FEMM 5

Лабораторная работа

Аналогии полей: проводимость, дуальная сеть и диффузия

Цель. Определить геометрическую проводимость L-образной области тремя полевыми методами и проверить дуальность. Построить количественные резистивную, RC и нелинейную модели-аналогии.

Связь с проектированием. Выбрать подходящую физическую и дискретную модель по её уравнениям, граничным условиям и требуемой интегральной характеристике.

Задачи

  1. Согласовать прямую и обратную аналогии и масштабы величин.
  2. Сравнить электрические проводимости и магнитную проводимость одной области.
  3. Проверить резистивную сеть и показатель поля у входящего угла.
  4. Вычислить RC-диффузию и нелинейный дуальный элемент.

Исходные данные и условия опыта

L-область: многоугольник (0,0), (40,0), (40,10), (20,10), (20,30), (0,30) мм; глубина 100 мм; \sigma =2 См/м.

Прямая токовая задача: левая сторона 1 В, правая 0 В, остальные изолированы. Сопряжённая задача: низ 1 В, верхняя ломаная 0 В, остальные изолированы.

Магнитный аналог: \mu _{0}; нижняя линия A_z =0; верхняя линия A_z =10^{-4} Вб/м. RC-аналог: медь 58 МСм/м; 50/500 Гц; 20/40/80 ячеек. Нелинейный пример: H(B)=120B+900B^{3}.

Теория расчётного метода

Разделение переменных и эталон гладкого зазора

В свободном от токов линейном зазоре потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Представление по пространственным гармоникам превращает двумерную задачу в независимые уравнения для каждого порядка. В плоском зазоре появляются экспоненты или гиперболические функции, в кольцевом — степени радиуса.

Коэффициенты определяются по тем же источникам и граничным условиям, что и в конечных элементах. Нулевая гармоника рассматривается отдельно. Плоское приближение проверяют относительно кольцевого при фактическом отношении зазора к радиусу; совпадение на одном радиусе не гарантирует совпадения энергии и момента.

A_k(x,y)=(c_ke^{ky}+d_ke^{-ky})e^{jkx}
Плоская гармоника при k\ne 0; реальные поля получают действительной частью.
A_\nu(r,\theta)=(a_\nu r^\nu+b_\nu r^{-\nu})e^{j\nu\theta},\qquad A_0=a_0+b_0\ln r
Кольцевой линейный зазор; коэффициенты следуют из заданных условий на двух радиусах.

Литература по методу: Аналитические методы: назначение эталонов и допущения · PDF1–19; Разделение переменных: поле плоского и кольцевого зазора · PDF1–24

Конформное преобразование и показатель поля у угла

Аналитическое преобразование сохраняет гармоничность потенциала и ортогональность его линий уровня. При этом напряжённость меняется из-за геометрического масштаба производной отображения. Поэтому проверяют одновременно соответствующие значения потенциала и преобразованный модуль поля.

В преобразовании Шварца–Кристоффеля показатели множителей определяются внутренними углами многоугольника. Возле угла \alpha локальная координата связана с исходной степенью \alpha /\pi. Отсюда следует показатель поля \pi /\alpha -1. Для входящего угла 270^\circ поле растёт как r^(-1/3); измерение показателя по нескольким расстояниям позволяет объяснить рост сеточного максимума в L-образном проводнике и необходимость конечного радиуса скругления.

\frac{dF}{dz}=\frac{dF/dw}{dz/dw},\qquad \frac{dz}{dw}=C\prod_k(w-a_k)^{\alpha_k/\pi-1}
Первая формула задаёт масштаб комплексного поля, вторая — производную отображения Шварца–Кристоффеля.
z-z_0\sim(w-w_0)^{\alpha/\pi},\qquad |\nabla U|\sim r^{\pi/\alpha-1}
Локальный асимптотический закон; коэффициент и конечный диапазон расстояний задаются полной краевой задачей.

Литература по методу: Конформные преобразования и комплексная потенциальная функция · PDF1–17,26–30; Преобразование Шварца–Кристоффеля · PDF1–13

Прямая аналогия, сопряжённые границы и обратная модель

В свободной от источников области скалярный магнитный потенциал и электрический потенциал проводящего листа удовлетворяют одному уравнению Лапласа. Соответствия H↔E и B↔J сохраняют геометрию линий при согласованных масштабах. Нормированная проводимость \lambda отделяет геометрию от свойства материала и глубины.

В плоской односвязной области потенциал и потоковая функция являются сопряжёнными гармоническими функциями. Если поменять местами электродные и изолирующие пары сторон, получается обратная электрическая задача. Для изотропного четырёхсторонника произведение двух геометрических проводимостей равно 1. Эта проверка требует именно сопряжённых границ, а не произвольного поворота электродов.

\mathbf H=-\nabla\psi,\quad \mathbf B=\mu\mathbf H,\qquad \mathbf E=-\nabla U,\quad \mathbf J=\sigma\mathbf E
Прямая аналогия: \mu и \sigma играют одинаковую математическую роль.
\lambda=\frac{G}{\sigma b}=\frac{\Lambda_m}{\mu b},\qquad \lambda\lambda^*=1
G — электрическая проводимость, \Lambda m — магнитная проводимость; b — общая активная глубина. Второе равенство относится к сопряжённой краевой задаче.

Литература по методу: Аналоговые модели электромагнитного поля · PDF1–11

Резистивная сеть, RC-диффузия и нелинейный дуальный элемент

Разностная аппроксимация уравнения Лапласа даёт узловые уравнения резистивной сети. Проводимость грани вычисляется из её длины, шага и толщины; у электрода учитывается половина приграничной ячейки. Уточнение сети сравнивают с непрерывной полевой задачей по общему току, а не по совпадению картинок.

Добавление ёмкостных вводов превращает обратную сеть в аналог магнитной диффузии. Нелинейная магнитная цепь также имеет обратный аналог: последовательные падения МДС становятся параллельными токами, общий поток — общим напряжением. Вольт-амперную характеристику нелинейного элемента получают из заданной H(B) и геометрии; нельзя заменить насыщение постоянным резистором.

\sum_jg_{ij}(U_i-U_j)=I_i,\qquad \nabla^2U=R_\square C_A\frac{\partial U}{\partial t}
RC-аналог использует положительные R и C; выбранные масштабы дают R□ CA=\mu \sigma при одинаковом масштабе времени и длины.
\mathcal F=\ell_{Fe}H(\Phi/S)+\frac{g\Phi}{\mu_0S},\quad U=k_\Phi\Phi,\quad I_{src}=k_\mathcal F\mathcal F
В обратной схеме общий U задаёт \Phi, сумма токов нелинейного и воздушного элементов задаёт МДС.

Литература по методу: Аналоговые модели электромагнитного поля · PDF7–18; Векторная алгебра и векторный магнитный потенциал · PDF29–31; Электродинамические поля и проникновение в проводящий массив · PDF1–18

Параметрическая серия и независимые оси погрешности

Автоматизация сохраняет одинаковую последовательность построения, решения и извлечения для каждого набора параметров. Перед серией фиксируют единицы, признаки материалов и обмоток, точку измерения и требуемую характеристику. Программа должна повторно открывать сохранённую модель, чтобы расчёт относился к записанному варианту.

Изменение сетки, внешней границы, углового шага, числа гармоник и шага времени отвечает на разные вопросы. Сначала получают ряд по одной оси при фиксированных остальных условиях, затем проверяют независимый аналитический или энергетический критерий. Скрипт переносит методику в серию; сам по себе он не заменяет физического обоснования.

\varepsilon_Q(h)=\frac{|Q(h)-Q(h/2)|}{\max(|Q(h/2)|,Q_{scale})}
Для величины, близкой к нулю, используют заранее выбранный абсолютный масштаб Qscale; нельзя делить ошибку на нулевой эталон.

Литература по методу: Расчёт магнитных систем электромагнитов классическим и численным методом (ОНПУ,2010) · PDF4–13,35–48; Параметризация и автоматизация серий расчётов · PDF1–30; Энергия магнитного поля через векторный потенциал · PDF19–30; Математическая модель поля и электрических цепей машины · PDF12–15

Модели для работы

Прямая и обратная аналогии L-образной области

Односвязная L-область 40×30 мм с вырезом 20×20 мм, глубина 100 мм. Изотропные свойства \sigma =2 См/м и \mu _{0}; сопряжённые электродные и изолирующие стороны. Сеть, RC-диффузия и нелинейный элемент вычислены явно.

Аналог-прямой-h0p25.fecАналог-прямой-h0p25.ancАналог-обратный-h0p25.fecАналог-обратный-h0p25.ancМагнитный-зазор-аналог-h0p25.femМагнитный-зазор-аналог-h0p25.ansreproduce.pyREADME.md

Прямая и обратная аналогии <span class="inline-math" data-inline-latex="L">L</span>-образной области — результаты расчётного опыта.
Прямая и обратная аналогии L-образной области — результаты расчётного опыта. Открыть график
Результаты расчёта
ВеличинаРезультатЕдиница
\lambda прямой модели0,31941
\lambda обратной модели3,1331
Произведение \lambda \lambda*1,0011
Магнитная проводимость40,11 × 10⁻⁹Гн
Показатель поля у угла-0,30811

Последовательное решение

1 · Сходство уравнений

Геометрическое совпадение достаточно лишь после согласования уравнений и границ.

  1. Выпишите пары H/E, B/J и магнитный/электрический потенциал.
  2. Установите единицы и масштабы напряжения, МДС, потока, тока и глубины.
  3. Объясните, почему для прямой аналогии сравниваются G/(\sigma b) и \Lambda /(\mu b).

Записать в протокол. Таблица соответствий и масштабов, схема четырёх граничных сторон.

Подробное выполнение: 5.1 · Уравнения Лапласа и Пуассона: градиент, дивергенция и единственность; 11.1 · Постоянный ток: потенциал, закон Ома и сохранение заряда; 8.7 · Одна катушка и потокосцепление без смешения с потоком

2 · Прямая, сопряжённая и магнитная задачи

У сопряжённой задачи меняются именно пары электродных и изолирующих сторон.

  1. Выполните три размера FE-сетки для каждой из трёх задач.
  2. Из токов электродов получите G и баланс тока; в магнитной задаче извлеките поток и МДС по H·dl.
  3. Сравните три геометрических коэффициента и произведение \lambda \lambda*.

Записать в протокол. h/узлы/G/\lambda /\lambda */\lambda \lambda*/Λмаг; отдельные ошибки сетки, дуальности и прямой аналогии.

Подробное выполнение: 5.2 · Слабая форма, линейный треугольник и независимые источники погрешности; 11.1 · Постоянный ток: потенциал, закон Ома и сохранение заряда; 13.1 · Параметрическая геометрия и обмотки

3 · Сеть и входящий угол

Интегральная проводимость и локальный пик имеют различные свойства сходимости.

  1. Соберите резистивные сети по 32, 128, 512 ячейкам; у электродов используйте половину приграничной ячейки.
  2. Проверьте итерационную невязку и общий ток относительно FE.
  3. Получите J на расстояниях 0{,}5/1/2/4 мм от угла 270^\circ и оцените показатель степенного закона; сопоставьте его с -1/3 из локального SC-преобразования.

Записать в протокол. Ток сети, \lambda (N), невязка, logJ/logr и объяснение, почему острый угол не даёт конечного физического Jmax.

Подробное выполнение: 5.1 · Уравнения Лапласа и Пуассона: градиент, дивергенция и единственность; 5.2 · Слабая форма, линейный треугольник и независимые источники погрешности; 11.1 · Постоянный ток: потенциал, закон Ома и сохранение заряда

4 · RC-аналог проникновения

Ёмкостный ввод воспроизводит временное слагаемое магнитной диффузии.

  1. Выберите R□ и CA так, чтобы R□CA=\mu \sigma в принятом масштабе времени/длины.
  2. Решите комплексную узловую систему для 50/500 Гц и 20/40/80ячеек на глубине 5\delta.
  3. Сравните комплексный коэффициент передачи на x=2\delta с точным решением конечной пластины.

Записать в протокол. \delta, R□, CA, \operatorname{Re} /\operatorname{Im} передачи и ошибка по числу ячеек.

Подробное выполнение: 23.3 · Роторные токи, вытеснение тока и параметры схемы; 11.3 · Гармонический ток: проводимость, смещение, комплексная \varepsilon и нормировка; 5.2 · Слабая форма, линейный треугольник и независимые источники погрешности

5 · Нелинейная обратная схема

В обратной аналогии общий поток отображается общим напряжением, а сумма падений МДС — суммой токов.

  1. Запишите магнитную цепь сталь+зазор с одной \Phi и заданной H(B).
  2. Постройте две параллельные электрические ветви Isteel(U), Igap(U) при выбранных масштабах.
  3. Решите для МДС 100/300/600 А, восстановите B и сравните с непосредственным решением магнитной цепи.

Записать в протокол. МДС/B/\Phi /U/Isrc и остаток уравнения; выбор масштаба и пояснение нелинейного элемента.

Подробное выполнение: 5.2 · Слабая форма, линейный треугольник и независимые источники погрешности; 8.9 · Знаки M, взаимность и энергетическая проверка; 13.3 · Автоматический контроль сетки и независимых параметров

Контрольный расчёт и численные результаты

L-область, σ2См/м, глубина 0,1м, сопряжённые границы.

  1. \lambda =0.319382038; \lambda *=3.13302887.
  2. Произведение=1,001.
  3. Магнитная проводимость=40,11 × 10⁻⁹ Гн.
  4. Сеть 512ячеек отличается от FE на 0.41453%.

Выполнены три полевые постановки и явные узловые аналоги; физическая аналоговая установка не изготовлялась.

Количественные результаты и их проверка

Заполните таблицу собственными значениями; каждому числу сопоставьте режим и файл решения.

ВеличинаЕдиницаЧто определяет
\lambda,\lambda*1Геометрические коэффициенты двух сопряжённых задач.
ΛмагГнМагнитная проводимость той же области.
GсетиСмИнтегральная характеристика резистивной сети.
J(r), показательА/м²;1Проверка локального SC-предела.
U(x)/U_{0}1Комплексный коэффициент проникновения RC-сети.
B(F)ТлНелинейная характеристика дуальной схемы.
  1. |\lambda \lambda *-1| менее 1,5%; прямая электрическая/магнитная аналогии согласуются менее 2%.
  2. Сеть 512ячеек отличается от FE менее 3,5%; итерационная невязка менее 10⁻⁹В.
  3. RC-ошибка на 80ячейках менее 0,3%; нелинейная схема восстанавливает B с расхождением менее 10⁻¹⁰Тл в данном алгебраическом эталоне.
  4. Показатель у угла проверяется на конечном диапазоне расстояний; точный физический пик при нулевом скруглении не заявляется.

Итоговый вывод. Общее уравнение позволяет переносить результат между физическими задачами, но только после согласования границ и масштабов. По проводимости выбирают модель области, а по сходимости — дискретизацию.

Границы применения результата

Литература

  1. Моделирование электромагнитного поля на аналоговых моделях. Раздел 16. — 18 с.
  2. Основные понятия векторной алгебры, используемые при описании электромагнитного поля. Векторный магнитный потенциал. Раздел 3. — 31 с.
  3. Аналитические методы исследования поля в электрической машине. Общие положения. Раздел 7. — 19 с.
  4. Конформные преобразования. Комплексная потенциальная функция. Раздел 9. — 30 с.
  5. Конформные преобразования (продолжение). Преобразование Шварца — Кристоффеля. Раздел 10. — 13 с.
  6. Электродинамические поля в электрических машинах. Раздел 13. — 42 с.
  7. Аналитические методы исследования поля в электрической машине. Метод разделения переменных. Поле в плоском и кольцевом зазоре. Поверхностный ток как источник поверхностного потенциала. Раздел 8. — 33 с.
  8. Рымша В. В., Процына З. П., Якимец А. М. Расчёт магнитных систем электромагнитов классическим и численным методом : методические указания. — Одесса : ОНПУ, 2010. — 48 с.
  9. Составление скриптов на языке Lua. — 30 с.
  10. Выражение энергии магнитного поля через векторный магнитный потенциал. Раздел 4. — 30 с.
  11. Математическое описание электромагнитного поля в электрической машине. Раздел 5. — 15 с.