Теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса. Лапласиан

Формулировать и применять интегральные теоремы. Понимать роль ориентации и условия применимости. Определить лапласиан и его физический смысл. Знать основные тождества векторного анализа

Интегральные теоремы и локальные законы поля. Аналитический эталон. Справа экваториальное сечение. Поверхностный и объёмный интегралы по сфере вычислены аналитически, оба равны 4πR³. Координаты условные; пространственные размеры в миллиметрах не задаются. — Интегральные теоремы и локальные законы поля1 — замкнутая поверхность сферы; n — внешняя нормальАналитический эталон. Справа экваториальное сечение. Поверхностный и объёмный интегралы по сфере вычислены аналитически, оба равны 4πR³. Координаты условные; пространственные размеры в миллиметрах не задаются.Открыть SVG целиком Результат отдельно

Предварительные понятия

Ротор и циркуляция

Локальное и интегральное

Дивергенция и ротор были определены через поток и циркуляцию по бесконечно малым поверхностям и контурам. Интегральные теоремы векторного анализа делают обратный шаг: они выражают поток через конечную замкнутую поверхность и циркуляцию по конечному контуру через интегралы от дивергенции и ротора. Благодаря им каждый закон поля существует в двух равносильных формах — дифференциальной (уравнение в точке) и интегральной (баланс для области), и инженер выбирает ту, которая удобнее: интегральную — для оценок и для проверки численных решений, дифференциальную — для постановки краевых задач. Строгие формулировки с условиями гладкости даны в [Фихтенгольц]; здесь приводятся наброски доказательств, достаточные для понимания условий применимости.

Теорема Остроградского–Гаусса

Теорема Остроградского–Гаусса (теорема о дивергенции)

Пусть $V$ — ограниченный объём с кусочно-гладкой замкнутой границей $S$ и внешней нормалью $\un$ , а поле $\vec F$ непрерывно дифференцируемо в $V$ и на $S$ . Тогда $\oint_S\vec F\cdot\un\,\dS=\int_V\nabla\cdot \vec F\,\dV .$ Набросок доказательства. Разобьём $V$ на малые параллелепипеды $\Delta V_k$ . По определению дивергенции поток через поверхность каждого из них равен $\nabla\cdot \vec F\,\Delta V_k$ с точностью до малых высшего порядка. Сложим потоки по всем параллелепипедам. Каждая внутренняя грань принадлежит двум соседним ячейкам, и их внешние нормали на этой грани противоположны — вклады взаимно уничтожаются. Остаются только грани, лежащие на границе $S$ . Итак, $\sum_k\nabla\cdot \vec F\,\Delta V_k\to\int_V\nabla\cdot \vec F\,\dV$ слева и $\oint_S\vec F\cdot\un\,\dS$ справа.

Смысл теоремы: суммарная «производительность» всех источников внутри объёма равна потоку поля через его границу. Это и есть точная формулировка закона сохранения: что родилось внутри, вышло через поверхность. Условие дифференцируемости существенно — внутри $V$ не должно быть особых точек поля.

Поле точечного источника: где теорема не работает

Для $\vec F=\ur/r^3$ в уроке о дивергенции показано, что $\nabla\cdot \vec F=0$ при $r\ne0$ . Возьмём сферу радиуса $R$ с центром в начале координат: $\vec F\cdot\un=1/R^2$ , площадь $4\pi R^2$ , поток $\oint_S\vec F\cdot\un\,\dS=\frac{1}{R^2}\cdot4\pi R^2=4\pi$ при любом $R$ , тогда как $\int_V\nabla\cdot \vec F\,\dV=0$ , если формально интегрировать нуль. Противоречие объясняется нарушением условия: в начале координат поле не определено. Корректное применение — к шаровому слою $R_1<r<R_2$ , где особой точки нет: поток через внешнюю сферу ( $4\pi$ ) минус поток через внутреннюю ( $4\pi$ , нормаль слоя там направлена к центру) равен нулю, что и требуется. Отсюда следует, что поток через любую замкнутую поверхность, охватывающую начало координат, равен $4\pi$ — его можно деформировать в сферу, не пересекая особую точку. Для поля точечного заряда $\uE=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\ur}{r^3}$ это даёт закон Гаусса $\oint\uE\cdot\un\,\dS=q/\varepsilon_0$ [Тамм]. В лаборатории ниже этот случай показан явно: пока начало координат вне объёма, оба числа равны нулю; как только оно попадает внутрь, поток становится равным $4\pi$ , а объёмный интеграл дивергенции остаётся нулевым.

Поле заряженной нити

Пусть нить с линейной плотностью заряда $\tau=10$ нКл/м создаёт $\uD=\dfrac{\tau}{2\pi r}\vec e_r$ . Применим теорему к цилиндру радиуса $r=5$ см и длины $\ell=1$ м с осью на нити. Через торцы потока нет ( $\uD\perp\vec e_z$ ); на боковой поверхности $D_r=\dfrac{10^{-8}}{2\pi\cdot0{,}05}=3{,}18\cdot10^{-8}$ Кл/м², площадь $2\pi r\ell=0{,}314$ м², поток $3{,}18\cdot10^{-8}\cdot0{,}314=1{,}0\cdot10^{-8}$ Кл $=\tau\ell$ — весь заряд внутри. Вне нити $\nabla\cdot \uD=\frac1r\,\dd(rD_r)/\dd r=0$ , и объёмный интеграл сводится к заряду на оси, как и в предыдущем примере. Наоборот, зная, что поток равен $\tau\ell$ при любом $r$ , получаем само поле $D_r=\tau/(2\pi r)$ — так теорема Гаусса используется для расчёта полей с симметрией.

Теорема Стокса

Пусть $S$ — кусочно-гладкая ориентированная поверхность с краем — замкнутым контуром $L$ , обход которого согласован с нормалью $\un$ по правилу правого винта, а поле $\vec F$ непрерывно дифференцируемо на $S$ . Тогда $\oint_L\vec F\cdot\dl=\int_S\nabla\times \vec F\cdot\un\,\dS .$ Набросок доказательства. Разобьём $S$ на малые ячейки $\Delta S_k$ с контурами, ориентированными согласно $\un$ . По определению ротора циркуляция по контуру ячейки равна $(\nabla\times \vec F)\cdot\un\,\Delta S_k$ . Сложим циркуляции: каждое внутреннее ребро проходится дважды в противоположных направлениях (соседние ячейки ориентированы одинаково), и вклады уничтожаются. Остаются только рёбра на крае $S$ , образующие контур $L$ .

Два следствия имеют первостепенное значение.

Независимость от поверхности. Левая часть зависит только от контура $L$ , поэтому $\int_S\nabla\times \vec F\cdot\un\,\dS$ одинаков для любых поверхностей, натянутых на один и тот же контур, — плоского диска, выпуклой «шапки», сколь угодно изогнутой плёнки, — если между ними нет особых точек поля. Это согласуется с тождеством $\nabla\cdot \nabla\times \vec F=0$ , доказанным ниже: ротор — соленоидальное поле, и его поток через замкнутую поверхность, составленную из двух натянутых поверхностей, равен нулю.

Потенциальность. Если $\nabla\times \vec F=0$ во всей области и область односвязна (любой контур в ней стягивается в точку, не выходя из области), то циркуляция по любому контуру равна нулю, линейный интеграл не зависит от пути и поле имеет скалярный потенциал. Условие односвязности не формально: вне провода с током $\nabla\times \uH=0$ , но область «всё пространство без оси» не односвязна, и циркуляция по контуру вокруг провода равна $I$ , а не нулю. Скалярный магнитный потенциал $\varphi_{\mathrm м}=-I\alpha/(2\pi)$ там существует, но многозначен: при каждом обходе он меняется на $-I$ .

Закон полного тока внутри провода

В проводе радиуса $a=5$ мм течёт ток $I=100$ А с равномерной плотностью $J=I/(\pi a^2)=1{,}27\cdot10^{6}$ А/м². Применим теорему Стокса к окружности радиуса $r=2{,}5$ мм с центром на оси и натянутому на неё диску: $\int_S\nabla\times \uH\cdot\un\,\dS=\int_S\uJ\cdot\un\,\dS=J\pi r^2=1{,}27\cdot10^6\cdot1{,}96\cdot10^{-5}=25{,}0$ А. Левая часть — $2\pi rH_\alpha$ , откуда $H_\alpha=Jr/2=1{,}27\cdot10^6\cdot1{,}25\cdot10^{-3}=1{,}59\cdot10^{3}$ А/м; проверка: $2\pi\cdot0{,}0025\cdot1{,}59\cdot10^3=25{,}0$ А. Если взять вместо диска выпуклую «шапку» с тем же краем, через неё пройдёт тот же ток $25$ А, поскольку линии $\uJ$ в стационарном режиме не обрываются.

Формулы Грина

Применяя теорему Остроградского–Гаусса к полю $\psi\nabla \varphi$ и используя тождество $\nabla\cdot (\psi\vec F)=\psi\nabla\cdot \vec F+\vec F\cdot\nabla \psi$ , получаем первую формулу Грина; вычитая из неё такую же с переставленными $\varphi$ и $\psi$ — вторую.

Формулы Грина

$\int_V\bigl(\psi\,\Delta\varphi+\nabla \psi\cdot\nabla \varphi\bigr)\dV=\oint_S\psi\,\frac{\partial\varphi}{\partial n}\,\dS, \qquad \int_V\bigl(\psi\,\Delta\varphi-\varphi\,\Delta\psi\bigr)\dV=\oint_S\Bigl(\psi\,\frac{\partial\varphi}{\partial n}-\varphi\,\frac{\partial\psi}{\partial n}\Bigr)\dS,$ где $\partial\varphi/\partial n=\nabla \varphi\cdot\un$ — производная по внешней нормали, а $\Delta$ — лапласиан, определяемый ниже.

Формулы Грина — рабочий инструмент теории краевых задач: из первой при $\psi=\varphi$ следует теорема единственности для уравнений Пуассона и Лапласа (урок о краевых задачах), а также выражение энергии поля через заряды и потенциалы; она же лежит в основе слабой формулировки, на которой построен метод конечных элементов (урок о численном моделировании) [Тихонов].

Лапласиан

Лапласианом (оператором Лапласа) скалярного поля называется дивергенция его градиента: $\Delta\varphi=\nabla^2\varphi=\nabla\cdot \nabla \varphi .$ Единица — [единица $\varphi$ ]/м². В декартовых и цилиндрических координатах $\Delta\varphi=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} =\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r\frac{\partial\varphi}{\partial r}\Bigr)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial\alpha^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}.$ Цилиндрическая форма получается подстановкой компонент градиента $(\partial_r\varphi,\ \frac1r\partial_\alpha\varphi,\ \partial_z\varphi)$ в формулу дивергенции.

Лапласиан как отклонение от среднего

Пусть $\overline\varphi_R$ — среднее значение $\varphi$ по сфере радиуса $R$ с центром в точке $\ur$ . Разложение $\varphi$ в ряд Тейлора с усреднением даёт $\overline\varphi_R-\varphi(\ur)=\frac{R^2}{6}\Delta\varphi(\ur)+O(R^4);$ для окружности на плоскости множитель $\frac16$ заменяется на $\frac14$ . Лапласиан положителен там, где значение в точке меньше среднего по окрестности (локальная «впадина»), отрицателен — где больше («горб»), и равен нулю, если значение в точке равно среднему по соседям.

Проверка на примере $\varphi=x^2$ : $\Delta\varphi=2$ ; среднее $x^2$ по сфере радиуса $R$ равно $R^2/3$ , и $R^2/3-0=\frac{R^2}{6}\cdot2$ . Это свойство объясняет уравнения, в которых участвует лапласиан:

Уравнение	Название	Смысл
$\Delta\varphi=-\rho/\varepsilon$	уравнение Пуассона	в области с положительным зарядом потенциал имеет «горб»: $\Delta\varphi<0$
$\Delta\varphi=0$	уравнение Лапласа	без зарядов потенциал в каждой точке равен среднему по соседям; ни максимумов, ни минимумов внутри области быть не может
$\lambda\Delta T+q_V=0$	стационарная теплопроводность	тепловыделение создаёт «горб» температуры
$\rho_mc\,\dfrac{\partial T}{\partial t}=\lambda\Delta T$	нестационарная теплопроводность	температура в точке растёт, если она ниже средней по окрестности — тепло притекает от более нагретых соседей

Функции с $\Delta\varphi=0$ называют гармоническими; принцип максимума для них — основа теоремы единственности и полезная проверка численных решений: потенциал в области без зарядов не может превышать наибольшего значения на границе.

Пластина с тепловыделением

В плоской пластине толщиной $2L=2$ см с теплопроводностью $\lambda=0{,}5$ Вт/(м·К) выделяется $q_V=10^5$ Вт/м³; обе поверхности поддерживаются при температуре $T_s$ . Уравнение $\lambda\,\dd^2T/\dd x^2+q_V=0$ с $x$ от середины даёт $T(x)=T_s+\dfrac{q_V}{2\lambda}(L^2-x^2)$ . Лапласиан $\Delta T=-q_V/\lambda=-2\cdot10^5$ К/м² отрицателен — температурный «горб». Превышение середины над поверхностью: $\dfrac{10^5\cdot10^{-4}}{2\cdot0{,}5}=10$ К.

Гармонические функции в цилиндрических координатах

$\varphi=\ln r$ : $\Delta\varphi=\frac1r\,\dd(r\cdot\frac1r)/\dd r=0$ при $r\ne0$ — потенциал заряженной нити гармоничен вне нити. $\varphi=r^2=x^2+y^2$ : $\Delta\varphi=\frac1r\,\dd(2r^2)/\dd r=4$ , что совпадает с декартовым расчётом $2+2$ . $\varphi=r\cos\alpha=x$ : $\frac1r\,\dd(r\cos\alpha)/\dd r+\frac1{r^2}(-r\cos\alpha)=\frac{\cos\alpha}{r}-\frac{\cos\alpha}{r}=0$ — линейная функция гармонична, как и должно быть.

Тождества векторного анализа

Основные тождества

Для достаточно гладких полей $\nabla\times \nabla \varphi=0,\qquad \nabla\cdot \nabla\times \vec F=0,\qquad \nabla\times \nabla\times \vec F=\nabla \nabla\cdot \vec F-\Delta\vec F,$ $\nabla\cdot (\varphi\vec F)=\varphi\,\nabla\cdot \vec F+\vec F\cdot\nabla \varphi,\qquad \nabla\times (\varphi\vec F)=\varphi\,\nabla\times \vec F+\nabla \varphi\times\vec F,$ где $\Delta\vec F$ в декартовых координатах — вектор с компонентами $\Delta F_x,\Delta F_y,\Delta F_z$ (в цилиндрических координатах $\Delta\vec F$ не сводится к лапласианам компонент — базис поворачивается). Доказательство первых двух. $(\nabla\times \nabla \varphi)_z=\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}-\dfrac{\partial}{\partial y}\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=0$ в силу равенства смешанных производных; остальные компоненты аналогично. $\nabla\cdot \nabla\times \vec F=\dfrac{\partial}{\partial x}\Bigl(\dfrac{\partial F_z}{\partial y}-\dfrac{\partial F_y}{\partial z}\Bigr)+\dfrac{\partial}{\partial y}\Bigl(\dfrac{\partial F_x}{\partial z}-\dfrac{\partial F_z}{\partial x}\Bigr)+\dfrac{\partial}{\partial z}\Bigl(\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}\Bigr)=0$ — шесть смешанных производных попарно сокращаются.

Физические следствия тождеств определяют структуру всей теории поля [Бессонов], [Демирчян].

Существование скалярного потенциала. Если $\nabla\times \uE=0$ в односвязной области, то $\uE=-\nabla \varphi$ ; тождество $\nabla\times \nabla \varphi=0$ гарантирует, что любое такое поле автоматически безвихревое. Потенциал определён с точностью до постоянной — отсюда понятие опорного потенциала («земли»).
Существование векторного потенциала. Если $\nabla\cdot \uB=0$ , то $\uB=\nabla\times \uA$ ; тождество $\nabla\cdot \nabla\times \uA=0$ показывает, что любое поле вида $\nabla\times \uA$ соленоидально. Векторный потенциал определён с точностью до градиента произвольной функции: $\uA'=\uA+\nabla \chi$ даёт то же $\uB$ . Выбор $\chi$ — калибровка; обычно требуют $\nabla\cdot \uA=0$ (калибровка Кулона).
Уравнение для векторного потенциала. Подставляя $\uB=\nabla\times \uA$ в $\nabla\times \uH=\uJ$ при $\uB=\mu\uH$ и однородной $\mu$ : $\nabla\times \nabla\times \uA=\mu\uJ$ , и по третьему тождеству при $\nabla\cdot \uA=0$ получаем $\Delta\uA=-\mu\uJ$ — векторное уравнение Пуассона, формально такое же, как $\Delta\varphi=-\rho/\varepsilon$ . В плоских задачах ( $\uJ=J_z\vec e_z$ ) остаётся одно скалярное уравнение для $A_z$ — именно оно решается в лаборатории магнитной цепи.
Сохранение заряда как следствие уравнений поля. Взяв дивергенцию от $\nabla\times \uH=\uJ+\partial\uD/\partial t$ , получаем $0=\nabla\cdot \uJ+\partial(\nabla\cdot \uD)/\partial t=\nabla\cdot \uJ+\partial\rho/\partial t$ — уравнение непрерывности, которое в следующем уроке будет выведено именно так.

Лаборатория

Лаборатория состоит из двух вкладок. На вкладке «Остроградского–Гаусса» выбирается поле из набора и замкнутая поверхность — куб или сфера с заданным центром и размером. Вычисляются два числа: поток через поверхность (численная квадратура нормальной составляющей поля) и объёмный интеграл дивергенции (численная квадратура аналитически вычисленной $\nabla\cdot \vec F$ по объёму); показаны оба и их разность. Для гладких полей разность мала при любом размере; для точечного источника она близка к нулю, пока начало координат вне объёма, и скачком становится равной $4\pi$ , когда особая точка оказывается внутри, — наглядная демонстрация условия применимости.

На вкладке «Стокса» задаётся контур-окружность, на который натянуты две поверхности с общей границей: плоский диск и сферическая «шапка» регулируемой высоты. Циркуляция по контуру сравнивается с $\int_S\nabla\times \vec F\cdot\un\,\dS$ по диску и по шапке. Для гладких полей все три числа совпадают — поверхностная независимость. Переключатель ориентации меняет направление обхода и обе нормали согласованно, так что все три числа меняют знак одновременно.

Открыть опыт: Локальное и интегральное: теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса

Что стоит проделать:

На первой вкладке для поля $\vec F=\ur$ убедитесь, что поток через куб с ребром $a$ равен $3a^3$ независимо от положения центра, а для сферы радиуса $R$ — $4\pi R^3$ .
Для точечного источника медленно перемещайте сферу, пока начало координат не пересечёт её поверхность. Как ведут себя оба числа? Что произойдёт при уменьшении размера поверхности при неподвижном центре в начале координат?
На второй вкладке для азимутального поля $(-y,\,x,\,0)/(x^2+y^2)$ расположите контур так, чтобы он охватывал ось $z$ . Циркуляция равна $2\pi$ ; что показывают интегралы ротора по диску и по шапке и почему они не совпадают с циркуляцией?

Типичные ошибки

Применение теоремы через особую точку. Если внутри объёма или на натянутой поверхности есть точка, где поле не дифференцируемо (точечный заряд, ось тока), теорема неприменима; особую точку нужно исключить малой поверхностью или учесть интегрально (заряд, ток).
Несогласованная ориентация. Внешняя нормаль для замкнутой поверхности; нормаль по правилу правого винта относительно обхода контура. Ошибка в одном знаке даёт неверный знак потока или ЭДС.
«Интеграл ротора зависит от поверхности». Не зависит — для любых поверхностей с общим краем, между которыми поле гладко. Если результат изменился при замене диска на шапку, между ними есть источник вихря (ток).
Лапласиан как вторая производная по одному направлению. $\Delta\varphi$ — сумма вторых производных по трём направлениям; функция $x^2-y^2$ имеет ненулевые вторые производные, но $\Delta=0$ .
Лапласиан вектора в цилиндрических координатах. $(\Delta\vec F)_r\ne\Delta F_r$ : нужно пользоваться тождеством $\Delta\vec F=\nabla \nabla\cdot \vec F-\nabla\times \nabla\times \vec F$ или готовыми формулами [Борисенко].

Вопросы и упражнения

Вычислите поток поля $\vec F=(x^3,\,y^3,\,z^3)$ через поверхность куба $-1\le x,y,z\le1$ двумя способами: по теореме Остроградского–Гаусса и непосредственно по граням.
Докажите, что поток ротора любого гладкого поля через замкнутую поверхность равен нулю, двумя способами: через теорему Остроградского–Гаусса и через теорему Стокса (разрезав поверхность контуром на две части).
Проверьте тождество $\nabla\times \nabla\times \vec F=\nabla \nabla\cdot \vec F-\Delta\vec F$ для поля $\vec F=(y^2,\,0,\,0)$ .
Найдите лапласиан функций $\varphi_1=x^2-y^2$ , $\varphi_2=e^{x}\cos y$ , $\varphi_3=1/\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ (при $r\ne0$ ). Какие из них гармоничны? Какие физические поля они описывают?
Температура внутри тела без источников удовлетворяет $\Delta T=0$ . Может ли в стационарном режиме внутри такого тела быть точка с максимальной температурой? Как это согласуется с интуицией о тепловом потоке?
В лаборатории на вкладке «Стокса» выберите поле прямого тока и расположите контур так, чтобы ось $z$ пересекала шапку, но не диск. Возможно ли это геометрически? Что вы ожидаете увидеть?

Ответы к пунктам 1, 3, 4 и 6

1. $\nabla\cdot \vec F=3x^2+3y^2+3z^2$ . $\int_V3(x^2+y^2+z^2)\,\dV=3\cdot3\int_{-1}^1x^2\,\dd x\cdot2\cdot2=9\cdot\frac23\cdot4=24$ . Непосредственно: грань $x=1$ даёт $\int F_x\,\dd y\,\dd z=1\cdot4=4$ , грань $x=-1$ с нормалью $-\vec e_x$ : $-(-1)\cdot4=4$ ; по шести граням $6\cdot4=24$ .

3. $\nabla\cdot \vec F=0$ , $\nabla \nabla\cdot \vec F=0$ . $\nabla\times \vec F=(0,\,0,\,-2y)$ , $\nabla\times \nabla\times \vec F=(\partial(-2y)/\partial y,\ -\partial(-2y)/\partial x,\ 0)=(-2,\,0,\,0)$ . $\Delta\vec F=(\Delta y^2,\,0,\,0)=(2,\,0,\,0)$ . Правая часть: $0-(2,\,0,\,0)=(-2,\,0,\,0)$ — совпадает.

4. $\Delta\varphi_1=2-2=0$ — гармонична (потенциал квадрупольной линзы, поле $\uE=(-2x,\,2y,\,0)$ ). $\Delta\varphi_2=e^x\cos y-e^x\cos y=0$ — гармонична (потенциал периодической системы электродов). $\Delta\varphi_3$ : $\varphi_3=1/r$ в сферических координатах, $\nabla \varphi_3=-\ur/r^3$ , а $\nabla\cdot (\ur/r^3)=0$ при $r\ne0$ , значит, $\Delta\varphi_3=0$ — потенциал точечного заряда гармоничен вне заряда.

6. Геометрически возможно: если контур не охватывает ось $z$ , а шапка высокая, то ось входит в шапку и выходит из неё, пересекая её дважды. Поле прямого тока вне оси безвихревое, поэтому циркуляция по контуру и поток ротора через диск равны нулю; поток через шапку тоже равен нулю — вклады двух точек пересечения оси с шапкой (двух «пронизываний» особой линией в противоположных направлениях) взаимно компенсируются. Теорема Стокса не нарушена: нарушение возникает лишь тогда, когда особая линия пересекает любую натянутую поверхность нечётное число раз, то есть когда контур её охватывает.

Итоги

Теорема Остроградского–Гаусса: $\oint_S\vec F\cdot\un\,\dS=\int_V\nabla\cdot \vec F\,\dV$ — поток через границу равен суммарной мощности источников внутри; требуется гладкость поля в объёме и внешняя нормаль.
Теорема Стокса: $\oint_L\vec F\cdot\dl=\int_S\nabla\times \vec F\cdot\un\,\dS$ — циркуляция равна потоку ротора через любую поверхность с данным краем; ориентация — по правилу правого винта.
Особые точки нарушают теоремы: поток $\ur/r^3$ через сферу равен $4\pi$ при нулевой дивергенции вне начала координат — это закон Гаусса для точечного заряда.
Лапласиан $\Delta\varphi=\nabla\cdot \nabla \varphi$ измеряет отклонение значения в точке от среднего по окрестности; уравнения Пуассона и Лапласа, стационарная и нестационарная теплопроводность записываются через него.
Тождества $\nabla\times \nabla \varphi=0$ и $\nabla\cdot \nabla\times \vec F=0$ обеспечивают существование скалярного потенциала $\varphi$ для безвихревых и векторного потенциала $\uA$ для соленоидальных полей; $\nabla\times \nabla\times =\nabla \nabla\cdot -\Delta$ даёт уравнение $\Delta\uA=-\mu\uJ$ .

Далее — уравнения Максвелла и переход к статике: математический язык готов, и его можно применить к законам электромагнитного поля.

Теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса. Лапласиан

Локальное и интегральное

Теорема Остроградского–Гаусса

Теорема Стокса

Формулы Грина

Лапласиан

Тождества векторного анализа

Лаборатория

Итоги

Применение в FEMM 5