. PDF 1–19 полностью: 1–4 опыты и амперовская модель; 5–14 алгоритм сил и программные иллюстрации; 15–17 сравнение FEMM; 18–19 движение стрелки.

Литература по методу

Расчёт магнитных систем электромагнитов классическим и численным методом (ОНПУ,2010)

Размеры и B(H) задают магнитную цепь, затем полевой расчёт определяет тяговую силу. Таблица независимых оценок показывает пользу и границы классического и численного методов.

Лабораторные работы по методу: Трансформатор от потокосцеплений до схемы замещения и нагрузочной характеристики; Асинхронный двигатель от поля в зазоре до параметров и механической характеристики; Генератор с постоянными магнитами от конструкции ротора до ЭДС и нагрузочного напряжения; Выбор обмотки и расчет момента в кольцевом зазоре; Контрольный опыт: от условия задачи к инженерному выводу; Опыт Эрстеда: момент стрелки, эквивалентный ток и движение; Измерительная рамка: от поля провода к ЭДС; Аналогии полей: проводимость, дуальная сеть и диффузия; От магнитной цепи к карте \Psi (i,\theta ) и моменту SRM

Получаемые величины. \Phi, Bсерд и Bзазора; тяговая сила; секущая индуктивность; отклонение магнитной цепи от поля и численная устойчивость

Составить протокол варианта и независимую магнитную цепь с числом зазоров.
Построить отдельную учебную копию с русскими именами.
Получить поле, поток и силу при одних токах и размерах.
Сопоставить классическую и полевую оценки, объяснив краевые поля и насыщение.
Уточнить сетку, внешнюю область и положение отдельно; оформить количественный отчёт.

Страницы источника. PDF 1–48 полностью: 1–3 титул/авторы/содержание; 4–13 теория; 14–34 FEMM 4.0.1; 35–43 П-электромагнит и сравнение; 44–45 выводы/литература; 46–48 варианты.

Литература по методу

Простейшая электрическая машина и цепи её расчёта

Простейшая машина служит аналитическим эталоном взаимной индуктивности, ЭДС, мощности и момента. Последовательное ослабление допущений показывает, какие особенности реальной конструкции меняют результат.

Лабораторные работы по методу: Трансформатор от потокосцеплений до схемы замещения и нагрузочной характеристики; Асинхронный двигатель от поля в зазоре до параметров и механической характеристики; Генератор с постоянными магнитами от конструкции ротора до ЭДС и нагрузочного напряжения; Выбор обмотки и расчет момента в кольцевом зазоре; Асинхронный двигатель: механическая характеристика и вращающееся поле; Синхронный генератор: от полевых параметров к внешней и угловой характеристикам; Контрольный опыт: от условия задачи к инженерному выводу; Опыт Эрстеда: момент стрелки, эквивалентный ток и движение

Получаемые величины. M(\theta ) и \Psi (\theta ); e(\theta ) при \Omega; Pэм=e\cdot i и Mэм=Pэм/\Omega; ошибка гладкого зазора и μст→\infty

Записать допущения: гладкий малый зазор, большая проницаемость, игнорирование лобовых частей и реакции якоря в выбранном пределе.
Вывести потокосцепление при повороте и напряжение при скорости.
Получить мощность и момент двумя согласованными способами.
Повторить полевой опыт при конечной \mu, пазах и ненулевом токе якоря; сравнить именно защищаемые параметры.

Страницы источника. PDF 1–30 полностью: 1–5 цель и допущения; 6–18 поток, ЭДС, мощность и момент; 19–30 проверка на численных моделях и разные типы машин.

Литература по методу

Электромагнитный момент и силы тяжения

Нормальная и тангенциальная тяги зазора связывают компоненты поля с силой и моментом. Сравнение направлений объясняет передачу усилия через ферромагнитные части машины.

Лабораторные работы по методу: Генератор с постоянными магнитами от конструкции ротора до ЭДС и нагрузочного напряжения; Выбор обмотки и расчет момента в кольцевом зазоре; Сила в пазу: нагрузка меди, стенок и выбор глубины проводника; Опыт Эрстеда: момент стрелки, эквивалентный ток и движение; От магнитной цепи к карте \Psi (i,\theta ) и моменту SRM; Зубцовый момент: пусковая помеха и спектр PM-генератора; Нагрузка PM-генератора и рабочая область магнитов

Получаемые величины. нормальное давление и тангенциальное напряжение, Па; интегральная сила, Н; момент активной цилиндрической поверхности, Н·м

Выбрать замкнутую поверхность в воздухе и ориентацию нормали.
Разложить поле на нормальную и тангенциальную компоненты.
Интегрировать напряжения с фактическими радиусом и активной длиной.
Сопоставить интеграл с WST и энергетическим ориентиром для согласованного источника.

Страницы источника. PDF 1–6 полностью: 1–2 тензор натяжений; 3–4 цилиндрический и торцевой моменты; 5–6 нормальные и тангенциальные составляющие.

Литература по методу

Электромагнитные силы и добавочные моменты

Силы в пазу показывают передачу момента через зубцы и сердечник. Общий тензорный интеграл сопоставляют с силами на выбранных телах, сохраняя одну расчётную систему.

Получаемые величины. сила на проводнике и сердечнике; полная сила зубцового деления; напряжения на стенках паза; зависимость доли силы меди от глубины тока

Выбрать, на какое тело нужна сила, и сохранить ориентацию.
Для линейного эталона выделить внешнее поле и поле тока.
Вычислить силу проводника без включения собственного поля как внешнего.
Сопоставить полную силу с интегралом в воздухе и энергетическим контролем; проверить сетку.

Страницы источника. PDF 1–15 полностью: 1–3 назначение сил; 4–8 объёмные/поверхностные силы; 9–15 разделение силы проводника и зубцового деления.

Литература по методу

Теория и вывод формул

Электромагнитную силу определяют по напряжениям Максвелла и энергетическим соотношениям. Сопоставление методов требует явно указать механическую координату и электрические величины, сохраняемые при виртуальном перемещении.

Обозначения и единицы

Нормировки, общие обозначения и единицы курса. Обозначения конкретной задачи приведены рядом с формулами.

Указатель формул этого занятия

(11.12) · Тело, цепь и знак силы
(11.13) · Численный пример

Лаборатория

Лаборатория строит кривую $\Psi(i)$ нелинейного электромагнита — той же модели сердечника с двумя зазорами и учётом выпучивания, что и в уроке о магнитных цепях. Площадь между кривой и осью $\Psi$ закрашена как энергия $W$ , между кривой и осью $i$ — как коэнергия $W'$ ; рабочая точка задаётся током $i$ , зазором $g$ и числом витков $N$ . На графике проведены секущая $L_{\mathrm{сек}}i$ и касательная с наклоном $L_{\mathrm{диф}}$ ; сила вычислена двумя способами: как $+\partial W'/\partial x$ при $i=\mathrm{const}$ и как $-\partial W/\partial x$ при $\Psi=\mathrm{const}$ , причём координата $x=-g$ отсчитывается в сторону уменьшения зазора, так что положительная сила притягивает якорь. Числа совпадают и сравниваются с оценкой по натяжениям $B_g^2S_g/\mu_0$ . Переключатель «нелинейная сталь / линейный материал» (с регулируемой $B_s$ ) показывает, как при насыщении расходятся $W$ и $W'$ , падает $L_{\mathrm{диф}}$ относительно $L_{\mathrm{сек}}$ и перестаёт расти сила.

Вопросы к лаборатории:

В линейном режиме увеличьте ток вдвое: во сколько раз выросли $W$ , $W'$ и сила? Повторите в нелинейном режиме при токе, выводящем сталь в насыщение.
Уменьшая зазор при постоянном токе, следите за $\Psi$ и $W'$ : почему коэнергия растёт и почему именно её рост означает силу в сторону уменьшения зазора?
Найдите точку, где $L_{\mathrm{диф}}$ вдвое меньше $L_{\mathrm{сек}}$ . Что это означает для амплитуды пульсаций тока при питании от сети?

Распространённые заблуждения

Энергия вместо коэнергии при постоянном токе. $F=-(\partial W/\partial x)_\Psi$ , но $F=+(\partial W'/\partial x)_i$ . Взяв $-\partial W/\partial x$ при $i=\mathrm{const}$ в насыщенной системе, получим неверную силу (в линейной системе ошибка не проявляется — отсюда её живучесть).
Знак силы. Отрицательная $\partial W'/\partial g$ означает силу в сторону уменьшения $g$ , то есть притяжение. Сила всегда направлена в сторону роста индуктивности (ёмкости) при постоянном токе (напряжении).
«Сила всегда равна $B^2S/(2\mu_0)$ ». Это сила на одну полюсную поверхность при нормальном поле, бесконечно проницаемой стали и однородном $B$ по площади. При двух зазорах удваивается, при выпучивании $B$ в зазоре меньше расчётного и зависит от координаты, при насыщении $B$ ограничено.
Коэнергия — «тоже энергия». Нет: это математическая функция; физически запасена $W$ . Утверждение «система запасла $W'$ джоулей» при насыщении неверно.
Одна индуктивность на все случаи. Для установившегося потока — $L_{\mathrm{сек}}$ , для переходных процессов и пульсаций — $L_{\mathrm{диф}}$ ; подстановка $L_{\mathrm{сек}}$ в $u=L\,\dd i/\dd t$ в насыщенной системе занижает скорость нарастания тока.

Вопросы и упражнения

Электромагнит: $N=1000$ , $S=2$ см², два зазора по $g=0{,}5$ мм, $i=1$ А, сталь идеальная. Найдите $B$ в зазоре и полную силу. Почему к результату следует отнестись с осторожностью?
Для идеализированной кривой $\Psi=k\sqrt i$ ( $k$ — постоянная) найдите $W$ , $W'$ , $L_{\mathrm{сек}}$ и $L_{\mathrm{диф}}$ как функции $i$ . Проверьте $W+W'=\Psi i$ и найдите отношения $W'/W$ и $L_{\mathrm{диф}}/L_{\mathrm{сек}}$ .
Выразите давление $B^2/(2\mu_0)$ при $B=1{,}5$ Тл в атмосферах ( $1$ атм $=1{,}013\cdot10^5$ Па). Какая масса якоря удерживается при площади полюсов $2\times10$ см²?
Пластины плоского конденсатора площадью $100$ см² находятся в воздухе при $E=3$ МВ/м. Найдите силу притяжения. Какая индукция $B$ дала бы ту же силу на той же площади?
Покажите, что для линейной поворотной системы с $L(\theta)=L_0+L_2\cos2\theta$ момент $T=-L_2i^2\sin2\theta$ . В каких положениях он равен нулю, какие из них устойчивы?
Электромагнит с якорем питается от источника постоянного напряжения. При срабатывании зазор уменьшается. Опишите качественно, что происходит с $\Psi$ , $i$ , $W$ и $W'$ в процессе движения, и почему мгновенная сила не равна статической при том же токе.

Ответы к пунктам 1, 2 и 3

1. $B=\mu_0Ni/(2g)=1{,}2566\cdot10^{-6}\cdot1000\cdot1/10^{-3}=1{,}26$ Тл; $F=B^2S/\mu_0=1{,}579\cdot2\cdot10^{-4}/(1{,}2566\cdot10^{-6})=251$ Н. При $1{,}26$ Тл обычная сталь близка к насыщению, и падение МДС в сердечнике уже не пренебрежимо; реальная индукция и сила меньше — оценка является верхней границей.

2. $W'=\int_0^ik\sqrt{i'}\,\dd i'=\tfrac23ki^{3/2}$ ; $W=\Psi i-W'=ki^{3/2}-\tfrac23ki^{3/2}=\tfrac13ki^{3/2}$ ; $W'/W=2$ . $L_{\mathrm{сек}}=k/\sqrt i$ , $L_{\mathrm{диф}}=k/(2\sqrt i)$ , отношение $\tfrac12$ .

3. $1{,}5^2/(2\cdot1{,}2566\cdot10^{-6})=8{,}95\cdot10^5$ Па $=8{,}8$ атм. Сила $8{,}95\cdot10^5\cdot20\cdot10^{-4}=1790$ Н, масса $1790/9{,}81=183$ кг.

Итоги

Энергия $W=\int i\,\dd\Psi$ и коэнергия $W'=\int\Psi\,\dd i$ — две площади на плоскости $\Psi$ – $i$ , $W+W'=\Psi i$ ; равны лишь в линейной системе ( $\tfrac12Li^2$ ).
$L_{\mathrm{сек}}=\Psi/i$ описывает установившийся режим, $L_{\mathrm{диф}}=\dd\Psi/\dd i$ — переходные процессы и малые колебания.
Сила по методу виртуальной работы: $F=-(\partial W/\partial x)_\Psi=+(\partial W'/\partial x)_i$ ; момент — те же производные по углу. Сила направлена в сторону роста индуктивности при постоянном токе.
Для электромагнита с двумя зазорами $F=B^2S/\mu_0$ — по $B^2S/(2\mu_0)$ на каждую полюсную поверхность; это натяжение тензора Максвелла $B_n^2/(2\mu_0)$ на границе сталь–воздух. При насыщении сила ограничена $B_s^2S/\mu_0$ .
Электростатические аналоги: $F=-(\partial W/\partial x)_Q=(\partial W'/\partial x)_U$ , давление $\tfrac12\varepsilon E^2$ — на четыре порядка меньше магнитного при технических полях.

Далее — температурное поле и закон Фурье: потери, вычисленные в этом модуле, становятся источниками тепла.

Уточнения постановки и расчётной методики FEMM 5

Сопоставление независимых методов

При одинаковых геометрии и токе силу можно определить тремя способами: по приближённой магнитной цепи, взвешенному тензору напряжений Максвелла (WST) и производной коэнергии. Первый способ пренебрегает краевыми полями, остальные учитывают поле выбранного конечно-элементного приближения. После уточнения сетки результаты двух полевых методов должны сближаться. Отличие аналитической оценки может сохраняться из-за принятых упрощений. В протоколе нужны знак, компонента силы, ток, положение, шаг, сетка и выбранное тело. Округлять силу до целых ньютонов следует после проверки: преждевременное округление скрывает расхождение результатов.

Что сравнивается

Последовательно примените контурный тензор, WST и энергетическую производную к одной задаче. Для ротора добавьте Арккио и, при наличии специального зазора, mo_gapintegral. Ошибки квадратуры, сетки, области и шага проверяйте раздельно. Сохраняйте неустойчивые оценки вместе с принятыми.

Тело, цепь и знак силы

Для подвижной токовой катушки меняют знак её тока при неизменном токе неподвижной. При линейных воздушных материалах взаимная часть силы меняет знак. Сталь притягивается независимо от направления возбуждения; PM имеет собственный источник намагничивания.

Абсолютные силы разных тел не являются оценкой эффективности: размеры и распределения источников отличаются. Сравнивают форму характеристики, знаки и зависимость от управляемого параметра.

F_z=I_1I_2\frac{\mathrm dM}{\mathrm dz},\qquad \boldsymbol F_{\mathrm L}=\int_{V_{\mathrm{обм}}}\boldsymbol J\times\boldsymbol B\,\mathrm dV

(11.12)

Первая формула относится к воздушной паре линейных токовых обмоток; M задана для выбранной полярности витков.

Что сохраняется при энергетическом определении силы

Производная коэнергии по перемещению берётся при фиксированных токах всех независимых обмоток. Производная энергии с обратным знаком соответствует фиксированным потокосцеплениям. Смешение этих условий меняет физический смысл расчёта.

В силовых сериях малое приращение координаты сравнивают с погрешностью сетки. Уменьшение приращения при независимом перестроении грубой сетки может усилить шум производной вместо повышения точности.

Пояснения к официальному руководству

Разобранный численный пример

Производная для идеальной цепи

Дано. I=5 \,\text{А},N=100; два зазора g=1 \,\text{мм}; прочие параметры 48.1. Коэнергия W^{\prime}=(NI)^{2}/(2\mathcal R).

Точное дифференцирование, так как \mathrm d\mathcal R/\mathrm dg=2/(\mu_0 S).

F_y=\frac{\mathrm dW^{\prime}_\text{м}}{\mathrm dg}=-\frac{(NI)^2}{\mu_0S\mathcal R^2}=-\frac{B_\text{заз}^2S}{\mu_0}
(11.13)
Для g=0{,}9 и 1{,}1 \,\text{мм} W^{\prime}\approx 0{,}0330694 и 0{,}0273182 \,\text{Дж}; центральная разность даёт-28{,}756 \,\text{Н}.

Ответ: Точный аналитический F_y\approx -28{,}495 \,\text{Н}; разность с шагом 0{,}1 \,\text{мм}\approx -28{,}756 \,\text{Н}.

Проверка: Погрешность конечного шага около 0{,}92\,\%. При его уменьшении результат приближается к аналитической производной.

Практикум в FEMM 5

WST и три положения якоря

Таблица 11.8. Исходные данные практикума
Исходная величина	Значение	Единица
Тип задачи	Planar
Глубина	20	мм
Ширина каждого полюса	20	мм
Толщина ярма и якоря	20	мм
Зазор под каждым полюсом	1	мм
Число витков	100
Ток	5	А
Относительная проницаемость железа	2000
Внешняя граница: геометрия	Квадрат x,y=-150\ldots 150	мм
Внешняя граница: магнитный потенциал A	0	Вб/м

Основной файл переработанного занятия — русская копия П-электромагнита I05 из блока «Расчётный образец FEMM 5». Она сохраняет параметры прежнего примера и рассчитана заново; сохраняйте рабочие варианты отдельно. Новые П-магнит N=300 и броневые конструкции изучаются в самостоятельном исследовании.
Создайте магнитостатическую Planar-модель в миллиметрах с глубиной 20 \,\text{мм}. Постройте замкнутый П-образный неподвижный сердечник по вершинам (-30;-40), (30;-40), (30;20), (10;20), (10;-20), (-10;-20), (-10;20), (-30;20).
Постройте отдельный якорь прямоугольником x=-30\ldots 30 \,\text{мм}, y=21\ldots 41 \,\text{мм}. Между каждым торцом стержня и якорем получается воздушный зазор 1 \,\text{мм}. Для уменьшения зазора весь якорь перемещается вниз; сами полюса остаются неподвижными.
Одна обмотка охватывает левый стержень: x=-40\ldots -30 и x=-10\ldots 0 \,\text{мм}, y=-10\ldots 10 \,\text{мм}. Назначьте последовательную цепь с током 5 \,\text{А}, витки соответственно +100 и -100. Это две стороны одной 100-витковой обмотки.
Назначьте линейному сердечнику и якорю \mu_r=2000, \sigma=0; воздуху и учебной обмотке \mu_r=1, \sigma=0. Замкните воздушную область квадратом x,y=-150\ldots 150 \,\text{мм} с A=0, разместите необходимые метки областей.
В зазорах установите ограничение размера элемента 0{,}2 \,\text{мм}, на поверхности якоря 0{,}5 \,\text{мм}, в железе 2 \,\text{мм}. Постройте сетку, убедитесь, что в каждом зазоре несколько рядов элементов, затем решите задачу.
В результате снимите B в серединах зазоров: (-20;20{,}5) и (20;20{,}5). Выделите только якорь в режиме областей и выполните интеграл силы по взвешенному тензору напряжений. Компонента F_y должна быть направлена вниз, к сердечнику.
Сохраните исходное положение g=1 \,\text{мм} и интеграл F_y по WST. Для коэнергии выделите всё поле модели, включая воздух.
Сделайте копии с перемещением всего якоря по y на-0{,}1 и+0{,}1 \,\text{мм}: зазоры 0,9 и 1{,}1 \,\text{мм}. Во всех вариантах ток 5 \,\text{А}; материал и сеточные ограничения сохраняются.
По двум соседним W^{\prime} найдите центральную F_y, используя \Delta y=0{,}0001 \,\text{м}.
Повторите при \pm 0{,}05 \,\text{мм}. Уточните сетку зазора до 0{,}1 \,\text{мм} и сравните оба способа полевого определения силы.
До перемещения якоря запишите свойства воздушной метки в исходной точке (20; 20{,}5) мм и удалите её. Измените зазор g, затем создайте новую воздушную метку в середине фактического зазора: (20; 20 + g/2) мм. Восстановите материал, группу и локальный размер сетки. При g=0{,}5 \,\text{мм} новая граница проходит через прежнюю метку: FEMM может автоматически удалить её, поэтому перенос после движения уже не исправляет отсутствие материала. Проверьте каждую замкнутую область и положение меток до построения сетки.
Продолжите исследование «Силы на сталь, постоянный магнит и соосную токовую катушку»: Сопоставить тяговые характеристики трёх магнитных систем и отделить знак управления от материала подвижного тела.

Ожидаемый результат. WST и производная коэнергии дают силу вниз; после независимых проверок их значения сближаются.

Как проверить. Изменение от половинного шага менее 2\,\%, от уточнения сетки менее 2\,\%; расхождение методов обсуждается с учётом обеих проверок.

Обработка и анализ результатов

Совпадают ли знак и величина силы WST и энергетической производной?

Запишите силу и коэнергию для предусмотренных положений якоря.
Проверьте знак, единицу и геометрический множитель силы или момента; выполните сравнение, предусмотренное именно этим практикумом.

С чем сравнить. Опора — тензор напряжений, взвешенный интеграл и энергетическая производная из занятия. Укажите удерживаемую величину, знак координаты и границу применимости аналитического зазорного предела.

Итог работы. Сопоставление методов с шагом перемещения и направлением силы.

Место занятия в расчёте магнитной системы

Независимые способы расчёта силы одного аппарата. Выберите весь якорь и сопоставьте контурный и взвешенный тензоры Максвелла с виртуальной работой.

Опорная теория: 5.5 · Потокосцепление и энергетические величины; 48.1 · Геометрия, источники и выделение якоря.

Применение: 49.1 · Проверить силу при согласованном ходе двух зазоров; 52.3 · Перейти от поступательной силы к моменту шарнира.

Маршрут магнитных систем в основном оглавлении · Каталог рассчитанных конструкций

Пошаговая настройка расчётного примера

Электромагнит с отдельным якорем — основной пример занятия

Все расчётные примеры курса

Расчётный образец FEMM 5

Собственная русская копия ранее проверенного П-электромагнита I05: N=100, I=5 А, полюса 20×20 мм², два зазора по 1 мм, глубина 20 мм. Копия заново решена FEMM 5; сетка и геометрия сохранены. Откройте модель, воспроизведите указанный режим и сопоставьте свои измерения с таблицей результатов.

Таблица 11.9. Результаты расчётного образца
Величина	Результат	Единица
Частота	0	Гц
Активная длина	20	мм
Ток цепи «Катушка возбуждения»	5	А
Потокосцепление цепи «Катушка возбуждения»	0,0153	Вб
Сила по оси y	-29,65	Н
Энергия поля	0,03824	Дж
Модуль B в контрольной точке	0,2922	Тл
Координаты контрольной точки (x, y)	20; 20,5	мм

Рисунок 11.1. Визуализация численных данных FEMM 5: Электромагнит с отдельным якорем. Это экспорт результатов поля, а не снимок окна программы.

Магнитостатическая модель П-образного электромагнита. Используйте силу, потокосцепление и энергию для сравнения вариантов зазора. Движение и нагрев рассматриваются отдельными моделями.

Ориентиры в интерфейсе

Рисунок 11.2. Геометрия: электромагнит с двумя зазорами и отдельным якорем Открыть в полном размере

Рисунок 11.3. Распределение магнитной индукции: электромагнит с двумя зазорами и отдельным якорем При открытии сохранённого решения FEMM сообщает Multiply Defined Regions. Кадр показывает интерфейс и картину поля; количественные результаты требуют проверки задания областей. Открыть в полном размере

Рисунок 11.4. Сила на отдельном якоре по взвешенному тензору напряжений. Сохранённая модель выдаёт предупреждение Multiply Defined Regions. Показанные компоненты силы иллюстрируют работу постпроцессора; перед количественным сравнением нужно проверить задание областей и сходимость. Открыть в полном размере

Расчётные исследования по теме

Все темы учебного практикума

Окна FEMM 5

Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.

Сила на ферромагнитную частицу: осесимметричное сечение частицы и кольцевой катушки. Подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Сила на малой ферромагнитной частице в поле катушки». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического магнитного поля; рабочая область модели. Открыть в полном размере

Идеализированная реактивная машина: форма ротора, угол и момент. Геометрия учебной модели; подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Идеализированная реактивная машина: форма ротора, угол и момент». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического магнитного поля; рабочая область модели. Открыть в полном размере

Плунжерный электромагнит: сила по полю и виртуальному смещению. Геометрия учебной модели; подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Плунжерный электромагнит: сила по полю и виртуальному смещению». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического магнитного поля; рабочая область модели. Открыть в полном размере

Привод с катушкой и постоянным магнитом: осесимметричная геометрия, намагниченность направлена по +z. Текстовые подписи скрыты; стрелка намагниченности сохранена. Открыть в полном размере

Привод с катушкой и постоянным магнитом: статическая рабочая точка I = +2 А, намагниченность по +z. Карта |B|, Т, и линии поля в области магнита, катушки и окружающего воздуха. Прямоугольник вокруг магнита — воздушная область уточнения сетки. Открыть в полном размере

Кольцевой магнитный подшипник: осесимметричные сечения двух колец с противоположной осевой намагниченностью. Стрелки направлены по +z у нижнего кольца и по −z у верхнего; текстовые подписи скрыты. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Кольцевые магниты: репульсивная сила и осевая характеристика». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического магнитного поля; рабочая область модели. Открыть в полном размере

Чашечный электромагнит и муфта: сила, зазор и краевое поле. Геометрия учебной модели; подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Чашечный электромагнит и муфта: сила, зазор и краевое поле». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического магнитного поля; рабочая область модели. Открыть в полном размере

Исследование характеристик магнитной системы

Плунжер: потокосцепление, тяговая характеристика и работа силы
Связать Ψ(x), L(x) и F(x) с работой на заданном ходе и проверить её по разности коэнергий.
Силы на сталь, постоянный магнит и соосную токовую катушку
Сопоставить тяговые характеристики трёх магнитных систем и отделить знак управления от материала подвижного тела.

В исследовании приведены исходные данные, программа встроенного Python, численные характеристики, самостоятельный вариант и объяснённые ответы.

Самостоятельная работа

Выполните центральную разность с шагом 0{,}05 \,\text{мм} для аналитической цепи и сравните с точной силой.

Критерий выполнения: Сила около-28{,}560 \,\text{Н}; отклонение уменьшается приблизительно вчетверо относительно шага 0{,}1 \,\text{мм}.

Углублённый разбор

Вихретоковый аппарат: два независимых ориентира — TEAM 28 и труба

Метод и проверенные программы приведены в основном занятии.

Сила между параллельными проводниками: три полевых метода и точный ориентир

Метод и проверенные программы приведены в основном занятии.

Литература

Finite Element Method Magnetics. Version 5.0. User’s Manual [36] — С. 47–52
ENSEM. Учебные задания FEMM [22] — 42–44 скачанного ENSEM_TP_FEMM.pdf
Steady-State Analysis of Compumag TEAM Problem 28 [66] — §1–3: измеренная высота, масса, Лоренц/WST и историческая таблица.
Current Induced in a Steel Tube [16] — Problem Setup; Analytical Solution; условие нулевого тока.
Расчет электромагнитных и тепловых полей с помощью программы FEMM : учебно-методическое пособие [123] — Разбор сил между параллельными проводниками. Доступный PDF содержит 94 страницы, а не 147.
Гармоники МДС, затухание поля и момент в кольцевом зазоре [85] — PDF 1–5: аналитика и соглашения; 6–8: источник поля; 9–12: момент и энергия; 13–14: программа и варианты
Силы на проводниках и зубчатом роторе: три независимых эталона [131] — PDF 1–2: способы силы; 3–5: BIl; 5–6: провода; 7–10: зубчатый ротор и серия
Распределение силы между проводом и стенками паза [121] — PDF 1–3: общая сила; 4–6: разбиение и точность расчёта; 6–8: программа
Моделирование опытов Эрстеда и Фарадея [101] — PDF 1–19 полностью: 1–4 опыты и амперовская модель; 5–14 алгоритм сил и программные иллюстрации; 15–17 сравнение FEMM; 18–19 движение стрелки.
Расчёт магнитных систем электромагнитов классическим и численным методом (ОНПУ,2010) [126] — PDF 1–48 полностью: 1–3 титул/авторы/содержание; 4–13 теория; 14–34 FEMM 4.0.1; 35–43 П-электромагнит и сравнение; 44–45 выводы/литература; 46–48 варианты.
Простейшая электрическая машина и цепи её расчёта [118] — PDF 1–30 полностью: 1–5 цель и допущения; 6–18 поток, ЭДС, мощность и момент; 19–30 проверка на численных моделях и разные типы машин.
Электромагнитный момент и силы тяжения [141] — PDF 1–6 полностью: 1–2 тензор натяжений; 3–4 цилиндрический и торцевой моменты; 5–6 нормальные и тангенциальные составляющие.
Электромагнитные силы и добавочные моменты [140] — PDF 1–15 полностью: 1–3 назначение сил; 4–8 объёмные/поверхностные силы; 9–15 разделение силы проводника и зубцового деления.

Полные библиографические описания

Пояснения и типичные ошибки

Что фиксируется для производной коэнергии?

Все независимые токи; в первой части используются одинаковые заданные токи цепей.

Почему контур силы проводят по воздуху?

Там применима простая форма тензора с \mu_0 и легче контролировать численное поле.

Можно ли WST использовать для тела, непосредственно примыкающего к ферромагнитной детали?

Не без проверки ограничений; тогда полезен метод виртуальной работы.

Равносильны ли подвижная токовая катушка и пассивное короткозамкнутое кольцо?

Нет. У катушки ток предписан источником, а у пассивного кольца он индуцируется и зависит от частоты и цепи. Магнитостатическая катушка не воспроизводит гармонический опыт с кольцом.

Почему для PM проверяют реакцию на обмотке?

Обмотка имеет известный ток в немагнитном материале, поэтому интеграл Лоренца даёт независимый метод. Это позволяет контролировать небольшую результирующую силу на фоне большого собственного поля PM.

На что обратить внимание

Менять ток между соседними положениями.
Делить разность Дж на миллиметры, объявляя результат Н.
Интегрировать W^{\prime} только по якорю вместо всего поля.
При уменьшении зазора нельзя учитывать только перемещение ферромагнитных деталей: воздушная метка не должна попасть на новую границу.

Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии

Цель и задачи

Задачи

Место занятия в инженерной методике

Последовательность решения

Что включить в отчёт

Как обосновать результат

Вывод для устройства

Гармоники МДС, затухание поля и момент в кольцевом зазоре

Силы на проводниках и зубчатом роторе: три независимых эталона

Распределение силы между проводом и стенками паза

Моделирование опытов Эрстеда и Фарадея

Расчёт магнитных систем электромагнитов классическим и численным методом (ОНПУ,2010)

Простейшая электрическая машина и цепи её расчёта

Электромагнитный момент и силы тяжения

Электромагнитные силы и добавочные моменты

Теория и вывод формул

Лаборатория

Лаборатория

Итоги

Итоги

Сопоставление независимых методов

Что сравнивается

Тело, цепь и знак силы

Что сохраняется при энергетическом определении силы

Разобранный численный пример

Производная для идеальной цепи

Практикум в FEMM 5

WST и три положения якоря

Обработка и анализ результатов

Место занятия в расчёте магнитной системы

Пошаговая настройка расчётного примера

Расчётный образец FEMM 5

Расчётные исследования по теме

Окна FEMM 5

Исследование характеристик магнитной системы

Самостоятельная работа

Углублённый разбор

По теме в курсе

Литература

На что обратить внимание

Файлы занятия