FEMM 5

Часть I · Интерфейс FEMM 5, геометрия, сетка и математические основы → § 2 · Уравнения поля и конечные элементы

Занятие 2.4

Интегральные теоремы и локальные законы поля

Интегральные теоремы и локальные законы поля. Аналитический эталон. Справа экваториальное сечение. Поверхностный и объёмный интегралы по сфере вычислены аналитически, оба равны 4πR³. Координаты условные; пространственные размеры в миллиметрах не задаются.
Интегральные теоремы и локальные законы поля1 — замкнутая поверхность сферы; n — внешняя нормальАналитический эталон. Справа экваториальное сечение. Поверхностный и объёмный интегралы по сфере вычислены аналитически, оба равны 4πR³. Координаты условные; пространственные размеры в миллиметрах не задаются.Открыть SVG целикомРезультат отдельно

Цель и задачи

Цель. Проверить интегральные теоремы с учётом ориентации и регулярности.

Задачи

  • Для F=(x,y,z) и сферы радиуса 0,5 сравните поверхностный и объёмный интегралы.
  • Сопоставьте аналитическое значение с показаниями визуальной лаборатории.
Что нужно вспомнить перед началом

Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.

Место занятия в инженерной методике

Теоретическое занятие с количественной проверкой · Выбор наблюдаемых величин и проверка интегрального закона

Инженерный вопрос. Почему особая точка внутри области меняет условия интегральной теоремы?

Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.

Последовательность решения, отчёт и критерии результата

Пространственное исследование и аналитическая количественная проверка подготавливают последующий расчёт FEMM.

Последовательность решения

  1. Обосновать постановку и способ измерения. Определите ориентацию контура или поверхности, охватываемые источники и геометрический множитель. Закон связывает измеряемую величину с независимым источником.

  2. Контрольный пример. Проверьте знаки и единицы интегрального закона на разобранной геометрии.

  3. Исследование поля и интерпретация результата. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сопоставьте локальный и интегральный расчёты, затем измените ориентацию.

  4. Ответить на вопрос по своим результатам. Приведите результаты к одинаковым единицам и ориентации; вычислите невязку независимых способов измерения.

Что включить в отчёт

Результат этого занятия. Две согласованные пары интегралов и объяснение случая с особенностью.

Данные именно этого опыта. Сопоставьте локальный и интегральный расчёты, затем измените ориентацию.

Оформление наблюдений. Контур или область интегрирования, ориентация, точечные и интегральные величины раздельно, источник и невязка закона.

Как обосновать результат

Проверка из практикума. Теоремы требуют регулярности поля и согласованной ориентации; особую точку рассматривают отдельно.

Независимый контроль. Сопоставьте интеграл с источником или суммой потоков, а не с повторным чтением того же интеграла другим именем.

Критерий выполнения. Записаны исходные параметры, ориентация и определение величины. Сохранены два состояния опыта и объяснение различия. Теоремы требуют регулярности поля и согласованной ориентации; особую точку рассматривают отдельно.

Точность и расхождения. Нормируйте невязку на физический масштаб источника или потока, объявленный до сравнения. Для баланса около нуля приводите также абсолютную невязку в единицах закона.

Основание сравнения. Используйте интегральный закон и ориентацию контура из теории занятия. Плотность, интеграл по сечению и полный объёмный результат сравнивают после учёта геометрического множителя.

Вывод для устройства

Объясните, даёт ли выбранный интеграл полный параметр устройства или только локальную характеристику его сечения.

Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.

Теория и вывод формул

Теоремы требуют регулярности поля и согласованной ориентации; особую точку рассматривают отдельно.

Соглашения об обозначениях и единицах
  • \(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
  • \(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
  • \(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
  • Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
  • Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
  • Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Указатель формул этого занятия
  1. (2.7) · Контрольное соотношение
  2. (2.8) · Численный пример

Теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса. Лапласиан

Локальное и интегральное

Дивергенция и ротор были определены через поток и циркуляцию по бесконечно малым поверхностям и контурам. Интегральные теоремы векторного анализа делают обратный шаг: они выражают поток через конечную замкнутую поверхность и циркуляцию по конечному контуру через интегралы от дивергенции и ротора. Благодаря им каждый закон поля существует в двух равносильных формах — дифференциальной (уравнение в точке) и интегральной (баланс для области), и инженер выбирает ту, которая удобнее: интегральную — для оценок и для проверки численных решений, дифференциальную — для постановки краевых задач. Строгие формулировки с условиями гладкости даны в [Фихтенгольц]; здесь приводятся наброски доказательств, достаточные для понимания условий применимости.

Теорема Остроградского–Гаусса

Теорема Остроградского–Гаусса (теорема о дивергенции)

Пусть VV — ограниченный объём с кусочно-гладкой замкнутой границей SS и внешней нормалью n\un, а поле F\vec F непрерывно дифференцируемо в VV и на SS. Тогда ∮SF⋅n dS=∫V∇⋅F dV.\oint_S\vec F\cdot\un\,\dS=\int_V\nabla\cdot \vec F\,\dV . Набросок доказательства. Разобьём VV на малые параллелепипеды ΔVk\Delta V_k. По определению дивергенции поток через поверхность каждого из них равен ∇⋅F ΔVk\nabla\cdot \vec F\,\Delta V_k с точностью до малых высшего порядка. Сложим потоки по всем параллелепипедам. Каждая внутренняя грань принадлежит двум соседним ячейкам, и их внешние нормали на этой грани противоположны — вклады взаимно уничтожаются. Остаются только грани, лежащие на границе SS. Итак, ∑k∇⋅F ΔVk→∫V∇⋅F dV\sum_k\nabla\cdot \vec F\,\Delta V_k\to\int_V\nabla\cdot \vec F\,\dV слева и ∮SF⋅n dS\oint_S\vec F\cdot\un\,\dS справа.

Смысл теоремы: суммарная «производительность» всех источников внутри объёма равна потоку поля через его границу. Это и есть точная формулировка закона сохранения: что родилось внутри, вышло через поверхность. Условие дифференцируемости существенно — внутри VV не должно быть особых точек поля.

Поле точечного источника: где теорема не работает

Для F=r/r3\vec F=\ur/r^3 в уроке о дивергенции показано, что ∇⋅F=0\nabla\cdot \vec F=0 при r≠0r\ne0. Возьмём сферу радиуса RR с центром в начале координат: F⋅n=1/R2\vec F\cdot\un=1/R^2, площадь 4πR24\pi R^2, поток ∮SF⋅n dS=1R2⋅4πR2=4π\oint_S\vec F\cdot\un\,\dS=\frac{1}{R^2}\cdot4\pi R^2=4\pi при любом RR, тогда как ∫V∇⋅F dV=0\int_V\nabla\cdot \vec F\,\dV=0, если формально интегрировать нуль. Противоречие объясняется нарушением условия: в начале координат поле не определено. Корректное применение — к шаровому слою R1<r<R2R_1<r<R_2, где особой точки нет: поток через внешнюю сферу (4π4\pi) минус поток через внутреннюю (4π4\pi, нормаль слоя там направлена к центру) равен нулю, что и требуется. Отсюда следует, что поток через любую замкнутую поверхность, охватывающую начало координат, равен 4π4\pi — его можно деформировать в сферу, не пересекая особую точку. Для поля точечного заряда E=q4πε0rr3\uE=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\ur}{r^3} это даёт закон Гаусса ∮E⋅n dS=q/ε0\oint\uE\cdot\un\,\dS=q/\varepsilon_0 [Тамм]. В лаборатории ниже этот случай показан явно: пока начало координат вне объёма, оба числа равны нулю; как только оно попадает внутрь, поток становится равным 4π4\pi, а объёмный интеграл дивергенции остаётся нулевым.

Поле заряженной нити

Пусть нить с линейной плотностью заряда τ=10\tau=10 нКл/м создаёт D=τ2πrer\uD=\dfrac{\tau}{2\pi r}\vec e_r. Применим теорему к цилиндру радиуса r=5r=5 см и длины ℓ=1\ell=1 м с осью на нити. Через торцы потока нет (D⊥ez\uD\perp\vec e_z); на боковой поверхности Dr=10−82π⋅0,05=3,18⋅10−8D_r=\dfrac{10^{-8}}{2\pi\cdot0{,}05}=3{,}18\cdot10^{-8} Кл/м², площадь 2πrℓ=0,3142\pi r\ell=0{,}314 м², поток 3,18⋅10−8⋅0,314=1,0⋅10−83{,}18\cdot10^{-8}\cdot0{,}314=1{,}0\cdot10^{-8} Кл =τℓ=\tau\ell — весь заряд внутри. Вне нити ∇⋅D=1r d(rDr)/dr=0\nabla\cdot \uD=\frac1r\,\dd(rD_r)/\dd r=0, и объёмный интеграл сводится к заряду на оси, как и в предыдущем примере. Наоборот, зная, что поток равен τℓ\tau\ell при любом rr, получаем само поле Dr=τ/(2πr)D_r=\tau/(2\pi r) — так теорема Гаусса используется для расчёта полей с симметрией.

Теорема Стокса

Теорема Стокса

Пусть SS — кусочно-гладкая ориентированная поверхность с краем — замкнутым контуром LL, обход которого согласован с нормалью n\un по правилу правого винта, а поле F\vec F непрерывно дифференцируемо на SS. Тогда ∮LF⋅dl=∫S∇×F⋅n dS.\oint_L\vec F\cdot\dl=\int_S\nabla\times \vec F\cdot\un\,\dS . Набросок доказательства. Разобьём SS на малые ячейки ΔSk\Delta S_k с контурами, ориентированными согласно n\un. По определению ротора циркуляция по контуру ячейки равна (∇×F)⋅n ΔSk(\nabla\times \vec F)\cdot\un\,\Delta S_k. Сложим циркуляции: каждое внутреннее ребро проходится дважды в противоположных направлениях (соседние ячейки ориентированы одинаково), и вклады уничтожаются. Остаются только рёбра на крае SS, образующие контур LL.

Два следствия имеют первостепенное значение.

Независимость от поверхности. Левая часть зависит только от контура LL, поэтому ∫S∇×F⋅n dS\int_S\nabla\times \vec F\cdot\un\,\dS одинаков для любых поверхностей, натянутых на один и тот же контур, — плоского диска, выпуклой «шапки», сколь угодно изогнутой плёнки, — если между ними нет особых точек поля. Это согласуется с тождеством ∇⋅∇×F=0\nabla\cdot \nabla\times \vec F=0, доказанным ниже: ротор — соленоидальное поле, и его поток через замкнутую поверхность, составленную из двух натянутых поверхностей, равен нулю.

Потенциальность. Если ∇×F=0\nabla\times \vec F=0 во всей области и область односвязна (любой контур в ней стягивается в точку, не выходя из области), то циркуляция по любому контуру равна нулю, линейный интеграл не зависит от пути и поле имеет скалярный потенциал. Условие односвязности не формально: вне провода с током ∇×H=0\nabla\times \uH=0, но область «всё пространство без оси» не односвязна, и циркуляция по контуру вокруг провода равна II, а не нулю. Скалярный магнитный потенциал φм=−Iα/(2π)\varphi_{\mathrm м}=-I\alpha/(2\pi) там существует, но многозначен: при каждом обходе он меняется на −I-I.

Закон полного тока внутри провода

В проводе радиуса a=5a=5 мм течёт ток I=100I=100 А с равномерной плотностью J=I/(πa2)=1,27⋅106J=I/(\pi a^2)=1{,}27\cdot10^{6} А/м². Применим теорему Стокса к окружности радиуса r=2,5r=2{,}5 мм с центром на оси и натянутому на неё диску: ∫S∇×H⋅n dS=∫SJ⋅n dS=Jπr2=1,27⋅106⋅1,96⋅10−5=25,0\int_S\nabla\times \uH\cdot\un\,\dS=\int_S\uJ\cdot\un\,\dS=J\pi r^2=1{,}27\cdot10^6\cdot1{,}96\cdot10^{-5}=25{,}0 А. Левая часть — 2πrHα2\pi rH_\alpha, откуда Hα=Jr/2=1,27⋅106⋅1,25⋅10−3=1,59⋅103H_\alpha=Jr/2=1{,}27\cdot10^6\cdot1{,}25\cdot10^{-3}=1{,}59\cdot10^{3} А/м; проверка: 2π⋅0,0025⋅1,59⋅103=25,02\pi\cdot0{,}0025\cdot1{,}59\cdot10^3=25{,}0 А. Если взять вместо диска выпуклую «шапку» с тем же краем, через неё пройдёт тот же ток 2525 А, поскольку линии J\uJ в стационарном режиме не обрываются.

Формулы Грина

Применяя теорему Остроградского–Гаусса к полю ψ∇φ\psi\nabla \varphi и используя тождество ∇⋅(ψF)=ψ∇⋅F+F⋅∇ψ\nabla\cdot (\psi\vec F)=\psi\nabla\cdot \vec F+\vec F\cdot\nabla \psi, получаем первую формулу Грина; вычитая из неё такую же с переставленными φ\varphi и ψ\psi — вторую.

Формулы Грина

∫V(ψ Δφ+∇ψ⋅∇φ)dV=∮Sψ ∂φ∂n dS,∫V(ψ Δφ−φ Δψ)dV=∮S(ψ ∂φ∂n−φ ∂ψ∂n)dS,\int_V\bigl(\psi\,\Delta\varphi+\nabla \psi\cdot\nabla \varphi\bigr)\dV=\oint_S\psi\,\frac{\partial\varphi}{\partial n}\,\dS, \qquad \int_V\bigl(\psi\,\Delta\varphi-\varphi\,\Delta\psi\bigr)\dV=\oint_S\Bigl(\psi\,\frac{\partial\varphi}{\partial n}-\varphi\,\frac{\partial\psi}{\partial n}\Bigr)\dS, где ∂φ/∂n=∇φ⋅n\partial\varphi/\partial n=\nabla \varphi\cdot\un — производная по внешней нормали, а Δ\Delta — лапласиан, определяемый ниже.

Формулы Грина — рабочий инструмент теории краевых задач: из первой при ψ=φ\psi=\varphi следует теорема единственности для уравнений Пуассона и Лапласа (урок о краевых задачах), а также выражение энергии поля через заряды и потенциалы; она же лежит в основе слабой формулировки, на которой построен метод конечных элементов (урок о численном моделировании) [Тихонов].

Лапласиан

Лапласиан

Лапласианом (оператором Лапласа) скалярного поля называется дивергенция его градиента: Δφ=∇2φ=∇⋅∇φ.\Delta\varphi=\nabla^2\varphi=\nabla\cdot \nabla \varphi . Единица — [единица φ\varphi]/м². В декартовых и цилиндрических координатах Δφ=∂2φ∂x2+∂2φ∂y2+∂2φ∂z2=1r∂∂r(r∂φ∂r)+1r2∂2φ∂α2+∂2φ∂z2.\Delta\varphi=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} =\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r\frac{\partial\varphi}{\partial r}\Bigr)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial\alpha^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}. Цилиндрическая форма получается подстановкой компонент градиента (∂rφ, 1r∂αφ, ∂zφ)(\partial_r\varphi,\ \frac1r\partial_\alpha\varphi,\ \partial_z\varphi) в формулу дивергенции.

Лапласиан как отклонение от среднего

Пусть φ‾R\overline\varphi_R — среднее значение φ\varphi по сфере радиуса RR с центром в точке r\ur. Разложение φ\varphi в ряд Тейлора с усреднением даёт φ‾R−φ(r)=R26Δφ(r)+O(R4);\overline\varphi_R-\varphi(\ur)=\frac{R^2}{6}\Delta\varphi(\ur)+O(R^4); для окружности на плоскости множитель 16\frac16 заменяется на 14\frac14. Лапласиан положителен там, где значение в точке меньше среднего по окрестности (локальная «впадина»), отрицателен — где больше («горб»), и равен нулю, если значение в точке равно среднему по соседям.

Проверка на примере φ=x2\varphi=x^2: Δφ=2\Delta\varphi=2; среднее x2x^2 по сфере радиуса RR равно R2/3R^2/3, и R2/3−0=R26⋅2R^2/3-0=\frac{R^2}{6}\cdot2. Это свойство объясняет уравнения, в которых участвует лапласиан:

Уравнение Название Смысл
Δφ=−ρ/ε\Delta\varphi=-\rho/\varepsilon уравнение Пуассона в области с положительным зарядом потенциал имеет «горб»: Δφ<0\Delta\varphi<0
Δφ=0\Delta\varphi=0 уравнение Лапласа без зарядов потенциал в каждой точке равен среднему по соседям; ни максимумов, ни минимумов внутри области быть не может
λΔT+qV=0\lambda\Delta T+q_V=0 стационарная теплопроводность тепловыделение создаёт «горб» температуры
ρmc ∂T∂t=λΔT\rho_mc\,\dfrac{\partial T}{\partial t}=\lambda\Delta T нестационарная теплопроводность температура в точке растёт, если она ниже средней по окрестности — тепло притекает от более нагретых соседей

Функции с Δφ=0\Delta\varphi=0 называют гармоническими; принцип максимума для них — основа теоремы единственности и полезная проверка численных решений: потенциал в области без зарядов не может превышать наибольшего значения на границе.

Пластина с тепловыделением

В плоской пластине толщиной 2L=22L=2 см с теплопроводностью λ=0,5\lambda=0{,}5 Вт/(м·К) выделяется qV=105q_V=10^5 Вт/м³; обе поверхности поддерживаются при температуре TsT_s. Уравнение λ d2T/dx2+qV=0\lambda\,\dd^2T/\dd x^2+q_V=0 с xx от середины даёт T(x)=Ts+qV2λ(L2−x2)T(x)=T_s+\dfrac{q_V}{2\lambda}(L^2-x^2). Лапласиан ΔT=−qV/λ=−2⋅105\Delta T=-q_V/\lambda=-2\cdot10^5 К/м² отрицателен — температурный «горб». Превышение середины над поверхностью: 105⋅10−42⋅0,5=10\dfrac{10^5\cdot10^{-4}}{2\cdot0{,}5}=10 К.

Гармонические функции в цилиндрических координатах

φ=ln⁡r\varphi=\ln r: Δφ=1r d(r⋅1r)/dr=0\Delta\varphi=\frac1r\,\dd(r\cdot\frac1r)/\dd r=0 при r≠0r\ne0 — потенциал заряженной нити гармоничен вне нити. φ=r2=x2+y2\varphi=r^2=x^2+y^2: Δφ=1r d(2r2)/dr=4\Delta\varphi=\frac1r\,\dd(2r^2)/\dd r=4, что совпадает с декартовым расчётом 2+22+2. φ=rcos⁡α=x\varphi=r\cos\alpha=x: 1r d(rcos⁡α)/dr+1r2(−rcos⁡α)=cos⁡αr−cos⁡αr=0\frac1r\,\dd(r\cos\alpha)/\dd r+\frac1{r^2}(-r\cos\alpha)=\frac{\cos\alpha}{r}-\frac{\cos\alpha}{r}=0 — линейная функция гармонична, как и должно быть.

Тождества векторного анализа

Основные тождества

Для достаточно гладких полей ∇×∇φ=0,∇⋅∇×F=0,∇×∇×F=∇∇⋅F−ΔF,\nabla\times \nabla \varphi=0,\qquad \nabla\cdot \nabla\times \vec F=0,\qquad \nabla\times \nabla\times \vec F=\nabla \nabla\cdot \vec F-\Delta\vec F, ∇⋅(φF)=φ ∇⋅F+F⋅∇φ,∇×(φF)=φ ∇×F+∇φ×F,\nabla\cdot (\varphi\vec F)=\varphi\,\nabla\cdot \vec F+\vec F\cdot\nabla \varphi,\qquad \nabla\times (\varphi\vec F)=\varphi\,\nabla\times \vec F+\nabla \varphi\times\vec F, где ΔF\Delta\vec F в декартовых координатах — вектор с компонентами ΔFx,ΔFy,ΔFz\Delta F_x,\Delta F_y,\Delta F_z (в цилиндрических координатах ΔF\Delta\vec F не сводится к лапласианам компонент — базис поворачивается). Доказательство первых двух. (∇×∇φ)z=∂∂x∂φ∂y−∂∂y∂φ∂x=0(\nabla\times \nabla \varphi)_z=\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}-\dfrac{\partial}{\partial y}\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=0 в силу равенства смешанных производных; остальные компоненты аналогично. ∇⋅∇×F=∂∂x(∂Fz∂y−∂Fy∂z)+∂∂y(∂Fx∂z−∂Fz∂x)+∂∂z(∂Fy∂x−∂Fx∂y)=0\nabla\cdot \nabla\times \vec F=\dfrac{\partial}{\partial x}\Bigl(\dfrac{\partial F_z}{\partial y}-\dfrac{\partial F_y}{\partial z}\Bigr)+\dfrac{\partial}{\partial y}\Bigl(\dfrac{\partial F_x}{\partial z}-\dfrac{\partial F_z}{\partial x}\Bigr)+\dfrac{\partial}{\partial z}\Bigl(\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}\Bigr)=0 — шесть смешанных производных попарно сокращаются.

Физические следствия тождеств определяют структуру всей теории поля [Бессонов], [Демирчян].

  • Существование скалярного потенциала. Если ∇×E=0\nabla\times \uE=0 в односвязной области, то E=−∇φ\uE=-\nabla \varphi; тождество ∇×∇φ=0\nabla\times \nabla \varphi=0 гарантирует, что любое такое поле автоматически безвихревое. Потенциал определён с точностью до постоянной — отсюда понятие опорного потенциала («земли»).
  • Существование векторного потенциала. Если ∇⋅B=0\nabla\cdot \uB=0, то B=∇×A\uB=\nabla\times \uA; тождество ∇⋅∇×A=0\nabla\cdot \nabla\times \uA=0 показывает, что любое поле вида ∇×A\nabla\times \uA соленоидально. Векторный потенциал определён с точностью до градиента произвольной функции: A′=A+∇χ\uA'=\uA+\nabla \chi даёт то же B\uB. Выбор χ\chi — калибровка; обычно требуют ∇⋅A=0\nabla\cdot \uA=0 (калибровка Кулона).
  • Уравнение для векторного потенциала. Подставляя B=∇×A\uB=\nabla\times \uA в ∇×H=J\nabla\times \uH=\uJ при B=μH\uB=\mu\uH и однородной μ\mu: ∇×∇×A=μJ\nabla\times \nabla\times \uA=\mu\uJ, и по третьему тождеству при ∇⋅A=0\nabla\cdot \uA=0 получаем ΔA=−μJ\Delta\uA=-\mu\uJ — векторное уравнение Пуассона, формально такое же, как Δφ=−ρ/ε\Delta\varphi=-\rho/\varepsilon. В плоских задачах (J=Jzez\uJ=J_z\vec e_z) остаётся одно скалярное уравнение для AzA_z — именно оно решается в лаборатории магнитной цепи.
  • Сохранение заряда как следствие уравнений поля. Взяв дивергенцию от ∇×H=J+∂D/∂t\nabla\times \uH=\uJ+\partial\uD/\partial t, получаем 0=∇⋅J+∂(∇⋅D)/∂t=∇⋅J+∂ρ/∂t0=\nabla\cdot \uJ+\partial(\nabla\cdot \uD)/\partial t=\nabla\cdot \uJ+\partial\rho/\partial t — уравнение непрерывности, которое в следующем уроке будет выведено именно так.

Лаборатория

Лаборатория состоит из двух вкладок. На вкладке «Остроградского–Гаусса» выбирается поле из набора и замкнутая поверхность — куб или сфера с заданным центром и размером. Вычисляются два числа: поток через поверхность (численная квадратура нормальной составляющей поля) и объёмный интеграл дивергенции (численная квадратура аналитически вычисленной ∇⋅F\nabla\cdot \vec F по объёму); показаны оба и их разность. Для гладких полей разность мала при любом размере; для точечного источника она близка к нулю, пока начало координат вне объёма, и скачком становится равной 4π4\pi, когда особая точка оказывается внутри, — наглядная демонстрация условия применимости.

На вкладке «Стокса» задаётся контур-окружность, на который натянуты две поверхности с общей границей: плоский диск и сферическая «шапка» регулируемой высоты. Циркуляция по контуру сравнивается с ∫S∇×F⋅n dS\int_S\nabla\times \vec F\cdot\un\,\dS по диску и по шапке. Для гладких полей все три числа совпадают — поверхностная независимость. Переключатель ориентации меняет направление обхода и обе нормали согласованно, так что все три числа меняют знак одновременно.

Что стоит проделать:

  • На первой вкладке для поля F=r\vec F=\ur убедитесь, что поток через куб с ребром aa равен 3a33a^3 независимо от положения центра, а для сферы радиуса RR — 4πR34\pi R^3.
  • Для точечного источника медленно перемещайте сферу, пока начало координат не пересечёт её поверхность. Как ведут себя оба числа? Что произойдёт при уменьшении размера поверхности при неподвижном центре в начале координат?
  • На второй вкладке для азимутального поля (−y, x, 0)/(x2+y2)(-y,\,x,\,0)/(x^2+y^2) расположите контур так, чтобы он охватывал ось zz. Циркуляция равна 2π2\pi; что показывают интегралы ротора по диску и по шапке и почему они не совпадают с циркуляцией?

Типичные ошибки

  • Применение теоремы через особую точку. Если внутри объёма или на натянутой поверхности есть точка, где поле не дифференцируемо (точечный заряд, ось тока), теорема неприменима; особую точку нужно исключить малой поверхностью или учесть интегрально (заряд, ток).
  • Несогласованная ориентация. Внешняя нормаль для замкнутой поверхности; нормаль по правилу правого винта относительно обхода контура. Ошибка в одном знаке даёт неверный знак потока или ЭДС.
  • «Интеграл ротора зависит от поверхности». Не зависит — для любых поверхностей с общим краем, между которыми поле гладко. Если результат изменился при замене диска на шапку, между ними есть источник вихря (ток).
  • Лапласиан как вторая производная по одному направлению. Δφ\Delta\varphi — сумма вторых производных по трём направлениям; функция x2−y2x^2-y^2 имеет ненулевые вторые производные, но Δ=0\Delta=0.
  • Лапласиан вектора в цилиндрических координатах. (ΔF)r≠ΔFr(\Delta\vec F)_r\ne\Delta F_r: нужно пользоваться тождеством ΔF=∇∇⋅F−∇×∇×F\Delta\vec F=\nabla \nabla\cdot \vec F-\nabla\times \nabla\times \vec F или готовыми формулами [Борисенко].

Вопросы и упражнения

  1. Вычислите поток поля F=(x3, y3, z3)\vec F=(x^3,\,y^3,\,z^3) через поверхность куба −1≤x,y,z≤1-1\le x,y,z\le1 двумя способами: по теореме Остроградского–Гаусса и непосредственно по граням.
  2. Докажите, что поток ротора любого гладкого поля через замкнутую поверхность равен нулю, двумя способами: через теорему Остроградского–Гаусса и через теорему Стокса (разрезав поверхность контуром на две части).
  3. Проверьте тождество ∇×∇×F=∇∇⋅F−ΔF\nabla\times \nabla\times \vec F=\nabla \nabla\cdot \vec F-\Delta\vec F для поля F=(y2, 0, 0)\vec F=(y^2,\,0,\,0).
  4. Найдите лапласиан функций φ1=x2−y2\varphi_1=x^2-y^2, φ2=excos⁡y\varphi_2=e^{x}\cos y, φ3=1/x2+y2+z2\varphi_3=1/\sqrt{x^2+y^2+z^2} (при r≠0r\ne0). Какие из них гармоничны? Какие физические поля они описывают?
  5. Температура внутри тела без источников удовлетворяет ΔT=0\Delta T=0. Может ли в стационарном режиме внутри такого тела быть точка с максимальной температурой? Как это согласуется с интуицией о тепловом потоке?
  6. В лаборатории на вкладке «Стокса» выберите поле прямого тока и расположите контур так, чтобы ось zz пересекала шапку, но не диск. Возможно ли это геометрически? Что вы ожидаете увидеть?

Ответы к пунктам 1, 3, 4 и 6

1. ∇⋅F=3x2+3y2+3z2\nabla\cdot \vec F=3x^2+3y^2+3z^2. ∫V3(x2+y2+z2) dV=3⋅3∫−11x2 dx⋅2⋅2=9⋅23⋅4=24\int_V3(x^2+y^2+z^2)\,\dV=3\cdot3\int_{-1}^1x^2\,\dd x\cdot2\cdot2=9\cdot\frac23\cdot4=24. Непосредственно: грань x=1x=1 даёт ∫Fx dy dz=1⋅4=4\int F_x\,\dd y\,\dd z=1\cdot4=4, грань x=−1x=-1 с нормалью −ex-\vec e_x: −(−1)⋅4=4-(-1)\cdot4=4; по шести граням 6⋅4=246\cdot4=24.

3. ∇⋅F=0\nabla\cdot \vec F=0, ∇∇⋅F=0\nabla \nabla\cdot \vec F=0. ∇×F=(0, 0, −2y)\nabla\times \vec F=(0,\,0,\,-2y), ∇×∇×F=(∂(−2y)/∂y, −∂(−2y)/∂x, 0)=(−2, 0, 0)\nabla\times \nabla\times \vec F=(\partial(-2y)/\partial y,\ -\partial(-2y)/\partial x,\ 0)=(-2,\,0,\,0). ΔF=(Δy2, 0, 0)=(2, 0, 0)\Delta\vec F=(\Delta y^2,\,0,\,0)=(2,\,0,\,0). Правая часть: 0−(2, 0, 0)=(−2, 0, 0)0-(2,\,0,\,0)=(-2,\,0,\,0) — совпадает.

4. Δφ1=2−2=0\Delta\varphi_1=2-2=0 — гармонична (потенциал квадрупольной линзы, поле E=(−2x, 2y, 0)\uE=(-2x,\,2y,\,0)). Δφ2=excos⁡y−excos⁡y=0\Delta\varphi_2=e^x\cos y-e^x\cos y=0 — гармонична (потенциал периодической системы электродов). Δφ3\Delta\varphi_3: φ3=1/r\varphi_3=1/r в сферических координатах, ∇φ3=−r/r3\nabla \varphi_3=-\ur/r^3, а ∇⋅(r/r3)=0\nabla\cdot (\ur/r^3)=0 при r≠0r\ne0, значит, Δφ3=0\Delta\varphi_3=0 — потенциал точечного заряда гармоничен вне заряда.

6. Геометрически возможно: если контур не охватывает ось zz, а шапка высокая, то ось входит в шапку и выходит из неё, пересекая её дважды. Поле прямого тока вне оси безвихревое, поэтому циркуляция по контуру и поток ротора через диск равны нулю; поток через шапку тоже равен нулю — вклады двух точек пересечения оси с шапкой (двух «пронизываний» особой линией в противоположных направлениях) взаимно компенсируются. Теорема Стокса не нарушена: нарушение возникает лишь тогда, когда особая линия пересекает любую натянутую поверхность нечётное число раз, то есть когда контур её охватывает.

Итоги

  • Теорема Остроградского–Гаусса: ∮SF⋅n dS=∫V∇⋅F dV\oint_S\vec F\cdot\un\,\dS=\int_V\nabla\cdot \vec F\,\dV — поток через границу равен суммарной мощности источников внутри; требуется гладкость поля в объёме и внешняя нормаль.
  • Теорема Стокса: ∮LF⋅dl=∫S∇×F⋅n dS\oint_L\vec F\cdot\dl=\int_S\nabla\times \vec F\cdot\un\,\dS — циркуляция равна потоку ротора через любую поверхность с данным краем; ориентация — по правилу правого винта.
  • Особые точки нарушают теоремы: поток r/r3\ur/r^3 через сферу равен 4π4\pi при нулевой дивергенции вне начала координат — это закон Гаусса для точечного заряда.
  • Лапласиан Δφ=∇⋅∇φ\Delta\varphi=\nabla\cdot \nabla \varphi измеряет отклонение значения в точке от среднего по окрестности; уравнения Пуассона и Лапласа, стационарная и нестационарная теплопроводность записываются через него.
  • Тождества ∇×∇φ=0\nabla\times \nabla \varphi=0 и ∇⋅∇×F=0\nabla\cdot \nabla\times \vec F=0 обеспечивают существование скалярного потенциала φ\varphi для безвихревых и векторного потенциала A\uA для соленоидальных полей; ∇×∇×=∇∇⋅−Δ\nabla\times \nabla\times =\nabla \nabla\cdot -\Delta даёт уравнение ΔA=−μJ\Delta\uA=-\mu\uJ.

Далее — уравнения Максвелла и переход к статике: математический язык готов, и его можно применить к законам электромагнитного поля.

Уточнения постановки и расчётной методики FEMM 5

Контрольное соотношение

Теоремы требуют регулярности поля и согласованной ориентации; особую точку рассматривают отдельно.

\oiint F\cdot n\,dS=\iiint 3\,dV=4\pi R^3=\pi/2
(2.7)
Аналитическое упражнение; не результат расчёта FEMM.

Разобранный численный пример

Контрольный пример

Дано. Для F=(x,y,z) и сферы радиуса 0,5 сравните поверхностный и объёмный интегралы.

  1. Теоремы требуют регулярности поля и согласованной ориентации; особую точку рассматривают отдельно.

    \oiint F\cdot n\,dS=\iiint 3\,dV=4\pi R^3=\pi/2
    (2.8)

Ответ: 1,571 1

Проверка: Сравните знак и предел при изменении одного параметра.

Практикум в FEMM 5

Исследование поля и интерпретация результата

Таблица 2.4. Исходные данные практикума
Исходная величинаЗначениеЕдиница
Исходные условияДля F=(x,y,z) и сферы радиуса 0,5 сравните поверхностный и объёмный интегралы.
  1. Сформулируйте прогноз до открытия ответа.
  2. Откройте связанный опыт; получите исходное и изменённое состояния.
  3. Запишите численные величины и объясните знак, единицу и причину изменения.

Ожидаемый результат. Таблица двух состояний и физическое объяснение.

Как проверить. Теоремы требуют регулярности поля и согласованной ориентации; особую точку рассматривают отдельно.

Обработка и анализ результатов

Почему особая точка внутри области меняет условия интегральной теоремы?

  1. Сопоставьте локальный и интегральный расчёты, затем измените ориентацию.
  2. Приведите результаты к одинаковым единицам и ориентации; вычислите невязку независимых способов измерения.

С чем сравнить. Используйте интегральный закон и ориентацию контура из теории занятия. Плотность, интеграл по сечению и полный объёмный результат сравнивают после учёта геометрического множителя.

Итог работы. Две согласованные пары интегралов и объяснение случая с особенностью.

Самостоятельная работа

Для F=(x,y,z) и сферы радиуса 0,5 сравните поверхностный и объёмный интегралы. Теоремы требуют регулярности поля и согласованной ориентации; особую точку рассматривают отдельно.

Критерий выполнения: Записаны исходные параметры, ориентация и определение величины. Сохранены два состояния опыта и объяснение различия. Теоремы требуют регулярности поля и согласованной ориентации; особую точку рассматривают отдельно.

Литература

Полные библиографические описания

Пояснения и типичные ошибки
Для F=(x,y,z) и сферы радиуса 0,5 сравните поверхностный и объёмный интегралы.

1,571; Теоремы требуют регулярности поля и согласованной ориентации; особую точку рассматривают отдельно.

Что подтверждает аналитическая самопроверка?

Выполнение этого контрольного упражнения; расчёт устройства FEMM проверяется по его собственной модели.

На что обратить внимание

  • Теоремы требуют регулярности поля и согласованной ориентации; особую точку рассматривают отдельно.