Проверка серий, неопределённость и воспроизводимость

Откуда в электротехнике тепло

Любое электромагнитное устройство — проводник с током, трансформатор, электрическая машина, индукционный нагреватель — часть подведённой энергии превращает в тепло. Эти потери нагревают устройство, а нагрев, в свою очередь, меняет свойства материалов: сопротивление меди растёт, магнитная проницаемость стали падает, глубина проникновения поля увеличивается. Электромагнитная и тепловая задачи оказываются связанными: решение одной входит в данные другой. Предельный случай такой связи — тепловой разгон, когда рост температуры увеличивает потери быстрее, чем усиливается их отвод, и стационарного режима не существует вовсе.

В этом уроке мы соберём то, что знаем о поле тока, вихревых токах и теплопроводности, в одну схему расчёта и разберём её на простейшем примере — проводе с током.

Потери как объёмные источники тепла

В уравнении теплопроводности $\rho_mc\,\partial T/\partial t=\nabla\cdot (\lambda\nabla T)+q_V$ источник $q_V$ — объёмная мощность тепловыделения, Вт/м³. В электротехнических устройствах она складывается из нескольких видов потерь.

Остальные виды потерь выражаются через поля аналогично:

• Потери от вихревых токов в массивных проводящих деталях — это те же потери Джоуля, но плотность тока $\uJ=\sigma\uE$ индуцирована переменным магнитным полем и сосредоточена в слое толщиной порядка глубины проникновения $\delta=\sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}$. Распределение $\overline{q_V}$ по сечению крайне неравномерно: у поверхности оно максимально и убывает как $e^{-2x/\delta}$.
• Потери на гистерезис в ферромагнетиках равны площади петли $B$–$H$, умноженной на частоту: $q_{V,\text{г}}=f\oint H\,\dd B$. Точной теории петли нет, поэтому пользуются эмпирическими зависимостями от амплитуды индукции и частоты (формула Штейнмеца и её обобщения) или справочными удельными потерями материала, Вт/кг, при заданных $B_m$ и $f$.
• Диэлектрические потери в изоляции при гармоническом поле описываются мнимой частью комплексной проницаемости $\varepsilon=\varepsilon'-\ii\varepsilon''$: $\overline{q_V}=\tfrac12\omega\varepsilon''|\cplx E|^2$ — с тем же множителем $\tfrac12$ для амплитудных значений. Эквивалентно, диэлектрик ведёт себя как среда с проводимостью $\omega\varepsilon''$.

Во всех случаях тепловая задача получает $q_V(\vec r)$ как распределённый источник. Интеграл $P=\int_Vq_V\,\dV$ — полная мощность потерь — должен совпадать с мощностью, вычисленной «со стороны цепи» ($I^2R$, $\Re\{\cplx U\cplx I^*\}/2$): это первая проверка согласованности электромагнитного расчёта.

Обратное влияние температуры

Следствия для электромагнитной задачи:

• При заданном токе потери Джоуля $I^2R(T)$ растут вместе с температурой. При заданном напряжении, напротив, ток и потери $U^2/R(T)$ падают — знак обратной связи зависит от режима питания.
• Проводимость $\sigma(T)=1/\rho_{\mathrm э}(T)$ входит в глубину проникновения: $\delta\propto1/\sqrt\sigma=\sqrt{\rho_{\mathrm э}}$. При нагреве меди на $100$ К $\delta$ возрастает на $\sqrt{1{,}39}-1\approx18$ %, ток распределяется по сечению равномернее, и сопротивление переменному току растёт медленнее, чем постоянному.
• Теплопроводность $\lambda(T)$ меняется слабее: у меди она падает примерно на $5$ % на каждые $100$ К.
• Кривая $B$–$H$ ферромагнетика зависит от температуры: магнитная проницаемость и индукция насыщения уменьшаются с ростом $T$ и обращаются в нуль в точке Кюри (для железа $770$ °C). В индукционном нагреве стали это приводит к резкому изменению $\delta$ и распределения потерь при прохождении точки Кюри.

Стратегии связывания

Пусть электромагнитная задача по заданному распределению температуры $T(\vec r)$ (через $\sigma(T)$, $\mu(T)$) даёт распределение потерь $q_V(\vec r)$, а тепловая задача по $q_V$ даёт новое $T$. Обозначим эти операции $q_V=\mathcal E[T]$ и $T=\mathcal T[q_V]$. Способы их соединения различаются тем, учитывается ли обратное влияние.

Какая бы стратегия ни использовалась, в конце проверяется энергетическая согласованность: в стационарном режиме мощность, выделяемая электрически, должна равняться мощности, отводимой через границу тела, $$P_{\text{Дж}}=\int_Vq_V\,\dV=\oint_S\uq\cdot\un\,\dS=P_{\text{отв}}.$$ Невязка $|P_{\text{Дж}}-P_{\text{отв}}|/P_{\text{Дж}}$ служит мерой сходимости итераций и точности численного решения. Если она не уменьшается с ростом числа итераций, значит, либо итерации не сходятся, либо в тепловой или электромагнитной модели есть ошибка в граничных условиях.

Учебная задача: провод с током

Соберём всё на модели, которую решает лаборатория. Длинный цилиндрический провод радиуса $a$ и длины $\ell$ несёт постоянный ток $I$. Поверхность провода омывается средой $T_\infty$ с коэффициентом теплоотдачи $\alpha$. Удельное сопротивление $\rho_{\mathrm э}(T)$ — линейное, теплопроводность $\lambda$ постоянна. Будем работать с величинами на единицу длины (штрих).

Электромагнитный шаг. Ток постоянный, плотность $J=I/(\pi a^2)$ однородна. Сопротивление и потери на единицу длины при температуре $T$: $$R'(T)=\frac{\rho_{\mathrm э}(T)}{\pi a^2},\qquad P'=I^2R'(T),\qquad q_V=\frac{P'}{\pi a^2}.$$ Поскольку, как мы увидим, сечение медного провода практически изотермично, достаточно вычислять $\rho_{\mathrm э}$ при температуре поверхности $T_s$ (лаборатория берёт среднюю по сечению температуру $T_s+q_Va^2/(8\lambda)$, что для меди неотличимо).

Тепловой шаг. Радиальное стационарное поле с однородным $q_V$ (вывод): $$T(r)=T_s+\frac{q_V}{4\lambda}\left(a^2-r^2\right),\qquad T_{\text{ц}}-T_s=\frac{q_Va^2}{4\lambda}.$$ Температура поверхности находится из баланса: всё выделенное тепло уходит конвекцией через поверхность $2\pi a\ell$, $$P=\alpha\cdot2\pi a\ell\,(T_s-T_\infty)\;\Rightarrow\;T_s=T_\infty+\frac{P'}{2\pi a\alpha}.$$

Связь. Подставляя потери в тепловой шаг, получаем отображение $T_{k+1}=g(T_k)$: $$T_{s,k+1}=T_\infty+\frac{I^2R'_0\left[1+\alpha_\rho(T_{s,k}-T_0)\right]}{2\pi a\alpha},\qquad R'_0=\frac{\rho_{\mathrm{э}0}}{\pi a^2}.$$ Один проход ($k=0$, $T_{s,0}=T_0$) — это односторонняя связь; повторение до сходимости — слабая связь.

Лаборатория

Лаборатория воспроизводит разобранную задачу: цилиндрический провод радиуса $a$ с током $I$, $\rho_{\mathrm э}(T)=\rho_{\mathrm{э}0}[1+\alpha_\rho(T-T_0)]$ при $T_0=20$ °C, конвекция $\alpha$ на поверхности при $T_\infty$. Итерации начинаются с $T_s=T_\infty$; на каждом шаге по текущей средней температуре сечения вычисляются $R'$ и потери $P'=I^2R'(T)$, затем аналитически — радиальное температурное поле при однородном $q_V$ и новые $T_s$, $T_{\text{ц}}$, затем новое $R'$. Два режима: один проход (без обратной связи) и итерации до сходимости по заданному допуску на $T_s$. Выводятся $T_s$, $T_{\text{ц}}$, $R'$, $P'$, отводимая конвекцией мощность, невязка баланса $P'_{\text{Дж}}-P'_{\text{конв}}$, число итераций, $\kappa$, $I_{\text{кр}}$ и предупреждение о расходимости (тепловой разгон); графики истории итераций $T_s$, $T_{\text{ц}}$, $P'$ и профиль $T(r)$.

Что стоит проделать:

• Введите данные примера и сравните режимы «один проход» и «итерации»: разница температур поверхности должна составить около $13$ К, а невязка баланса в режиме одного прохода — около $20$ % потерь.
• Наблюдайте за историей итераций: отношение соседних поправок $(\vartheta_{k+1}-\vartheta_k)/(\vartheta_k-\vartheta_{k-1})$ равно $\kappa$. Увеличивайте ток и следите, как $\kappa$ растёт, а число итераций до заданного допуска увеличивается.
• Приблизьтесь к $I_{\text{кр}}$: при $\kappa\to1$ число итераций стремится к бесконечности, а при $I>I_{\text{кр}}$ появляется предупреждение о разгоне. Проверьте, что $I_{\text{кр}}$ растёт как $\sqrt{a^3\alpha}$: удвоение $\alpha$ (обдув) увеличивает допустимый ток лишь в $1{,}41$ раза, а удвоение радиуса — в $2{,}8$ раза.
• Заметьте, что $T_{\text{ц}}-T_s=q_Va^2/(4\lambda)=P'/(4\pi\lambda)$ при заданных потерях на единицу длины от радиуса не зависит: меняйте $a$ при постоянном $P'$ и убедитесь в этом. Затем уменьшите $\lambda$ до $1$ Вт/(м·К) (условный материал): при $P'\approx6$ Вт/м перепад составит около $0{,}5$ К, и парабола $T(r)$ станет отчётливо видна.

Итоги

• Потери — Джоуля $\uJ\cdot\uE=|\uJ|^2/\sigma$ (для гармоник среднее $\tfrac12|\cplx J|^2/\sigma$), от вихревых токов, на гистерезис, диэлектрические — входят в тепловую задачу как объёмный источник $q_V$; их интеграл должен совпадать с мощностью со стороны цепи.
• Температура влияет обратно: $\rho_{\mathrm э}(T)=\rho_{\mathrm{э}0}[1+\alpha_\rho(T-T_0)]$ (медь $3{,}9\cdot10^{-3}$ 1/К) меняет потери и глубину проникновения $\delta\propto\sqrt{\rho_{\mathrm э}}$; $\lambda$ и кривая $B$–$H$ тоже зависят от $T$.
• Односторонняя связь решает задачи по очереди один раз и при заданном токе занижает температуру; слабая связь итерирует $T_{k+1}=\mathcal T[\mathcal E[T_k]]$ до сходимости с проверкой невязки баланса; сильная связь решает всё совместно.
• Для провода итерации линейны с множителем $\kappa=I^2R'_0\alpha_\rho/(2\pi a\alpha)$: при $\kappa<1$ они сходятся к $\vartheta^*=\vartheta_1/(1-\kappa)$, при $\kappa\ge1$ наступает тепловой разгон — стационарного режима нет.
• Критерий правильности любой связанной задачи — энергетическая согласованность: выделенная электрически мощность равна отведённой тепловой.

Далее — основы численного моделирования полей: как краевые задачи этого курса превращаются в системы алгебраических уравнений.