Контурный тензор Максвелла и момент по окружности

Тензор натяжений Максвелла

Виртуальная работа даёт полную силу, но не говорит, где она приложена. Другой способ — представить силу как результат натяжений, передаваемых полем через поверхность. Максвелл показал, что для поля в вакууме (воздухе) силу на любое тело можно записать как поток некоторого тензора через замкнутую поверхность $S$, охватывающую это тело [Тамм]: $$\vec F=\oint_S\vec f\,\dS,\qquad \vec f=\frac1{\mu_0}\Bigl[(\uB\cdot\un)\uB-\tfrac12B^2\un\Bigr],$$ где $\un$ — внешняя нормаль, а $\vec f$ — поверхностная плотность силы, Н/м². Два частных случая проясняют смысл: если $\uB\parallel\un$, то $\vec f=\dfrac{B^2}{2\mu_0}\un$ — вдоль линий поля действует натяжение $B^2/(2\mu_0)$; если $\uB\perp\un$, то $\vec f=-\dfrac{B^2}{2\mu_0}\un$ — поперёк линий действует такое же давление. Линии поля ведут себя как натянутые нити, стремящиеся сократиться и расталкивающие друг друга.

На границе стали с воздухом при поле, нормальном к поверхности, натяжение $B_n^2/(2\mu_0)$ со стороны воздуха тянет поверхность стали наружу — к зазору. Именно это даёт $B^2S/(2\mu_0)$ на каждую полюсную поверхность электромагнита, в полном согласии с методом виртуальной работы. Величина $B^2/(2\mu_0)$ при $B=1$ Тл равна $3{,}98\cdot10^5$ Па, около 4 атмосфер; при $1{,}5$ Тл — $9{,}0\cdot10^5$ Па. Для реальной стали с конечным $\mu$ и касательной составляющей поля выражение сложнее, но при $\mu_r\gg1$ и преимущественно нормальном поле формула $B_n^2/(2\mu_0)$ остаётся хорошим приближением.

Как выбирать поверхность интегрирования: она должна целиком лежать в воздухе (формула выведена для $\mu_0$), охватывать всё тело, на которое ищется сила, и не пересекать другие тела и токи. Теоретически результат от выбора не зависит; практически в численных моделях он чувствителен к точности поля на поверхности, поэтому её проводят посередине зазора, вдали от углов, где поле меняется резко. В лаборатории магнитной цепи сила по тензору Максвелла сравнивается с силой по формуле цепи $B_g^2S_g/\mu_0$ (две полюсные поверхности) — расхождение показывает роль рассеяния и выпучивания.