Поля, координаты и градиент

Поле как функция точки

В теории цепей неизвестными являются несколько чисел — токи ветвей и напряжения узлов. В теории поля неизвестное — функция, заданная в каждой точке области: температура в каждой точке стенки, напряжённость в каждой точке изолятора. Такую функцию положения называют полем. Пока мы отвлекаемся от зависимости от времени: все поля этого урока статические или рассматриваются в фиксированный момент.

Поле называют однородным, если оно одинаково во всех точках ($\uE=\uE_0=\mathrm{const}$), и стационарным, если оно не зависит от времени. Эти два свойства независимы: поле заряженного шара неоднородно, но стационарно; поле между пластинами конденсатора, подключённого к источнику переменного напряжения, в каждый момент однородно, но нестационарно.

Визуальные образы полей

Скалярное поле изображают поверхностями уровня $f(\ur)=C$ — эквипотенциальными поверхностями, изотермами, изобарами. В плоских задачах это линии уровня; там, где они густые, поле меняется быстро. Другой образ — раскраска области по значению $f$ (карта температуры); он удобен для восприятия, но плохо передаёт малые перепады.

Векторное поле изображают двумя способами. Стрелки в узлах сетки показывают направление и — длиной или цветом — модуль вектора; это самый честный образ, но при густой сетке он загромождает картину. Линии поля — кривые, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением $\vec F$; через каждую точку, где $\vec F\neq0$, проходит ровно одна линия. Линии наглядно передают топологию поля: откуда оно исходит, где замыкается, как огибает тела. О модуле поля линии говорят лишь косвенно — как напоминает вводный урок, они не являются траекториями частиц, а их густота пропорциональна $|\vec F|$ только в специально построенных картинах.

Для электрического поля линии $\uE$ начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность); линии $\uB$ не имеют начала и конца. Оба факта мы докажем в уроках о дивергенции и интегральных теоремах.

Декартова система координат

Декартова система задаётся началом $O$ и тремя взаимно перпендикулярными единичными векторами $\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z$, образующими правую тройку: $\vec e_x\times\vec e_y=\vec e_z$. Радиус-вектор точки и произвольный вектор поля записываются как $$\ur=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z,\qquad \vec F=F_x\vec e_x+F_y\vec e_y+F_z\vec e_z .$$ Главное достоинство декартова базиса — он постоянен: векторы $\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z$ одинаковы во всех точках пространства, поэтому дифференцировать вектор по координате означает дифференцировать его компоненты. Это свойство, как мы сейчас увидим, не сохраняется в криволинейных координатах.

Цилиндрическая система координат

Большинство электротехнических устройств — провода, кабели, катушки, валы, трубы — обладают осевой симметрией. Для них естественна цилиндрическая система $(r,\alpha,z)$: $r\ge0$ — расстояние от оси $z$, $\alpha\in[0,2\pi)$ — азимутальный угол, отсчитываемый от оси $x$ к оси $y$, $z$ — та же координата, что и в декартовой системе.

Обратные соотношения получаются из тех же формул: $\vec e_x=\cos\alpha\,\vec e_r-\sin\alpha\,\vec e_\alpha$, $\vec e_y=\sin\alpha\,\vec e_r+\cos\alpha\,\vec e_\alpha$. Компоненты вектора $\vec F$ в цилиндрическом базисе — его проекции на базисные векторы: $$F_r=\vec F\cdot\vec e_r=F_x\cos\alpha+F_y\sin\alpha,\qquad F_\alpha=\vec F\cdot\vec e_\alpha=-F_x\sin\alpha+F_y\cos\alpha,\qquad F_z=F_z .$$

Простой пример: однородное поле $\vec F=F_0\vec e_x$ в цилиндрических координатах имеет компоненты $F_r=F_0\cos\alpha$, $F_\alpha=-F_0\sin\alpha$, которые зависят от точки, хотя само поле всюду одно и то же. Обратно: поле $\vec F=F_0\vec e_r$ с постоянной компонентой $F_r=F_0$ — это радиально расходящееся поле, которое вовсе не однородно. Постоянство компонент и однородность поля — разные вещи; совпадают они только в декартовом базисе.

Произведения векторов в полевых задачах

Вся теория поля построена на трёх операциях с векторами, и каждая из них имеет ясный физический смысл.

Скалярное произведение даёт проекцию: $F_l=\vec F\cdot\vec l$ — составляющая поля вдоль единичного вектора $\vec l$; нормальная составляющая $F_n=\vec F\cdot\un$ входит во все выражения для потока. Оно же даёт работу: элементарная работа силы $\vec F$ на перемещении $\dl$ равна $\dd A=\vec F\cdot\dl$; напряжение между точками — работа поля по переносу единичного заряда, $U_{AB}=\int_A^B\uE\cdot\dl$. Наконец, мощность в единице объёма проводника $p=\uJ\cdot\uE$ (Вт/м³) — тоже скалярное произведение, равное $JE$ лишь при коллинеарных $\uJ$ и $\uE$ (в изотропной среде).

Векторное произведение — язык всего, что связано с вращением и магнетизмом. Площадь: ориентированный элемент поверхности, натянутой на векторы $\dd\vec a$ и $\dd\vec b$, равен $\un\,\dS=\dd\vec a\times\dd\vec b$. Момент силы относительно точки: $\vec M=\ur\times\vec F$. Сила Лоренца на заряд $q$, движущийся со скоростью $\vec v$: $\vec F=q\vec v\times\uB$; на элемент проводника с током — $\dd\vec F=I\,\dl\times\uB$ (закон Ампера). Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля — векторное произведение напряжённостей $\uE\times\uH$ (Вт/м²); его поток через поверхность, охватывающую устройство, равен передаваемой мощности. Скорость точки вращающегося тела $\vec v=\vec\omega\times\ur$ — пример поля, к которому мы вернёмся при изучении ротора.

Смешанное произведение позволяет проверить ориентацию тройки векторов — например, что $\vec e_r,\vec e_\alpha,\vec e_z$ образуют правую систему: $(\vec e_r\times\vec e_\alpha)\cdot\vec e_z=\vec e_z\cdot\vec e_z=1>0$. Из него же следует формула объёма элемента в криволинейных координатах.

Элементы длины, площади и объёма

Для вычисления интегралов по кривым, поверхностям и объёмам, которым посвящён следующий урок, нужно знать, как малое смещение точки выражается через приращения координат.

Множитель $r$ — геометрический факт, который следует запомнить раз и навсегда: кольцо радиуса $r$, ширины $\dd r$ и длины $\dd z$ имеет объём $2\pi r\,\dd r\,\dd z$, и чем дальше от оси, тем больший объём приходится на тот же интервал $\dd r$. Именно поэтому интегрирование по сечению провода в цилиндрических координатах всегда содержит $r\,\dd r$, а не $\dd r$.

Разобранные примеры

Поля и произведения векторов в физике

Итоги

• Скалярное поле — число в каждой точке (изображается поверхностями уровня), векторное — вектор (стрелки, линии поля). Линии поля передают направление, а не траектории.
• Декартов базис постоянен; цилиндрический базис $\vec e_r,\vec e_\alpha$ поворачивается с точкой: $\partial\vec e_r/\partial\alpha=\vec e_\alpha$, $\partial\vec e_\alpha/\partial\alpha=-\vec e_r$.
• Компоненты в цилиндрическом базисе — проекции: $F_r=F_x\cos\alpha+F_y\sin\alpha$, $F_\alpha=-F_x\sin\alpha+F_y\cos\alpha$.
• Скалярное произведение — проекция и работа; векторное — площадь, момент, сила Лоренца, поток энергии; смешанное — объём и ориентация.
• Элементы длины, площади и объёма в цилиндрических координатах содержат множитель $r$ при $\dd\alpha$: $\dl=\dd r\,\vec e_r+r\,\dd\alpha\,\vec e_\alpha+\dd z\,\vec e_z$, $\dV=r\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z$.

Далее — кривые, поверхности и интегралы по ним: как из локальных величин поля получаются напряжение, поток, ток и заряд.

Зачем нужен градиент

Скалярное поле — потенциал $\varphi(\vec r)$, температура $T(\vec r)$, давление — задаёт в каждой точке одно число. Инженера почти всегда интересует не само число, а то, как быстро и в какую сторону оно меняется: напряжённость электрического поля есть мера изменения потенциала, плотность теплового потока определяется перепадом температуры. Этот «вектор изменения» и есть градиент.

Прежде чем давать определение, посмотрим на поле как на рельеф. Если $f(x,y)$ — высота холма над точкой $(x,y)$, то линии уровня — это горизонтали на топографической карте. Там, где горизонтали густые, склон крутой. Направление самого крутого подъёма всегда перпендикулярно горизонтали: идя вдоль горизонтали, высоту не меняешь вовсе. Градиент — это вектор, направленный вверх по самому крутому склону, длина которого равна крутизне.

Производная по направлению

Пусть $f(\vec r)$ — дифференцируемое скалярное поле, $\vec l$ — единичный вектор ($|\vec l|=1$). Сдвинемся из точки $\vec r$ на малое расстояние $s$ в направлении $\vec l$.

В декартовых координатах $\vec l=l_x\vec e_x+l_y\vec e_y+l_z\vec e_z$, и по правилу дифференцирования сложной функции $$\frac{\partial f}{\partial \vec l}=\frac{\partial f}{\partial x}l_x+\frac{\partial f}{\partial y}l_y+\frac{\partial f}{\partial z}l_z .$$ Правая часть — скалярное произведение вектора $\vec l$ и вектора с компонентами $(\partial f/\partial x,\ \partial f/\partial y,\ \partial f/\partial z)$. Этот вектор и называют градиентом.

Так как $\nabla f\cdot\vec l=|\nabla f|\,|\vec l|\cos\theta=|\nabla f|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между $\vec l$ и градиентом, получаем два следствия.

Определение через наискорейший рост не ссылается на систему координат. Поэтому градиент — настоящий вектор, не зависящий от выбора осей, хотя его компоненты в разных системах разные.

Градиент и поверхности уровня

Поверхностью уровня (эквипотенциальной, изотермической) называют множество точек, где $f(\vec r)=C$. Если на ней нет особых точек ($\nabla f\ne 0$), она является регулярной поверхностью.

Это даёт практический способ находить нормаль к поверхности, заданной уравнением $F(x,y,z)=0$: $\un\parallel\nabla F$. Например, для поверхности $z=f(x,y)$ положим $F=f(x,y)-z$, тогда $\nabla F=(\partial f/\partial x,\ \partial f/\partial y,\ -1)$ — именно так в лаборатории ниже построена касательная плоскость к рельефу.

Лаборатория

В режиме «поверхность» значение $f(x,y)$ отложено по вертикали. Переместите пробник (ползунки или щелчок по поверхности), поверните вектор $\vec l$ и сравните производную по направлению с модулем градиента. Кривая сечения вдоль $\vec l$ и её касательная показывают, что производная по направлению — это просто наклон рельефа в выбранную сторону. В режиме «объёмное поле» поверхности уровня строятся численно методом марширующих кубов по аналитически заданному полю; красная поверхность проходит через пробник, зелёный диск — касательная плоскость, перпендикулярная градиенту.

Вопросы, на которые лаборатория даёт наглядный ответ:

• Почему при $\vec l\perp\nabla f$ показание $\partial f/\partial\vec l$ равно нулю, хотя поверхность в этой точке наклонена?
• Как меняется $|\nabla f|$ при движении пробника от вершины холма к его склону и далее к подножию? Сопоставьте с густотой линий уровня.
• Для поля $\varphi=1/r$ проверьте, что градиент направлен к центру и растёт как $1/r^2$.

Градиент в цилиндрических координатах

В криволинейных координатах формула для градиента должна учитывать, что при изменении угловой координаты $\alpha$ на $\dd\alpha$ точка смещается на расстояние $r\,\dd\alpha$, а не $\dd\alpha$. Поэтому $$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial r}\vec e_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \alpha}\vec e_\alpha+\frac{\partial f}{\partial z}\vec e_z .$$ Множитель $1/r$ восстанавливает размерность: все три слагаемых имеют единицу [$f$]/м. Для осесимметричного поля ($\partial/\partial\alpha=0$) остаются только радиальная и осевая составляющие — этим мы постоянно будем пользоваться в осесимметричных моделях.

Градиент в физике полей

Знак «минус» во всех строках — следствие того, что потоки и силы направлены вниз по потенциалу или температуре, тогда как градиент указывает вверх.

Итоги

• Производная по направлению $\partial f/\partial\vec l=\nabla f\cdot\vec l$ — скаляр; градиент — вектор.
• Градиент указывает направление наискорейшего роста, его модуль — наибольшая скорость роста; он ортогонален поверхности уровня.
• В криволинейных координатах компоненты градиента содержат метрические множители ($1/r$ в цилиндрических).
• В физике полей $\uE$, $\uq$, $\uJ$ пропорциональны минус градиенту потенциала или температуры.

Далее — дивергенция: как измерить, сколько поля «рождается» в точке.