Занятие 2.2

Поток, интегралы и дивергенция

Цель и задачи

Цель. Связать дивергенцию с потоком через контрольную поверхность.

Задачи

Для F=(x,y,z) найдите поток через поверхность куба с ребром 2 и внешней нормалью.
Сопоставьте аналитическое значение с показаниями визуальной лаборатории.

Что нужно вспомнить перед началом

2.1 · Поля, координаты и градиент

Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.

Место занятия в инженерной методике

Теоретическое занятие с количественной проверкой · Выбор наблюдаемых величин и проверка интегрального закона

Инженерный вопрос. Как поток, делённый на объём, приближается к локальной дивергенции?

Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.

Последовательность решения, отчёт и критерии результата

Пространственное исследование и аналитическая количественная проверка подготавливают последующий расчёт FEMM.

Последовательность решения

Обосновать постановку и способ измерения. Определите ориентацию контура или поверхности, охватываемые источники и геометрический множитель. Закон связывает измеряемую величину с независимым источником.
Контрольный пример. Проверьте знаки и единицы интегрального закона на разобранной геометрии.
Исследование поля и интерпретация результата. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сравните два размера объёма и потоки через его шесть граней.
Ответить на вопрос по своим результатам. Приведите результаты к одинаковым единицам и ориентации; вычислите невязку независимых способов измерения.

Что включить в отчёт

Результат этого занятия. Таблица потоков граней, объёмов и локальных значений дивергенции.

Данные именно этого опыта. Сравните два размера объёма и потоки через его шесть граней.

Оформление наблюдений. Контур или область интегрирования, ориентация, точечные и интегральные величины раздельно, источник и невязка закона.

Как обосновать результат

Проверка из практикума. Учитывайте шесть граней и внешнюю нормаль; поток отличается от плотности потока.

Независимый контроль. Сопоставьте интеграл с источником или суммой потоков, а не с повторным чтением того же интеграла другим именем.

Критерий выполнения. Записаны исходные параметры, ориентация и определение величины. Сохранены два состояния опыта и объяснение различия. Учитывайте шесть граней и внешнюю нормаль; поток отличается от плотности потока.

Точность и расхождения. Нормируйте невязку на физический масштаб источника или потока, объявленный до сравнения. Для баланса около нуля приводите также абсолютную невязку в единицах закона.

Основание сравнения. Используйте интегральный закон и ориентацию контура из теории занятия. Плотность, интеграл по сечению и полный объёмный результат сравнивают после учёта геометрического множителя.

Вывод для устройства

Объясните, даёт ли выбранный интеграл полный параметр устройства или только локальную характеристику его сечения.

Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.

Теория и вывод формул

Учитывайте шесть граней и внешнюю нормаль; поток отличается от плотности потока.

Соглашения об обозначениях и единицах

$i(t)$, $u(t)$ — мгновенные значения; $\widehat I$, $\widehat U$ — комплексные амплитуды; $\underline I_{\text{д}}$, $\underline U_{\text{д}}$ — комплексные действующие значения. Для синусоиды $\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}$; действующее значение тока равно $|\underline I_{\text{д}}|$. Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
$\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S$ — поток через ориентированную поверхность; $\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l$ — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка $\Psi=N\Phi$. Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
$\theta_{\text{м}}$, $\Omega$ (также $\omega_{\text{мех}}$) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники $\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}$, $\omega_{\text{э}}=p\Omega$, где $p$ — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность $L_{\text{ст}}=\Psi/i$ — наклон секущей из начала координат; это определение используется при $\Psi(0)=0$ и $i\ne0$. Динамическая индуктивность $L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i$ — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности $L$. При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.

Указатель формул этого занятия

(2.3) · Контрольное соотношение
(2.4) · Численный пример

Кривые, поверхности и интегралы по ним

От локального к интегральному

Поле задано в каждой точке, но измеряем мы почти всегда интегральные величины: вольтметр показывает напряжение — интеграл напряжённости вдоль пути; амперметр — ток, то есть поток плотности тока через сечение; калориметр — тепло, прошедшее через поверхность. Законы электромагнетизма в той форме, в какой они были открыты экспериментально, — законы Гаусса, Ампера, Фарадея — тоже сформулированы через интегралы по поверхностям и контурам. Поэтому прежде чем переходить к дифференциальным операторам, нужно научиться задавать кривые и поверхности, выбирать их ориентацию и вычислять интегралы по ним. Строгое изложение можно найти в [Фихтенгольц] и [Кочин]; здесь акцент сделан на геометрическом и физическом смысле.

Кривые и их ориентация

Параметризация кривой

Кривая $L$ задаётся векторной функцией $\ur(t)$ , $t\in[t_1,t_2]$ . Производная $\dd\ur/\dd t$ — касательный вектор; элемент длины $\dd l=|\dd\ur/\dd t|\,\dd t$ ; ориентированный элемент $\dl=(\dd\ur/\dd t)\,\dd t=\vec\tau\,\dd l$ , где $\vec\tau$ — единичный касательный вектор. Ориентация кривой — выбор направления движения по ней (направления $\vec\tau$ ); смена ориентации меняет знак $\dl$ . Кривая называется замкнутой (контуром), если $\ur(t_1)=\ur(t_2)$ .

В цилиндрических координатах $\dl=\dd r\,\vec e_r+r\,\dd\alpha\,\vec e_\alpha+\dd z\,\vec e_z$ . Для окружности радиуса $R$ в плоскости $z=\mathrm{const}$ с обходом в сторону роста $\alpha$ : $\dl=R\,\dd\alpha\,\vec e_\alpha$ , $\dd l=R\,\dd\alpha$ , длина $\oint\dd l=2\pi R$ .

Поверхности, нормаль и ориентация

Параметризация поверхности и нормаль

Поверхность $S$ задаётся функцией двух параметров $\ur(u,v)$ . Векторы $\partial\ur/\partial u$ и $\partial\ur/\partial v$ касательны к поверхности, их векторное произведение перпендикулярно ей. Единичная нормаль и элемент площади: $\un=\pm\frac{\partial\ur/\partial u\times\partial\ur/\partial v}{|\partial\ur/\partial u\times\partial\ur/\partial v|},\qquad \dS=\Bigl|\frac{\partial\ur}{\partial u}\times\frac{\partial\ur}{\partial v}\Bigr|\,\dd u\,\dd v .$ Ориентированный элемент поверхности — вектор $\un\,\dS$ . Ориентация поверхности — выбор одной из двух сторон, то есть знака нормали.

Для поверхности, заданной уравнением $g(x,y,z)=0$ , нормаль пропорциональна градиенту: $\un\parallel\nabla g$ — это будет доказано в уроке о градиенте. Для координатных поверхностей цилиндрической системы нормали и элементы площади уже известны из предыдущего урока: на боковой поверхности цилиндра $\un=\vec e_r$ , $\dS=r\,\dd\alpha\,\dd z$ ; на торце $\un=\pm\vec e_z$ , $\dS=r\,\dd r\,\dd\alpha$ .

Соглашения об ориентации

Для замкнутой поверхности (ограничивающей объём $V$ ) нормаль выбирается внешней — направленной из объёма наружу.
Для незамкнутой поверхности с краем $L$ направления нормали $\un$ и обхода контура $L$ связаны правилом правого винта: при взгляде с конца $\un$ обход виден против хода часовой стрелки. Задание ориентации контура индуцирует ориентацию поверхности и наоборот.
На границе двух сред нормаль, если не сказано иное, направлена из среды 1 в среду 2.

Правило 2 определяет знак потока через поверхность, натянутую на контур, и, следовательно, знак ЭДС в законе Фарадея. В лабораториях курса ориентация задаётся явно: нормаль — стрелкой, обход — стрелкой на контуре; переключатель ориентации меняет оба направления согласованно.

Линейные интегралы

Линейный интеграл скалярного поля

$\int_L f\,\dd l=\int_{t_1}^{t_2}f(\ur(t))\,\Bigl|\frac{\dd\ur}{\dd t}\Bigr|\,\dd t .$ Не зависит от ориентации. Примеры: длина кривой ( $f=1$ ), заряд нити с линейной плотностью $\tau$ : $Q=\int_L\tau\,\dd l$ .

Линейный интеграл векторного поля

$\int_L\vec F\cdot\dl=\int_L F_\tau\,\dd l=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(\ur(t))\cdot\frac{\dd\ur}{\dd t}\,\dd t,$ где $F_\tau=\vec F\cdot\vec\tau$ — касательная составляющая. Интеграл меняет знак при смене ориентации. По замкнутому контуру он называется циркуляцией и обозначается $\oint_L\vec F\cdot\dl$ .

Физический смысл линейного интеграла — работа. Если $\vec F$ — сила, то $\int_L\vec F\cdot\dl$ — работа на пути $L$ ; вклад даёт только касательная к пути составляющая силы. Для электрического поля работа над единичным зарядом есть напряжение: $U_{AB}=\int_A^B\uE\cdot\dl\quad(\text{В}).$ В электростатике это напряжение не зависит от пути, и $U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B$ ; в переменном поле оно зависит от пути, и говорить о «напряжении между точками» без указания пути нельзя. Циркуляция напряжённости магнитного поля $\oint_L\uH\cdot\dl$ (А) называется магнитодвижущей силой и по закону полного тока равна току, охваченному контуром; циркуляция $\uE$ — ЭДС, наведённой в контуре.

Циркуляция измеряет, насколько поле «закручено» вдоль контура: она положительна, если поле в среднем направлено по обходу, отрицательна — если против, и равна нулю, если участки, где поле помогает движению, точно компенсируются участками, где оно мешает. Поле, циркуляция которого равна нулю по любому контуру, называется потенциальным; к этому мы вернёмся в уроке о роторе.

Поверхностные интегралы и поток

Поверхностный интеграл скалярного поля

$\int_S f\,\dS=\iint f(\ur(u,v))\,\Bigl|\frac{\partial\ur}{\partial u}\times\frac{\partial\ur}{\partial v}\Bigr|\,\dd u\,\dd v .$ Не зависит от ориентации. Примеры: площадь ( $f=1$ ), заряд поверхности с плотностью $\sigma_s$ : $Q=\int_S\sigma_s\,\dS$ .

Поток векторного поля

$\Phi_F=\int_S\vec F\cdot\un\,\dS=\int_S F_n\,\dS,$ где $F_n=\vec F\cdot\un$ — нормальная составляющая. Поток меняет знак при смене ориентации (стороны) поверхности. Единица: [единица $\vec F$ ]·м².

Слово «поток» заимствовано из гидродинамики: если $\vec F$ — скорость жидкости, то $\int_S\vec F\cdot\un\,\dS$ — объём жидкости, проходящий через поверхность за единицу времени. В теории поля ничего не течёт, но образ сохраняется: поток показывает, «сколько поля» пронизывает поверхность. Через поверхность, параллельную полю, поток равен нулю; через поверхность, перпендикулярную полю, он максимален. Вклады участков, где $F_n>0$ и $F_n<0$ , складываются со знаками, поэтому через замкнутую поверхность в однородном поле поток равен нулю — всё, что вошло, вышло.

Поле	Поток	Единица	Смысл
$\uD$	$\oint_S\uD\cdot\un\,\dS=Q$	Кл	поток смещения через замкнутую поверхность равен свободному заряду внутри (теорема Гаусса)
$\uB$	$\Phi=\int_S\uB\cdot\un\,\dS$	Вб	магнитный поток; через замкнутую поверхность всегда нуль
$\uJ$	$I=\int_S\uJ\cdot\un\,\dS$	А	ток через сечение $S$
$\uq$	$P=\int_S\uq\cdot\un\,\dS$	Вт	тепловой поток (мощность) через поверхность

Ток — не что иное, как поток плотности тока; эта точка зрения позволяет рассматривать проводник с неравномерным распределением $\uJ$ по сечению (скин-эффект) тем же способом, что и однородный провод.

Объёмные интегралы

Объёмный интеграл

$\int_V f\,\dV=\iiint f\,\dd x\,\dd y\,\dd z=\iiint f\,r\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z .$ Ориентации не имеет. Примеры: заряд в объёме $Q=\int_V\rho\,\dV$ ; энергия электрического поля $W_{\mathrm э}=\tfrac12\int_V\uE\cdot\uD\,\dV$ ; мощность потерь $P=\int_V\uJ\cdot\uE\,\dV$ ; тепловая мощность $\int_Vq_V\,\dV$ , где $q_V$ — объёмное тепловыделение (Вт/м³).

Объёмный интеграл от векторного поля вычисляется покомпонентно — но только в декартовом базисе, так как цилиндрические базисные векторы нельзя вынести за знак интеграла.

Разобранные примеры

Поток однородной индукции через наклонённый виток

Круглый виток радиуса $R=5$ см помещён в однородное поле $\uB$ , $B=0{,}2$ Тл. Нормаль к плоскости витка образует с $\uB$ угол $\theta=60°$ . Нормальная составляющая $B_n=B\cos\theta$ одинакова во всех точках плоского витка, поэтому $\Phi=\int_S\uB\cdot\un\,\dS=B\cos\theta\cdot\pi R^2=0{,}2\cdot0{,}5\cdot\pi\cdot(0{,}05)^2=0{,}1\cdot7{,}854\cdot10^{-3}=7{,}85\cdot10^{-4}\ \text{Вб}.$ При $\theta=0$ поток максимален: $1{,}57\cdot10^{-3}$ Вб; при $\theta=90°$ — нуль; при $\theta=120°$ он равен $-7{,}85\cdot10^{-4}$ Вб — знак определяется выбором нормали. Если виток повернуть так, чтобы его нормаль смотрела в противоположную сторону, поток сменит знак, а вместе с ним и знак ЭДС при изменении $B$ .

Ток через провод с неравномерной плотностью тока

В круглом проводе радиуса $a=2$ мм плотность тока направлена вдоль оси и спадает от оси к поверхности по закону $J_z(r)=J_0(1-r^2/a^2)$ , $J_0=2\cdot10^{6}$ А/м². Сечение — круг, $\un=\vec e_z$ , $\dS=r\,\dd r\,\dd\alpha$ : $I=\int_S\uJ\cdot\un\,\dS=\int_0^{2\pi}\dd\alpha\int_0^a J_0\Bigl(1-\frac{r^2}{a^2}\Bigr)r\,\dd r =2\pi J_0\Bigl[\frac{a^2}{2}-\frac{a^4}{4a^2}\Bigr]=\frac{\pi J_0a^2}{2}.$ Численно $I=\pi\cdot2\cdot10^6\cdot4\cdot10^{-6}/2=4\pi\approx12{,}6$ А. При однородной плотности $J_0$ по тому же сечению ток был бы $J_0\pi a^2\approx25{,}1$ А — вдвое больше. Обратите внимание на множитель $r$ в $\dS$ : без него интеграл дал бы величину неверной размерности.

Циркуляция поля прямого тока

Напряжённость магнитного поля вокруг бесконечного прямого провода с током $I$ : $\uH=\dfrac{I}{2\pi r}\vec e_\alpha$ . Вычислим циркуляцию по окружности радиуса $R$ с центром на оси, обход по $\vec e_\alpha$ : $\dl=R\,\dd\alpha\,\vec e_\alpha$ , $\oint_L\uH\cdot\dl=\int_0^{2\pi}\frac{I}{2\pi R}\,R\,\dd\alpha=I .$ Результат не зависит от $R$ — это закон полного тока для данной геометрии. При $I=100$ А и $R=2$ см напряжённость $H=100/(2\pi\cdot0{,}02)\approx796$ А/м, а циркуляция $796\cdot2\pi\cdot0{,}02=100$ А. При обратном обходе циркуляция равна $-100$ А.

Напряжение в однородном поле по разным путям

Между пластинами плоского конденсатора $\uE=E_0\vec e_x$ , $E_0=5$ кВ/м, расстояние между пластинами $d=2$ мм. Напряжение вдоль прямой от пластины $A$ ( $x=0$ ) к пластине $B$ ( $x=d$ ): $U_{AB}=\int_0^dE_0\,\dd x=E_0d=10$ В. По ломаному пути $A\to C\to B$ , где участок $AC$ идёт вдоль $\vec e_y$ на расстояние $3$ мм, а $CB$ — наклонно к $B$ : на $AC$ подынтегральное выражение $\uE\cdot\dl=E_0\vec e_x\cdot\dd y\,\vec e_y=0$ ; на $CB$ смещение $\dl=\dd x\,\vec e_x+\dd y\,\vec e_y$ даёт $\int E_0\,\dd x=E_0d=10$ В. Напряжение одно и то же — признак потенциального поля.

Типичные ошибки

Поток как произведение $B\cdot S$ . Формула $\Phi=BS$ верна только для однородного поля и плоской поверхности, перпендикулярной ему. В общем случае нужны $\cos\theta$ и интеграл.
Потерянный знак. Поток и циркуляция имеют знак, определяемый ориентацией. Фраза «поток через поверхность равен 2 мВб» без указания нормали неполна, если поверхность незамкнута.
$\dS=\dd r\,\dd\alpha$ в цилиндрических координатах. Правильно $r\,\dd r\,\dd\alpha$ на торце и $r\,\dd\alpha\,\dd z$ на боковой поверхности.
Замена $\vec F\cdot\dl$ на $F\,\dd l$ . Вклад даёт только касательная составляющая; на участках, где поле перпендикулярно пути, интеграл равен нулю, даже если поле велико.
Вынос $\vec e_r$ за знак интеграла. Интеграл $\int\vec F\,\dS$ от вектора в цилиндрическом базисе нельзя вычислять как $\vec e_r\int F_r\,\dS$ : направление $\vec e_r$ меняется по поверхности.

Вопросы и упражнения

Вычислите поток поля $\vec F=x\vec e_x+y\vec e_y$ через боковую поверхность цилиндра $r=a$ , $0\le z\le h$ с внешней нормалью. Чему равен поток через торцы? Чему — полный поток через замкнутую поверхность цилиндра?
Поле $\uE=E_0\vec e_y$ . Найдите $\int_L\uE\cdot\dl$ вдоль четверти окружности радиуса $R$ от точки $(R,0)$ до $(0,R)$ и вдоль отрезка, соединяющего те же точки. Объясните совпадение.
Поверхностная плотность заряда на диске радиуса $a$ зависит от расстояния до центра: $\sigma_s=\sigma_{s0} r/a$ . Найдите полный заряд диска. При $\sigma_{s0}=10$ мкКл/м², $a=5$ см вычислите $Q$ .
Плотность теплового потока на поверхности цилиндрической трубы радиуса $r_0=2$ см и длины $\ell=1$ м равна $q=1500$ Вт/м² (радиально наружу). Найдите тепловой поток $P$ через поверхность трубы.
Вычислите циркуляцию поля $\vec F=-y\vec e_x+x\vec e_y$ по окружности радиуса $R$ с центром в начале координат (обход против часовой стрелки при взгляде с конца $\vec e_z$ ). Как изменится результат при смещении центра окружности на вектор $(x_0,y_0)$ ? Сделайте вывод о «закрученности» этого поля.
Почему ток $I=\int_S\uJ\cdot\un\,\dS$ через два разных сечения одного и того же провода в стационарном режиме одинаков? Какое интегральное свойство $\uJ$ при этом используется?

Ответы к пунктам 1, 3 и 5

1. На боковой поверхности $\un=\vec e_r$ , $\vec F=r\vec e_r=a\vec e_r$ , $F_n=a$ , $\dS=a\,\dd\alpha\,\dd z$ : $\Phi=a\cdot2\pi a h=2\pi a^2h$ . На торцах $\un=\pm\vec e_z$ , $F_z=0$ — поток нуль. Полный поток $2\pi a^2h$ , то есть удвоенный объём цилиндра; в следующих уроках это объяснится через $\nabla\cdot \vec F=2$ .

3. $Q=\int_0^{2\pi}\dd\alpha\int_0^a\sigma_{s0}\dfrac{r}{a}\,r\,\dd r=2\pi\sigma_{s0}\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{2\pi}{3}\sigma_{s0}a^2$ . Численно $Q=\dfrac{2\pi}{3}\cdot10^{-5}\cdot2{,}5\cdot10^{-3}=5{,}24\cdot10^{-8}$ Кл $\approx52$ нКл.

5. На окружности $\vec F=R\vec e_\alpha$ , $\dl=R\,\dd\alpha\,\vec e_\alpha$ , циркуляция $\oint\vec F\cdot\dl=2\pi R^2$ . При смещении центра результат не меняется (прямая проверка: $\oint(-y\,\dd x+x\,\dd y)$ по окружности равна удвоенной площади круга независимо от положения). Поле закручено одинаково во всех точках — это твёрдотельное вращение, его «плотность вихря» постоянна.

Итоги

Кривая и поверхность задаются параметрически; $\dl=\vec\tau\,\dd l$ , $\un\,\dS$ — ориентированные элементы, их знак определяется выбранной ориентацией.
Нормаль к замкнутой поверхности — внешняя; обход контура и нормаль к натянутой поверхности связаны правилом правого винта.
Линейный интеграл $\int\vec F\cdot\dl$ — работа; для $\uE$ это напряжение, по замкнутому контуру — циркуляция (ЭДС, МДС).
Поверхностный интеграл $\int\vec F\cdot\un\,\dS$ — поток; так определяются поток смещения, магнитный поток, ток и тепловой поток.
Объёмные интегралы дают заряд, энергию, мощность; в цилиндрических координатах $\dV=r\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z$ .

Далее — градиент и производная по направлению: первый из дифференциальных операторов, связывающий скалярное поле с векторным.

Дивергенция и поток

Где рождается поле

Линии электрического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных; линии магнитной индукции не начинаются и не заканчиваются нигде; линии плотности тока в стационарном режиме замкнуты, а при зарядке конденсатора обрываются на его пластинах, где накапливается заряд. Во всех этих утверждениях речь идёт об одном: есть ли в данной точке источник поля — место, где поле возникает или исчезает. Величина, количественно описывающая плотность источников, называется дивергенцией.

Ключ к определению — поток через замкнутую поверхность, введённый в уроке об интегралах. Если из малого объёма выходит больше поля, чем входит, внутри есть источник; если входит больше, чем выходит, — сток. Разделив избыток выходящего потока на объём и стянув объём к точке, получим локальную характеристику.

Определение

Дивергенция

Пусть $\vec F(\ur)$ — дифференцируемое векторное поле, $V$ — объём, содержащий точку $\ur$ и ограниченный замкнутой поверхностью $S$ с внешней нормалью $\un$ . Дивергенцией поля в точке $\ur$ называется предел $\nabla\cdot \vec F=\nabla\cdot\vec F=\lim_{V\to0}\frac{1}{V}\oint_S\vec F\cdot\un\,\dS .$ Это скаляр. Единица — [единица $\vec F$ ]/м. Предел не зависит от формы объёма, стягиваемого к точке.

Определение не упоминает координат, поэтому дивергенция — истинный скаляр, одинаковый в любой системе координат. Его знак имеет ясный смысл: $\nabla\cdot \vec F>0$ — в точке источник (поле «рождается»), $\nabla\cdot \vec F<0$ — сток, $\nabla\cdot \vec F=0$ — поле проходит через окрестность точки, не возникая и не исчезая. Поле, у которого дивергенция равна нулю всюду, называют соленоидальным (бездивергентным).

Вывод формулы в декартовых координатах

Возьмём в качестве $V$ малый прямоугольный параллелепипед с центром в точке $(x,y,z)$ и рёбрами $\dd x,\dd y,\dd z$ , параллельными осям. Его шесть граней попарно перпендикулярны осям координат.

Дивергенция в декартовых координатах

Рассмотрим две грани, перпендикулярные оси $x$ . На правой грани (центр в $x+\dd x/2$ ) внешняя нормаль $\un=\vec e_x$ , нормальная составляющая $F_x(x+\dd x/2,y,z)$ , площадь $\dd y\,\dd z$ . На левой грани $\un=-\vec e_x$ , вклад равен $-F_x(x-\dd x/2,y,z)\,\dd y\,\dd z$ . Сумма по двум граням: $\bigl[F_x(x+\tfrac{\dd x}{2},y,z)-F_x(x-\tfrac{\dd x}{2},y,z)\bigr]\dd y\,\dd z\approx\frac{\partial F_x}{\partial x}\,\dd x\,\dd y\,\dd z .$ Аналогично для граней, перпендикулярных осям $y$ и $z$ . Полный поток через поверхность параллелепипеда $\oint_S\vec F\cdot\un\,\dS\approx\Bigl(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}\Bigr)\dd x\,\dd y\,\dd z .$ Разделив на объём $\dV=\dd x\,\dd y\,\dd z$ и перейдя к пределу, получаем $\nabla\cdot \vec F=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z} .$

Вывод показывает, что в поток через пару противоположных граней входит не само поле, а его приращение между гранями: однородное поле, каким бы сильным оно ни было, даёт нулевой поток через замкнутую поверхность и нулевую дивергенцию. Формальная запись $\nabla\cdot\vec F$ подчёркивает, что дивергенция — «скалярное произведение» оператора $\nabla=\vec e_x\partial_x+\vec e_y\partial_y+\vec e_z\partial_z$ на вектор поля. В декартовом базисе это буквально так, потому что базисные векторы постоянны.

Дивергенция в цилиндрических координатах

В цилиндрических координатах базис зависит от точки, и простая формула «сумма производных компонент» неверна. Повторим вывод для элементарного объёма, ограниченного поверхностями $r$ и $r+\dd r$ , $\alpha$ и $\alpha+\dd\alpha$ , $z$ и $z+\dd z$ ; его объём $\dV=r\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z$ .

Дивергенция в цилиндрических координатах

Грани $r=\mathrm{const}$ имеют разную площадь: внутренняя $r\,\dd\alpha\,\dd z$ , внешняя $(r+\dd r)\,\dd\alpha\,\dd z$ . Поток через них $\bigl[(r+\dd r)F_r(r+\dd r)-rF_r(r)\bigr]\dd\alpha\,\dd z\approx\frac{\partial(rF_r)}{\partial r}\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z .$ Грани $\alpha=\mathrm{const}$ имеют одинаковую площадь $\dd r\,\dd z$ , поток $\dfrac{\partial F_\alpha}{\partial\alpha}\,\dd\alpha\,\dd r\,\dd z$ ; грани $z=\mathrm{const}$ — площадь $r\,\dd r\,\dd\alpha$ , поток $\dfrac{\partial F_z}{\partial z}\,r\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z$ . Складывая и деля на $\dV$ : $\nabla\cdot \vec F=\frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial F_\alpha}{\partial\alpha}+\frac{\partial F_z}{\partial z} .$

Множитель $r$ под знаком производной отражает рост площади боковой поверхности с радиусом: радиальное поле с постоянной компонентой $F_r=F_0$ не является бездивергентным — через внешнюю грань выходит больше, чем входит через внутреннюю, и $\nabla\cdot \vec F=F_0/r$ . Бездивергентным будет поле $F_r\propto1/r$ , у которого убывание модуля точно компенсирует рост площади; это поле заряженной нити. Для осесимметричных задач ( $\partial/\partial\alpha=0$ ) остаются первое и третье слагаемые; подробный вывод в произвольных криволинейных координатах — в [Борисенко] и [Кочин].

Дивергенция в уравнениях поля

Все локальные законы сохранения — а электродинамика и теплопроводность пронизаны ими — записываются через дивергенцию.

Уравнение	Название	Смысл
$\nabla\cdot \uD=\rho$	теорема Гаусса (дифференциальная форма)	источники электрического смещения — свободные заряды, Кл/м³
$\nabla\cdot \uB=0$	соленоидальность индукции	магнитных зарядов нет; линии $\uB$ не имеют концов
$\nabla\cdot \uJ=-\dfrac{\partial\rho}{\partial t}$	уравнение непрерывности	ток вытекает из точки лишь за счёт убыли заряда в ней; в стационарном режиме $\nabla\cdot \uJ=0$
$\nabla\cdot \uq=q_V-\rho_mc\dfrac{\partial T}{\partial t}$	баланс энергии	тепловой поток рождается объёмным тепловыделением $q_V$ (Вт/м³) и убылью внутренней энергии ( $\rho_m$ — плотность, $c$ — удельная теплоёмкость); в стационарном режиме $\nabla\cdot \uq=q_V$

Каждое из этих уравнений — утверждение о балансе в бесконечно малом объёме: «вытекло минус втекло равно рождено минус накоплено». Их интегральные аналоги — закон Гаусса, закон сохранения заряда, тепловой баланс — получаются из дифференциальных по теореме Остроградского–Гаусса, которую мы докажем в уроке об интегральных теоремах.

Лаборатория

В лаборатории поле выбирается из заранее заданного набора, а в качестве контрольного объёма служит куб с центром $(x,y,z)$ и ребром $a$ . На гранях куба показаны стрелки нормальной составляющей поля: входящие — синие, выходящие — красные. Для каждой из шести граней выводится поток, затем суммарный поток $\Phi$ , объём $V=a^3$ , отношение $\Phi/V$ , аналитическое значение $\nabla\cdot \vec F$ в центре куба и их разность. Поток вычисляется численно — квадратурой Гаусса по граням аналитически заданного поля.

Что стоит проделать:

Для поля $\vec F=\ur$ сравните потоки через противоположные грани: при центре куба в начале координат они равны и все положительны, при смещённом центре некоторые грани дают отрицательный поток, но сумма по-прежнему равна $3a^3$ .
Для сдвигового поля $\vec F=y\vec e_x$ убедитесь, что поток входит через одну грань и в точности выходит через противоположную, а остальные четыре грани дают нуль; $\Phi/V=0$ при любом $a$ .
Для поля $\vec F=x^2\vec e_x$ переместите центр куба вдоль оси $x$ и проследите, как $\Phi/V$ воспроизводит $\nabla\cdot \vec F=2x$ : отношение $\Phi/V$ есть среднее значение дивергенции по кубу, а среднее линейной функции по симметричному кубу равно её значению в центре, поэтому здесь совпадение точное при любом $a$ .
Для точечного источника $\vec F=\ur/r^3$ установите центр куба вне начала координат: потоки через отдельные грани велики, но сумма равна нулю. Затем сдвиньте куб так, чтобы начало координат оказалось внутри: суммарный поток скачком становится равным $4\pi$ , а $\Phi/V=4\pi/a^3$ растёт при уменьшении $a$ неограниченно — дивергенция в особой точке не определена как обычная функция.

Примеры полей с положительной, отрицательной и нулевой дивергенцией

Радиальное поле и сток

$\vec F=\ur=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$ : $\nabla\cdot \vec F=1+1+1=3$ . Поле исходит из начала координат и растёт по модулю с расстоянием; каждый кубик пространства — источник одинаковой «производительности». Поток через сферу радиуса $R$ : $F_n=R$ , площадь $4\pi R^2$ , $\Phi=4\pi R^3=3V$ — согласуется с определением. Для стока $\vec F=-\ur$ всё меняет знак: $\nabla\cdot \vec F=-3$ .

Расширение вдоль одной оси

$\vec F=x\vec e_x$ : $\nabla\cdot \vec F=1$ . Линии поля — параллельные прямые, они не расходятся, но модуль растёт вдоль линии: из куба через правую грань выходит больше, чем входит через левую. Дивергенция положительна, хотя геометрически линии «не расходятся».

Сдвиг и вращение

$\vec F=y\vec e_x$ : $\nabla\cdot \vec F=\partial y/\partial x=0$ . $\vec F=-y\vec e_x+x\vec e_y$ (твёрдотельное вращение): $\nabla\cdot \vec F=\partial(-y)/\partial x+\partial x/\partial y=0$ . В обоих случаях модуль поля вдоль линии не меняется, а линии не сходятся и не расходятся: ни источников, ни стоков. Оба поля, однако, не являются «простыми» — у них отличен от нуля ротор, которому посвящён следующий урок.

Точечный источник

$\vec F=\dfrac{\ur}{r^3}$ , где здесь $r=|\ur|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ . Компонента $F_x=x\,r^{-3}$ , и $\frac{\partial F_x}{\partial x}=r^{-3}+x\cdot(-3)r^{-4}\frac{x}{r}=\frac{1}{r^3}-\frac{3x^2}{r^5}.$ Суммируя три компоненты: $\nabla\cdot \vec F=\dfrac{3}{r^3}-\dfrac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5}=\dfrac{3}{r^3}-\dfrac{3}{r^3}=0$ при $r\ne0$ . Между тем поток через любую сферу с центром в начале координат равен $(1/R^2)\cdot4\pi R^2=4\pi$ . Противоречия нет: всё поле рождается в единственной точке $r=0$ , где формула теряет смысл. Говорят, что дивергенция этого поля есть «дельта-функция» — величина, равная нулю везде, кроме точки, но имеющая конечный интеграл по любому объёму, содержащему её. Это точная математическая модель точечного заряда: $\uE=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\ur}{r^3}$ , $\nabla\cdot \uE=0$ вне заряда, а поток $\uE$ через охватывающую поверхность равен $q/\varepsilon_0$ [Тамм].

Заряженный слой

В плоском слое с объёмной плотностью заряда $\rho=10^{-6}$ Кл/м³ (вакуум) поле направлено по оси $x$ и по уравнению $\nabla\cdot \uE=\rho/\varepsilon_0$ имеет производную $\frac{\dd E_x}{\dd x}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}=\frac{10^{-6}}{8{,}854\cdot10^{-12}}=1{,}13\cdot10^{5}\ \text{В/м}^2 .$ Если в середине слоя ( $x=0$ ) из симметрии $E_x=0$ , то $E_x(x)=\rho x/\varepsilon_0$ и на расстоянии $x=1$ мм от середины $E_x=1{,}13\cdot10^5\cdot10^{-3}=113$ В/м. Поле нарастает линейно: каждый слой заряда добавляет к потоку свою долю.

Тепловыделение в стержне

В круглом стержне с равномерным объёмным тепловыделением $q_V$ плотность теплового потока радиальна: $\uq=q_r(r)\vec e_r$ . Стационарный баланс $\nabla\cdot \uq=q_V$ в цилиндрических координатах даёт $\dfrac{1}{r}\dfrac{\dd(rq_r)}{\dd r}=q_V$ , откуда $rq_r=q_Vr^2/2$ и $q_r=q_Vr/2$ (при условии конечности $q_r$ на оси). Проверка подстановкой: $\dfrac{1}{r}\dfrac{\dd}{\dd r}\Bigl(\dfrac{q_Vr^2}{2}\Bigr)=\dfrac{1}{r}\,q_Vr=q_V$ . При $q_V=4\cdot10^6$ Вт/м³ (нагруженный медный проводник) на радиусе $r=2$ мм: $q_r=4\cdot10^6\cdot2\cdot10^{-3}/2=4{,}0\cdot10^{3}$ Вт/м². Поток растёт от оси к поверхности, собирая тепло, выделенное внутри.

Типичные ошибки

«Линии расходятся — значит, дивергенция положительна». Контрпример: поле заряженной нити $\vec F=\ur_\perp/r^2=(x\vec e_x+y\vec e_y)/(x^2+y^2)$ . Линии расходятся от оси, но $\partial F_x/\partial x=1/r^2-2x^2/r^4$ , и сумма с $y$ -слагаемым равна $2/r^2-2(x^2+y^2)/r^4=0$ . Расхождение линий компенсируется убыванием модуля. Так же устроено поле $\ur/r^3$ в трёхмерном случае. Дивергенция определяется потоком, а не рисунком.
«Линии параллельны — дивергенция нуль». Контрпример $\vec F=x\vec e_x$ с $\nabla\cdot \vec F=1$ : модуль растёт вдоль прямых линий.
Сумма производных компонент в цилиндрических координатах. Запись $\partial F_r/\partial r+\partial F_\alpha/\partial\alpha+\partial F_z/\partial z$ неверна и даже не имеет единой размерности; правильно $\frac1r\partial(rF_r)/\partial r+\frac1r\partial F_\alpha/\partial\alpha+\partial F_z/\partial z$ .
Дивергенция как вектор. Дивергенция — скаляр; «направление дивергенции» бессмысленно.
Применение формулы в особой точке. В точке, где поле не дифференцируемо (точечный заряд, ось заряженной нити), дивергенция как функция не определена; источник там описывается интегрально — зарядом внутри поверхности.

Вопросы и упражнения

Вычислите дивергенцию полей $\vec F_1=(x^2,\,y^2,\,z^2)$ , $\vec F_2=(yz,\,zx,\,xy)$ , $\vec F_3=(x^2,\,0,\,0)$ в точке $(1,\,2,\,3)$ . Какое из них соленоидально?
Поле $\vec F=F_0\,\vec e_r$ ( $F_0=\mathrm{const}$ ) в цилиндрических координатах. Найдите дивергенцию и объясните результат через потоки через внутреннюю и внешнюю грани элементарного объёма. При каком законе $F_r(r)$ дивергенция равна нулю?
В лаборатории поместите куб с ребром $a=1$ и центром в $(1,\,0,\,0)$ в поле $\vec F=x^2\vec e_x$ . Вычислите вручную потоки через грани $x=0{,}5$ и $x=1{,}5$ и отношение $\Phi/V$ . Сравните с $\nabla\cdot \vec F$ в центре.
Плотность тока в проводнике $\uJ=J_0(1-r^2/a^2)\vec e_z$ . Чему равна $\nabla\cdot \uJ$ ? Какому режиму это соответствует? Может ли стационарный ток иметь $\nabla\cdot \uJ\ne0$ ?
На пластине конденсатора в процессе зарядки накапливается заряд. В каком смысле $\nabla\cdot \uJ\ne0$ на поверхности пластины, если внутри металла и внутри диэлектрика $\nabla\cdot \uJ=0$ ?
Поле $\uB$ некоего устройства во внешней области аппроксимировано выражением $\uB=B_0(x\vec e_x+y\vec e_y-2z\vec e_z)/L$ . Проверьте, допустимо ли такое поле физически.

Ответы к пунктам 1, 3 и 6

1. $\nabla\cdot \vec F_1=2x+2y+2z=12$ ; $\nabla\cdot \vec F_2=0+0+0=0$ — соленоидально всюду; $\nabla\cdot \vec F_3=2x=2$ .

3. Через грань $x=1{,}5$ (нормаль $+\vec e_x$ ): $F_x=2{,}25$ , поток $2{,}25\cdot1=2{,}25$ . Через грань $x=0{,}5$ (нормаль $-\vec e_x$ ): $-0{,}25$ . Остальные грани — нуль. $\Phi=2{,}0$ , $V=1$ , $\Phi/V=2{,}0$ ; $\nabla\cdot \vec F=2x=2$ в центре — совпадение точное.

6. $\nabla\cdot \uB=B_0(1+1-2)/L=0$ — поле соленоидально и условию $\nabla\cdot \uB=0$ не противоречит. Это поле квадрупольного типа: линии сходятся к плоскости $z=0$ вдоль оси $z$ и расходятся в этой плоскости.

Итоги

Дивергенция — предел отношения потока через замкнутую поверхность к охваченному объёму; скаляр, плотность источников поля.
В декартовых координатах $\nabla\cdot \vec F=\partial F_x/\partial x+\partial F_y/\partial y+\partial F_z/\partial z$ ; в цилиндрических — $\frac1r\partial(rF_r)/\partial r+\frac1r\partial F_\alpha/\partial\alpha+\partial F_z/\partial z$ .
$\nabla\cdot \uD=\rho$ , $\nabla\cdot \uB=0$ , $\nabla\cdot \uJ=-\partial\rho/\partial t$ , $\nabla\cdot \uq=q_V$ (стационарно) — локальные законы сохранения.
Знак дивергенции не читается по форме линий: расходящиеся линии могут иметь нулевую дивергенцию ( $\ur/r^3$ ), параллельные — положительную ( $x\vec e_x$ ).
В особых точках (точечный заряд) дивергенция не определена как функция; источник описывается потоком через охватывающую поверхность.

Далее — ротор и циркуляция: вторая локальная характеристика векторного поля, измеряющая не источники, а вихри.

Уточнения постановки и расчётной методики FEMM 5

Контрольное соотношение

Учитывайте шесть граней и внешнюю нормаль; поток отличается от плотности потока.

\Phi=3V=3\cdot 2^3=24

(2.3)

Аналитическое упражнение; не результат расчёта FEMM.

Разобранный численный пример

Контрольный пример

Дано. Для F=(x,y,z) найдите поток через поверхность куба с ребром 2 и внешней нормалью.

Учитывайте шесть граней и внешнюю нормаль; поток отличается от плотности потока.

\Phi=3V=3\cdot 2^3=24
(2.4)

Ответ: 24 1

Проверка: Сравните знак и предел при изменении одного параметра.

Практикум в FEMM 5

Исследование поля и интерпретация результата

Таблица 2.2. Исходные данные практикума
Исходная величина	Значение	Единица
Исходные условия	Для F=(x,y,z) найдите поток через поверхность куба с ребром 2 и внешней нормалью.

Сформулируйте прогноз до открытия ответа.
Откройте связанный опыт; получите исходное и изменённое состояния.
Запишите численные величины и объясните знак, единицу и причину изменения.

Ожидаемый результат. Таблица двух состояний и физическое объяснение.

Как проверить. Учитывайте шесть граней и внешнюю нормаль; поток отличается от плотности потока.

Обработка и анализ результатов

Как поток, делённый на объём, приближается к локальной дивергенции?

Сравните два размера объёма и потоки через его шесть граней.
Приведите результаты к одинаковым единицам и ориентации; вычислите невязку независимых способов измерения.

С чем сравнить. Используйте интегральный закон и ориентацию контура из теории занятия. Плотность, интеграл по сечению и полный объёмный результат сравнивают после учёта геометрического множителя.

Итог работы. Таблица потоков граней, объёмов и локальных значений дивергенции.

Самостоятельная работа

Для F=(x,y,z) найдите поток через поверхность куба с ребром 2 и внешней нормалью. Учитывайте шесть граней и внешнюю нормаль; поток отличается от плотности потока.

Критерий выполнения: Записаны исходные параметры, ориентация и определение величины. Сохранены два состояния опыта и объяснение различия. Учитывайте шесть граней и внешнюю нормаль; поток отличается от плотности потока.

Литература

Полные библиографические описания

Пояснения и типичные ошибки

Для F=(x,y,z) найдите поток через поверхность куба с ребром 2 и внешней нормалью.

24; Учитывайте шесть граней и внешнюю нормаль; поток отличается от плотности потока.

Что подтверждает аналитическая самопроверка?

Выполнение этого контрольного упражнения; расчёт устройства FEMM проверяется по его собственной модели.

На что обратить внимание

Учитывайте шесть граней и внешнюю нормаль; поток отличается от плотности потока.

Поток, интегралы и дивергенция

Цель и задачи

Задачи

Место занятия в инженерной методике

Последовательность решения

Что включить в отчёт

Как обосновать результат

Вывод для устройства

Теория и вывод формул

Кривые, поверхности и интегралы по ним

От локального к интегральному

Кривые и их ориентация

Поверхности, нормаль и ориентация

Линейные интегралы

Поверхностные интегралы и поток

Объёмные интегралы

Разобранные примеры

Итоги

Дивергенция и поток

Где рождается поле

Определение

Вывод формулы в декартовых координатах

Дивергенция в цилиндрических координатах

Дивергенция в уравнениях поля

Лаборатория

Примеры полей с положительной, отрицательной и нулевой дивергенцией

Итоги

Контрольное соотношение

Разобранный численный пример

Контрольный пример

Практикум в FEMM 5

Исследование поля и интерпретация результата

Обработка и анализ результатов

Самостоятельная работа

По теме в курсе

Литература

На что обратить внимание