Температура, поток, конвекция и излучение на границе

Зачем нужны граничные условия

Уравнение теплопроводности описывает, что происходит внутри тела. Но нагрев обмотки или остывание стенки определяются прежде всего тем, как тело обменивается теплом с окружением: омывается ли оно воздухом или водой, излучает ли в холодное помещение, прижато ли к радиатору. Все эти процессы — конвекция, излучение, контакт с другим телом — в расчётной модели теплопроводности сводятся к граничным условиям на поверхности тела. Решение краевой задачи единственно, только если на каждой части границы задано ровно одно условие (теорема единственности); выбор правильного типа условия — главное инженерное решение при постановке тепловой задачи.

Обозначения: $T_s$ — температура поверхности тела, $\un$ — внешняя нормаль к ней, $q_n=\uq\cdot\un=-\lambda\,\partial T/\partial n$ — плотность теплового потока, выходящего из тела через поверхность.

Три рода граничных условий

Коэффициент теплоотдачи — не свойство материала, а характеристика процесса обтекания: он зависит от скорости среды, её вязкости и теплопроводности, от ориентации и размера поверхности, от самой разности $T_s-T_\infty$ при свободной конвекции. Типичные порядки величины [Исаченко]:

Разброс в три порядка объясняет, почему водяное охлаждение позволяет снимать с той же поверхности в сотни раз большую мощность, чем естественное охлаждение воздухом.

Излучение

Любая поверхность с абсолютной температурой $T_s$ излучает в окружение, имеющее температуру $T_{\text{окр}}$, и поглощает излучение окружения. Для малого тела в большом окружении (стенки помещения, небо) результирующая плотность потока $$q_{\text{изл}}=\varepsilon_{\mathrm и}\,\sigma_{\text{СБ}}\left(T_s^4-T_{\text{окр}}^4\right),$$ где $\varepsilon_{\mathrm и}$ — степень черноты поверхности ($0<\varepsilon_{\mathrm и}\le1$; окисленный металл $0{,}6$–$0{,}9$, краска $0{,}9$, полированный металл $0{,}05$–$0{,}1$), $\sigma_{\text{СБ}}=5{,}670\cdot10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴) — постоянная Стефана–Больцмана [CODATA]. Температуры входят в четвёртой степени и только в кельвинах: подстановка градусов Цельсия даёт бессмыслицу, вплоть до отрицательного потока от более горячего тела к более холодному.

Нелинейное условие неудобно для схем замещения, поэтому его линеаризуют, представляя разность четвёртых степеней как произведение: $$T_s^4-T_{\text{окр}}^4=\left(T_s^2+T_{\text{окр}}^2\right)\left(T_s+T_{\text{окр}}\right)\left(T_s-T_{\text{окр}}\right),$$ откуда $$q_{\text{изл}}=\alpha_{\text{изл}}\,(T_s-T_{\text{окр}}),\qquad \alpha_{\text{изл}}=\varepsilon_{\mathrm и}\,\sigma_{\text{СБ}}\left(T_s^2+T_{\text{окр}}^2\right)\left(T_s+T_{\text{окр}}\right).$$ Величина $\alpha_{\text{изл}}$ — «коэффициент теплоотдачи излучением» — зависит от обеих температур, поэтому её приходится уточнять итерациями: задаться $T_s$, вычислить $\alpha_{\text{изл}}$, решить линейную задачу, получить новое $T_s$ и повторить. Так же поступают и в численных расчётах; лаборатория ниже решает нелинейное условие итерационно и приводит $R_{\text{изл}}=1/(\alpha_{\text{изл}}S)$ при найденной $T_s$.

Если тело одновременно омывается воздухом с $T_\infty$ и излучает в окружение с $T_{\text{окр}}$, потоки складываются: $$q_n=\alpha\,(T_s-T_\infty)+\varepsilon_{\mathrm и}\sigma_{\text{СБ}}\left(T_s^4-T_{\text{окр}}^4\right).$$ При $T_\infty=T_{\text{окр}}$ это условие третьего рода с суммарным коэффициентом $\alpha_\Sigma=\alpha+\alpha_{\text{изл}}$.

Условия на границе раздела и контактное сопротивление

На границе двух тел с теплопроводностями $\lambda_1$, $\lambda_2$ выполняются два условия (см. границы раздела сред): непрерывность нормальной плотности потока — энергия на границе не накапливается — и непрерывность температуры при идеальном контакте: $$\lambda_1\frac{\partial T_1}{\partial n}=\lambda_2\frac{\partial T_2}{\partial n},\qquad T_1=T_2 .$$ Реальные поверхности шероховаты, соприкасаются лишь отдельными выступами, а в промежутках заключён воздух с его ничтожной теплопроводностью. Поэтому при одинаковом потоке температура на границе испытывает скачок: $$T_1-T_2=R_{\mathrm к}\,q_n ,$$ где $R_{\mathrm к}$ — удельное контактное тепловое сопротивление, К·м²/Вт. Его типичные значения $10^{-5}$–$10^{-3}$ К·м²/Вт; оно уменьшается при росте давления прижима, шлифовке поверхностей, применении теплопроводящих паст и прокладок. При $q_n=10^4$ Вт/м² и $R_{\mathrm к}=2\cdot10^{-4}$ К·м²/Вт скачок составляет $2$ К — для силового полупроводникового прибора на радиаторе это заметная величина.

Тепловые сопротивления и схемы замещения

В стационарном одномерном случае через каждый слой и каждую граничную поверхность идёт один и тот же тепловой поток $P$, а температура падает на величину, пропорциональную $P$. Это полная аналогия с электрической цепью: $P$ играет роль тока, перепад температур — роль напряжения.

Для многослойной плоской стенки между двумя средами полное сопротивление на единицу площади $$\frac1k=\frac1{\alpha_1}+\sum_i\frac{d_i}{\lambda_i}+\sum_j R_{\mathrm к j}+\frac1{\alpha_2},\qquad q=k\,(T_{\infty1}-T_{\infty2}),$$ где $k$ — коэффициент теплопередачи, Вт/(м²·К). Для цилиндрической стенки удобнее работать с сопротивлениями на единицу длины $R'=R\,\ell$, К·м/Вт, и потоком $P'$, Вт/м. Температура на каждой границе находится последовательным вычитанием $P\,R_i$: это и есть «расчёт цепи».

Критический радиус изоляции

Наращивание изоляции на трубе увеличивает её сопротивление теплопроводности, но одновременно увеличивает наружную поверхность, с которой тепло отдаётся среде. Два эффекта противоположны, и для тонких труб второй может победить.

Для минеральной ваты в воздухе при $\alpha=10$: $r_{\text{кр}}=0{,}04/10=4$ мм. Для труб это неактуально — их радиусы заведомо больше. Но для электрических проводов в изоляции из полимера ($\lambda\approx0{,}2$, $r_{\text{кр}}=20$ мм при $\alpha=10$) эффект работает в полезную сторону: слой изоляции на тонком проводе улучшает его охлаждение, увеличивая поверхность теплоотдачи. Безразмерная форма условия, $\alpha r/\lambda<1$, — это число Био, меньшее единицы; с ним мы встретимся в нестационарных задачах.

Лаборатория

Лаборатория рассчитывает многослойную стенку — плоскую или цилиндрическую (труба с изоляцией) — до трёх слоёв. Для каждого слоя задаются толщина, $\lambda$ и объёмное тепловыделение $q_V$; между слоями можно ввести контактное сопротивление $R_{\mathrm к}$. На левой и правой границах выбирается тип условия: заданная температура, конвекция ($\alpha$, $T_\infty$), излучение ($\varepsilon_{\mathrm и}$, $T_{\text{окр}}$), конвекция вместе с излучением (при $T_\infty=T_{\text{окр}}$), заданная плотность потока или теплоизоляция. Все температуры вводятся в °C; в формулу излучения подставляются кельвины. Выводятся температуры на всех границах слоёв, $q$ на наружной границе, тепловые потоки $P$ через обе границы (положительные — наружу) при заданной площади $S$ (для трубы — длине $\ell$), выделяемая мощность, баланс «сумма потоков наружу − выделенное = 0», тепловые сопротивления слоёв, контактов и граничных условий, схема замещения и графики $T(x)$, $q(x)$. Решение аналитическое по слоям; нелинейное условие излучения решается итерационно, а $R_{\text{изл}}$ вычисляется по линеаризованному $\alpha_{\text{изл}}$ при найденной $T_s$.

Что стоит проделать:

• Соберите трёхслойную стену из примера выше и сверьте температуры границ. Затем замените наружную конвекцию на теплоизоляцию: убедитесь, что при отсутствии источников поток обращается в нуль, а вся стенка принимает температуру внутреннего воздуха.
• Включите тепловыделение в одном слое. Проследите, как $q(x)$ из постоянной становится линейной, а температурный профиль — параболическим; проверьте по балансу, что сумма выходящих потоков равна $q_V$, умноженному на объём слоя.
• Добавьте контактное сопротивление между слоями и посмотрите на скачок температуры на графике $T(x)$ при непрерывном $q(x)$.
• Для трубы с тонкой изоляцией ($\lambda=0{,}2$, $\alpha=8$) уменьшайте радиус трубы и найдите, при каком радиусе добавление слоя изоляции перестаёт снижать потери. Сравните с $\lambda/\alpha$.
• Замените конвекцию на излучение при $\varepsilon_{\mathrm и}=0{,}9$ и сравните сопротивление $R_{\text{изл}}$ с $R_{\text{конв}}$ при $\alpha=7$: при комнатных температурах они близки.

Итоги

• На границе тела задают одно условие: температуру (первый род), плотность потока (второй род; $q_n=0$ — изоляция и симметрия) или связь потока с температурой среды (третий род, $q_n=\alpha(T_s-T_\infty)$).
• Излучение $q=\varepsilon_{\mathrm и}\sigma_{\text{СБ}}(T_s^4-T_{\text{окр}}^4)$ требует кельвинов; линеаризация даёт $\alpha_{\text{изл}}=\varepsilon_{\mathrm и}\sigma_{\text{СБ}}(T_s^2+T_{\text{окр}}^2)(T_s+T_{\text{окр}})$, при комнатных температурах порядка $5$–$7$ Вт/(м²·К).
• Конвекция и излучение в задаче теплопроводности — модели границы с эмпирическими коэффициентами, а не решение задач о течении или переносе излучения.
• Неидеальный контакт даёт скачок температуры $\Delta T=R_{\mathrm к}q_n$ при непрерывном потоке.
• Стационарная одномерная задача сводится к цепи тепловых сопротивлений $d/(\lambda S)$, $\ln(r_2/r_1)/(2\pi\lambda\ell)$, $1/(\alpha S)$; обратная сумма даёт коэффициент теплопередачи $k$; критический радиус изоляции $r_{\text{кр}}=\lambda/\alpha$; тепловой баланс — обязательная проверка.

Далее — нестационарная теплопроводность: как быстро тело прогревается и когда его можно считать телом с одной температурой.