Занятие 11.4

Виртуальная работа и энергетическая производная

Цель. Найдите устойчивый шаг энергетической производной

Теория Пример Практика Файлы

На этой странице

Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии. Сохранённое решение FEMM 5. Узловой скаляр сохранённой модели. Показаны потенциал и его уровни, а не модуль B. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены. — 1. Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии1 — Магнитопровод — линейная сталь мю2000 · 2 — Обмоточная областьСохранённое решение FEMM 5. Узловой скаляр сохранённой модели. Показаны потенциал и его уровни, а не модуль B. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены.Открыть SVG целиком Результат отдельно Исходная учебная модель

Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии. Учебная геометрия до полевого расчёта. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены. — 2. Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии1 — Магнитопровод — линейная сталь мю2000 · 2 — Обмоточная областьУчебная геометрия до полевого расчёта. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены.Открыть SVG целиком Исходная учебная модель

Другие модели этой постановки · всего 5

Силы на сталь, постоянный магнит и соосную токовую катушку. Сохранённое решение FEMM 5. Потоковая функция ψ = 2πrAφ; интерполяция FEMM 5. Показаны потенциал и его уровни, а не модуль B. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены. — 3. Силы на сталь, постоянный магнит и соосную токовую катушку1 — Обмотка без потерь · 2 — Сталь линейная учебнаяСохранённое решение FEMM 5. Потоковая функция ψ = 2πrAφ; интерполяция FEMM 5. Показаны потенциал и его уровни, а не модуль B. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены.Открыть SVG целиком Результат отдельно Исходная учебная модель

Цель и задачи

Задачи

Объяснить метод и условия его применимости.
Выполнить найдите устойчивый шаг энергетической производной

Что нужно вспомнить перед началом

Место занятия в инженерной методике

Подготовительный этап методики · Проверка масштаба и пространственного распределения поля

Последовательность решения, отчёт и критерии результата

Выбор корректного метода до расчёта устройства.

Результат этого этапа — проверенная постановка или воспроизводимая процедура перед серией расчётов.

Последовательность решения

Обосновать постановку и способ измерения. Свяжите потенциал, его производные и измеряемые компоненты поля; выберите точки внутри областей и отдельно у границ.
Найдите устойчивый шаг энергетической производной. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сведите исходное и изменённое состояния в одну таблицу, укажите единицы и вычислите разность результатов.
Ответить на вопрос по своим результатам. Проверьте знак, единицу и масштаб по постановке; используйте аналитическое поле, если для этого эталона оно выведено в занятии.

Что включить в отчёт

Оформление наблюдений. Координаты, компоненты поля, единицы, режим и принадлежность точки материалу; при сравнении профилей — одна ориентация оси.

Как обосновать результат

Независимый контроль. Используйте производную потенциала, аналитический однородный предел или закон источника, предусмотренный данным занятием.

Точность и расхождения. Критерий этого этапа — соответствие исходным данным, топологии, назначениям и процедуре повторного открытия. Численный допуск поля здесь не назначают: поле ещё не является защищаемым результатом. Расхождения размеров и параметров фиксируйте с единицами и происхождением.

Вывод для устройства

Поясните, где поле определяет полезный эффект устройства, а где локальная неоднородность ограничивает простую расчётную схему.

Границы вывода. Методические опыты; расчётный статус определяется точными моделями и результатами проверки.

Теория и вывод формул

Найдите устойчивый шаг энергетической производной

Обозначения и единицы

Нормировки, общие обозначения и единицы курса. Обозначения конкретной задачи приведены рядом с формулами.

Указатель формул этого занятия

(11.2) · Вывод виртуальной работы
(11.3) · Центральная производная и знак
(11.4) · Сила из виртуальной работы: что удерживается постоянным
(11.5) · Сила из виртуальной работы: что удерживается постоянным

Метод виртуальной работы

Пусть теперь положение подвижной части задано координатой $x$ (зазор, смещение якоря). Система имеет две независимые переменные состояния; баланс энергии за малое время: $\underbrace{i\,\dd\Psi}_{\text{от источника}}=\underbrace{\dd W}_{\text{прирост запаса}}+\underbrace{F\,\dd x}_{\text{механическая работа}},$ где $F$ — сила, с которой поле действует на подвижную часть в направлении роста $x$ . Потери в меди в баланс не входят: они выделяются в сопротивлении обмотки, учитываются в уравнении цепи и с полем не связаны. Потери в стали (гистерезис, вихревые токи) мы считаем отсутствующими — система консервативна.

Сила через энергию и коэнергию

Из баланса $\dd W=i\,\dd\Psi-F\,\dd x$ следует, что $W$ — функция переменных $(\Psi,x)$ , причём $i=\left(\frac{\partial W}{\partial\Psi}\right)_x,\qquad F=-\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)_{\Psi}.$ Перейдём к коэнергии $W'=\Psi i-W$ : $\dd W'=\Psi\,\dd i+i\,\dd\Psi-\dd W=\Psi\,\dd i+F\,\dd x$ , то есть $W'$ — функция $(i,x)$ и $\Psi=\left(\frac{\partial W'}{\partial i}\right)_x,\qquad F=+\left(\frac{\partial W'}{\partial x}\right)_i .$ Оба выражения дают одну и ту же силу в данной точке $(\Psi,i,x)$ — различается лишь то, что фиксируется при дифференцировании. Для поворотного движения с углом $\theta$ вместо силы получается момент (здесь $T$ — момент, а не температура): $T=-(\partial W/\partial\theta)_\Psi=(\partial W'/\partial\theta)_i$ , единица — Н·м.

Почему знаки разные? При $\Psi=\mathrm{const}$ источник не работает ( $i\,\dd\Psi=0$ ), и механическая работа совершается за счёт убыли энергии: $F\,\dd x=-\dd W$ . При $i=\mathrm{const}$ источник подводит $i\,\dd\Psi$ , половина (в линейном случае) идёт в прирост энергии, половина — в работу, и выгоднее считать через $W'$ , чей прирост как раз равен работе. На практике обмотка чаще питается от источника напряжения или тока, а не потока, поэтому формула через коэнергию при $i=\mathrm{const}$ — основная.

В линейной системе $W'=\tfrac12L(x)i^2$ и $F=\tfrac12i^2\,\dd L/\dd x$ : сила направлена в сторону роста индуктивности, то есть уменьшения магнитного сопротивления. Это общее правило: магнитная система стремится увеличить своё потокосцепление при заданном токе. Через энергию: $W=\Psi^2/(2L(x))$ , $F=-\partial W/\partial x=\tfrac12\Psi^2L^{-2}\,\dd L/\dd x=\tfrac12i^2\,\dd L/\dd x$ — тот же результат, как и должно быть.

Пример: электромагнит с зазором

Сила притяжения С-образного электромагнита

Сердечник С-образной формы с обмоткой $N$ витков и током $i$ притягивает якорь через два одинаковых воздушных зазора длиной $g$ каждый (магнитный поток пересекает оба зазора последовательно). Площадь полюса $S$ , выпучиванием и рассеянием пренебрегаем, сталь считаем идеальной ( $\mu\to\infty$ ), так что вся МДС падает на зазорах: $Ni=H_g\cdot2g$ . Тогда $B=\mu_0H_g=\frac{\mu_0Ni}{2g},\qquad\Phi=BS,\qquad\Psi=N\Phi=\frac{\mu_0N^2S}{2g}\,i,\qquad L(g)=\frac{\mu_0N^2S}{2g}.$ Коэнергия линейной системы $W'=\tfrac12Li^2=\dfrac{\mu_0N^2Si^2}{4g}$ . Сила в направлении роста $g$ : $F_g=\left(\frac{\partial W'}{\partial g}\right)_i=-\frac{\mu_0N^2Si^2}{4g^2}.$ Знак отрицателен: сила направлена в сторону уменьшения зазора — якорь притягивается, как и подсказывает правило «в сторону роста $L$ ». Выразим модуль через индукцию, подставив $Ni=2gB/\mu_0$ : $|F_g|=\frac{\mu_0S}{4g^2}\cdot\frac{4g^2B^2}{\mu_0^2}=\frac{B^2S}{\mu_0}=2\cdot\frac{B^2S}{2\mu_0}.$ Полная сила — это сумма сил на двух полюсных поверхностях, по $B^2S/(2\mu_0)$ на каждой. Через энергию при $\Psi=\mathrm{const}$ : $W=\Psi^2/(2L)=\Psi^2g/(\mu_0N^2S)$ , $F_g=-\partial W/\partial g=-\Psi^2/(\mu_0N^2S)$ ; подставив $\Psi=Li$ , получаем прежнее $-\mu_0N^2Si^2/(4g^2)$ .

Числа. Пусть $S=4$ см² $=4\cdot10^{-4}$ м² и в зазоре $B=1$ Тл. На одну полюсную поверхность $\frac{B^2S}{2\mu_0}=\frac{1\cdot4\cdot10^{-4}}{2\cdot1{,}2566\cdot10^{-6}}=159\ \text{Н},$ на две — $318$ Н (вес около 32 кг). Какой ток для этого нужен: при $N=500$ , $g=1$ мм из $B=\mu_0Ni/(2g)$ получаем $i=2gB/(\mu_0N)=2\cdot10^{-3}/(1{,}2566\cdot10^{-6}\cdot500)=3{,}2$ А. Если же ток $i=2$ А, то $B=0{,}63$ Тл и $F=B^2S/\mu_0=0{,}395\cdot4\cdot10^{-4}/(1{,}2566\cdot10^{-6})=126$ Н — сила квадратична по току и по индукции.

Уточнения постановки и расчётной методики FEMM 5

Вывод виртуальной работы

Электрическая работа системы разделяется на изменение магнитной энергии и механическую работу. Коэнергия W^{\prime}=I\Psi-W удобна при независимом задании токов. Её полная производная содержит \Psi\,\mathrm dI+F\,\mathrm dx; при \mathrm dI=0 механическая сила равна частной производной W^{\prime} по координате. При фиксированном потокосцеплении, напротив, используют отрицательную производную энергии W. Эти два условия нельзя смешивать. В машине фиксируют фазные токи в неподвижной системе при изменении угла, а не автоматически постоянные d/q-токи.

F_x=\left.\frac{\partial W^{\prime}_\text{м}}{\partial x}\right|_{\mathbf I},\qquad F_x=-\left.\frac{\partial W_\text{м}}{\partial x}\right|_{\boldsymbol\Psi}

(11.2)

x в м; энергия и коэнергия в Дж; итог в Н. Координата и направление силы согласованы.

Центральная производная и знак

В нашем электромагните увеличение y якоря увеличивает оба зазора. При том же токе потокосцепление и коэнергия уменьшаются, поэтому F_y отрицательна. Для численной производной решают три положения вокруг исходного, сохраняя одинаковый ток. Разность энергий делится на шаг в метрах, хотя перенос в графическом интерфейсе вводится в миллиметрах. Ошибка размерности здесь даёт тысячекратное изменение силы. Половинный шаг и независимый WST помогают отделить погрешность производной от физического результата.

F_y\simeq\frac{W^{\prime}_\text{м}(y+\Delta y)-W^{\prime}_\text{м}(y-\Delta y)}{2\Delta y}

(11.3)

Токи всех цепей фиксированы; \Delta y в м. Центральная разность имеет второй порядок для гладкой функции.

Почему площадь энергии должна охватывать всю систему

При переносе якоря меняется не только поле внутри него, но и поле в зазорах, сердечнике и окружающем воздухе. Производная коэнергии отдельного якоря пропустила бы эти изменения и не дала полной механической силы. Поэтому интегрируется вся магнитная система. Напротив, WST выбирает именно тело, на которое действует сила, поскольку окружающий воздух используется в процедуре напряжений. Два разных выделения не противоречат друг другу: методы имеют разные определения. Если в модели есть постоянные магниты, их базовая коэнергия при нулевом токе также может зависеть от положения. Если этот вклад отбросить, соответствующая сила или зубцовый момент не будут учтены. Во всех случаях необходимо использовать полный корректный функционал при действительно фиксированных независимых токах.

Сила из виртуальной работы: что удерживается постоянным

Рассматривается квазистатическая обратимая система без механического трения. Положительная сила совершает положительную работу при положительном перемещении.

Разделите электрическую работу на изменение энергии поля и механическую работу.

i\,\mathrm d\Psi=\mathrm dW+F_x\,\mathrm dx
(11.4)
Перейдите к коэнергии преобразованием Лежандра. Теперь независимыми электрическими переменными служат токи.

W^{\prime}=i\Psi-W,\qquad\mathrm dW^{\prime}=\Psi\,\mathrm di+F_x\,\mathrm dx
(11.5)
При фиксированном токе производная коэнергии даёт силу. При фиксированном потокосцеплении сила равна отрицательной производной энергии. Менять удерживаемую величину между двумя расчётами нельзя.
В центральной разности перемещение переводится в метры. Отдельно уменьшите шаг перемещения и уточните сетку, чтобы отделить ошибку производной от разности сеточных энергий.
Для независимой проверки интегрируйте тензор напряжений по замкнутой поверхности в воздухе. Взвешенный объёмный интеграл FEMM требует, чтобы выделенное тело было окружено воздухом или примыкало к допустимой внешней границе.

Таблица 11.4. Обозначения и единицы
Величина	Физический смысл	Единица СИ
I	Ток обмотки; в статике постоянный	А
\Psi	Потокосцепление обмотки	Вб
W	Магнитная энергия	Дж
W^{\prime}	Магнитная коэнергия	Дж
F	Компонента электромагнитной силы	Н

Границы применимости. При постоянных магнитах нельзя восстанавливать полную коэнергию только интегралом по токам от нуля: энергия состояния с нулевыми токами зависит от положения. Для гармоники нужно различать среднюю и переменную компоненты силы.

Разобранный численный пример

Контрольный расчёт: Виртуальная работа и энергетическая производная

Дано. При неизменных токах Wprime(x+h)=0,102 Дж, Wprime(x−h)=0,098 Дж, h=0{,}001 м. Найдите центральную производную.

Приведите данные к СИ и используйте соотношение из теории.
Последовательность вычисления приведена в программе ниже; контрольное значение: 2 Н.

Ответ: 2 Н

Проверка: Это аналитический контроль указанного частного случая. Полевой опыт проверяется отдельно.

Практикум в FEMM 5

Найдите устойчивый шаг энергетической производной

Таблица 11.5. Исходные данные практикума
Исходная величина	Значение	Единица
Исходные данные контроля	При неизменных токах Wprime(x+h)=0,102 Дж, Wprime(x−h)=0,098 Дж, h=0{,}001 м. Найдите центральную производную.

Сделайте отдельные копии модели при x-h и x+h; токи, материалы и внешняя область одинаковы.
Суммируйте коэнергию всей системы и вычислите центральную разность; для момента используйте радианы.
Повторите при h/2 и 2h; поворачивайте весь ротор и корректно обрабатывайте выражения направления магнитов.
Сравните с WST. Укажите условия источников и отдельный энергетический отсчёт для постоянных магнитов.

Ожидаемый результат. Получите таблицу параметров и результатов; объясните знак и отличие от аналитического контроля.

Как проверить. Повторите опыт с изменением одного параметра. Сохраните исходный файл, версию FEMM, решение и единицы результатов.

Оценка результата

Какие условия и наблюдаемые величины определяют проверку: найдите устойчивый шаг энергетической производной?

Сведите исходное и изменённое состояния в одну таблицу, укажите единицы и вычислите разность результатов.
Проверьте знак, единицу и масштаб по постановке; используйте аналитическое поле, если для этого эталона оно выведено в занятии.

С чем сравнить. Аналитический профиль из теории применим только при тех же источниках, материале и граничных условиях. Карта цветов не заменяет численное измерение.

Итог работы. Таблица по теме «Виртуальная работа и энергетическая производная», исходные файлы, программа и объяснение ограничений.

Программа: Виртуальная работа и энергетическая производная · Порядок запуска