Лабораторная работа

Потери массивного ротора: частота, гармоники и магнитное смещение

Цель. Определить вихретоковые потери массивного ротора, проверить достаточность дискретизации возбуждения и оценить вклад пространственных гармоник 5 и 7.

Связь с проектированием. Выбрать достаточное число участков возбуждения и установить, какие гармоники требуют внимания при снижении нагрева ротора.

Задачи

Сравнить 24, 48 и 96 участков при одинаковой основной гармонике МДС.
Получить P(f) для 10–300 Гц.
Проверить сумму потерь отдельных гармоник и совместное поле.
Сравнить два состояния явно оговоренной замороженной проницаемости.

Исходные данные и условия опыта

Цилиндр R=60 мм, глубина 100 мм, \sigma =2 МСм/м. Базовая линейная проницаемость \mu _{r}=500; источник — токовый слой r=64–65 мм. Все фазоры амплитудные; потери средние по времени.

Основная частотная серия 10–300 Гц, дискретизация 24/48/96 участков. Дополнительные источники согласуются по Br(R60)=0.5 Тл.

Радиальные проницаемости получают из отдельного нелинейного DC фона; сравнение включает 3/6/12/24/48 слоев. Разностный опыт использует гладкий и 36-пазовый статор при одной МДС; порядки 34/38 возбуждают потери на 900 Гц.

Теория расчётного метода

Скин-эффект и масштаб частоты

При гармоническом поле в массивном проводнике диффузия магнитного поля определяется произведением \omega \mu \sigma. Увеличение частоты уменьшает глубину проникновения, поэтому распределение токов и потерь меняется.

В линейной модели изменение проводимости и частоты при постоянном \omega \sigma сохраняет распределение поля. Мощность при этом нужно масштабировать по определению J^{2}/\sigma. В данной серии проводимость остается физической, а частота изменяется непосредственно.

\delta=\sqrt{\frac2{\omega\mu\sigma}},\qquad P=\int_V\frac{|J_m|^2}{2\sigma}\,dV

Фазоры амплитудные; множитель 1/2 переводит квадрат амплитуды в среднюю мощность. Размер элементов сетки сопоставляется с глубиной проникновения поля.

Дискретизация волны возбуждения

Кусочно-постоянный токовый слой заменяет непрерывную пространственную волну. Его основная гармоника уменьшается на sinc(νπ/N); амплитуда тока программно компенсируется этим множителем.

Таким образом, 24, 48 и 96 участков сравниваются при одинаковой основной гармонике. Изменение потерь показывает остаточный эффект дискретизации и паразитных гармоник. Сравнение проводится для одинаковой геометрии и материала.

J_k=\frac{J_m e^{i\nu\theta_k}}{\operatorname{sinc}(\nu\pi/N)}

Нормировка обязательна, иначе сравнение участков смешивает численную ошибку и изменение возбуждения.

Пространственные гармоники в системе ротора

При p=2, f=50 Гц и синхронной скорости 1500 об/мин обратная пятая и прямая седьмая гармоники наблюдаются из ротора на частоте 300 Гц. Их пространственные порядки равны 10 и 14.

В линейном круговом роторе ортогональность разных пространственных порядков приводит к аддитивности средних потерь. Полевой расчет совместного источника проверяет это свойство. Его нельзя автоматически переносить на любую насыщенную геометрию.

f_{r,\nu}=|f_1-\nu p n/60|,\quad\nu=-5,+7

Знак \nu определяет направление волны; оба источника дают относительную частоту 300 Гц при n=1500 об/мин.

Литература по методу: Простые конечно-элементные модели для приближённых расчётов потерь в массивных роторах · PDF 1–17 полностью: 1–5 гармонические модели; 6–7 сравнение потерь; 8–10 физическое масштабирование; 11–15 реальные роторы и разностное поле; 16–17 литература и автор.

Магнитное смещение как ограниченная оценка

Отдельный DC расчет с B(H) M-43 подбирает два уровня локальной индукции около 0.3 и 1.5 Тл. Затем локальная секущая \mu =B/(\mu _{0}H) в точке r=40 мм, \theta =45^\circ используется как однородная замороженная проницаемость гармонической модели.

Такой опыт показывает чувствительность потерь к принятой проницаемости. Совместное временное насыщение, анизотропная дифференциальная проницаемость и гистерезис требуют более полной модели. Рабочая точка и процедура заморозки здесь заданы явно.

\mu_{sec,r}=B/(\mu_0H)

Рабочая точка и процедура заморозки задаются явно; их нельзя автоматически переносить на промышленный ротор.

Альтернативное возбуждение и радиальные слои

Для линейного ротора заданное распределение A_z на внешней окружности и эквивалентный токовый слой должны давать одинаковое внутреннее поле, если совпадают гармоника B_r на поверхности и пространственный порядок. Здесь оба источника согласованы по Br(R60)=0.5 Тл; подробность задания потенциала изменяется от 96 до 384 участков.

Одно число проницаемости не передает радиальное насыщение. В отдельном опыте значения \mu (r) берутся из азимутально усредненных B и H нелинейного DC фона и замораживаются в 3, 6, 12, 24 и 48 слоях. Все варианты сравниваются при одной поверхностной индукции. Последнее уточнение изменяет потери на 2.14%; это численная проверка заданного приближения, а не проверка полного нелинейного переходного процесса.

\mu_{sec,r}(r_i)=\frac{\langle|B|\rangle_\theta}{\mu_0\langle|H|\rangle_\theta}

Каждое кольцо получает собственную однородную проницаемость; проводимость остается 2 МСм/м.

Литература по методу: Расчёт потерь в массивных сердечниках электрических машин с помощью конечно-элементных моделей · PDF 1–12 полностью: 1–3 восемь моделей; 4–6 сопоставление спектров; 7–10 нелинейность, потери и выводы; 11–12 резюме и авторы.; Простые конечно-элементные модели для приближённых расчётов потерь в массивных роторах · PDF 1–17 полностью: 1–5 гармонические модели; 6–7 сравнение потерь; 8–10 физическое масштабирование; 11–15 реальные роторы и разностное поле; 16–17 литература и автор.; Магнитные поля в электрических машинах — введение (файл Гончарова) · PDF1–75; A_z/поле 1–16; L_{17}–20; FFT20–29; синхронные 30–60; AD60–74

Подобие геометрии и потерь

Вариант подобия с неизменной напряженностью и индукцией позволяет сохранить кривую материала. При поперечном масштабе s проводимость меняется как 1/s^{2}, а заданная плотность тока как 1/s. Тогда критерий \omega \mu \sigma l^{2} и поле B в сходственных точках сохраняются.

При одинаковой глубине 2D модели мощность меняется как s^{2}. Если глубина тоже уменьшена в s раз, мощность меняется как s^{3}. Две независимые нативные модели с s=0.5 проверяют оба пересчета.

\sigma^\prime=\sigma/s^2,\quad J^\prime=J/s,\quad B^\prime=B,\quad P^\prime/P=s^2(l_z^\prime/l_z)

Частота и \mu сохраняются. Геометрия, сетка и токовый слой масштабируются одновременно.

Разностное поле и поверхностные потери

Гладкий и пазовый статоры рассчитываются при одинаковых материалах и одной МДС ротора. Разность B_r выделяет изменение поля, связанное с зубчатостью. Для четырехполюсной МДС и 36 пазов характерные боковые гармоники имеют порядки 34 и 38.

По их амплитудам на поверхности цилиндра статически калибруются эквивалентные токовые слои. Затем те же токи, без повторного увеличения для компенсации вихретокового экранирования, используются при относительной частоте 900 Гц. Это односторонняя оценка потерь от выбранных гармоник в замороженном линейном роторе; обратное влияние вихревых токов на насыщенную полную машину здесь не рассчитывается.

\Delta B_r=B_{r,slot}-B_{r,smooth},\quad h=Z\pm p,\quad f_r=Zn/60

Z=36, p=2, n=1500 об/мин. Фазы гармоник сохраняются при калибровке МДС.

Уравнение поля, материалы и границы

В магнитоквазистатической постановке закон полного тока связывает поле с заданным током, а отсутствие магнитных зарядов требует непрерывности нормального магнитного потока. В плоской модели эти условия удобно выполнить через единственную составляющую векторного потенциала A_z. Скалярная магнитная проницаемость либо нелинейная зависимость H(B) замыкает систему.

На границе материалов сохраняется нормальная составляющая B; тангенциальная H непрерывна при отсутствии поверхностного свободного тока. Внешняя граница и симметрия являются физическими условиями задачи. Их изменение проверяется отдельно от уменьшения конечных элементов: сходимость внутри неверной области не устраняет ошибку постановки.

\nabla\times\mathbf H=\mathbf J,\quad \nabla\cdot\mathbf B=0,\quad \mathbf B=\nabla\times(A_z\mathbf e_z)

Статическая/квазистатическая система без существенного тока смещения.

\nabla\cdot(\nu\nabla A_z)=-J_z,\qquad B_x=\partial_y A_z,\quad B_y=-\partial_x A_z

Здесь \nu =1/\mu; производные берутся по координатам в метрах, если A_z задан в Вб/м.

Литература по методу: Уравнения Максвелла и материальные соотношения · PDF3–20; Векторная алгебра и векторный магнитный потенциал · PDF1–12,24–31; Математическая модель поля и электрических цепей машины · PDF1–11

Диффузия поля и частота в системе проводника

Из законов Фарадея, полного тока и Ома для неподвижной линейной проводящей среды следует уравнение магнитной диффузии. Его гармоническое решение задаёт глубину проникновения. Частота должна соответствовать системе координат рассматриваемого проводника: для ротора основной асинхронной гармоники это частота скольжения.

Сравнение потерь требует одинакового задания источника: фиксированный ток, средняя индукция или поверхностное поле дают разные серии. Подстановка эффективной проводимости для переноса частоты может воспроизвести поле, но потери искусственной среды не становятся реальным тепловыделением без обратного пересчёта.

\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}=\frac1{\mu\sigma}\nabla^2\mathbf B,\qquad \delta_s=\sqrt{\frac2{\omega\mu\sigma}},\qquad k=\frac{1+j}{\delta_s}

Изотропные постоянные \mu и \sigma, ток смещения несущественен.

f_2=sf_1,\qquad P_{\rm Cu,2}=sP_\delta,\qquad T_e=P_\delta/\Omega_s

Последние равенства относятся к согласованной основной гармонике и принятой схеме асинхронной машины.

Литература по методу: Электродинамические поля и проникновение в проводящий массив · PDF1–23,34–42; Интегральные величины при резко выраженном поверхностном эффекте · PDF1–15; Магнитные поля в электрических машинах — введение (файл Гончарова) · PDF60–74

Скин-эффект, поле рассеяния и дробление проводника

В прямоугольном пазовом проводнике потери складываются из вытеснения собственного транспортного тока и действия внешнего поля рассеяния. Две функции проникновения имеют разные низкочастотные пределы. Это позволяет проверить расчёт до применения полного выражения для многослойной обмотки.

Число элементарных проводов выбирают по потерям при заданных температуре, медном сечении и полном токе. Идеальная транспозиция задаёт равные токи; параллельное соединение без транспозиции задаёт равенство напряжений и допускает неравные токи. Эти две электрические модели сравниваются отдельно. Одна только геометрическая нарезка массива на полосы не определяет схему соединения.

\varphi(\xi)=\xi\frac{\sinh2\xi+\sin2\xi}{\cosh2\xi-\cos2\xi},\qquad \psi(\xi)=2\xi\frac{\sinh\xi-\sin\xi}{\cosh\xi+\cos\xi}

Нормированная высота \xi согласуется с геометрией и глубиной проникновения выбранного пазового эталона.

\varphi(\xi)=1+\frac4{45}\xi^4+O(\xi^8),\qquad \psi(\xi)=\frac13\xi^4+O(\xi^8)

Независимые низкочастотные проверки: собственный фактор стремится к 1, добавочный — к 0.

R_{ac}=P_{\rm Cu}/I_{\rm rms}^2,\qquad \widehat I_{\rm strand}=\widehat I_{\rm total}/N

Вторая формула применена только при принятой идеальной транспозиции и одинаковых элементарных проводах.

Литература по методу: Переменное поле в прямоугольном проводнике паза · PDF1–21; Электродинамические поля и проникновение в проводящий массив · PDF24–42; Расчёты вихревых полей в электромеханике · PDF1–6

Поверхностный импеданс как проверка сильного вытеснения

Когда глубина проникновения мала по сравнению с толщиной и локальным радиусом кривизны, объёмный интеграл потерь можно сопоставить с поверхностным выражением. Оно связывает тангенциальное поле с поверхностным током и комплексной мощностью.

Сначала проверяют отношение глубины проникновения к размерам, затем сеточную сходимость объёмной мощности. Совпадение интегральных потерь не доказывает правильности локального пика у острой кромки. Для нелинейной стали постоянный поверхностный импеданс является приближением и должен сравниваться с фактической рабочей точкой.

Z_s=\frac{1+j}{\sigma\delta_s},\qquad P\simeq\frac12\operatorname{Re}Z_s\int_S|\widehat H_t|^2dS

Фазоры пиковые; для RMS множитель 1/2 не используется. Тонкие тела и зоны краёв требуют отдельной проверки.

Литература по методу: Интегральные величины при резко выраженном поверхностном эффекте · PDF1–15; Электродинамические поля и проникновение в проводящий массив · PDF9–23

Модели для работы

Вихретоковые потери массивного ротора

Цилиндр: R=60 мм; L=100 мм; \sigma =2 МСм/м; \mu _{r}=500. Слой на радиусах 64..65 мм; частота поля в системе ротора 10..300 Гц. Отдельный опыт с замороженной секущей проницаемостью.

reproduce.py common.py result.json common.py massive_extensions.py extensions-result.json background-profile-3-6.json massive_layers.py layers-result.json background-profile-12-24-48.json massive_similarity.py similarity-source.json similarity-result.json difference_losses.py difference-result.json difference-spectrum.json README.md Радиальные-слои.csv Радиальные-слои.png Разностное-поле.png Частота-потери.png

Модели и сохранённые решения серии

Ротор-Возбуждение-96.fem Ротор-Возбуждение-96.ans Ротор-Гармоники-вместе.fem Ротор-Гармоники-вместе.ans background.fem background.ans Возбуждение-Потенциал-384.fem Возбуждение-Потенциал-384.ans Слои-Шесть-слоев.fem Слои-Шесть-слоев.ans Слои-48.fem Слои-48.ans Подобие-Масштаб0.5-Длина50.fem Подобие-Масштаб0.5-Длина50.ans Разность-Гладкий.fem Разность-Гладкий.ans Разность-Пазовый.fem Разность-Пазовый.ans Разность-Потери-вместе.fem Разность-Потери-вместе.ans

Результаты расчёта

Величина	Результат	Единица
Потери при50Гц	998	Вт
Потери гармоник5и7 при300Гц	47,55	Вт
Изменение потерь при24→96участков	127,9 × 10⁻⁶	1

Последовательное решение

1 · Возбуждение и сетка

Разбиение токового слоя на участки приближает заданное пространственное возбуждение и может добавлять собственные гармоники. Сравнение основной гармоники вместе с потерями отделяет изменение источника от ошибки сетки проводящего тела. По двум независимым уточнениям выбирают достаточную дискретизацию для последующих частотных и гармонических серий.

Запустите massive/reproduce.py с common.py.
Сравните основную гармонику B и потери для 24, 48 и 96 участков.
Сопоставьте основную и уточненную сетки тела.

Записать в протокол. B_{1}, P_{24}, P_{48}, P_{96}, Pfine

Подробное выполнение: 31.4 · Оценка потерь и размагничивания в заданных условиях; 34.1 · Магнитные потери, потери в проводниках и граница баланса мощности

2 · Частота и гармоники

Изменение частоты меняет глубину проникновения и распределение вихревых токов, поэтому потери определяются решением поля внутри цилиндра. В линейной модели отдельные пространственные гармоники позволяют проверить сумму средних потерь сравнением с совместным возбуждением. Полученный ряд показывает, какие частоты и гармоники существенно влияют на нагрев и требуют внимания при изменении конструкции.

Постройте P(f) и объясните отличие от квадратичной экстраполяции по частоте.
Сравните сумму потерь пространственных порядков 10 и 14 с потерями совместного поля при 300 Гц.

Записать в протокол. частота, глубина проникновения, P_{5}, P_{7}, Pсовм, невязка

3 · Влияние смещения

Постоянное магнитное смещение задаёт рабочие B и H, по которым выбирается замороженная секущая проницаемость для отдельного AC-расчёта. Изменение этой проницаемости влияет на проникновение переменного поля и потери, что позволяет оценить чувствительность результата к магнитному состоянию. Вывод относится к выбранной линеаризации и помогает определить необходимость более подробного учёта неоднородности магнитопровода.

Зафиксируйте достигнутые DC значения B и H.
Сравните замороженные проницаемости и потери.
Сформулируйте границы такой оценки чувствительности.

Записать в протокол. Bраб, μsec, P, инженерный вывод

4 · Согласование источников и радиальная линеаризация

Согласование потенциала и токового слоя по одной поверхностной гармонике позволяет сравнить способы возбуждения при одинаковом воздействии на цилиндр. Радиальное разбиение переносит распределение замороженной проницаемости из DC-фона в послойную AC-модель. Сходимость потерь по числу слоёв задаёт достаточную подробность этого приближения для оценки нагрева.

В папке massive/extensions запустите massive_extensions.py, затем massive_layers.py с common.py и background.fem/.ans.
Сравните заданный потенциал и токовый слой при Br(R60)=0.5 Тл.
Сопоставьте однородную проницаемость с 3, 6, 12, 24 и 48 слоями; выберите подробность по последнему изменению потерь.

Записать в протокол. Bповерхности, P, момент, число участков и слоев, последнее уточнение

5 · Проверка физического подобия

Согласованное изменение геометрии, проводимости и токового возбуждения сохраняет параметры уравнения диффузии и поле в сходственных точках. Тогда мощность пересчитывается с учётом изменённых площади сечения и глубины, что проверяется независимыми полевыми решениями. Такая проверка подтверждает нормировку и перенос результатов между подобными расчётными моделями при выполнении указанных условий масштабирования.

Запустите massive_similarity.py с similarity-source.json и common.py.
Проверьте B в сходственных точках и пересчеты мощности при одинаковой и уменьшенной глубине.

Записать в протокол. s, \sigma, J, глубина, B, P'/P, теоретическое отношение

6 · Разностное поле и потери зубцовых гармоник

Разность полных рядов гладкой и пазовой моделей при одной МДС выделяет добавочные пространственные гармоники зубчатости вместе с их фазами. DC-калибровка задаёт эквивалентные источники этих гармоник, а AC-решения определяют отдельные и совместные потери с учётом вихревых токов цилиндра. Суммирование и уточнение поверхностной сетки проверяют одностороннюю оценку при замороженной проницаемости, по которой выбирают значимые гармоники для следующего этапа снижения нагрева.

Запустите difference_losses.py с common.py.
Вычтите полные ряды гладкой и пазовой моделей; сохраните амплитуды и фазы порядков 34 и 38.
Проверьте DC калибровку МДС, затем отдельные и совместные потери при 900 Гц.
Сопоставьте уточненную поверхностную сетку и сформулируйте границы односторонней оценки.

Записать в протокол. \Delta _{B34}, \Delta _{B38}, частота, P_{34}, P_{38}, Pсовм, сеточное изменение

Контрольный расчёт и численные результаты

R_{60} мм, L_{100} мм,\mu _{r500},σ2МСм/м; отдельные пространственные порядки 10и 14 на 300 Гц.

Отдельные потери: 36,73 Вт и 10,79 Вт.
Сумма 47,53 Вт; совместная native модель 47,55 Вт.
При Br(R60)=0.5 Тл модель с токовым слоем даёт 942,3 Вт, модель с заданным потенциалом на 384 участках — 942,3 Вт.
Радиальная линеаризация 24→48слоев дает 1544→1577 Вт.

В линейном круговом роторе потери выбранных гармоник аддитивны; неоднородная проницаемость требует отдельного численного уточнения.

Проверка возбуждения и радиальных слоев

Модель	Потери, Вт
Токовый слой, \mu _{r500}	942,3
Az_{384}, \mu _{r500}	942,3
Однородная \mu _{r1560}.83	535,5
3 слоев	887,8
6 слоев	1218
12 слоев	1422
24 слоев	1544
48 слоев	1577

Во всех строках согласована основная B_r на R_{60}, равная 0.5 Тл. Это отдельная серия с частотой 50 Гц.

Разностное поле и его потери

Величина	Значение
\Delta _{B34}, Тл	0,01649
\Delta _{B38}, Тл	0,015
P_{34}, Вт	0,2627
P_{38}, Вт	0,1734
Pсовм, Вт	0,4363
Pуточненная, Вт	0,4358

Эквивалентная МДС статически согласована с разностным полем и затем сохранена при 900 Гц. Получена ограниченная односторонняя оценка выбранных гармоник.

Количественные результаты и их проверка

Заполните таблицу собственными значениями; каждому числу сопоставьте режим и файл решения.

Величина	Единица	Что определяет
P(f), P\nu	Вт	Частотная зависимость и вклад гармоник в нагрев
Br(R60), \delta	Тл; мм	Согласование возбуждения и выбор поверхностной сетки
\mu (r), P по слоям	1; Вт	Чувствительность к магнитному смещению и подробности линеаризации
P'/P	1	Правильный пересчет геометрически подобных моделей
\Delta _{B34}, \Delta _{B38}, Pзубцовых гармоник	Тл; Вт	Односторонняя оценка потерь от зубчатости

Различие P_{24}/P_{96}: менее 0.2%; уточнение основной серии: менее 0.3%.
Совместные потери и сумма: менее 0.2%; уточнение совместной серии: менее 1%.
Рабочие точки DC достигаются с погрешностью менее 1%.
Потенциал и токовый слой при согласованной B_r: различие потерь менее 0.2%.
Уточнение радиальной линеаризации 24→48 слоев: менее 3%.
Подобие мощности: ошибка менее 0.1%; разностные потери: уточнение менее 1%.

Итоговый вывод. При 50 Гц P=998.018 Вт;гармоники 5 и 7 при 300 Гцдают 47.553 Вт. Изменение P_{24}\to 96=0.0128%.

Границы применения результата

2D однородный цилиндр; торцевое замыкание токов, пазы, гистерезис и теплоотвод не рассчитываются.
Замороженная секущая проницаемость служит отдельной оценкой чувствительности.

Литература

Гончаров В. И., Тейн Наинг Тун. Расчёт потерь в массивных сердечниках электрических машин с помощью конечно-элементных моделей. — 12 с.
Габдуллин Н. А., Глазков В. П., Гончаров В. И., Панасюк М. Б. Простые конечно-элементные модели для приближённых расчётов потерь в массивных роторах электрических машин. — 17 с.
Магнитные поля в электрических машинах — введение. — 75 с.
Уравнения Максвелла. Раздел 2. — 20 с.
Основные понятия векторной алгебры, используемые при описании электромагнитного поля. Векторный магнитный потенциал. Раздел 3. — 31 с.
Математическое описание электромагнитного поля в электрической машине. Раздел 5. — 15 с.
Электродинамические поля в электрических машинах. Раздел 13. — 42 с.
Расчёт интегральных величин (тока, потока, электрического и магнитного сопротивлений) для тел произвольной формы при резко выраженном поверхностном эффекте. Раздел 15. — 15 с.
Переменное электромагнитное поле в прямоугольном проводнике в пазу электрической машины. Раздел 14. — 21 с.
Фисенко В. Г. Расчёты вихревых полей в электромеханике. — 8 с.