Гармонический ток: проводимость, смещение, комплексная \(\varepsilon\) и нормировка

Проводник или диэлектрик — вопрос частоты

В предыдущем уроке ток был стационарным, а среда — либо проводником, либо изолятором. Реальная изоляция кабеля всё же немного проводит, а влажный грунт заметно поляризуется. Когда напряжение меняется во времени, в среде одновременно существуют два тока: ток проводимости $\sigma\uE$, переносящий заряд, и ток смещения $\partial\uD/\partial t$, связанный с изменением поля. Какой из них главный — зависит не только от материала, но и от частоты. Один и тот же грунт на промышленной частоте ведёт себя как проводник, а в полосе частот грозового импульса — почти как диэлектрик.

Чтобы единообразно описать оба тока, удобен аппарат комплексных амплитуд, который превращает дифференцирование по времени в умножение на число. Этот урок вводит его на примере электрического поля; к магнитным задачам он будет применён в уроке об индукции и фазорах.

Гармонические процессы и комплексные амплитуды

Пусть все величины меняются по синусоидальному закону одной и той же угловой частоты $\omega=2\pi f$. Любую из них можно записать в виде $x(t)=X_m\cos(\omega t+\psi)$, где $X_m$ — амплитуда, $\psi$ — начальная фаза.

Фазор — это не функция времени, а пара чисел (амплитуда и фаза), целиком описывающая гармонический процесс заданной частоты. Для векторных полей каждая декартова компонента имеет свой фазор: $\cplx{\uE}=\cplx E_x\vec e_x+\cplx E_y\vec e_y+\cplx E_z\vec e_z$.

Ограничение существенно: метод применим только к линейным системам в установившемся режиме. Нелинейная среда (например, насыщающаяся сталь) порождает высшие гармоники, и одного фазора недостаточно.

Токи проводимости и смещения

Уравнение Максвелла–Ампера в среде с проводимостью $\sigma$ и проницаемостью $\varepsilon$: $$\nabla\times \uH=\uJ+\frac{\partial\uD}{\partial t}=\sigma\uE+\varepsilon\frac{\partial\uE}{\partial t}.$$ Переходя к комплексным амплитудам, получаем $$\nabla\times \cplx{\uH}=(\sigma+\ii\omega\varepsilon)\cplx{\uE}.$$

Равноправная запись — через комплексную проницаемость: $\tilde\sigma=\ii\omega\tilde\varepsilon$, где $\tilde\varepsilon=\varepsilon-\ii\sigma/\omega=\varepsilon(1-\ii\operatorname{tg}\delta)$.

Критерий прост: при $\sigma\gg\omega\varepsilon$ среда ведёт себя как проводник, при $\sigma\ll\omega\varepsilon$ — как диэлектрик, а граница между режимами лежит на частоте $f_0=\sigma/(2\pi\varepsilon)$.

Квазиэлектростатическая модель

Полная система уравнений Максвелла связывает $\uE$ и $\uH$ взаимно: меняющееся $\uH$ индуцирует вихревое $\uE$. Однако во многих задачах с преобладанием электрического поля — конденсаторы, изоляция, электроды в проводящей среде — это индуцированное поле пренебрежимо мало по сравнению с полем зарядов.

Условие применимости: характерный размер системы $\ell$ должен быть мал по сравнению с длиной волны, $\ell\ll c/f$; при 50 Гц это 6000 км, при 1 МГц — 300 м. Кроме того, система должна быть «электрической» по своей природе: энергия сосредоточена в электрическом поле, а не в магнитном. Для массивных проводников с большими токами действует противоположное — магнитоквазистатическое — приближение, ведущее к вихревым токам и скин-эффекту. Систематическое разделение двух квазистатик дано в [Haus].

Применив к уравнению Максвелла–Ампера операцию дивергенции ($\nabla\cdot \nabla\times \equiv0$), получаем уравнение для потенциала.

Последнее условие важно для слоистой изоляции: при $\sigma_1/\varepsilon_1\ne\sigma_2/\varepsilon_2$ на границе слоёв накапливается свободный заряд, и распределение напряжения между слоями на низких частотах определяется проводимостями, а на высоких — проницаемостями. Поле, которое в электростатике делилось обратно пропорционально $\varepsilon$, на постоянном напряжении делится обратно пропорционально $\sigma$.

Время релаксации

Критерий «проводник или диэлектрик» в терминах времени релаксации читается так: $\omega\tau=\omega\varepsilon/\sigma=1/\operatorname{tg}\delta$. Если период колебаний велик по сравнению с $\tau$, заряды успевают перераспределиться, и среда проводит; если мал — не успевают, и среда поляризуется. Для меди $\tau\approx1{,}5\cdot10^{-19}$ с, для влажного грунта $\tau=1{,}77\cdot10^{-10}/0{,}01=17{,}7$ нс, для полиэтилена $\tau=2{,}04\cdot10^{-11}/10^{-15}\approx2\cdot10^4$ с, то есть около 5,7 ч — заряд, внедрённый в полиэтилен, живёт часами.

Мощность в гармоническом режиме

Мгновенная плотность мощности $p(t)=\uJ\cdot\uE$ пульсирует с удвоенной частотой. Инженера интересует среднее за период значение и амплитуда обменной (реактивной) составляющей.

Приложения

Конденсатор с несовершенным диэлектриком

Плоский конденсатор: площадь обкладок $S$, зазор $d$, диэлектрик $\varepsilon$, $\sigma$. Поле однородно, $\cplx E=\cplx U/d$, полный ток $$\cplx I=\tilde\sigma\cplx ES=\Bigl(\frac{\sigma S}d+\ii\omega\frac{\varepsilon S}d\Bigr)\cplx U=(G+\ii\omega C)\cplx U .$$ Это параллельная $R$–$C$ схема замещения с $C=\varepsilon S/d$ и $G=\sigma S/d$. Вводя комплексную ёмкость $\tilde C=C-\ii G/\omega=C(1-\ii\operatorname{tg}\delta)$, можно писать $\cplx I=\ii\omega\tilde C\cplx U$. Поскольку $G/C=\sigma/\varepsilon$ не зависит от геометрии, $\operatorname{tg}\delta$ конденсатора с однородным диэлектриком равен $\operatorname{tg}\delta$ материала.

Изоляция кабеля

Коаксиальная изоляция между жилой радиуса $a$ и оболочкой радиуса $b$: погонные ёмкость и проводимость утечки $$C'=\frac{2\pi\varepsilon}{\ln(b/a)},\qquad G'=\frac{2\pi\sigma}{\ln(b/a)},\qquad \frac{G'}{C'}=\frac\sigma\varepsilon .$$ Ток через изоляцию на единицу длины $\cplx I'=(G'+\ii\omega C')\cplx U$ почти целиком емкостный; диэлектрические потери $P'=G'U^2=\omega C'U^2\operatorname{tg}\delta$ растут с частотой и с квадратом напряжения — одна из причин, по которой изоляция высоковольтных кабелей нагревается даже без тока нагрузки. Если изоляция многослойная, граничное условие $\tilde\sigma_1\cplx E_{1n}=\tilde\sigma_2\cplx E_{2n}$ показывает, как распределяется напряжение между слоями: на переменном напряжении — по $\varepsilon$, на постоянном — по $\sigma$, что приводит к различным распределениям $E(r)$ для одного и того же кабеля.

Электрод в проводящей среде

Полусферический заземлитель радиуса $a$ в грунте $\sigma$, $\varepsilon$: заменяя в $G=2\pi\sigma a$ вещественную проводимость комплексной, получаем проводимость заземлителя $$\tilde Y=2\pi a(\sigma+\ii\omega\varepsilon).$$ При $a=0{,}5$ м, $\sigma=0{,}01$ См/м, $\varepsilon_r=20$ на 50 Гц: $2\pi a\sigma=3{,}14\cdot10^{-2}$ См, $2\pi a\omega\varepsilon=1{,}75\cdot10^{-7}$ См — заземлитель чисто активный ($R=31{,}8$ Ом). На частотах порядка мегагерц емкостная составляющая сравнима с активной, и для расчёта импульсных перенапряжений заземлитель уже нельзя считать резистором.

Итоги

• Гармонический процесс описывается комплексной амплитудой $\cplx X$; $x(t)=\Re\{\cplx Xe^{\ii\omega t}\}$, производной соответствует $\ii\omega\cplx X$. Фазоры в курсе амплитудные.
• В среде с проводимостью и поляризацией $\nabla\times \cplx{\uH}=(\sigma+\ii\omega\varepsilon)\cplx{\uE}$; комплексная проводимость $\tilde\sigma=\sigma+\ii\omega\varepsilon$ объединяет токи проводимости и смещения, их отношение — $\operatorname{tg}\delta=\sigma/(\omega\varepsilon)$.
• Среда — проводник при $\omega\ll\sigma/\varepsilon$ и диэлектрик при $\omega\gg\sigma/\varepsilon$; $\tau=\varepsilon/\sigma$ — время релаксации свободного заряда.
• В квазиэлектростатическом приближении $\cplx{\uE}=-\nabla \cplx\varphi$ и $\nabla\cdot (\tilde\sigma\nabla \cplx\varphi)=0$: все результаты для стационарного тока переносятся заменой $\sigma\to\tilde\sigma$ — конденсатор с потерями становится параллельной $R$–$C$ схемой, заземлитель получает емкостную составляющую.
• Средняя плотность потерь $\tfrac12\sigma E_m^2$, реактивная плотность $-\tfrac12\omega\varepsilon E_m^2$; их отношение равно $\operatorname{tg}\delta$.

Далее мы переходим к магнитному полю: магнитостатика — $\uB$, $\uH$ и векторный потенциал.