Постоянный ток: потенциал, закон Ома и сохранение заряда

От электростатики к току

В электростатике проводник был областью, где поле отсутствует: заряды, однажды перераспределившись, останавливаются, и напряжённость внутри обращается в нуль. Стоит, однако, подключить к проводнику источник, поддерживающий разность потенциалов, — и картина меняется. Заряды движутся непрерывно, внутри проводника существует электрическое поле, а само движение зарядов сопровождается выделением тепла. Поле, при котором распределение токов и зарядов не меняется во времени, называют стационарным полем электрического тока. Оно описывается тем же потенциалом $\varphi$, что и электростатическое, но подчиняется другому материальному уравнению и другим граничным условиям.

Задачи этого раздела встречаются в инженерной практике повсюду: расчёт сопротивления шины сложной формы, растекание тока в земле от заземлителя, распределение тока в контактных соединениях, потери в токоведущих частях. Все они сводятся к одному вопросу: как распределяется ток по объёму проводника, если известны потенциалы электродов.

Плотность тока и сила тока

Сила тока $I$ через ориентированную поверхность $S$ с единичной нормалью $\un$ — это поток вектора $\uJ$: $$I=\int_S\uJ\cdot\un\,\dS .$$ Единица — ампер. Ток — скалярная величина, знак которой определяется выбором нормали: ток «в направлении $\un$» положителен. Для провода с равномерным распределением тока по сечению $A$ формула вырождается в $I=JA$, но в общем случае $\uJ$ меняется по сечению, и делить ток на площадь нельзя — именно это и демонстрирует лаборатория ниже.

Локальный закон Ома

В большинстве проводников при умеренных полях плотность тока пропорциональна напряжённости.

Проводимость металлов огромна по сравнению с проводимостью электролитов и грунтов: медь $\sigma=5{,}8\cdot10^7$ См/м ($\rho_{\mathrm э}=1{,}72\cdot10^{-8}$ Ом·м), алюминий $3{,}5\cdot10^7$ См/м ($2{,}86\cdot10^{-8}$ Ом·м), влажный грунт — порядка $10^{-2}$ См/м, сухой — $10^{-3}$ См/м и менее. Диапазон охватывает десять порядков, поэтому в задачах с несколькими средами ток практически целиком идёт по металлу, а металлические электроды в слабопроводящей среде можно считать эквипотенциальными.

Удельное сопротивление металлов растёт с температурой: $\rho_{\mathrm э}(T)=\rho_{\mathrm{э}0}[1+\alpha_\rho(T-T_0)]$, для меди и алюминия $\alpha_\rho\approx 4\cdot10^{-3}$ К⁻¹. Эта зависимость делает задачу о токе и задачу о нагреве связанными — к ней мы вернёмся в связанных задачах.

Уравнение непрерывности

Заряд сохраняется. Если из замкнутой поверхности $S$ вытекает ток $\oint_S\uJ\cdot\un\,\dS$, то заряд $Q$ внутри убывает с той же скоростью: $\oint_S\uJ\cdot\un\,\dS=-\dd Q/\dd t$. Применяя теорему Остроградского–Гаусса и стягивая объём к точке, получаем локальную форму.

Из $\nabla\cdot \uJ=0$ следует простое и важное правило: вдоль трубки тока — трубки, боковая поверхность которой образована линиями тока, — ток через любое поперечное сечение одинаков. Там, где трубка сужается, плотность тока возрастает.

Потенциал и его уравнение

В стационарном режиме $\partial\uB/\partial t=0$, поэтому $\nabla\times \uE=0$ и, как в электростатике, $\uE=-\nabla \varphi$. Подставляя в уравнение непрерывности закон Ома, получаем уравнение для потенциала.

Граничные условия имеют ясный физический смысл.

• Электроды. Проводимость электрода (металл) на много порядков выше проводимости среды, поэтому электрод эквипотенциален: $\varphi=\varphi_k=\mathrm{const}$ на его поверхности (условие Дирихле). Напряжение между электродами $U=\varphi_1-\varphi_2$.
• Изолированная поверхность. Ток не может выйти в непроводящую среду: $J_n=0$, то есть $\partial\varphi/\partial n=0$ (условие Неймана). Линии тока касаются такой границы, эквипотенциали подходят к ней под прямым углом.
• Граница двух проводящих сред. Из $\nabla\cdot \uJ=0$ следует непрерывность нормальной составляющей $J_{1n}=J_{2n}$, из $\nabla\times \uE=0$ — непрерывность касательной $E_{1t}=E_{2t}$. Отсюда $\sigma_1E_{1n}=\sigma_2E_{2n}$: нормальная составляющая $\uE$ терпит скачок, на границе существует поверхностный заряд. Закон преломления линий тока — $\operatorname{tg}\alpha_1/\operatorname{tg}\alpha_2=\sigma_1/\sigma_2$ [Бессонов].

Решив краевую задачу, находим $\uE=-\nabla \varphi$, $\uJ=\sigma\uE$, затем ток любого электрода интегрированием $\uJ\cdot\un$ по его поверхности.

Сопротивление и проводимость

Из поля сопротивление извлекают несколькими равноправными способами:

1. через ток: $I=\int_{S_1}\sigma\uE\cdot\un\,\dS$ по поверхности электрода, $R=U/I$;
2. через мощность (см. ниже): $R=P/I^2=U^2/P$;
3. в одномерном приближении — суммированием сопротивлений тонких слоёв.

Потери Джоуля

Работа поля над зарядами в единице объёма за единицу времени равна $\uJ\cdot\uE$. Эта мощность переходит в тепло.

Аналогия с электростатикой

Уравнения стационарного поля тока и электростатики в области без свободных зарядов совпадают с точностью до обозначений.

Аналогия работает и в обратную сторону: ёмкость сложной системы электродов можно измерить, погрузив её модель в электролит и измерив сопротивление, — так поступали до появления численных методов.

Лаборатория

Лаборатория содержит два режима. В первом — стержень из двух последовательно соединённых материалов $\sigma_1$, $\sigma_2$ с линейно изменяющимся сечением; расчёт ведётся в одномерном приближении $J=I/A(x)$, а в показаниях выводится полуугол конусности — мера применимости этого приближения. Во втором — радиальный ток в цилиндрическом слое, для которого показано точное решение. Задаются ток $I$, размеры и проводимости (кнопка «Медь → алюминий» задаёт $\sigma_1=58$, $\sigma_2=35$ МСм/м); выводятся $R$, $G$, $U$, $P_{\mathrm{Дж}}$, максимумы $J$ и $p$, продольное сечение, окрашенное по потенциалу, с линиями тока и графики $J(x)$, $E(x)$, $\varphi(x)$, $p(x)$.

На что обратить внимание:

• В сужении плотность тока и напряжённость растут, а плотность потерь — как $J^2$: тонкие участки греются непропорционально сильно.
• На границе материалов $J$ непрерывна, а $E$ скачком меняется в $\sigma_1/\sigma_2$ раз; график $\varphi(x)$ имеет излом.
• Чем круче конусность стержня, тем дальше от истины одномерная оценка — следите за выводимым полууглом конусности: при углах в десятки градусов приближение ненадёжно.
• В цилиндрическом слое $J\propto1/r$, и большая часть падения напряжения приходится на область вблизи внутреннего электрода.

Разобранные примеры

Итоги

• Стационарное поле тока описывается потенциалом: $\uE=-\nabla \varphi$, $\uJ=\sigma\uE$, $\nabla\cdot \uJ=0$, откуда $\nabla\cdot (\sigma\nabla \varphi)=0$; в однородной среде — уравнение Лапласа.
• Граничные условия: электроды эквипотенциальны ($\varphi=\mathrm{const}$), изолированные поверхности непроницаемы для тока ($J_n=0$); на границе сред непрерывны $J_n$ и $E_t$.
• Сопротивление $R=U/I$ — характеристика системы; из поля его находят через ток, через мощность $P=\int\uJ\cdot\uE\,\dV=I^2R$ или в одномерном приближении $R=\int\dd l/(\sigma A)$ при плавном изменении сечения.
• Формальная аналогия $\uJ\leftrightarrow\uD$, $\sigma\leftrightarrow\varepsilon$ даёт $RC=\varepsilon/\sigma$ для любой геометрии электродов в однородной среде.
• Точные решения — цилиндрический слой $R=\ln(b/a)/(2\pi\sigma\ell)$ и полусферический заземлитель $R=1/(2\pi\sigma a)$ — показывают, что сопротивление сосредоточено там, где плотность тока велика.

Далее — гармонические токи: что происходит, когда к току проводимости добавляется ток смещения, и почему проводник и диэлектрик — вопрос частоты.