Материальные уравнения и границы раздела сред

Записать материальные уравнения для диэлектриков, проводников, магнетиков и теплопроводящих сред. Различать однородность, изотропию и линейность. Выводить условия на границе раздела из интегральных законов. Применять условия преломления линий поля

Двухслойный диэлектрик. Аналитический эталон. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены. — Двухслойный диэлектрик1 — Материал 1 · 2 — Материал 2Аналитический эталон. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены.Открыть SVG целиком Результат отдельно

Предварительные понятия

Уравнения Максвелла и переход к статике

Среда замыкает систему

В предыдущем уроке мы убедились, что уравнений Максвелла меньше, чем неизвестных: они описывают структуру поля, но не отклик вещества. Недостающие связи между «силовыми» векторами $\uE$ , $\uH$ и «потоковыми» $\uD$ , $\uB$ , $\uJ$ даёт среда. Эти связи называют материальными уравнениями; они феноменологические — получены из опыта, а не выведены из первых принципов, — и именно в них сосредоточена вся «инженерия»: марка стали, сорт изоляции, температура проводника.

Вторая тема урока — границы раздела. Внутри однородной среды поле гладкое, и дифференциальные уравнения справедливы. На поверхности, где $\varepsilon$ , $\mu$ , $\sigma$ или $\lambda$ меняются скачком, производные теряют смысл, и поле тоже испытывает скачок. Какие именно составляющие поля непрерывны, а какие — нет, определяют не новые законы, а те же уравнения Максвелла в интегральной форме, применённые к бесконечно тонкому слою у границы. Тепловое поле подчиняется тем же правилам, что делает его естественной частью этого урока.

Материальные уравнения

Материальные уравнения линейных изотропных сред

$\uD=\varepsilon\uE,\qquad \uJ=\sigma\uE,\qquad \uB=\mu\uH,\qquad \uq=-\lambda\,\nabla T .$ Здесь $\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$ — диэлектрическая проницаемость (Ф/м), $\sigma$ — удельная электрическая проводимость (См/м), $\mu=\mu_r\mu_0$ — магнитная проницаемость (Гн/м), $\lambda$ — коэффициент теплопроводности (Вт/(м·К)); $\varepsilon_r$ и $\mu_r$ — безразмерные относительные проницаемости. Последнее соотношение — закон Фурье; $\uq$ — плотность теплового потока (Вт/м²), $T$ — температура (К).

Первые три уравнения можно записать и через отклик вещества: $\uD=\varepsilon_0\uE+\vec P$ , где $\vec P$ — поляризованность (дипольный момент единицы объёма, Кл/м²), и $\uB=\mu_0(\uH+\vec M)$ , где $\vec M$ — намагниченность (А/м). В линейной среде $\vec P=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\uE$ и $\vec M=(\mu_r-1)\uH$ , так что обе формы равносильны. Форма с $\vec M$ незаменима для постоянных магнитов, где $\vec M\ne0$ при $\uH=0$ (урок о магнитных цепях).

Второе уравнение — закон Ома в локальной (дифференциальной) форме: плотность тока пропорциональна напряжённости в той же точке. Величина $\rho_{\mathrm э}=1/\sigma$ — удельное сопротивление (Ом·м). Закон Фурье формально устроен так же, как $\uJ=-\sigma\nabla \varphi$ : поток пропорционален минус градиенту «потенциала», и это сходство позволит в модуле M8 переносить электрические методы на тепловые задачи.

Среда	$\varepsilon_r$	$\sigma$ , См/м	$\mu_r$	$\lambda$ , Вт/(м·К)
Воздух	1,001	$\sim0$	1	0,026
Полиэтилен	2,3	$10^{-15}$	1	0,4
Трансформаторное масло	2,2	$10^{-12}$	1	0,13
Медь	—	$5{,}8\cdot10^7$	1	400
Электротехническая сталь	—	$\sim5\cdot10^6$	$10^3$ … $10^4$ (ненасыщ.)	30…50

Значения ориентировочные; для расчётов следует брать данные конкретной марки материала при рабочей температуре.

Классификация сред

Три независимых признака описывают, насколько «простой» является среда.

Однородные и неоднородные

Среда однородна, если её параметры не зависят от координат: $\varepsilon=\mathrm{const}$ и т. д. Тогда $\nabla\cdot (\varepsilon\nabla \varphi)=\varepsilon\Delta\varphi$ , и уравнение Пуассона принимает простейший вид. В неоднородной среде $\varepsilon(\ur)$ остаётся под знаком дивергенции. Кусочно-однородная среда — набор однородных областей с границами раздела — важнейший практический случай, и к нему относится вторая половина урока.

Изотропные и анизотропные

Среда изотропна, если её свойства одинаковы по всем направлениям: вектор $\uD$ параллелен $\uE$ , $\uq$ параллелен $-\nabla T$ . В анизотропной среде коэффициент пропорциональности — тензор второго ранга: $D_i=\sum_{k}\varepsilon_{ik}E_k,\qquad q_i=-\sum_k\lambda_{ik}\frac{\partial T}{\partial x_k}.$ Тензоры $\varepsilon_{ik}$ , $\lambda_{ik}$ симметричны, и в главных осях матрица диагональна. Типичный инженерный источник анизотропии — слоистость.

Эффективные свойства слоистой среды

Пакет чередующихся пластин (шихтованный сердечник, слоистая изоляция «бумага–масло») с толщинами $d_1$ , $d_2$ и теплопроводностями $\lambda_1$ , $\lambda_2$ ведёт себя в масштабе, большем периода, как однородная анизотропная среда. Вдоль слоёв потоки складываются (параллельное соединение), поперёк — складываются перепады (последовательное): $\lambda_{\parallel}=\frac{d_1\lambda_1+d_2\lambda_2}{d_1+d_2},\qquad \lambda_{\perp}=\frac{d_1+d_2}{d_1/\lambda_1+d_2/\lambda_2}.$ Для стали ( $\lambda_1=40$ Вт/(м·К), $d_1=0{,}5$ мм) с лаковой изоляцией ( $\lambda_2=0{,}2$ Вт/(м·К), $d_2=0{,}01$ мм): $\lambda_{\parallel}=\frac{0{,}5\cdot40+0{,}01\cdot0{,}2}{0{,}51}\approx39{,}2,\qquad \lambda_{\perp}=\frac{0{,}51}{0{,}5/40+0{,}01/0{,}2}=\frac{0{,}51}{0{,}0125+0{,}05}\approx8{,}2\ \text{Вт/(м·К)}.$ Поперёк пакета теплопроводность в пять раз хуже, чем вдоль, хотя лак занимает лишь 2 % толщины: тонкий слой с плохой проводимостью «запирает» последовательный путь. Те же формулы с заменой $\lambda\to\varepsilon$ или $\lambda\to\mu$ дают эффективные проницаемости слоистых диэлектриков и шихтованных сердечников [Ландау].

Линейные и нелинейные

Среда линейна, если коэффициенты не зависят от самого поля. Для большинства диэлектриков и проводников это выполняется с высокой точностью вплоть до пробивных напряжённостей. Ферромагнетики — главное исключение: кривая $B(H)$ при малых $H$ крутая ( $\mu_r\sim10^3$ … $10^4$ ), а при насыщении ( $B\gtrsim1{,}5$ … $2$ Тл) выходит на наклон $\mu_0$ . Говорить о «проницаемости стали» без указания рабочей точки бессмысленно; различают секущую $\mu=B/H$ и дифференциальную $\mu_{\mathrm{диф}}=\dd B/\dd H$ проницаемости. Нелинейность другого рода — зависимость свойств от температуры: $\lambda(T)$ и особенно $\sigma(T)$ . Для металлов $\rho_{\mathrm э}(T)=\rho_{\mathrm э 0}\bigl[1+\alpha_\rho(T-T_0)\bigr],$ где для меди $\alpha_\rho\approx3{,}9\cdot10^{-3}$ 1/К: нагрев на 100 К увеличивает сопротивление на 39 %. Это связывает электрическую задачу с тепловой (урок о связанных задачах). Формально при нелинейности уравнения поля остаются теми же, но коэффициенты зависят от решения, что требует итерационных методов.

Условия на границе раздела

Пусть поверхность $S$ разделяет среды 1 и 2, а единичная нормаль $\un$ направлена из среды 1 в среду 2 (то же соглашение принято в лаборатории). Индексом $n$ обозначим составляющую вектора вдоль $\un$ , индексом $t$ — касательную к поверхности. Дифференциальные уравнения на $S$ неприменимы, но интегральные законы справедливы для любой области, в том числе пересекающей границу.

Нормальные составляющие: цилиндр

Возьмём малый цилиндр («таблетку») с основаниями площадью $\Delta S$ , параллельными $S$ , по одному в каждой среде, и высотой $h\to0$ . Поток через боковую поверхность исчезает вместе с $h$ , остаются потоки через основания: $(F_{2n}-F_{1n})\Delta S$ для любого вектора $\vec F$ (внешняя нормаль основания в среде 2 совпадает с $\un$ , в среде 1 противоположна ей).

Условия для нормальных составляющих

Из теоремы Гаусса $\oint\uD\cdot\un\,\dS=Q$ , где при $h\to0$ внутри остаётся только заряд на поверхности $\sigma_s\Delta S$ : $D_{2n}-D_{1n}=\sigma_s .$ Из $\oint\uB\cdot\un\,\dS=0$ : $B_{1n}=B_{2n}.$ Из закона сохранения заряда $\oint\uJ\cdot\un\,\dS=-\dd Q/\dd t$ : $J_{2n}-J_{1n}=-\frac{\partial\sigma_s}{\partial t}, \qquad\text{в стационарном режиме}\quad J_{1n}=J_{2n}.$ Из баланса энергии для теплового потока (без поверхностных источников тепла): $q_{1n}=q_{2n}.$

Касательные составляющие: контур

Возьмём прямоугольный контур со сторонами $\Delta l$ , параллельными $S$ (по одной в каждой среде), и высотой $h\to0$ . Площадь контура $\Delta l\cdot h$ стремится к нулю, поэтому поток любой конечной величины через него исчезает. Циркуляция вектора $\vec F$ сводится к $(F_{2t}-F_{1t})\Delta l$ , где $t$ — направление длинной стороны, а обход выбран так, что сторона в среде 2 проходится вдоль $\vec t$ .

Условия для касательных составляющих

Из закона индукции $\oint\uE\cdot\dl=-\dd\Phi/\dd t$ , где $\Phi\to0$ при конечном $\partial\uB/\partial t$ : $E_{1t}=E_{2t}.$ Из закона полного тока: ток проводимости через площадку конечной плотности исчезает, ток смещения — тоже, но поверхностный ток с линейной плотностью $K$ (А/м), текущий по самой границе, даёт конечный вклад $K\Delta l$ : $H_{2t}-H_{1t}=K,\qquad\text{в векторной форме}\quad \un\times(\uH_2-\uH_1)=\vec K ,$ где $K$ — составляющая $\vec K$ вдоль $\un\times\vec t$ (перпендикулярная $\vec t$ в плоскости границы). При $K=0$ (нет поверхностного тока) $H_{1t}=H_{2t}$ . Температура непрерывна, $T_1=T_2$ : скачок $T$ на нулевой толщине означал бы бесконечный градиент и бесконечный поток. Исключение — тонкий слой плохого контакта (оксидная плёнка, шероховатость), который моделируют контактным тепловым сопротивлением $R_{\mathrm к}$ (м²·К/Вт): $T_1-T_2=R_{\mathrm к}\,q_n,$ где $q_n$ — плотность теплового потока, проходящего из среды 1 в среду 2 (вдоль $\un$ ); сам поток при этом непрерывен.

Сведём результаты в таблицу. Непрерывны ровно те составляющие, для которых соответствующий интегральный закон не имеет поверхностного источника.

Поле	Непрерывно	Скачок	Поверхностный источник
Электрическое	$E_t$	$D_{2n}-D_{1n}=\sigma_s$	заряд $\sigma_s$
Магнитное	$B_n$	$H_{2t}-H_{1t}=K$	ток $K$
Стационарный ток	$J_n$ , $E_t$	$E_{1n}\ne E_{2n}$ при $\sigma_1\ne\sigma_2$	—
Тепловое	$q_n$ , $T$	$T_1-T_2=R_{\mathrm к}q_n$	контактное сопротивление

Закон преломления линий поля

Пусть на границе нет поверхностных источников ( $\sigma_s=0$ , $K=0$ ). Обозначим $\alpha_1$ , $\alpha_2$ углы между линией поля и нормалью в средах 1 и 2. Для электрического поля $\operatorname{tg}\alpha=E_t/E_n$ . Из $E_{1t}=E_{2t}$ и $\varepsilon_1E_{1n}=\varepsilon_2E_{2n}$ :

Закон преломления

$\frac{\operatorname{tg}\alpha_1}{\operatorname{tg}\alpha_2}=\frac{E_{1t}/E_{1n}}{E_{2t}/E_{2n}}=\frac{E_{2n}}{E_{1n}}=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}.$ Аналогично для магнитного поля ( $B_n$ непрерывна, $H_t$ непрерывна): $\operatorname{tg}\alpha_1/\operatorname{tg}\alpha_2=\mu_1/\mu_2$ ; для стационарного тока ( $J_n$ , $E_t$ ): $\sigma_1/\sigma_2$ ; для теплового потока ( $q_n$ непрерывна, касательная составляющая градиента непрерывна в силу непрерывности $T$ вдоль границы): $\lambda_1/\lambda_2$ .

Линии поля отклоняются от нормали в среде с большим коэффициентом: там, где $\varepsilon$ (или $\mu$ , $\sigma$ , $\lambda$ ) больше, поле «ложится» вдоль границы, а в среде с малым коэффициентом подходит к границе почти перпендикулярно. Предельный случай $\mu_2/\mu_1\to\infty$ объясняет, почему линии $\uB$ выходят из поверхности стали в воздух практически по нормали — этим пользуются при построении картин поля магнитных цепей.

Граница проводников при стационарном токе

Пусть ток течёт поперёк границы двух проводников с разными $\sigma$ и $\varepsilon$ . Непрерывность $J_n$ даёт $E_{1n}=J_n/\sigma_1$ , $E_{2n}=J_n/\sigma_2$ , откуда $\sigma_s=D_{2n}-D_{1n}=J_n\left(\frac{\varepsilon_2}{\sigma_2}-\frac{\varepsilon_1}{\sigma_1}\right).$ Если $\varepsilon_1/\sigma_1\ne\varepsilon_2/\sigma_2$ , на границе обязательно накапливается поверхностный заряд. Он не задаётся извне, а устанавливается сам в течение времени релаксации $\tau=\varepsilon/\sigma$ (для металлов $\sim10^{-19}$ с, для масла — секунды) ровно таким, чтобы обеспечить непрерывность тока. Это ключевое отличие от электростатики, где $\sigma_s$ — независимый источник. Пусть среда 1 — медь, среда 2 — сталь, ток течёт из меди в сталь (вдоль $\un$ , $J_n=+10^6$ А/м²), $\varepsilon_1=\varepsilon_2=\varepsilon_0$ : $\sigma_s=10^6\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\left(\frac1{5\cdot10^6}-\frac1{5{,}8\cdot10^7}\right)\approx+1{,}6\cdot10^{-12}\ \text{Кл/м}^2 .$ Заряд ничтожен, но создаваемый им скачок $E_{2n}-E_{1n}=J_n(1/\sigma_2-1/\sigma_1)\approx0{,}18$ В/м — это и есть то, что гонит ток в менее проводящей стали. Знак подчиняется простому правилу: вдоль направления тока $E_n$ возрастает при входе в худший проводник, и по теореме Гаусса заряд на границе положителен; при переходе из худшего проводника в лучший $E_n$ убывает и заряд отрицателен.

Если же среда 2 — идеальный диэлектрик ( $\sigma_2=0$ ), то $J_{2n}=0$ , значит и $J_{1n}=0$ : в проводнике у границы ток течёт строго вдоль поверхности, $E_{1n}=0$ . В диэлектрике при этом $E_{2n}=\sigma_s/\varepsilon_2$ может быть каким угодно — он определяется зарядом, накопившимся на поверхности, а не током. Поэтому в задачах о стационарном токе границу проводник–изоляция моделируют условием $J_n=0$ и не заботятся о внешнем электрическом поле.

Лаборатория

Лаборатория показывает плоскую границу раздела и линию поля, пересекающую её под заданным углом. Четыре вкладки соответствуют четырём строкам таблицы выше: электрическое поле ( $\uE$ , $\uD$ ; параметры $\varepsilon_1$ , $\varepsilon_2$ и поверхностный заряд $\sigma_s$ ), магнитное поле ( $\uB$ , $\uH$ ; $\mu_1$ , $\mu_2$ и поверхностный ток $K$ ), стационарный ток ( $\uJ$ , $\uE$ ; $\sigma_1$ , $\sigma_2$ , $\varepsilon_{r1}$ , $\varepsilon_{r2}$ — показана накапливающаяся на границе поверхностная плотность заряда) и тепловое поле ( $\uq$ , $\nabla T$ ; $\lambda_1$ , $\lambda_2$ и контактное сопротивление $R_{\mathrm к}$ ). Управление: угол падения $\alpha_1$ (от нормали), модуль вектора в среде 1, свойства обеих сред и источник на границе; предустановки соответствуют разобранным в уроке случаям (воздух → диэлектрик, сталь → воздух, медь → сталь). Показания: угол $\alpha_2$ , нормальные и касательные составляющие обоих векторов по обе стороны, скачок, обусловленный источником на границе, и отношение $\operatorname{tg}\alpha_1/\operatorname{tg}\alpha_2$ .

Открыть опыт: Границы раздела сред

На какие вопросы отвечает лаборатория:

Как при $\varepsilon_2/\varepsilon_1\to\infty$ линия поля в среде 2 ложится вдоль границы при любом $\alpha_1$ , а при $\varepsilon_2/\varepsilon_1\to0$ выходит из границы почти по нормали?
Почему при $\sigma_s\ne0$ скачок испытывает только $D_n$ , а $E_t$ по-прежнему непрерывна? Что меняется, если на магнитной вкладке задать $K\ne0$ ?
На вкладке тока: как знак накапливающегося заряда зависит от того, течёт ли ток из хорошего проводника в плохой или наоборот?
На тепловой вкладке: как $R_{\mathrm к}$ создаёт скачок $T$ при непрерывном $q_n$ ?

Электрическое поле входит из воздуха в диэлектрик

Линия $\uE$ подходит к границе воздух ( $\varepsilon_{r1}=1$ ) — диэлектрик ( $\varepsilon_{r2}=4$ ) под углом $\alpha_1=45°$ к нормали, $|\uE_1|=1$ кВ/м, поверхностного заряда нет (предустановка «Воздух → диэлектрик» в лаборатории). Тогда $E_{1t}=E_{1n}=1000\cos45°\approx707$ В/м. Касательная составляющая сохраняется: $E_{2t}=707$ В/м. Нормальная уменьшается в $\varepsilon_{r2}/\varepsilon_{r1}=4$ раза: $E_{2n}=707/4\approx177$ В/м. Модуль $|\uE_2|=\sqrt{707^2+177^2}\approx729$ В/м, угол $\operatorname{tg}\alpha_2=707/177=4$ , $\alpha_2\approx76°$ . Проверка по закону преломления: $\operatorname{tg}45°/\operatorname{tg}\alpha_2=1/4=\varepsilon_1/\varepsilon_2$ . Смещение: $D_{1n}=\varepsilon_0\cdot707\approx6{,}26$ нКл/м², $D_{2n}=4\varepsilon_0\cdot177\approx6{,}26$ нКл/м² — непрерывно, как и должно быть при $\sigma_s=0$ .

Магнитное поле на границе стали и воздуха

В стали ( $\mu_{r1}=1000$ ) линия индукции идёт под углом $\alpha_1=45°$ к нормали поверхности. В воздухе ( $\mu_{r2}=1$ ) $\operatorname{tg}\alpha_2=\operatorname{tg}\alpha_1\cdot\frac{\mu_2}{\mu_1}=\frac{1}{1000},\qquad \alpha_2\approx0{,}057°.$ Даже при $\alpha_1=89°$ (линия в стали почти скользит вдоль поверхности) $\operatorname{tg}\alpha_2=57{,}3/1000$ , $\alpha_2\approx3{,}3°$ . Поле в воздухе у поверхности ненасыщенной стали практически нормально к ней — независимо от того, что происходит внутри. При этом $B_n$ непрерывна, а $H_t$ непрерывна, так что $B_{2t}=B_{1t}/1000$ : касательная составляющая индукции в воздухе ничтожна.

Распространённые заблуждения

«Индукция $\uB$ непрерывна на границе». Непрерывна только нормальная составляющая $B_n$ . Касательная $B_t=\mu H_t$ при непрерывной $H_t$ скачет в $\mu_1/\mu_2$ раз — на границе стали и воздуха в тысячу раз.
«Раз $E_t$ непрерывна, то и $\uE$ непрерывен». Вектор $\uE$ меняет и модуль, и направление: $E_n$ скачет в $\varepsilon_2/\varepsilon_1$ раз. Непрерывность одной составляющей не означает непрерывности вектора.
«Поверхностный заряд на границе проводников задаётся внешне». При стационарном токе $\sigma_s$ — не источник, а следствие: он устанавливается сам так, чтобы $J_n$ была непрерывна. Задавать его независимо нельзя.
Углы измеряются от нормали, а не от поверхности. Закон $\operatorname{tg}\alpha_1/\operatorname{tg}\alpha_2=\varepsilon_1/\varepsilon_2$ при отсчёте от поверхности превращается в $\operatorname{ctg}$ и даёт обратное отношение.
« $\mu_r$ стали равно 1000». Это значение зависит от рабочей точки на кривой $B(H)$ ; в насыщении $\mu_r$ падает до единиц, и условия преломления меняются качественно.

Вопросы и упражнения

Докажите закон преломления для теплового потока $\operatorname{tg}\alpha_1/\operatorname{tg}\alpha_2=\lambda_1/\lambda_2$ , исходя из непрерывности $T$ вдоль границы и непрерывности $q_n$ .
Линия $\uD$ выходит из диэлектрика с $\varepsilon_{r1}=2{,}3$ в воздух под углом $\alpha_1=60°$ к нормали; $|\uD_1|=10$ нКл/м². Найдите $D_{2n}$ , $D_{2t}$ , $\alpha_2$ и отношение $|\uE_2|/|\uE_1|$ .
По границе двух сред течёт поверхностный ток $K=1000$ А/м (тонкая листовая обмотка). В среде 1 $H_{1t}=200$ А/м. Чему равна $H_{2t}$ при двух возможных направлениях $K$ относительно $t$ ?
Вычислите $\lambda_{\parallel}$ и $\lambda_{\perp}$ для пакета из стеклоткани ( $\lambda=0{,}3$ Вт/(м·К), $d=0{,}2$ мм) и эпоксидной смолы ( $\lambda=0{,}2$ Вт/(м·К), $d=0{,}1$ мм). Насколько велика анизотропия? Почему она гораздо слабее, чем в примере со сталью и лаком?
Ток плотностью $J_n=2\cdot10^5$ А/м² переходит из алюминия ( $\sigma=3{,}5\cdot10^7$ См/м) в графитовую щётку ( $\sigma=10^5$ См/м). Найдите $E_{1n}$ , $E_{2n}$ и знак поверхностного заряда на границе. В каком случае он положителен?
Контактное сопротивление $R_{\mathrm к}=5\cdot10^{-4}$ м²·К/Вт (предельное значение ползунка на тепловой вкладке лаборатории) при $q_n=5\cdot10^4$ Вт/м². Каков скачок температуры? Сравните с перепадом на слое стали толщиной 1 мм ( $\lambda=40$ Вт/(м·К)) при том же потоке.

Ответы к пунктам 2 и 5

2. $D_{1n}=10\cos60°=5$ нКл/м², $D_{1t}=10\sin60°\approx8{,}66$ нКл/м². $D_{2n}=D_{1n}=5$ нКл/м². Из $E_{2t}=E_{1t}$ : $D_{2t}=D_{1t}\varepsilon_2/\varepsilon_1=8{,}66/2{,}3\approx3{,}77$ нКл/м². $\operatorname{tg}\alpha_2=3{,}77/5=0{,}753$ , $\alpha_2\approx37°$ (проверка: $\operatorname{tg}60°/\operatorname{tg}\alpha_2=1{,}732/0{,}753=2{,}3$ ). $|\uE_1|=10/(2{,}3\varepsilon_0)$ , $|\uE_2|=\sqrt{5^2+3{,}77^2}/\varepsilon_0=6{,}26/\varepsilon_0$ ; отношение $|\uE_2|/|\uE_1|=6{,}26\cdot2{,}3/10\approx1{,}44$ — поле в воздухе сильнее.

5. Нормаль $\un$ направлена из среды 1 (алюминий) в среду 2 (щётка), ток течёт вдоль неё: $J_n=+2\cdot10^5$ А/м². Тогда $E_{1n}=J_n/\sigma_1=2\cdot10^5/(3{,}5\cdot10^7)\approx5{,}7\cdot10^{-3}$ В/м, $E_{2n}=J_n/\sigma_2=2\cdot10^5/10^5=2$ В/м. С $\varepsilon_1=\varepsilon_2=\varepsilon_0$ : $\sigma_s=\varepsilon_0(E_{2n}-E_{1n})=8{,}854\cdot10^{-12}\cdot(2-0{,}0057)\approx+1{,}77\cdot10^{-11}$ Кл/м². Заряд положителен, когда ток идёт из лучшего проводника в худший (поле вдоль тока нарастает); при обратном направлении тока — отрицателен.

Итоги

Материальные уравнения $\uD=\varepsilon\uE$ , $\uJ=\sigma\uE$ , $\uB=\mu\uH$ , $\uq=-\lambda\nabla T$ замыкают систему уравнений поля; среда может быть неоднородной ( $\varepsilon(\ur)$ ), анизотропной (тензор) и нелинейной ( $\mu(H)$ , $\sigma(T)$ ).
Слоистые структуры в крупном масштабе ведут себя как анизотропные среды с разными эффективными коэффициентами вдоль и поперёк слоёв.
Условия на границе следуют из интегральных законов для исчезающе тонкого цилиндра и контура: непрерывны $D_n$ (при $\sigma_s=0$ ), $B_n$ , $J_n$ , $q_n$ и $E_t$ , $H_t$ (при $K=0$ ), $T$ (при $R_{\mathrm к}=0$ ).
Закон преломления $\operatorname{tg}\alpha_1/\operatorname{tg}\alpha_2=\varepsilon_1/\varepsilon_2$ (и аналоги с $\mu$ , $\sigma$ , $\lambda$ ): линии поля прижимаются к границе в среде с большим коэффициентом и выходят почти по нормали в среде с малым.
На границе проводников при стационарном токе поверхностный заряд устанавливается сам — так, чтобы $J_n$ была непрерывна.

Граничные условия на поверхностях раздела — лишь часть постановки задачи. Далее — краевые задачи: какие условия надо задать на внешней границе области, чтобы решение существовало и было единственным.