Полная система Максвелла и материальные уравнения

От операторов к физике

В модуле M1 мы научились измерять, сколько поля «рождается» в точке (дивергенция) и как сильно оно «закручено» (ротор). Теперь эти операторы получают физическое содержание: четыре уравнения Максвелла говорят, что именно является источником дивергенции и ротора электрического и магнитного полей. Все остальные законы электромагнетизма — закон Кулона, закон Ома в полевой форме, закон электромагнитной индукции, закон сохранения заряда — либо содержатся в этих уравнениях, либо выводятся из них в сочетании со свойствами среды.

Для инженера уравнения Максвелла ценны ещё и тем, что из них видно, какие слагаемые можно отбросить в конкретной задаче. Конденсатор при 50 Гц, трансформатор, нагревательный элемент, шина с постоянным током описываются не полной системой, а её упрощёнными частными случаями — электростатикой, магнитостатикой, стационарным током, квазистатикой. Этот урок устроен как лестница: сначала полная система, затем закон сохранения заряда как её следствие, затем спуск по ступенькам приближений с явным критерием на каждой.

Четыре уравнения

Будем пользоваться величинами, определёнными в глоссарии: $\uE$ — напряжённость электрического поля (В/м), $\uD$ — электрическое смещение (Кл/м²), $\uH$ — напряжённость магнитного поля (А/м), $\uB$ — магнитная индукция (Тл), $\uJ$ — плотность тока проводимости (А/м²), $\rho$ — объёмная плотность свободного заряда (Кл/м³).

Смысл уравнений удобно читать «справа налево»: правая часть — источник, левая — порождаемая им структура поля.

1. Закон полного тока. Вихри магнитного поля создаются током проводимости $\uJ$ и током смещения $\partial\uD/\partial t$. Второе слагаемое — вклад Максвелла; без него система была бы несовместной (см. ниже). Единица обоих слагаемых — А/м².
2. Закон электромагнитной индукции. Вихри электрического поля создаются изменением магнитной индукции во времени. Знак «минус» — правило Ленца: индуцированное поле противодействует изменению потока.
3. Теорема Гаусса. Источниками (истоками и стоками) смещения $\uD$ являются свободные заряды. Линии $\uD$ начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.
4. Непрерывность магнитного потока. У магнитной индукции нет истоков: линии $\uB$ замкнуты (или уходят на бесконечность). Магнитных зарядов не существует.

Применяя теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса из урока об интегральных теоремах, получаем интегральную форму. Пусть $S$ — ориентированная поверхность, натянутая на замкнутый контур $L$ (нормаль $\un$ согласована с обходом по правилу правого винта), а $V$ — объём, ограниченный замкнутой поверхностью $S_V$ с внешней нормалью.

Интегральная форма не требует дифференцируемости полей и поэтому применима к областям с границами раздела — именно из неё в следующем уроке мы выведем граничные условия. Дифференциальная форма удобнее для получения уравнений в частных производных, которые решаются аналитически или численно. Переход между формами всегда обратим там, где поля гладкие [Тамм].

Закон сохранения заряда

Возьмём дивергенцию от обеих частей закона полного тока. По тождеству $\nabla\cdot \nabla\times \uH\equiv0$ левая часть обращается в нуль: $$0=\nabla\cdot \uJ+\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot \uD .$$ Подставляя $\nabla\cdot \uD=\rho$ из теоремы Гаусса, получаем

Это следствие объясняет, почему ток смещения в первом уравнении обязателен. Без него мы имели бы $\nabla\times \uH=\uJ$ и, значит, $\nabla\cdot \uJ=0$ всегда — а это противоречит простейшему опыту с зарядкой конденсатора: в провод ток втекает, в зазоре между пластинами тока проводимости нет, но заряд на пластине растёт. Слагаемое $\partial\uD/\partial t$ «замыкает» ток через зазор. В стационарном режиме, когда $\partial\rho/\partial t=0$, уравнение непрерывности сводится к $\nabla\cdot \uJ=0$: линии тока замкнуты, как и линии $\uB$.

Аналогичная операция со вторым уравнением даёт $\partial(\nabla\cdot \uB)/\partial t=0$: если $\nabla\cdot \uB=0$ в какой-то момент, это сохраняется навсегда. Поэтому четвёртое уравнение иногда называют начальным условием для второго; в курсе мы считаем его самостоятельным законом природы.

Материальные уравнения: предварительный взгляд

Подсчитаем неизвестные. Векторы $\uE,\uD,\uB,\uH,\uJ$ дают 15 скалярных функций, плюс $\rho$ — 16. Уравнений: два векторных (6 скалярных) и два скалярных — всего 8, причём скалярные не независимы от векторных: дивергенция второго даёт четвёртое, дивергенция первого вместе с законом сохранения заряда — третье. Система недоопределена: уравнения Максвелла описывают структуру поля, но ничего не говорят о том, как среда откликается на него.

Недостающие связи дают материальные уравнения. Для простейшей — линейной, изотропной, однородной — среды $$\uD=\varepsilon\uE,\qquad \uB=\mu\uH,\qquad \uJ=\sigma\uE ,$$ где $\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$ — диэлектрическая проницаемость (Ф/м), $\mu=\mu_r\mu_0$ — магнитная проницаемость (Гн/м), $\sigma$ — удельная проводимость (См/м). В вакууме $\varepsilon_0\approx8{,}854\cdot10^{-12}$ Ф/м, $\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}$ Гн/м, и $c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}\approx3\cdot10^8$ м/с — скорость света. Подробно материальные уравнения, их тензорные и нелинейные обобщения рассматриваются в уроке о материальных уравнениях; здесь они нужны только для того, чтобы сформулировать критерии приближений.

Лестница приближений

Полная система уравнений Максвелла описывает и распространение радиоволн, и электростатику заряженной сферы. Платить за универсальность приходится сложностью: приходится решать связанную систему уравнений для $\uE$ и $\uH$ одновременно. Практически все устройства электроэнергетики, электромеханики и электротехнологии допускают упрощения, которые разрывают эту связь.

Статика: $\partial/\partial t=0$

Если все величины не зависят от времени, производные по $t$ обращаются в нуль, и система распадается на две независимые группы.

Электростатика. Нет токов ($\uJ=0$), заряды неподвижны: $$\nabla\times \uE=0,\qquad \nabla\cdot \uD=\rho,\qquad \uD=\varepsilon\uE .$$ Поле безвихревое. В уроке о теоремах показано, что $\nabla\times \nabla \varphi\equiv0$; верно и обратное: в односвязной области всякое безвихревое поле есть градиент некоторого скаляра. Поэтому $$\uE=-\nabla \varphi ,$$ где $\varphi$ — электрический потенциал (В). Три компоненты $\uE$ сводятся к одной скалярной функции — в этом главная выгода. Подстановка в теорему Гаусса даёт уравнение Пуассона $\nabla\cdot (\varepsilon\nabla \varphi)=-\rho$ (урок об электростатике).

Стационарный электрический ток. Токи есть, но постоянны. Уравнение непрерывности при $\partial\rho/\partial t=0$ даёт $$\nabla\cdot \uJ=0,\qquad \nabla\times \uE=0,\qquad \uJ=\sigma\uE \quad\Rightarrow\quad \nabla\cdot (\sigma\nabla \varphi)=0 .$$ Магнитное поле токов при этом существует ($\nabla\times \uH=\uJ$), но на распределение $\uE$ и $\uJ$ не влияет: можно сначала решить задачу о токе, а потом — о создаваемом им магнитном поле.

Магнитостатика. Распределение токов задано (из предыдущей задачи или как ток в обмотке): $$\nabla\times \uH=\uJ,\qquad \nabla\cdot \uB=0,\qquad \uB=\mu\uH .$$ Условие совместности $\nabla\cdot \uJ=0$ следует из $\nabla\cdot \nabla\times \uH=0$: нельзя задать магнитостатическую задачу с незамкнутыми токами. Поскольку $\nabla\cdot \uB=0$, индукцию ищут как $\uB=\nabla\times \uA$ через векторный потенциал $\uA$ (урок о магнитостатике).

Квазистатика: медленные процессы

Пусть поля меняются во времени, но медленно. Что значит «медленно»? Оценим, как связаны слагаемые с производными по времени. Пусть $L$ — характерный размер устройства, $\omega=2\pi f$ — угловая частота. Из закона индукции $\nabla\times \uE=-\partial\uB/\partial t$ по порядку величины $E/L\sim\omega B$, то есть индуцированное поле $E_{\mathrm{инд}}\sim\omega\mu H L$. Из закона полного тока в непроводящей среде $H/L\sim\omega\varepsilon E$, то есть поле, созданное током смещения, $H_{\mathrm{см}}\sim\omega\varepsilon E L$. Подставим одно в другое: $$\frac{E_{\mathrm{инд}}}{E}\sim\omega^2\varepsilon\mu L^2=\left(\frac{\omega L}{c}\right)^2=\left(\frac{2\pi L}{\lambda}\right)^2, \qquad \lambda=\frac{c}{f}.$$

Электроквазистатика (ЭКС). Удерживается ток смещения, пренебрегается индукцией: $$\nabla\times \uH=\uJ+\frac{\partial\uD}{\partial t},\qquad \nabla\times \uE\approx0\ \Rightarrow\ \uE=-\nabla \varphi, \qquad \nabla\cdot \!\left(\sigma\uE+\frac{\partial(\varepsilon\uE)}{\partial t}\right)=0 .$$ Это модель конденсаторов, изоляции, электродов в слабопроводящих средах: главное — заряды и ёмкость, а магнитная энергия ничтожна. Для гармонических процессов ток проводимости и ток смещения объединяются в комплексную проводимость $\sigma+\ii\omega\varepsilon$ (урок о гармонических токах).

Магнитоквазистатика (МКС). Удерживается индукция, отбрасывается ток смещения: $$\nabla\times \uH=\uJ,\qquad \nabla\times \uE=-\frac{\partial\uB}{\partial t},\qquad \nabla\cdot \uB=0,\qquad \uJ=\sigma\uE .$$ Это модель трансформаторов, электрических машин, индукционного нагрева, вихревых токов и скин-эффекта. Главное — токи и магнитная энергия; электрическое поле нужно лишь постольку, поскольку оно гонит ток.

Выбор между ЭКС и МКС в проводящей среде диктуется отношением плотностей тока проводимости и тока смещения. Для гармонического поля $\uJ=\sigma\uE$, а $|\partial\uD/\partial t|=\omega\varepsilon|\uE|$, откуда $$\frac{|\uJ|}{|\partial\uD/\partial t|}=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}.$$ При $\sigma/(\omega\varepsilon)\gg1$ среда — проводник, ток смещения в ней пренебрежимо мал (МКС); при $\sigma/(\omega\varepsilon)\ll1$ — диэлектрик, в котором проводимость даёт лишь малые потери (ЭКС). Промежуточный случай требует удерживать оба тока [Haus].

Почему волны остаются за рамками курса

Излучение — это энергия, уносимая полем на бесконечность, и оно возникает только за счёт совместного действия обоих членов с $\partial/\partial t$: изменяющееся $\uD$ рождает $\uH$, изменяющееся $\uB$ рождает $\uE$, и эта цепочка самоподдерживается, отрываясь от источника. Отбрасывая любую из производных, мы разрываем цепочку, и решение перестаёт содержать волны: поле в каждый момент времени определяется мгновенным распределением зарядов и токов, как в статике. Для устройств с $L\ll\lambda$ мощность излучения ничтожна по сравнению с мощностью, запасаемой в поле и рассеиваемой в проводниках, поэтому курс ограничивается статикой и квазистатикой. Антенны, волноводы, линии передачи с длиной порядка $\lambda$ и выше требуют полной системы и изучаются в курсах технической электродинамики [Тамм], [Джексон].

Итоги

• Четыре уравнения Максвелла задают источники вихрей ($\uJ+\partial\uD/\partial t$ для $\uH$, $-\partial\uB/\partial t$ для $\uE$) и источники истоков ($\rho$ для $\uD$, нуль для $\uB$); интегральная и дифференциальная формы связаны теоремами Остроградского–Гаусса и Стокса.
• Закон сохранения заряда $\nabla\cdot \uJ+\partial\rho/\partial t=0$ — следствие уравнений Максвелла, возможное только благодаря току смещения.
• Система недоопределена без материальных уравнений $\uD=\varepsilon\uE$, $\uB=\mu\uH$, $\uJ=\sigma\uE$.
• При $\partial/\partial t=0$ система распадается на электростатику ($\uE=-\nabla \varphi$), стационарный ток ($\nabla\cdot \uJ=0$) и магнитостатику ($\nabla\times \uH=\uJ$).
• При $L\ll\lambda=c/f$ справедлива квазистатика: ЭКС (удержан ток смещения) для диэлектриков и конденсаторов, МКС (удержана индукция) для проводников, где $\sigma/(\omega\varepsilon)\gg1$. Волны и излучение требуют полной системы и в курсе не рассматриваются.

Далее — материальные уравнения и границы раздела сред: как среда замыкает систему уравнений и что происходит с полем на поверхности, где свойства меняются скачком.