Магнитные цепи, насыщение и постоянные магниты

Зачем нужна магнитная цепь

Поле электромагнита, трансформатора или реле почти целиком сосредоточено в ферромагнитном сердечнике: проницаемость стали в тысячи раз выше проницаемости воздуха, и линии индукции «предпочитают» сталь так же, как ток — медь. Сердечник с зазором ведёт себя как трубка индукции с известной геометрией, и тогда полевую задачу можно заменить задачей о цепи: поток играет роль тока, намагничивающая обмотка — роль источника, участки сердечника и зазор — роль сопротивлений. Такой расчёт занимает минуты и даёт инженерную точность, если понимать, какие явления он игнорирует. Этот урок строит теорию магнитных цепей, расширяет её на нелинейные материалы и постоянные магниты и заканчивается полным перечнем её ограничений.

Аналогия с электрической цепью

Возьмём замкнутый сердечник, составленный из участков длиной $l_k$, сечением $S_k$ и проницаемостью $\mu_k$, с обмоткой $N$ витков и током $i$. Применим закон полного тока к средней линии сердечника и предположим, что на каждом участке поле однородно по сечению и направлено вдоль средней линии: $$\oint\uH\cdot\dl=\sum_kH_kl_k=Ni .$$ Поток один и тот же во всех сечениях (трубка индукции): $\Phi=B_kS_k$, откуда $H_k=\Phi/(\mu_kS_k)$ и $$\Phi\sum_k\frac{l_k}{\mu_kS_k}=Ni .$$

Соответствие величин:

Последовательные участки складываются по $\Rm$, параллельные — по $\Lambda$; разветвлённые цепи решаются методами узловых и контурных уравнений [Демирчян]. Но аналогия неполна, и различия важнее сходств:

1. Нет магнитных изоляторов. Отношение проводимостей меди и изоляции $\sim10^{20}$, отношение проницаемостей стали и воздуха — лишь $10^3$–$10^4$. Поэтому часть потока всегда идёт мимо сердечника — рассеяние, которого в электрической цепи практически нет.
2. Нелинейность. $\mu$ стали зависит от $B$, и при насыщении $\Rm$ сердечника растёт на порядки.
3. $\Rm$ не рассеивает энергию. В магнитном «сопротивлении» нет потерь; энергия поля запасается, и в зазоре её больше всего.

Цепь с воздушным зазором

Пусть сердечник длиной $l_c$, сечением $S$ и проницаемостью $\mu_r\mu_0$ имеет зазор $g\ll\sqrt S$ того же сечения. Тогда $$R_{\mathrm{м}c}=\frac{l_c}{\mu_r\mu_0S},\qquad R_{\mathrm{м}g}=\frac{g}{\mu_0S},\qquad \frac{R_{\mathrm{м}g}}{R_{\mathrm{м}c}}=\frac{\mu_rg}{l_c}.$$ Зазор длиной $g$ эквивалентен участку стали длиной $\mu_rg$: миллиметр воздуха при $\mu_r=2000$ — это два метра стали.

Зазор делает цепь линейной и предсказуемой: пока он доминирует, свойства стали почти не влияют на поток, индуктивность стабильна, а разброс $\mu_r$ от образца к образцу не важен. Поэтому дроссели и накопительные индуктивности намеренно делают с зазором.

Выпучивание и рассеяние

Линии индукции в зазоре не идут строго параллельно — они расходятся за пределы сечения сердечника. Это выпучивание (краевой эффект зазора). Его учитывают увеличением эффективной площади зазора: для прямоугольного сечения $w\times d$ принимают $$S_{g,\text{эф}}\approx(w+g)(d+g),$$ то есть прибавляют по $g$ с каждой стороны. Поправка эмпирическая и годится при $g\ll w,d$.

Рассеяние — другое явление: часть потока, созданного обмоткой, вообще не доходит до зазора, замыкаясь по воздуху между стержнями сердечника. Поток в стержне под обмоткой оказывается больше потока в зазоре; отношение $k_{\mathrm р}=\Phi_c/\Phi_g>1$ называют коэффициентом рассеяния. В модели цепи рассеяние учитывают дополнительной параллельной проводимостью, но оценить её можно лишь из полевого расчёта или опыта — и именно здесь лаборатория ниже сравнивает цепь с полем.

Нелинейные материалы

Для ферромагнетиков связь $B(H)$ нелинейна и задаётся кривой намагничивания. На ней различают начальную проницаемость $\mu_{\text{нач}}=\lim_{H\to0}B/(\mu_0H)$, максимальную $\mu_{\max}$ (точка касания прямой из начала координат) и область насыщения, где $\dd B/\dd H\to\mu_0$: намагниченность достигла предела, и дальнейший рост $B$ идёт лишь за счёт $\mu_0H$. Электротехнические стали насыщаются при индукции порядка 1,5–1,8 Тл.

Это двухпараметрическая аппроксимация: она монотонна, гладка и правильно ведёт себя в пределах, но не описывает гистерезис и сглаживает «колено» реальной кривой. Для точных расчётов пользуются табличными кривыми конкретной марки стали.

Графическое решение: линия нагрузки

Для цепи с зазором закон полного тока $H_cl_c+H_gg=F$ и непрерывность потока $B_cS=B_gS_g$ (при $S_g=S$ и пренебрежении выпучиванием $B_g=B_c=B$, $H_g=B/\mu_0$) дают $$B=\frac{\mu_0}{g}\,(F-H_cl_c) .$$ В плоскости $(H,B)$ это прямая — линия нагрузки (линия зазора): она пересекает ось $B$ в точке $\mu_0F/g$ (весь зазор, сталь идеальна) и ось $H$ в точке $F/l_c$ (вся МДС на стали). Рабочая точка — пересечение линии нагрузки с кривой $B(H)$ материала.

Итерационное решение

Численно задачу решают простыми итерациями (метод Пикара): задаём $B^{(0)}=\mu_0F/g$, находим по кривой $H_c^{(0)}=H(B^{(0)})$, вычитаем падение МДС на стали, $B^{(1)}=\mu_0(F-H_c^{(0)}l_c)/g$, и повторяем. Для примера выше: $1{,}257\to1{,}083\to1{,}143\to1{,}126\to1{,}131\to1{,}129\to1{,}130$ Тл — сходимость за несколько шагов, с множителем сжатия $(l_c/g)/\mu_{r,\text{диф}}\approx0{,}3$, где $\mu_{r,\text{диф}}=(\dd B/\dd H)/\mu_0\approx1000$ — дифференциальная проницаемость в рабочей точке. Для цепи без зазора или с глубоким насыщением такая схема сходится плохо, и применяют метод Ньютона с дифференциальной проницаемостью $\dd B/\dd H$.

Постоянные магниты

Ферромагнетик с гистерезисом после снятия внешнего поля сохраняет намагниченность. Петля гистерезиса в плоскости $(H,B)$ характеризуется остаточной индукцией $B_r$ (при $H=0$) и коэрцитивной силой $H_{cB}$ (при $B=0$; индекс $B$ отличает её от напряжённости в сердечнике $H_c$). Магнит работает во втором квадранте — на кривой размагничивания, где $B>0$, а $H<0$: напряжённость внутри магнита направлена против индукции.

Для магнитов типа неодим–железо–бор характерны $B_r\approx1{,}2$ Тл, $\mu_{\text{rec}}\approx1{,}05$, откуда $|H_{cB}|=1{,}2/(1{,}257\cdot10^{-6}\cdot1{,}05)\approx909$ кА/м. Линейная модель верна, пока $H$ не выходит за «колено» кривой размагничивания; за ним магнит необратимо теряет часть намагниченности.

Рабочая точка магнита с зазором

Магнит длиной $l_m$ и сечением $S_m$ замкнут идеальным ($\mu\to\infty$) сердечником с зазором $g$ сечением $S_g$; обмотки нет. Закон полного тока: $H_ml_m+H_gg=0$. Непрерывность потока: $B_mS_m=\mu_0H_gS_g$. Исключая $H_g$: $$B_m=-\mu_0\frac{l_m}{g}\frac{S_g}{S_m}H_m .$$ Это линия нагрузки магнита — прямая через начало координат с отрицательным наклоном; её крутизна определяется только геометрией (проводимостью внешней цепи). Рабочая точка — пересечение с кривой размагничивания.

Энергетическое произведение

Энергия поля в зазоре $W_g=\tfrac12B_gH_gS_gg$. Пользуясь двумя уравнениями цепи, $B_gS_g=B_mS_m$ и $H_gg=-H_ml_m$, получаем $W_g=\tfrac12B_m|H_m|\,S_ml_m=\tfrac12B_m|H_m|V_m$: энергия в зазоре равна половине произведения $B_m|H_m|$ на объём магнита. Для заданной энергии в зазоре объём магнита минимален, когда рабочая точка лежит в максимуме $(BH)$ — энергетического произведения. Для линейной модели максимум достигается при $B_m=B_r/2$, $|H_m|=|H_{cB}|/2$: $$(BH)_{\max}=\frac{B_r^2}{4\mu_0\mu_{\text{rec}}}=\frac{1{,}44}{4\cdot1{,}257\cdot10^{-6}\cdot1{,}05}\approx2{,}7\cdot10^5\ \text{Дж/м}^3=270\ \text{кДж/м}^3 .$$ Подставляя рабочую точку $B_m=B_r/2$ в уравнение линии нагрузки, находим условие оптимума $(l_m/g)(S_g/S_m)=\mu_{\text{rec}}$: при равных сечениях $l_m/g\approx1$, то есть длина магнита должна быть примерно равна длине зазора. В примере выше $l_m/g=5$, рабочая точка лежит высоко ($B_m\approx0{,}83B_r$), и магнит используется неэффективно по объёму, зато с большим запасом по размагничиванию.

Магнит как источник с внутренним сопротивлением

Перепишем линейную модель через поток $\Phi=B_mS_m$: $$H_ml_m=\frac{(B_m-B_r)l_m}{\mu_0\mu_{\text{rec}}}=\Phi\,\frac{l_m}{\mu_0\mu_{\text{rec}}S_m}-\frac{B_rl_m}{\mu_0\mu_{\text{rec}}}=\Phi R_{\mathrm{м}m}-F_m .$$ Падение МДС на магните складывается из падения на его внутреннем магнитном сопротивлении $R_{\mathrm{м}m}=l_m/(\mu_0\mu_{\text{rec}}S_m)$ и собственной МДС $F_m=|H_{cB}|\,l_m$. Закон полного тока для цепи с магнитом принимает вид $F_m=\Phi(R_{\mathrm{м}m}+R_{\mathrm{м},\text{внеш}})$ — обычная цепь с источником $F_m$ и внутренним сопротивлением. В примере: $F_m=909\cdot10^3\cdot0{,}01=9095$ А, и $B_m=F_m/[S_m(R_{\mathrm{м}m}+R_{\mathrm{м}g})]=9095/(0{,}01/1{,}319\cdot10^{-6}+0{,}002/1{,}257\cdot10^{-6})=0{,}992$ Тл — тот же результат. Эквивалентно можно ввести источник потока $\Phi_r=B_rS_m$ с параллельной проводимостью $1/R_{\mathrm{м}m}$. «Внутреннее сопротивление» объясняет, почему магнит не является источником постоянного потока: чем больше внешнее сопротивление (зазор), тем меньше поток — ровно как у гальванического элемента с нагрузкой.

Сила в зазоре

Энергия, запасённая в зазоре, зависит от его длины, а значит, на якорь действует сила. Для одного зазора (одного торца якоря) с индукцией $B_g$ и эффективной площадью $S_g$ (вывод методом виртуальной работы — в уроке об энергии и силах) $$F_1=\frac{B_g^2S_g}{2\mu_0} .$$ Давление $B_g^2/(2\mu_0)$ при $B_g=1$ Тл равно $3{,}98\cdot10^5$ Па $\approx0{,}4$ МПа. Для цепи из первого примера без выпучивания ($B_g=1{,}09$ Тл, $S_g=S=4\cdot10^{-4}$ м²): $F_1=1{,}09^2\cdot4\cdot10^{-4}/(2\cdot1{,}257\cdot10^{-6})=190$ Н; с поправкой на выпучивание ($B_g=1{,}08$ Тл, $S_g=4{,}41\cdot10^{-4}$ м²) — $204$ Н. Если якорь замыкает два зазора (как в лаборатории; заметим, что при учёте выпучивания площадь $S_g$ зависит от $g$, и оценка $-\partial W'/\partial g$ отличается от $B_g^2S_g/\mu_0$ на величину порядка $g/w$ ниже), силы на двух торцах складываются: $F=2F_1=B_g^2S_g/\mu_0$. Из-за квадратичной зависимости от $B$ сила резко падает с ростом зазора, и сердечники стремятся загнать в область 1–1,5 Тл.

Границы модели цепи

Модель цепи опирается на допущения, каждое из которых в реальном устройстве нарушается в той или иной мере.

• Рассеяние. Поток в стержне под обмоткой больше потока в зазоре; индуктивность, рассчитанная по цепи, занижена, а индукция в сердечнике — недооценена.
• Выпучивание. Поправка $+g$ на сторону — грубая; при $g$, сравнимом с размером сечения, она непригодна, и поле у зазора трёхмерно.
• Неоднородность $B$ по сечению. В тороиде $B\propto1/r$; на внутренних углах С-образного сердечника линии сгущаются, и локальная индукция может превышать среднюю на десятки процентов — углы насыщаются первыми, хотя по средней индукции сталь ещё линейна. Само понятие средней длины $l_c$ условно.
• Трёхмерность. Обмотка выступает за сердечник, поток рассеяния частично замыкается вне плоскости чертежа; плоская модель этого не видит.
• Переменное поле. В сердечнике возникают вихревые токи и гистерезисные потери, а распределение $B$ по сечению зависит от частоты — предмет следующего модуля.

Полевая модель — решение уравнения $\nabla\cdot (\nu\nabla A_z)=-J_z$ с реальной кривой $B(H)$ — снимает первые четыре ограничения: она показывает распределение индукции, локальное насыщение, пути рассеяния и даёт силу интегрированием тензора натяжений. Цепь остаётся инструментом быстрой оценки и проверки порядка величин.

Лаборатория

Лаборатория сопоставляет два источника данных для одной и той же системы. Аналитическая модель цепи: П-образное ярмо с якорем и двумя зазорами по $g$ каждый, катушка на левом стержне; параметры — ток $I$, число витков $N$, зазор $g$, глубина $d$ (ширина стержня $w=30$ мм и средняя длина $l_c=0{,}44$ м фиксированы); материал — линейный ($\mu_r$) или нелинейная сталь с кривой $B$–$H$ по аппроксимации Фрёлиха–Кеннелли ($B_s$ регулируется, по умолчанию $1{,}75$ Тл, $H_k=350$ А/м); поправка на выпучивание $S_g=(w+g)(d+g)$. Закон полного тока записан как $Ni=H_cl_c+2gB_g/\mu_0$. Выводятся $\Phi$, $B$ в зазоре и в стали, $H$ и $\mu_r$ стали в рабочей точке, МДС на зазорах $2gH_g$ (и её доля) и на стали $H_cl_c$, $\Psi=N\Phi$, секущая и дифференциальная индуктивности, энергия $W$ и коэнергия $W'$, сила на якорь $B_g^2S_g/\mu_0$ (два торца) и та же сила как $-\partial W'/\partial g$. Численная модель: плоская двумерная конечно-элементная задача для $A_z$ (линейные треугольники, итерации Ньютона (демпфированного, с касательной проницаемостью) для нелинейности) для того же сечения с глубиной $d$; показаны карта $|\uB|$, линии потока как изолинии $A_z$, потоки в обоих зазорах и в ярме, рассеяние $1-\Phi_{\text{зазор}}/\Phi_{\text{ярмо}}$, энергия поля и сила по тензору Максвелла. Кнопки задают режим насыщения ($I=10$ А) и малый зазор $0{,}5$ мм. Графики: $\Psi(I)$ и кривая $B$–$H$ материала с рабочей точкой.

Открыть опыт: Магнитная цепь с воздушным зазором

Что сравнить:

• Поток в зазоре по цепи и по полю при малом и большом зазоре: расхождение растёт с $g$ — это рассеяние и выпучивание, которых цепь не видит или учитывает приближённо.
• Карту $|\uB|$ у внутренних углов сердечника: локальная индукция выше средней; включите нелинейную сталь и проследите, где насыщение наступает раньше.
• Кривую $\Psi(I)$: линейную при малых токах и загибающуюся при насыщении; наклон секущей и касательной — две разные индуктивности. Положение рабочей точки на кривой $B$–$H$ при изменении зазора: чем он больше, тем «линейнее» режим.

Плоская модель не является трёхмерной: рассеяние вне плоскости сечения в ней отсутствует, и это следует помнить при интерпретации расхождений.

Итоги

• Магнитная цепь — следствие закона полного тока и сохранения потока: $F=Ni=\Phi\sum\Rm$, $\Rm=l/(\mu S)$; аналогия с электрической цепью полезна, но неполна — нет магнитных изоляторов, есть нелинейность.
• Зазор доминирует: при $\mu_r=2000$, $l_c=0{,}3$ м, $g=1$ мм на зазор приходится 87 % МДС; он линеаризует цепь и запасает энергию. Выпучивание учитывают поправкой к площади, рассеяние — только полевым расчётом или опытом.
• Нелинейность стали описывает кривая $B(H)$ (аппроксимация Фрёлиха–Кеннелли — удобная двухпараметрическая модель); рабочую точку находят пересечением с линией нагрузки или итерациями.
• Постоянный магнит на линейном участке размагничивания $B=B_r+\mu_0\mu_{\text{rec}}H$ эквивалентен источнику МДС $|H_{cB}|l_m$ с внутренним сопротивлением $l_m/(\mu_0\mu_{\text{rec}}S_m)$; рабочая точка задаётся линией нагрузки, оптимум по объёму — в максимуме $(BH)$.
• Модель цепи не видит рассеяния, выпучивания, неоднородности $B$ и локального насыщения углов; полевой расчёт эти эффекты показывает, а сила $B_g^2S_g/(2\mu_0)$ на торец — лишь первая оценка.

Далее — электромагнитная индукция и фазоры: что происходит с магнитной цепью, когда ток становится переменным.