FEMM 5

Лабораторная работа

Замкнутый стальной виток: проникновение поля, сопротивление и потери

Цель. Получить частотные зависимости тока, потерь и отношения Rac/Rdc для замкнутого стального витка. Проверить ток короткого замыкания по полной матрице комплексных сопротивлений.

Связь с проектированием. Оценить потери при заданном потоке 1,5 мВб и выбрать допустимую частоту по назначенному тепловому ограничению; отделить влияние проводимости, проницаемости и насыщения.

Задачи

  1. Построить физически замкнутый осесимметричный виток.
  2. Определить глубину проникновения, ток, потери и радиальный профиль J.
  3. Получить Z-матрицу двумя независимыми возбуждениями и предсказать ток короткозамкнутого витка.
  4. Прямо рассчитать выбранную точку при потоке 1,5 мВб и оценить чувствительность к B(H).

Исходные данные и условия опыта

Полная осесимметричная геометрия: стальной виток r=140…160 мм, z=-10…10 мм, \mu _{r}=500, \sigma =3 МСм/м. Возбуждающая катушка r=100…110 мм, z=-30…30 мм, 200 витков. Базовый ток 100 А peak, частоты 10, 50, 200 Гц.

Контролируемый поток проходит через окружность r=130 мм в плоскости z=0. В линейной серии он нормируется до амплитуды 1,5 мВб; выбранный режим 50 Гц дополнительно рассчитывается с найденным током катушки.

Нелинейная серия использует явно заданную условную безгистерезисную B(H), а не протокол конкретной стали. Сравниваются одинаковые геометрия, проводимость, частота и ток возбуждения.

Теория расчётного метода

Замкнутая геометрия и напряжение витка

В осесимметричной задаче ток течёт по окружности, поэтому один блок проводника описывает физически замкнутый тороидальный путь. Произвольный плоский блок не заменяет такого соединения.

Поток через окружность определяется 2\pi rA_{\varphi }. В незаданном внешним током замкнутом витке меняющийся поток создаёт индуцированный ток; в отдельном портовом опыте задают полный ток и измеряют требуемое напряжение. Эти условия дают разные задачи.

Два независимых возбуждения катушки и витка дают полную комплексную матрицу сопротивлений. Из условия Vвитка=0 следует ток короткого замыкания. Проверка этого тока прямым полевым решением подтверждает электрическое условие замыкания.

\Phi(r)=2\pi r A_\varphi(r),\qquad \begin{bmatrix}V_1\\V_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_1\\I_2\end{bmatrix}
Осесимметричная глубина уже учитывает полный оборот; дополнительный множитель длины плоской задачи не нужен.
I_2=-\frac{Z_{21}}{Z_{22}}I_1\quad(V_2=0),\qquad Z_{12}=Z_{21}
Все токи и напряжения выражены в одной амплитудной фазорной нормировке.

Литература по методу: Короткозамкнутый виток: поверхностный эффект и потери · PDF 1–2: постановка; 2–3: измеряемые величины, частота и варианты

Поверхностный эффект и область линейного масштабирования

В стали глубину проникновения определяют одновременно \sigma и \mu. При увеличении частоты ток концентрируется у поверхности, увеличивая эффективное сопротивление и локальную плотность потерь.

При постоянных \mu и \sigma все поля пропорциональны току возбуждения, а потери — его квадрату. Поэтому серию можно привести к одинаковому потоку и затем подтвердить выбранный режим прямым расчётом. После задания B(H) такое масштабирование без пересчёта неприменимо.

Показатель 2P/|Iвитка|² характеризует конкретное распределение индуцированного тока. Портовое Z_{22} включает собственное поле витка, а сопротивление по потерям при внешнем возбуждении может дополнительно зависеть от близости катушки и магнитного потока. Их сравнивают, сохраняя смысл каждого опыта.

Гармоническая нелинейная постановка даёт эквивалентный периодический режим; она не восстанавливает произвольную форму тока, петлю гистерезиса или переходный нагрев.

\delta_s=1/\sqrt{\pi f\mu\sigma},\quad R_{ac,\rm app}=2P/|I_{ring}|^2
Rac, app относится к конкретному опыту с индуцированным током.
R_{dc,\rm ср}\simeq\frac{2\pi r_{\rm ср}}{\sigma bh},\quad R_{dc,\rm точн}=\frac{2\pi}{\sigma h\ln(r_{\rm out}/r_{\rm in})}
Для прямоугольного осесимметричного витка концентрические элементарные пути соединены параллельно. В таблице Rac/Rdc используется приближение по среднему радиусу; для r=140…160 мм его отличие от точного DC-значения около 0,15%.
\alpha=\Phi_{target}/|\Phi|,\quad I_{1,target}=\alpha I_1,\quad P_{target}=\alpha^2P
Масштабирование справедливо только для неизменных линейных свойств.

Литература по методу: Короткозамкнутый виток: поверхностный эффект и потери · PDF 1–2: постановка; 2–3: измеряемые величины, частота и варианты

Диффузия поля и частота в системе проводника

Из законов Фарадея, полного тока и Ома для неподвижной линейной проводящей среды следует уравнение магнитной диффузии. Его гармоническое решение задаёт глубину проникновения. Частота должна соответствовать системе координат рассматриваемого проводника: для ротора основной асинхронной гармоники это частота скольжения.

Сравнение потерь требует одинакового задания источника: фиксированный ток, средняя индукция или поверхностное поле дают разные серии. Подстановка эффективной проводимости для переноса частоты может воспроизвести поле, но потери искусственной среды не становятся реальным тепловыделением без обратного пересчёта.

\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}=\frac1{\mu\sigma}\nabla^2\mathbf B,\qquad \delta_s=\sqrt{\frac2{\omega\mu\sigma}},\qquad k=\frac{1+j}{\delta_s}
Изотропные постоянные \mu и \sigma, ток смещения несущественен.
f_2=sf_1,\qquad P_{\rm Cu,2}=sP_\delta,\qquad T_e=P_\delta/\Omega_s
Последние равенства относятся к согласованной основной гармонике и принятой схеме асинхронной машины.

Литература по методу: Электродинамические поля и проникновение в проводящий массив · PDF1–23,34–42; Интегральные величины при резко выраженном поверхностном эффекте · PDF1–15; Магнитные поля в электрических машинах — введение (файл Гончарова) · PDF60–74

Поверхностный импеданс как проверка сильного вытеснения

Когда глубина проникновения мала по сравнению с толщиной и локальным радиусом кривизны, объёмный интеграл потерь можно сопоставить с поверхностным выражением. Оно связывает тангенциальное поле с поверхностным током и комплексной мощностью.

Сначала проверяют отношение глубины проникновения к размерам, затем сеточную сходимость объёмной мощности. Совпадение интегральных потерь не доказывает правильности локального пика у острой кромки. Для нелинейной стали постоянный поверхностный импеданс является приближением и должен сравниваться с фактической рабочей точкой.

Z_s=\frac{1+j}{\sigma\delta_s},\qquad P\simeq\frac12\operatorname{Re}Z_s\int_S|\widehat H_t|^2dS
Фазоры пиковые; для RMS множитель 1/2 не используется. Тонкие тела и зоны краёв требуют отдельной проверки.

Литература по методу: Интегральные величины при резко выраженном поверхностном эффекте · PDF1–15; Электродинамические поля и проникновение в проводящий массив · PDF9–23

Модели для работы

Замкнутый стальной виток: проникновение поля, сопротивление и потери

Полная осесимметричная геометрия: стальной виток r=140…160 мм, z=-10…10 мм, \mu _{r}=500, \sigma =3 МСм/м. Возбуждающая катушка r=100…110 мм, z=-30…30 мм, 200 витков. Базовый ток 100 А peak, частоты 10, 50, 200 Гц. Контролируемый поток проходит через окружность r=130 мм в плоскости z=0. В линейной серии он нормируется до амплитуды 1,5 мВб; выбранный режим 50 Гц дополнительно рассчитывается с найденным током катушки. Нелинейная серия использует явно заданную условную безгистерезисную B(H), а не протокол конкретной стали. Сравниваются одинаковые геометрия, проводимость, частота и ток возбуждения. Потери в витке не определяют температуру без тепловой модели и теплоотдачи. Гистерезис и заявленные изготовителем свойства конкретной марки стали не заданы. Условная B(H) предназначена для анализа чувствительности; она не является аттестацией промышленного материала.

reproduce.pyring-ac-shield-README.mdring-ac-shield-results.jsonring-ac-shield.csv

Модели и сохранённые решения серии

sc-ring-f_{010}-s_{0}-h050.femsc-ring-f_{010}-s_{3}-h050.femsc-ring-f_{050}-s_{3}-h100.femsc-ring-f_{050}-s_{0}-h050.femsc-ring-f_{050}-s_{3}-h050.femsc-ring-f_{050}-s_{3}-h025.femsc-ring-f_{200}-s_{0}-h050.femsc-ring-f_{200}-s_{3}-h050.femsc-ring-f_{200}-s_{3}-h025.femsc-ring-port-f_{010}-A.femsc-ring-port-f_{010}-B.femsc-ring-port-f_{050}-A.femsc-ring-port-f_{050}-B.femsc-ring-port-f_{200}-A.femsc-ring-port-f_{200}-B.femsc-ring-flux-selected.femsc-ring-domain-large.femsc-ring-nonlinear-I0100.femsc-ring-nonlinear-I0500.femsc-ring-linear-I0500.femsc-ring-flux-selected.anssc-ring-port-f_{050}-B.anssc-ring-nonlinear-I0500.ans

Результаты расчёта
ВеличинаРезультатЕдиница
Потери при 50 Гц и 1.5 мВб22,51Вт
Амплитуда тока замкнутого витка135А

Последовательное решение

1 · Замкнутый путь и контроль потока

Определения измеряемых величин и электрические условия задают смысл последующего сравнения.

  1. Покажите окружной токовый путь в осесимметричной геометрии, границы стали и возбуждающей катушки.
  2. Определите контролируемый поток через r=130 мм и задайте амплитудную нормировку 1,5 мВб. Не умножайте осесимметричный результат на дополнительную активную длину.
  3. Разделите три опыта: естественно замкнутый виток, заданный портовый ток и условная нелинейная сталь. Для каждого запишите независимые электрические условия.

Записать в протокол. Протокол замкнутого витка, поверхность потока и электрические условия опытов.

Подробное выполнение: 43.2 · Короткозамкнутый виток: замкнутый ток, фазовый сдвиг и предел осесимметрии; 21.2 · Холостой ход и короткое замыкание с учётом активных сопротивлений

2 · Частотная серия и профили

Наличие замкнутого витка проверяют током и потерями.

  1. Рассчитайте 10, 50, 200 Гц и отдельные непроводящие варианты \sigma =0 при той же \mu.
  2. Получите полный индуцированный ток, мощность и J(r) через середину сечения.
  3. Вычислите \delta s и Rac/Rdc; нормируйте линейную серию к потоку 1,5 мВб.

Записать в протокол. Частота, \delta s, комплексный Iвитка, P и профили проникновения.

Подробное выполнение: 43.2 · Короткозамкнутый виток: замкнутый ток, фазовый сдвиг и предел осесимметрии; 50.2 · Вихревые токи в электромагнитном аппарате: экранирование и предел гармонической модели; 34.1 · Магнитные потери, потери в проводниках и граница баланса мощности

3 · Два порта и короткое замыкание

Независимые портовые опыты проверяют ток замкнутого витка.

  1. Задайте I_{1}=1 А, I_{2}=0, затем I_{1}=0, I_{2}=1 А; измерьте оба напряжения.
  2. Составьте Z-матрицу, сравните взаимные элементы.
  3. Предскажите I_{2} при V_{2}=0 и I_{1}=100 А; сравните с прямой моделью естественно замкнутого витка.

Записать в протокол. Z_{11}, Z_{12}, Z_{21}, Z_{22} и невязка тока КЗ.

Подробное выполнение: 8.9 · Знаки M, взаимность и энергетическая проверка; 21.2 · Холостой ход и короткое замыкание с учётом активных сопротивлений; 29.2 · Проверка параметров на независимых частотах

4 · Заданный поток и чувствительность

Тепловая оценка требует одинаковой нормировки.

  1. Прямо рассчитайте 50 Гц при найденном токе катушки для амплитуды потока 1,5 мВб.
  2. Уточните сетку в стали и независимо расширьте внешнюю воздушную область.
  3. Сопоставьте линейную и условную нелинейную сталь при 100 и 500 А; укажите, почему P∝I^{2} перестаёт быть общим правилом.

Записать в протокол. Выбранная точка, сеточная и граничная чувствительность, таблица влияния B(H).

Подробное выполнение: 3.3 · Независимое уточнение сетки, области и положения; 34.1 · Магнитные потери, потери в проводниках и граница баланса мощности; 35.2 · Тепловая модель электрической машины: карта потерь, анизотропия и охлаждение

Контрольный расчёт и численные результаты

Стальной виток r=140…160 мм, z=±10 мм, \mu _{r}=500, \sigma =3 МСм/м; f=50 Гц, |\Phi(r=130 мм)|=1,5 мВб.

  1. Глубина проникновения \delta s=1{,}83776 мм.
  2. По линейной серии ток катушки выбран 41,2598 А peak; прямой расчёт даёт |\Phi |=1{,}5 мВб.
  3. Амплитуда тока витка 135,048 А; мощность 22,5093 Вт.
  4. Портовая матрица независимо предсказывает комплексный ток короткозамкнутого витка при 10, 50 и 200 Гц.

Линейная осесимметричная модель замкнутого витка. Нелинейная чувствительность рассчитывается отдельно с условной B(H).

Одинаковый поток 1,5 мВб

f, Гц\delta s, ммIкатушки peak, АIвитка peak, АPвитка, ВтRac/Rdc
104,10940,856,892,0331,599
501,83841,2613522,513,143
2000,918942,1274,21765,959

Влияние условной B(H) при одинаковом токе

СтальIкатушки peak, А|\Phi |, мВб|Iвитка|, АP, Вт
\mu _{r}=5001003,636327,3132,2
Условная B(H)1003,62435192,8
Условная B(H)50017,71526112600
\mu _{r}=50050018,1816373306

Количественные результаты и их проверка

Заполните таблицу собственными значениями; каждому числу сопоставьте режим и файл решения.

ВеличинаЕдиницаЧто определяет
Iвитка, ZjkА, ОмТок замыкания и связь с возбуждающей обмоткой
\delta s, Rac/Rdc, Pмм, 1, ВтПоверхностный эффект и тепловая нагрузка
  1. Изменение потерь при сетке 1→0,5 мм при 50 Гц менее 4%; более мелкая сетка даёт дополнительную оценку.
  2. Взаимность Z и предсказанный ток замкнутого витка согласуются с прямым расчётом менее чем на 0,3%.
  3. Прямой выбранный режим даёт поток 1,5 мВб с отклонением менее 0,2%; внешний размер уточняется отдельно от сетки.

Итоговый вывод. Укажите потери витка при одинаковом потоке и выбранной частоте. Если задан предельный бюджет потерь, сопоставьте с ним рассчитанную мощность и объясните границы линейной оценки; температура требует отдельной тепловой модели.

Границы применения результата

Литература

  1. Короткозамкнутый виток: поверхностный эффект и потери. — 3 с.
  2. Электродинамические поля в электрических машинах. Раздел 13. — 42 с.
  3. Расчёт интегральных величин (тока, потока, электрического и магнитного сопротивлений) для тел произвольной формы при резко выраженном поверхностном эффекте. Раздел 15. — 15 с.
  4. Магнитные поля в электрических машинах — введение. — 75 с.