Занятие 8.2

Магнитная энергия и коэнергия до расчёта сил

Цель. Сравните энергию по полю и потокосцеплению

Теория Пример Практика Файлы

На этой странице

Две обмотки на магнитопроводе: N₁ = 100 · N₂ = 50 · I₁ = 1 А; основные размеры, поле при первичном возбуждении; Ψ₂ = 6,83 мВб. — 1. Двухобмоточный магнитопровод: первичное возбуждение1 — N₁ · 2 — N₂Расчётный образец. Линейная сталь μᵣ = 1000; глубина 20 мм. b и h — наружные размеры сердечника между противоположными поверхностями.Открыть SVG целиком Результат отдельно Исходная учебная модель

Катушки без сердечника и с сердечником: потокосцепления и матрицы индуктивностей. Сохранённое решение FEMM 5. Потоковая функция ψ = 2πrAφ; интерполяция FEMM 5. Показаны потенциал и его уровни, а не модуль B. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены. — 2. Катушки без сердечника и с сердечником: потокосцепления и матрицы индуктивностей1 — Обмотка без потерьСохранённое решение FEMM 5. Потоковая функция ψ = 2πrAφ; интерполяция FEMM 5. Показаны потенциал и его уровни, а не модуль B. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены.Открыть SVG целиком Результат отдельно Исходная учебная модель

Другие модели этой постановки · всего 5

Цель и задачи

Задачи

Объяснить метод и условия его применимости.
Выполнить сравните энергию по полю и потокосцеплению

Что нужно вспомнить перед началом

Место занятия в инженерной методике

Подготовительный этап методики · Проверка масштаба и пространственного распределения поля

Последовательность решения, отчёт и критерии результата

Выбор корректного метода до расчёта устройства.

Результат этого этапа — проверенная постановка или воспроизводимая процедура перед серией расчётов.

Последовательность решения

Обосновать постановку и способ измерения. Свяжите потенциал, его производные и измеряемые компоненты поля; выберите точки внутри областей и отдельно у границ.
Сравните энергию по полю и потокосцеплению. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сведите исходное и изменённое состояния в одну таблицу, укажите единицы и вычислите разность результатов.
Ответить на вопрос по своим результатам. Проверьте знак, единицу и масштаб по постановке; используйте аналитическое поле, если для этого эталона оно выведено в занятии.

Что включить в отчёт

Оформление наблюдений. Координаты, компоненты поля, единицы, режим и принадлежность точки материалу; при сравнении профилей — одна ориентация оси.

Как обосновать результат

Независимый контроль. Используйте производную потенциала, аналитический однородный предел или закон источника, предусмотренный данным занятием.

Точность и расхождения. Критерий этого этапа — соответствие исходным данным, топологии, назначениям и процедуре повторного открытия. Численный допуск поля здесь не назначают: поле ещё не является защищаемым результатом. Расхождения размеров и параметров фиксируйте с единицами и происхождением.

Вывод для устройства

Поясните, где поле определяет полезный эффект устройства, а где локальная неоднородность ограничивает простую расчётную схему.

Границы вывода. Методические опыты; расчётный статус определяется точными моделями и результатами проверки.

Теория и вывод формул

Сравните энергию по полю и потокосцеплению

Обозначения и единицы

Нормировки, общие обозначения и единицы курса. Обозначения конкретной задачи приведены рядом с формулами.

Указатель формул этого занятия

(8.15) · Энергия зависит от материального закона
(8.16) · Секущая и дифференциальная проницаемости; энергия поля в материале
(8.17) · Энергия и коэнергия: почему $2W/I^{2}$ не универсальная индуктивность
(8.18) · Энергия и коэнергия: почему $2W/I^{2}$ не универсальная индуктивность
(8.19) · Энергия и коэнергия: почему $2W/I^{2}$ не универсальная индуктивность
(8.20) · Вывод энергии и коэнергии
(8.21) · Почему при насыщении энергия не равна половине произведения

От энергии к силе

Электромагнит удерживает якорь, реле замыкает контакты, ротор двигателя вращается — во всех случаях поле совершает механическую работу. Вычислить силу «в лоб», суммируя силы Лоренца на токи и силы на элементарные магнитные моменты в стали, трудно и ненадёжно. Гораздо надёжнее энергетический путь: если известно, как запас энергии системы зависит от положения подвижной части, сила равна производной этой энергии по координате. Это метод виртуальной работы, и он работает одинаково для электромагнита, конденсатора с подвижной пластиной и электрической машины [Уайт–Вудсон].

Тонкость, которую нужно понять с первого раза: у магнитной системы есть две энергетические функции — энергия и коэнергия. Они совпадают в линейной системе и расходятся при насыщении, а сила выражается через каждую из них по-своему: через энергию — при постоянном потокосцеплении, через коэнергию — при постоянном токе. Перепутав, в нелинейной задаче получим неверный результат.

Энергия и коэнергия обмотки

Рассмотрим обмотку с потокосцеплением $\Psi$ и током $i$ ; геометрия пока неподвижна. Напряжение на обмотке без учёта сопротивления $u=\dd\Psi/\dd t$ , мощность от источника $ui=i\,\dd\Psi/\dd t$ , а работа источника за время $\dd t$ — $i\,\dd\Psi$ . Она целиком идёт в запас энергии поля.

Энергия и коэнергия

$W=\int_0^{\Psi}i(\Psi')\,\dd\Psi',\qquad W'=\int_0^{i}\Psi(i')\,\dd i',\qquad W+W'=\Psi i\ \ [\text{Дж}].$ Энергия $W$ — площадь между кривой намагничивания $\Psi(i)$ и осью $\Psi$ ; коэнергия $W'$ — площадь между той же кривой и осью $i$ . Вместе они заполняют прямоугольник $\Psi\times i$ , откуда и тождество $W+W'=\Psi i$ . Энергия — физически запасённая величина (работа источника); коэнергия — вспомогательная функция, не имеющая самостоятельного энергетического смысла, но чрезвычайно удобная.

В линейной системе $\Psi=Li$ , и обе площади — равные треугольники: $W=W'=\tfrac12Li^2=\tfrac12\Psi i=\Psi^2/(2L)$ . При насыщении кривая $\Psi(i)$ загибается к оси $i$ : энергия (площадь над кривой) растёт медленно, коэнергия (площадь под кривой) — быстро, и $W'>W$ .

Те же соотношения в полевых терминах: объёмная плотность энергии $w=\int_0^B\uH\cdot\dd\uB$ , коэнергии $w'=\int_0^H\uB\cdot\dd\uH$ , $w+w'=\uB\cdot\uH$ ; в линейной среде $w=w'=\tfrac12\uB\cdot\uH=B^2/(2\mu)$ . Интеграл $\int w\,\dV$ по всему пространству даёт $W$ .

Секущая и дифференциальная индуктивности

$L_{\mathrm{сек}}=\frac{\Psi}{i},\qquad L_{\mathrm{диф}}=\frac{\dd\Psi}{\dd i}.$ Секущая индуктивность определяет связь установившихся величин: поток при заданном токе, $\Psi=L_{\mathrm{сек}}i$ . Дифференциальная — реакцию на малые или быстрые изменения: $u=\dd\Psi/\dd t=L_{\mathrm{диф}}\,\dd i/\dd t$ при неподвижной геометрии, то есть именно $L_{\mathrm{диф}}$ входит в уравнения переходных процессов и определяет пульсации тока на переменной составляющей. В насыщенной системе $L_{\mathrm{диф}}<L_{\mathrm{сек}}$ и обе зависят от рабочей точки; в линейной — совпадают.

Нелинейный случай: насыщение

При насыщении $\Psi(i,x)$ нелинейна, и путь через коэнергию при $i=\mathrm{const}$ становится единственным удобным: $W'(i,x)=\int_0^i\Psi(i',x)\,\dd i'$ вычисляется по семейству кривых намагничивания для разных зазоров, а сила — как разностная производная по $x$ . Качественно: пока сталь не насыщена, $B$ в зазоре растёт пропорционально току и $F\propto i^2$ . Когда индукция в стали приближается к $B_s$ (около $1{,}5$ – $2$ Тл), поток перестаёт расти, и сила выходит на предел $F_{\max}\approx B_s^2S/\mu_0$ (для двух зазоров), каким бы ни был ток. Увеличение тока сверх этого лишь греет обмотку. Поэтому сила тяги электромагнита ограничена площадью полюса, а не числом витков.

Использовать в нелинейном случае энергию $W$ вместо коэнергии, дифференцируя при $i=\mathrm{const}$ , нельзя: $-(\partial W/\partial x)_i$ не равно силе, а разница тем больше, чем сильнее насыщение (в линейном случае $W=W'$ , и ошибка маскируется).

Уточнения постановки и расчётной методики FEMM 5

Энергия зависит от материального закона

Для обратимого материала без постоянных источников плотность энергии получают интегрированием H по B. Равенство w=B\cdot H/2 справедливо для линейной связи, проходящей через начало координат. Для нелинейного железа нужна площадь под соответствующей кривой; для постоянного магнита следует учитывать выбранную энергетическую модель и источник. Нельзя применять к магниту формулу линейного воздушного индуктора без проверки. Именно поэтому проверку W=LI^2/2 сначала проводят на линейной катушке, а силу магнитной системы изучают при корректной коэнергии и неизменных токах.

w_\text{м}(B)=\int_0^B H(b)\,\mathrm db

(8.15)

Для однозначного обратимого материала без постоянного смещения; w_{\text{м}} в \text{Дж}/\text{м}^3. Буква b — переменная интегрирования, а не отдельное поле.

Секущая и дифференциальная проницаемости; энергия поля в материале

Для вывода энергии предполагается однозначная обратимая характеристика без гистерезиса. Она не моделирует потери за замкнутый цикл.

Секущая соединяет начало координат с рабочей точкой. Касательная описывает малое приращение около этой точки; при насыщении их наклоны различаются.
Малая работа на единицу объёма равна произведению напряжённости на приращение индукции. Интегрирование даёт энергию; интегрирование по частям — коэнергию.

w=\int_0^B H(b)\,\mathrm db,\quad w^{\prime}=\int_0^H B(h)\,\mathrm dh,\quad w+w^{\prime}=BH
(8.16)
У постоянного магнита линия возврата имеет ненулевое смещение. Коэрцитивный параметр этой прямой нельзя отождествлять с заявленной изготовителем коэрцитивной силой по намагниченности или точкой необратимого размагничивания.

Таблица 8.2. Обозначения и единицы
Величина	Физический смысл	Единица СИ
B	Магнитная индукция	Тл
H	Напряжённость магнитного поля	А/м
\mu	Абсолютная магнитная проницаемость	Гн/м
w	Объёмная плотность магнитной энергии	Дж/м³

Границы применимости. Формула половины произведения индукции и напряжённости относится к линейной характеристике через начало координат. При магнитах или гистерезисе отсчёт энергии и материальная модель требуют отдельного определения.

Площадь интегрирования

Энергия интегрируется по всей области системы, в том числе по воздуху. Для однозначной характеристики без магнитного смещения W+Wprime=I\Psi; равенство W=Wprime относится к линейной зависимости через начало. У постоянных магнитов необходимо согласовать энергетический отсчёт и материальный закон.

Энергия и коэнергия: почему 2W/I^{2} не универсальная индуктивность

Для неподвижной обратимой однозначной катушки без независимых источников и с нулевым начальным потоком энергию получают интегрированием I по \Psi, коэнергию — интегрированием \Psi по I. На графике эти площади дополняют друг друга до прямоугольника I\Psi. При линейной зависимости обе площади треугольные и одинаковые.

В нелинейном магнитопроводе энергия W=\int _{\Omega }\int _{0}^{B} H(b)\cdot db dV, тогда как коэнергия W'=\int _{\Omega }\int _{0}^{H} B(h)\cdot dh dV. Выражение B\cdot H/2 допустимо для линейного обратимого материала без смещения; его нельзя безусловно подставлять при насыщении. Соответственно, 2W/I^{2} и 2W'/I^{2} в общем случае не равны ни L_{\mathrm{ст}}, ни L_{\mathrm{дин}}.

Формула 2W/I^{2} для линейной катушки требует энергии всего магнитного поля. Если выбран только сердечник, воздух исключён или условие открытой границы описывает энергию за пределами расчётной области, проверка неполна. Основным способом получения индуктивности обмотки в FEMM служит потокосцепление цепи, а энергетический способ — независимая проверка при выполненных предпосылках.

W(\Psi)=\int_0^\Psi I(\psi)\,d\psi,\qquad W^{\prime}(I)=\int_0^I\Psi(i)\,di,\qquad W+W^{\prime}=I\Psi

(8.17)

Одна обмотка, фиксированная геометрия, обратимая однозначная характеристика, без независимого смещения.

\Psi=LI\quad\Longrightarrow\quad W=W^{\prime}=\frac12 LI^2,\qquad L=\frac{\Psi}{I}=\frac{2W}{I^2}

(8.18)

Это частный линейный случай, а не определение индуктивности через энергию для любого материала.

L_{\mathrm{дин}}=\frac{\partial^2W^{\prime}}{\partial I^2}

(8.19)

Локальная кривизна коэнергии; второе дифференцирование энергии численно чувствительнее разности потокосцеплений.

Вывод энергии и коэнергии

Обратимая магнитная энергия равна интегралу i\cdot \mathrm d\Psi. Коэнергия является дополняющей площадью в прямоугольнике I\Psi: W^{\prime}_{\text{м}}=I\Psi-W_{\text{м}}. При интегрировании по току она равна интегралу \Psi(i)\mathrm di. Это не две разные запасённые энергии, а две функции для удобного выбора независимых переменных. В линейном случае они равны; при насыщении обычно различаются. Именно коэнергия удобна для силы при заданном токе, поэтому её нельзя заменить LI^2/2 без проверки линейности.

W_\text{м}=\int_0^{\Psi(I)}i(\widetilde{\Psi})\,\mathrm d\widetilde{\Psi},\quad W^{\prime}_\text{м}=\int_0^I\Psi(i)\,\mathrm di,\quad W_\text{м}+W^{\prime}_\text{м}=I\Psi

(8.20)

Для однозначной обратимой характеристики без постоянного смещения, при фиксированной геометрии; обе функции в Дж.

Насыщение и энергия

При типичной вогнутой \Psi(I) касательная становится более пологой, чем секущая. Формула W=I\Psi/2 тогда не является точной. Численно интегрировать таблицу можно методом трапеций, вручную складывая площади интервалов; при удвоении числа точек следует проверить изменение интеграла. FEMM отдельно вычисляет энергию и коэнергию по материальным законам. Их сравнение с таблицей \Psi(I) полезно, но требует одинакового нулевого состояния и достаточно полного диапазона тока.

Площадь под кривой помогает избежать ошибки

На графике с потокосцеплением по вертикали и током по горизонтали коэнергия равна площади под кривой от нуля до рабочего тока. Прямоугольник с высотой рабочего потокосцепления и шириной рабочего тока имеет площадь произведения этих величин. Часть прямоугольника над кривой соответствует энергии при взаимно обратной характеристике. Для прямой две части одинаковы, поэтому появляется привычная половина. Для вогнутой насыщаемой кривой площадь под ней больше половины прямоугольника, а энергия меньше. Этот рисунок связывает математические интегралы с физическим смыслом и позволяет сразу обнаружить невозможный ответ: отрицательная энергия в рассматриваемой однозначной пассивной катушке требует проверки данных, направления и принятого нулевого состояния.

Почему при насыщении энергия не равна половине произведения

Кривая потокосцепления однозначна, проходит через начало координат и относится к фиксированной геометрии без постоянных магнитов.

Статическая индуктивность описывает отношение конечного потокосцепления к конечному току. Она не является коэффициентом малого изменения тока.
Интегрирование по частям связывает площади под взаимно обратными характеристиками.

\int_0^\Psi i\,\mathrm d\Psi=I\Psi-\int_0^I\Psi\,\mathrm di\quad\Longrightarrow\quad W+W^{\prime}=I\Psi
(8.21)
Для линейной характеристики через начало координат обе площади равны при любом токе. Для насыщения отдельно интегрируйте табличную характеристику и проверьте сумму энергии и коэнергии.

Таблица 8.3. Обозначения и единицы
Величина	Физический смысл	Единица СИ
I	Ток обмотки; в статике постоянный	А
\Psi	Потокосцепление обмотки	Вб
L	Индуктивность при явно указанной линеаризации	Гн
W	Магнитная энергия	Дж
W^{\prime}	Магнитная коэнергия	Дж

Границы применимости. Гистерезис делает энергию зависимой от пути. Статическая индуктивность в нулевой точке определяется пределом, если он существует, а не операцией деления нуля на нуль.

Разобранный численный пример

Контрольный расчёт: Магнитная энергия и коэнергия до расчёта сил

Дано. Линейная катушка L=0{,}12 Гн, I=2 А. Найдите W.

Приведите данные к СИ и используйте соотношение из теории.
Последовательность вычисления приведена в программе ниже; контрольное значение: 0,24 Дж.

Ответ: 0,24 Дж

Проверка: Это аналитический контроль указанного частного случая. Полевой опыт проверяется отдельно.

Практикум в FEMM 5

Сравните энергию по полю и потокосцеплению

Таблица 8.4. Исходные данные практикума
Исходная величина	Значение	Единица
Исходные данные контроля	Линейная катушка L=0{,}12 Гн, I=2 А. Найдите W.

Откройте сохранённую воздушную катушку из 5.5; выделите всю расчётную область.
Сопоставьте энергию интеграла с I\Psi /2. Не выделяйте только железо или обмотку.
Повторите контроль на нелинейном сердечнике через численное интегрирование \Psi (I); объясните неравенство энергии и коэнергии.

Ожидаемый результат. Получите таблицу параметров и результатов; объясните знак и отличие от аналитического контроля.

Как проверить. Повторите опыт с изменением одного параметра. Сохраните исходный файл, версию FEMM, решение и единицы результатов.

Оценка результата

Какие условия и наблюдаемые величины определяют проверку: сравните энергию по полю и потокосцеплению?

Сведите исходное и изменённое состояния в одну таблицу, укажите единицы и вычислите разность результатов.
Проверьте знак, единицу и масштаб по постановке; используйте аналитическое поле, если для этого эталона оно выведено в занятии.

С чем сравнить. Аналитический профиль из теории применим только при тех же источниках, материале и граничных условиях. Карта цветов не заменяет численное измерение.

Итог работы. Таблица по теме «Магнитная энергия и коэнергия до расчёта сил», исходные файлы, программа и объяснение ограничений.

Программа: Магнитная энергия и коэнергия до расчёта сил · Порядок запуска