Электростатика: потенциал, заряд и уравнение Пуассона

Поле неподвижных зарядов

Электростатика — первая ступень лестницы приближений из урока об уравнениях Максвелла: заряды неподвижны, токов нет, ничего не зависит от времени. Из четырёх уравнений остаются два, $$\nabla\times \uE=0,\qquad \nabla\cdot \uD=\rho ,$$ и материальное уравнение $\uD=\varepsilon\uE$. Несмотря на простоту, эта модель описывает огромный класс инженерных задач: изоляцию высоковольтных устройств, конденсаторы, электроды электрофильтров, распределение поля в кабелях и проходных изоляторах. Главный практический вопрос почти всегда один: где напряжённость максимальна и не превысит ли она электрическую прочность изоляции.

В этом уроке мы связываем четыре величины — $\uE$, $\varphi$, $\uD$, $\rho$, — разбираемся, как ведут себя в поле проводники и диэлектрики, выводим уравнения Пуассона и Лапласа и решаем их в трёх одномерных геометриях, которые служат эталонами для всего дальнейшего курса.

Напряжённость и потенциал

Уравнение $\nabla\times \uE=0$ — не просто формула, а разрешение ввести потенциал. По теореме Стокса циркуляция $\uE$ по любому замкнутому контуру равна нулю: $\oint_L\uE\cdot\dl=0$. Значит, линейный интеграл между двумя точками не зависит от пути, и можно определить функцию точки

Связь $\uE=-\nabla \varphi$ автоматически обеспечивает $\nabla\times \uE=0$, так как $\nabla\times \nabla \varphi\equiv0$ (урок о теоремах). Обратное — что всякое безвихревое поле есть градиент — верно в односвязной области; именно это и доказано выше через независимость интеграла от пути. Знак «минус» выбран так, чтобы $\uE$ указывало в сторону убывания потенциала, от «плюса» к «минусу». В поле с $\partial\uB/\partial t\ne0$ циркуляция $\uE$ отлична от нуля, и скалярного потенциала в этом смысле не существует — потенциал есть достояние электростатики и квазиэлектростатики.

Переход от трёх компонент $\uE$ к одной функции $\varphi$ — главное упрощение электростатики. Все дальнейшие уравнения записываются для $\varphi$, а $\uE$ восстанавливается дифференцированием.

Теорема Гаусса и электрическое смещение

Второе уравнение в интегральной форме —

Почему в теореме Гаусса стоит $\uD$, а не $\uE$? В диэлектрике внешнее поле смещает связанные заряды молекул: положительные — по полю, отрицательные — против. Вещество поляризуется; мерой служит поляризованность $\vec P$ — дипольный момент единицы объёма (Кл/м²). Там, где $\vec P$ неоднородна, в объём «втекает» больше связанного заряда, чем «вытекает», и возникает объёмная плотность связанного заряда $\rho_{\mathrm{св}}=-\nabla\cdot \vec P$; на поверхности диэлектрика появляется связанный поверхностный заряд $\sigma_{\mathrm{св}}=P_n$. Полное поле $\uE$ создаётся всеми зарядами — и свободными, которыми мы управляем, и связанными, которые нам неизвестны заранее: $$\nabla\cdot (\varepsilon_0\uE)=\rho+\rho_{\mathrm{св}}=\rho-\nabla\cdot \vec P \quad\Rightarrow\quad \nabla\cdot (\varepsilon_0\uE+\vec P)=\rho .$$

Линии $\uE$ начинаются и заканчиваются на любых зарядах, включая связанные на поверхности диэлектрика; поэтому при входе в диэлектрик часть линий $\uE$ «обрывается», и поле внутри ослабевает. Линии $\uD$ проходят через диэлектрик не прерываясь — их число определяется только зарядом электродов. Это и есть причина, по которой ёмкость в следующем уроке вычисляется через поток $\uD$.

Проводники в равновесии

В проводнике есть свободные носители заряда. Если бы внутри существовало поле, они двигались бы, и состояние не было бы статическим. Поэтому

Свойство 1 оправдывает условие Дирихле на электродах в краевой задаче, свойство 3 даёт способ вычислить заряд по рассчитанному полю: $Q=\oint\sigma_s\,\dS=\oint\varepsilon E_n\,\dS$. Заряд распределяется по поверхности неравномерно: он скапливается на выступах и кромках, где кривизна велика, и именно там поле максимально. Отсюда инженерное правило — скруглять края электродов.

Диэлектрики

Идеальный диэлектрик свободных зарядов не имеет ($\rho=0$, $\sigma=0$); его роль — ослаблять поле за счёт поляризации и выдерживать его без пробоя. При заполнении всего пространства между электродами однородным диэлектриком при заданных зарядах поле ослабевает в $\varepsilon_r$ раз (линии $\uD$ те же, $\uE=\uD/\varepsilon$), а при заданном напряжении $\uE$ не меняется, зато $\uD$ и заряд возрастают в $\varepsilon_r$ раз. В составных изоляциях поле перераспределяется по закону преломления: $E_n$ больше в слое с меньшей $\varepsilon$, что приводит к перегрузке воздушных включений (воздух: $\varepsilon_r=1$, прочность $\approx3$ МВ/м; масло: $\varepsilon_r\approx2{,}2$, прочность в несколько раз выше; полиэтилен: $\varepsilon_r=2{,}3$, прочность в десятки МВ/м). Разобранный пример двухслойного диэлектрика — в уроке о ёмкости.

Уравнения Пуассона и Лапласа

Подставим $\uD=\varepsilon\uE=-\varepsilon\nabla \varphi$ в теорему Гаусса:

Лапласиан в точке равен (с множителем) отклонению значения функции от её среднего по малой окрестности. Поэтому в области без зарядов потенциал не имеет локальных экстремумов: максимумы и минимумы достигаются только на границе (на электродах). Положительный объёмный заряд делает $\Delta\varphi<0$ — потенциал «выпучивается» вверх, как мембрана под давлением; отрицательный — вниз. Для одномерных задач нам понадобятся три формы лапласиана функции одной переменной: $$\Delta\varphi=\frac{\dd^2\varphi}{\dd x^2}\ \text{(плоская)},\qquad \Delta\varphi=\frac1r\frac{\dd}{\dd r}\!\left(r\frac{\dd\varphi}{\dd r}\right)\ \text{(цилиндрическая)},\qquad \Delta\varphi=\frac1{r^2}\frac{\dd}{\dd r}\!\left(r^2\frac{\dd\varphi}{\dd r}\right)\ \text{(сферическая)}.$$

Одномерные решения

Плоский слой с объёмным зарядом

Между двумя параллельными электродами $x=0$ ($\varphi=0$) и $x=d$ ($\varphi=U$) находится среда с проницаемостью $\varepsilon$ и однородным объёмным зарядом $\rho$ (например, ионизованный газ в электрофильтре). Уравнение $\varphi''=-\rho/\varepsilon$ интегрируется дважды: $$\varphi(x)=-\frac{\rho x^2}{2\varepsilon}+C_1x+C_2 .$$ Из $\varphi(0)=0$: $C_2=0$; из $\varphi(d)=U$: $C_1=U/d+\rho d/(2\varepsilon)$. Тогда $$\varphi(x)=\frac{U}{d}x+\frac{\rho}{2\varepsilon}x(d-x), \qquad E_x=-\frac{\dd\varphi}{\dd x}=-\frac{U}{d}-\frac{\rho}{2\varepsilon}(d-2x).$$ Первое слагаемое — однородное поле конденсатора без заряда, второе — поправка, антисимметричная относительно середины слоя: объёмный заряд усиливает поле у одного электрода и ослабляет у другого. Подстановка в $\varphi''$ возвращает $-\rho/\varepsilon$ — проверка.

Коаксиальные цилиндры

Внутренний электрод радиуса $a$ под потенциалом $U$, внешний радиуса $b$ заземлён, между ними диэлектрик $\varepsilon$ без зарядов. Уравнение Лапласа $\dfrac1r\dfrac{\dd}{\dd r}\left(r\dfrac{\dd\varphi}{\dd r}\right)=0$ даёт $r\varphi'=C_1$, $\varphi=C_1\ln r+C_2$. Условия $\varphi(a)=U$, $\varphi(b)=0$: $$\varphi(r)=U\,\frac{\ln(b/r)}{\ln(b/a)}, \qquad E_r=-\frac{\dd\varphi}{\dd r}=\frac{U}{r\ln(b/a)} .$$ Поле убывает как $1/r$ и максимально на внутреннем электроде: $E_{\max}=E(a)$. При фиксированном $b$ и $U$ минимум $E(a)$ достигается, когда $\dd[a\ln(b/a)]/\dd a=\ln(b/a)-1=0$, то есть при $b/a=e\approx2{,}72$ — классическое правило выбора радиуса жилы высоковольтного кабеля.

Концентрические сферы

Для сферического слоя $a\le r\le b$ уравнение $\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\dd}{\dd r}\left(r^2\dfrac{\dd\varphi}{\dd r}\right)=0$ даёт $\varphi=C_1/r+C_2$ и при $\varphi(a)=U$, $\varphi(b)=0$ $$\varphi(r)=U\,\frac{1/r-1/b}{1/a-1/b}, \qquad E_r=\frac{U}{r^2\,(1/a-1/b)} .$$ При $b\to\infty$ получаем уединённый шар: $\varphi=Ua/r$, $E_r=Ua/r^2$ — поле точечного заряда $Q=4\pi\varepsilon aU$, сосредоточенного в центре. Напряжённость на поверхности шара $E(a)=U/a$: при заданном напряжении малый шар имеет сильное поле — поэтому высоковольтные выводы снабжают экранами большого радиуса.

Энергия электрического поля

Создание поля требует работы: заряды приходится переносить против сил отталкивания. Подсчёт этой работы [Тамм] приводит к выражению, в котором энергия приписана не зарядам, а полю:

Энергия сосредоточена там, где поле сильное: в тонких зазорах, у острых кромок, в слое с малой $\varepsilon$. В следующем уроке через $W_{\mathrm э}$ будут выражены ёмкость и силы.

Итоги

• Условие $\nabla\times \uE=0$ позволяет ввести потенциал: $\uE=-\nabla \varphi$, $U_{AB}=\int_A^B\uE\cdot\dl$; $\varphi$ определён с точностью до константы.
• Смещение $\uD=\varepsilon_0\uE+\vec P$ имеет источниками только свободные заряды: $\nabla\cdot \uD=\rho$; связанные заряды $\rho_{\mathrm{св}}=-\nabla\cdot \vec P$ входят в источники $\uE$, но не $\uD$.
• В проводнике при равновесии $\uE=0$, $\varphi=\mathrm{const}$, заряд лежит на поверхности, а снаружи $E_n=\sigma_s/\varepsilon$.
• Потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона $\nabla\cdot (\varepsilon\nabla \varphi)=-\rho$ (Лапласа при $\rho=0$); его одномерные решения — квадратичное для плоского слоя с зарядом, $\ln(b/r)$ для коаксиала, $1/r$ для сферы — эталоны для проверки численных расчётов.
• Плотность энергии $w_{\mathrm э}=\tfrac12\uE\cdot\uD$ сосредоточена там, где поле сильно.

Далее — ёмкость, энергия и силы: как от распределённого поля перейти к интегральным параметрам $Q$, $U$, $C$, $W$ и к силам на электродах.