FEMM 5

Лабораторная работа

От магнитной цепи к карте \Psi (i,\theta ) и моменту SRM

Цель. Получить зависимость потокосцепления фазы от тока и угла и выбрать область положительного момента. Проверить момент и коэнергию независимыми способами.

Связь с проектированием. По карте выбирают фазовую рабочую область и основу коммутации; ток преобразователя и динамика полного привода требуют следующей модели.

Задачи

  1. Согласовать магнитную цепь, полевое потокосцепление и механическую координату.
  2. Получить \Psi (i,\theta ), W и W' в нелинейном материале.
  3. Вычислить момент Максвелла и производную коэнергии.
  4. Обосновать рабочую угловую область и границы статической карты.

Исходные данные и условия опыта

Трёхфазная учебная SRM с шестью зубцами статора и четырьмя зубцами ротора; глубина 80 мм. Фаза А содержит две последовательно включённые катушки по 100 витков, всего 200 витков фазы; остальные фазы обесточены. Токи 0..6 А, механические углы 0..45^\circ; сталь с табличной B(H). Программа reluctance.py запускается рядом с SRM-основа.fem.

Связанный контроль: П-электромагнит курса, N_{300}, I1 А, два зазора по 1 мм, глубина 20 мм, линейная \mu _{r2000}. Его проверенные поля и зазорные серии доступны в занятиях 41.1 и 40.2.

Теория расчётного метода

От потенциала к потоку и реальной обмотке

Разность A_z даёт поток на единицу активной длины. После умножения на фактическую длину получают веберы. Потокосцепление реальной обмотки определяется суммой вкладов всех её сторон с их знаками и числами витков; одна контрольная линия потока не заменяет эту сумму при рассеянии.

Сначала выполняют независимое возбуждение цепей. В линейной системе полученные столбцы образуют матрицу индуктивностей. Взаимность проверяет согласованность ориентации сторон и численного извлечения; положительность энергии проверяет физическую допустимость матрицы. При насыщении разделяют секущую и дифференциальную индуктивности.

\Phi=l_z\Delta A_z,\qquad \Psi_k=l_z\sum_jN_{kj}\langle A_z\rangle_{S_j}
Знаки разностей и N согласованы с нормалями и направлениями обмотки; усреднение соответствует распределённой стороне катушки.
\boldsymbol\Psi=\mathbf L\mathbf i,\quad L_{kj}\simeq L_{jk},\quad L_{\rm sec}=\Psi/i,\quad L_{\rm diff}=\partial\Psi/\partial i
Матрица постоянна только для линейного материала при фиксированной геометрии.

Литература по методу: Векторная алгебра и векторный магнитный потенциал · PDF24–31; Математическая модель поля и электрических цепей машины · PDF9–11; Магнитные поля в электрических машинах — введение (файл Гончарова) · PDF1–20

Энергия, коэнергия и выбор независимой переменной

Электрическая работа при неподвижной геометрии равна интегралу тока по изменению потокосцепления. Если независимой переменной выбран ток, удобнее коэнергия — площадь под зависимостью \Psi (i). Сумма двух площадей равна i\Psi. Это равенство остаётся полезной проверкой при нелинейной, однозначной кривой намагничивания.

Равенство W=W'=i\Psi /2 требует линейности и отсутствия независимого возбуждения в рассматриваемой однопортовой задаче. Для нескольких обмоток энергетическое тождество содержит сумму токов на потокосцепления всех независимых портов. При постоянном возбуждении генератора динамический баланс использует отдельно энергию переменных токов по формуле блока d/q и мощность преобразования. Для насыщенной стали интегрируют фактическую характеристику. Сила определяется частной производной при фиксированных токах, а не производной вдоль нагруженной траектории с меняющимся током.

W=\int_0^\Psi i(\psi)\,d\psi,\quad W^\prime=\int_0^i\Psi(j)\,dj,\quad W+W^\prime=i\Psi
Однозначная квазистатическая характеристика без отдельного гистерезисного цикла.
F_x=\left.\frac{\partial W^\prime}{\partial x}\right|_{\mathbf i},\qquad T=\left.\frac{\partial W^\prime}{\partial\theta_m}\right|_{\mathbf i}
Угол \theta m выражается в радианах; положительное направление координаты задано в модели.

Литература по методу: Энергия магнитного поля через векторный потенциал · PDF1–9,19–30; Hrabovcová, Rafajdus, Makyš. Analysis of Electrical Machines (2020) · PDF130–146,184–189

Три способа вычисления силы и момента

Сила на заданном токе вычисляется объёмным интегралом J\times B. Для тела с намагниченным материалом удобен интеграл магнитных напряжений по окружающему воздуху. Производная коэнергии при фиксированном токе даёт третий способ, использующий соседние положения геометрии.

Каждый способ имеет собственный численный контроль: разрешение проводящей области, сетку и расположение воздушного контура либо шаг угловой/линейной производной. Расхождение методов сначала относят к этим контролям, а не к изменению свойств материала. Локальное напряжение у острого угла не является устойчивой характеристикой, тогда как суммарная сила может сходиться.

\mathbf F=\int_V\mathbf J\times\mathbf B\,dV,\qquad \mathbf T_M=\frac1{\mu_0}\left(\mathbf B\mathbf B-\tfrac12B^2\mathbf I\right)
Воздушная форма тензора используется на контуре, целиком проходящем в немагнитной среде.
\mathbf F=\oint_S\mathbf T_M\mathbf n\,dS,\qquad T_z=\oint_S[\mathbf r\times(\mathbf T_M\mathbf n)]_z\,dS
Контур охватывает выбранное тело и не пересекает токовые области.

Литература по методу: Электромагнитный момент и силы тяжения · PDF1–6; Электромагнитные силы и добавочные моменты · PDF4–15; Hrabovcová, Rafajdus, Makyš. Analysis of Electrical Machines (2020) · PDF130–136,184–189

Карта \Psi (i,\theta ) и рабочая угловая зона SRM

Вентильно-индукторная машина создаёт момент за счёт изменения магнитной проводимости при движении зубцов ротора. Насыщенная машина описывается картой потокосцепления по току и положению. Площадь под токовой характеристикой даёт коэнергию, а её частная производная по механическому углу — момент.

Сначала независимо уточняют токовый интеграл и угловую производную. Затем сопоставляют момент с напряжениями Максвелла и выбирают интервалы включения, где знак момента соответствует требуемому движению. Такая статическая карта определяет основу управления, но ещё не задаёт ток при питании преобразователем и не подтверждает пульсации полного динамического привода.

W^\prime(i,\theta)=\int_0^i\Psi(j,\theta)\,dj,\qquad T=\left.\partial_{\theta_m}W^\prime\right|_i
Для нелинейной стали площадь нельзя заменить выражением i\Psi /2.
T\simeq\frac{W^\prime(i,\theta+h)-W^\prime(i,\theta-h)}{2h},\qquad T_{linear}=\tfrac12i^2\frac{dL}{d\theta_m}
h выражен в радианах; второе выражение — только линейный предел.

Литература по методу: Hrabovcová, Rafajdus, Makyš. Analysis of Electrical Machines (2020) · PDF184–189; Энергия магнитного поля через векторный потенциал · PDF1–9,19–30; Электромагнитный момент и силы тяжения · PDF1–6

Модели для работы

SRM: карта потокосцепления, коэнергия и рабочая зона

Нелинейная B(H) и одна фаза, статические точки; токи 0..6 А; углы 0..45 градусов. Коммутация, механическая динамика, взаимная динамика фаз и потери не рассчитаны.

reluctance.pySRM-угол15-ток3.femSRM-угол15-ток3.ansREADME.md

Статическая карта одной фазы и независимое сравнение момента.
Статическая карта одной фазы и независимое сравнение момента. Открыть график
Результаты расчёта
ВеличинаРезультатЕдиница
Момент Максвелла при15° и3А0,4714Н·м
Момент по коэнергии0,471Н·м
Ошибка двух способов0,07837%
Коэнергия при15° и6А0,4319Дж

Последовательное решение

1 · Поле, цепь и механическая координата

Одна и та же энергия связывает электрический вход и механическую характеристику поступательной либо вращательной системы.

  1. Для П-электромагнита выпишите два последовательных зазора и оцените поток и силу по магнитной цепи.
  2. Сопоставьте её с полевыми \Psi, W и силой: для N_{300}, I1 А, g_{1} мм F=5.446962889Н; объясните роль рассеяния и конечной \mu.
  3. Для SRM обозначьте механический угол и положительное направление; сохраните неизменными N, зазор, глубину и возбуждение остальных фаз.

Записать в протокол. Схемы двух систем, координаты, \Psi /I/W/F для электромагнита и план карты SRM.

Подробное выполнение: 41.1 · Два зазора и ход якоря: сила из коэнергии и конструкция привода; 40.2 · Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии; 26.1 · Согласованное и рассогласованное положения вентильно-индукторной машины

2 · Карта потокосцепления и энергии

Серия по току и углу определяет характеристику; одно изображение поля её не заменяет.

  1. Выполните 26 статических точек программы: углы 0/15/30/45^\circ и токи 1.5/3/6 А; при 15^\circ дополните токовый ряд 0..6 А.
  2. Из сохранённых решений получите \Psi, W, W' и секущую L=\Psi /i; сопоставьте токовые характеристики разных углов.
  3. Проверьте W+W'=i\Psi. Не заменяйте W' выражением i\Psi /2 без проверки линейности.

Записать в протокол. Таблица \theta /i/\Psi/Lсек/W/W' и график \Psi (i,\theta ).

Подробное выполнение: 26.1 · Согласованное и рассогласованное положения вентильно-индукторной машины; 26.2 · Потокосцепление, коэнергия и момент при насыщении; 8.12 · Статическая и динамическая индуктивности: определения, энергия и расчёт в FEMM

3 · Интегральный и дифференциальный контроль

Интеграл по току и производная по координате проверяют разные стороны одной энергетической карты.

  1. При \theta 15^\circ интегрируйте \Psi di по полному токовому ряду и сравните с полевым W' при 6 А.
  2. При i3 А используйте поля \theta 14/16^\circ и 14.5/15.5{}^\circ; вычислите центральные производные W', предварительно переведя градусы в радианы.
  3. Сопоставьте оба угловых шага с взвешенным моментом Максвелла; отдельно запишите ошибку производной и расхождение двух способов.
W^\prime=\int_0^i\Psi(j,\theta)\,dj,\qquad T\simeq\frac{W^\prime(i,\theta+h)-W^\prime(i,\theta-h)}{2h}
h — механический угол в радианах; ток удерживается постоянным.

Записать в протокол. \int \Psi di, W′FE, Tэнерг(h), TМаксвелла и обе относительные ошибки.

Подробное выполнение: 26.2 · Потокосцепление, коэнергия и момент при насыщении; 40.2 · Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии; 32.1 · Магнитостатические таблицы вентильно-индукторной машины и нелинейная цепь

4 · Рабочая область и проектный вывод

Знак момента определяется изменением проводимости по ходу ротора, а не одним значением индуктивности.

  1. Сравните T при 0/15/30/45^\circ; выберите положительную и отрицательную рабочие области.
  2. Оцените изменение Lсек от 1.5до 6 А при 15^\circ: в этой серии насыщение слабое, поэтому не приписывайте малым различиям большой нелинейный эффект.
  3. Сопоставьте требуемую рабочую область с картой и назовите данные следующего динамического расчёта: Uзвена, коммутация, R, J, нагрузка и потери.

Записать в протокол. Угловой интервал, \Psi /L/T, допустимый вывод об управлении и перечень необходимых динамических условий.

Подробное выполнение: 26.3 · Рабочая зона фазы и ограничения статической постановки; 32.2 · Коммутация и численное интегрирование по времени во встроенном Python; 32.3 · Динамика цепи и механики с квазистатическим восстановлением поля

Контрольный расчёт и численные результаты

Одна фаза; \theta 15^\circ, i3 А; табличная B(H); производная W' с h_{0}.5^\circ.

  1. \Psi =0.0719962709 Вб·вит; TМаксвелла=0,4714 Н·м.
  2. Момент по энергии T=0.47098904 Н·м; расхождение составляет 0.0783702%.
  3. При 6 А интеграл \Psi di=0.431943075 Дж; полевое значение W'=0.431944468 Дж.

26 полевых статических точек; независимая проверка интеграла энергии и угловой производной момента.

Количественные результаты и их проверка

Заполните таблицу собственными значениями; каждому числу сопоставьте режим и файл решения.

ВеличинаЕдиницаЧто определяет
\Psi (i,\theta ), LсекВб·вит;ГнКарта электрических параметров одной фазы.
W, W'ДжПолевые энергии и токовый интеграл.
T(\theta ), dW '/d\thetaН·мРабочая угловая зона и независимый момент.
F(g)НСвязанный поступательный контроль магнитной цепи.
  1. Относительная ошибка Tэнерг/TМаксвелла менее 6%; изменение производной 1\to 0.5^\circ менее 3%.
  2. Интеграл \Psi di согласуется с W' менее 3%; невязка W+W'=i\Psi менее 0.2%.
  3. Условия этих допусков относятся к выполненной статической серии; для новой геометрии критерии задают до расчёта.

Итоговый вывод. Карта определяет знак и уровень статического момента и позволяет выбрать рабочую зону фазы. Энергетическое согласование служит проверкой основы дальнейшей модели привода.

Границы применения результата

Литература

  1. Hrabovcová V., Rafajdus P., Makyš P. Analysis of Electrical Machines. — London : IntechOpen, 2020. — ISBN 978-1-83880-207-3. — DOI: 10.5772/intechopen.90135. Главы 1–3 распространяются по лицензии CC BY 3.0 [13].
  2. Рымша В. В., Процына З. П., Якимец А. М. Расчёт магнитных систем электромагнитов классическим и численным методом : методические указания. — Одесса : ОНПУ, 2010. — 48 с.
  3. Выражение энергии магнитного поля через векторный магнитный потенциал. Раздел 4. — 30 с.
  4. Электромагнитный момент и силы тяжения. Раздел 6. — 6 с.
  5. Электромагнитные силы в магнитном поле. Раздел 12. — 15 с.
  6. Основные понятия векторной алгебры, используемые при описании электромагнитного поля. Векторный магнитный потенциал. Раздел 3. — 31 с.
  7. Математическое описание электромагнитного поля в электрической машине. Раздел 5. — 15 с.
  8. Магнитные поля в электрических машинах — введение. — 75 с.