Занятие 17.1
Подготовительный этап методики · Проверка масштаба и пространственного распределения поля
Выбор корректного метода до расчёта устройства.
Результат этого этапа — проверенная постановка или воспроизводимая процедура перед серией расчётов.
Обосновать постановку и способ измерения. Свяжите потенциал, его производные и измеряемые компоненты поля; выберите точки внутри областей и отдельно у границ.
Проверьте таблицу обмотки и преобразование фаз. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сведите исходное и изменённое состояния в одну таблицу, укажите единицы и вычислите разность результатов.
Ответить на вопрос по своим результатам. Проверьте знак, единицу и масштаб по постановке; используйте аналитическое поле, если для этого эталона оно выведено в занятии.
Оформление наблюдений. Координаты, компоненты поля, единицы, режим и принадлежность точки материалу; при сравнении профилей — одна ориентация оси.
Независимый контроль. Используйте производную потенциала, аналитический однородный предел или закон источника, предусмотренный данным занятием.
Точность и расхождения. Критерий этого этапа — соответствие исходным данным, топологии, назначениям и процедуре повторного открытия. Численный допуск поля здесь не назначают: поле ещё не является защищаемым результатом. Расхождения размеров и параметров фиксируйте с единицами и происхождением.
Поясните, где поле определяет полезный эффект устройства, а где локальная неоднородность ограничивает простую расчётную схему.
Границы вывода. Методические опыты; расчётный статус определяется точными моделями и результатами проверки.
Проверьте таблицу обмотки и преобразование фаз
Нормировки, общие обозначения и единицы курса. Обозначения конкретной задачи приведены рядом с формулами.
Обмоточная таблица задаёт паз, сторону, знак, витки и параллельную ветвь. Число фаз и число сторон не заменяют ампер-витки. В токовом возбуждении фиксируйте ток ветви; ток линии и ток стороны определяются схемой соединения. Пространственные гармоники МДС зависят от распределения сторон и шага.
Электрический угол связан с механическим как \theta e=p \theta m. Для амплитудно-инвариантного Park используйте d=(2/3)Σik \cos (\theta e-2\pi k/3), q=−(2/3)Σik \sin (\theta e-2\pi k/3). При согласованных напряжениях мощность p эл=(3/2)(ud i_d+uq i_q) плюс нулевая последовательность. Знак генераторной мощности определяется направлением токов; фиксируйте его до расчёта.
ЭДС получается производной потокосцепления всей цепи; повторного умножения на витки нет. Для p пар полюсов синхронная скорость равна 60f/p. В асинхронной машине частота токов ротора sf. Гармоническая неподвижная модель при sf и механическое вращение — разные постановки.
Дано. Частота 50 Гц, две пары полюсов. Найдите синхронную скорость.
Приведите данные к СИ и используйте соотношение из теории.
Последовательность вычисления приведена в программе ниже; контрольное значение: 1500 об/мин.
Ответ: 1500 об/мин
Проверка: Это аналитический контроль указанного частного случая. Полевой опыт проверяется отдельно.
| Исходная величина | Значение | Единица |
|---|---|---|
| Исходные данные контроля | Частота 50 Гц, две пары полюсов. Найдите синхронную скорость. |
Ожидаемый результат. Получите таблицу параметров и результатов; объясните знак и отличие от аналитического контроля.
Как проверить. Повторите опыт с изменением одного параметра. Сохраните исходный файл, версию FEMM, решение и единицы результатов.
Какие условия и наблюдаемые величины определяют проверку: проверьте таблицу обмотки и преобразование фаз?
С чем сравнить. Аналитический профиль из теории применим только при тех же источниках, материале и граничных условиях. Карта цветов не заменяет численное измерение.
Итог работы. Таблица по теме «Обмотки, углы, abc–dq и мощность машины», исходные файлы, программа и объяснение ограничений.
Программа с исходными файлами · Порядок запуска
Выполните во встроенной консоли Python FEMM 5. Сначала проверьте арифметику метода; затем выполните полевой опыт.
"""Обмотки, углы, abc–dq и мощность машины.
Встроенный Python FEMM 5. Аналитический контроль; не квитанция полевого решения.
"""
from math import pi, sqrt, sin, cos
# Исходные данные приведены в СИ; результат сравнивается с примером урока.
result = 60*50/2
# Контрольный вывод: об/мин.
print(result)
Выполните опыт «Проверьте таблицу обмотки и преобразование фаз» и представьте таблицу сравнения.
Обмотка — система изолированных проводников, уложенных в пазы магнитопровода и соединённых лобовыми частями. Её назначение состоит в создании заданной пространственной магнитодвижущей силы при подведении тока и в получении заданной ЭДС при изменении поля. Номер паза задаёт пространственное положение, знак стороны катушки — направление тока вдоль оси машины, а число последовательных витков определяет связь электрического тока с ампервитками. Поэтому одинаковые диаметры ротора и статора ещё не означают одинаковые электрические машины.
Катушка имеет две активные стороны. В плоской модели они изображаются двумя областями с противоположными знаками числа витков. Если по одному витку проходят восемь параллельных элементарных проводов, это по-прежнему один виток: число жил определяет площадь меди и сопротивление, но не умножает магнитодвижущую силу при неизменном полном токе витка. Параллельные ветви всей фазы также нельзя смешивать с параллельными жилами одного провода.
Для каждой фазы составьте таблицу «паз — слой — знак — последовательные витки — параллельная ветвь». Её проверяют до расчёта поля: положительные и отрицательные активные стороны должны образовывать замкнутые катушки; три фазные оси должны иметь требуемое электрическое смещение; отсутствующая метка паза не может заменяться предполагаемым соединением. В FEMM 5 свойство Circuit назначается каждой соответствующей области, а знак задаётся полем Number of Turns.
Пусть электрический шаг катушки равен \gamma, а пространственная гармоника поля имеет порядок \nu относительно основной. ЭДС двух сторон катушки отличаются по фазе на \nu \gamma. С учётом противоположного включения их разность равна разности двух комплексных векторов. Отнесение её модуля к удвоенной ЭДС одной стороны даёт коэффициент шага. Укороченная катушка уменьшает ЭДС основной гармоники, однако может полностью исключить выбранную высшую гармонику.
Для целого числа пазов на полюс и фазу q ЭДС соседних пазов сдвинуты на электрический пазовый угол \alpha. Сумма q векторов образует геометрическую прогрессию. Её модуль, разделённый на арифметическую сумму q одинаковых модулей, даёт коэффициент распределения. Произведение коэффициентов шага и распределения представляет обмоточный коэффициент для выбранной гармоники. Коэффициент скоса вводится отдельно, поскольку описывает смещение сечений по длине.
При дробном q обычная формула для q последовательных одинаковых пазов часто неприменима: фаза составлена из нескольких неодинаковых групп. Тогда используют непосредственно векторную сумму по таблице фактических сторон катушек. Полученный коэффициент нужно рассчитывать для каждой гармоники. Высокий коэффициент основной гармоники сам по себе не гарантирует малые потери в магнитах и малый шум: существенны также низшие и высшие пространственные гармоники магнитодвижущей силы.
Гармоники, кратные трём, дополнительно сокращаются в суммарной магнитодвижущей силе симметричной трёхфазной системы. Это отдельный механизм: нуль суммарной трёхфазной гармоники нельзя смешивать с нулём коэффициента шага одной катушки. В фазных ЭДС гармоники нулевой последовательности могут присутствовать; их проявление на выводах зависит от соединения фаз.
Потокосцепление фазы является суммой потоков, сцепленных с её последовательными витками. В плоской задаче его удобно вычислять через осевую компоненту векторного потенциала: потенциалы двух сторон входят с противоположными знаками, поэтому произвольная добавленная константа сокращается. Интегрирование по площади проводников учитывает неоднородность поля внутри паза. Полученное потокосцепление относится к заданной глубине модели, которую нельзя умножать повторно.
Для синусоидальной основной гармоники потокосцепления закон Фарадея даёт амплитуду ЭДС \omega эл \Psi амп. Действующее значение меньше в корень из двух раз. Подстановка потокосцепления N посл k об \Phi амп и \omega эл=2\pi f приводит к известному коэффициенту 4,44. Эта формула является следствием синусоидальной формы; при искажении сигнала производную и спектр нужно рассчитывать по всей периодической угловой серии.
Дано. Q=12, 2p=4, m=3; полный шаг — 3 пазовых деления, укороченный — 2.
Получаем q=1 и \alpha =60^\circ. У полного шага \gamma =180^\circ, поэтому k ш,1=1. Укороченный шаг \gamma =120^\circ даёт k ш,1=sin_{60}^\circ =0{,}866025.
Для третьей пространственной гармоники укороченной катушки k ш,3=|sin_{180}^\circ |=0. Для пятой гармоники |sin_{300}^\circ |=0{,}866025: подавление третьей не означает подавление всех высших гармоник.
Если поток и число последовательных витков сохранены, основная фазная ЭДС уменьшится на 13,3975%. Компенсация этого уменьшения числом витков изменит сопротивление и условия заполнения паза.
Ответ. Обмоточный коэффициент объясняет физическую цену изменения шага; сравнение нужно вести при явно выбранном ограничении.
Проверка. Программа dq_windings_voltage.py независимо суммирует комплексные векторы. Дополнительный пример Q=36, 2p=4 даёт k р,1=0{,}959795; k р,5=0{,}217568.
Ожидаемый результат. Таблица раскладки, коэффициенты гармоник и объяснение различия ЭДС.
Проверка. Проверены единицы, число витков, знак сторон, полнота углового периода и условия сравнения.
Аналитический расчёт во встроенном Python; новые поля не решаются.
Файлы для запуска: сохраните имена и структуру подпапок.
"""FEMM 5, встроенный MicroPython. Аналитика и обработка ранее решённой FE-карты.
Рабочая папка: распакованный комплект audit-machines. Новые поля не решаются.
"""
import math,json,sys
assert sys.implementation.name=='micropython'
# FEMM CLI и команда запуска сохранённого файла передают его путь в sys.argv[0].
# Локальные модели/таблицы ищутся возле программы, а не в случайной рабочей папке.
import os
_saved_file=globals().get('__file__') or (sys.argv[0] if sys.argv else '')
if not _saved_file or not os.path.isfile(_saved_file):
raise RuntimeError('Запустите сохранённый файл из полного распакованного комплекта командой FEMM Run Script; не вставляйте его частями в консоль.')
os.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(_saved_file)))
def abc(d,q,theta):
return [d*math.cos(theta-k*2*math.pi/3)-q*math.sin(theta-k*2*math.pi/3) for k in range(3)]
def dq(v,theta):
return [2/3*sum(v[k]*math.cos(theta-k*2*math.pi/3) for k in range(3)),-2/3*sum(v[k]*math.sin(theta-k*2*math.pi/3) for k in range(3))]
checks=[]
for theta in [0,.3,1.7,6.28]:
v=abc(-3,4,theta);back=dq(v,theta)
checks.append(max(abs(back[0]+3),abs(back[1]-4),abs(sum(v)),abs(sum(x*x for x in v)-37.5))<1e-12)
# Геометрическая сумма векторов ЭДС q соседних пазов.
def kw(q,alpha,pitch,harmonic):
z=sum(complex(math.cos(harmonic*k*alpha),math.sin(harmonic*k*alpha)) for k in range(q))/q
return abs(z)*abs(math.sin(harmonic*pitch/2))
wind=[]
for q,alpha,pitch,label in [(1,math.pi/3,math.pi,'Q12_2p4_full'),(1,math.pi/3,2*math.pi/3,'Q12_2p4_short'),(3,math.pi/9,math.pi,'Q36_2p4_distributed')]:
wind.append({'case':label,'harmonics':[{'nu':h,'kw':kw(q,alpha,pitch,h)} for h in [1,3,5,7]]})
with open('Внутренние-магниты-Карта-Компактный.json') as f:data=json.load(f)
speeds=[];R=.1;U=4.;Imax=10.;p=data['p']
for n in [100,200,300,500,750,1000,1500,2000,3000]:
omega=2*math.pi*n/60*p;admissible=[]
for point in data['points']:
if point['iq_A']<0 or point['I_A']>Imax+1e-9:continue
ud=R*point['id_A']-omega*point['psiq_Wb'];uq=R*point['iq_A']+omega*point['psid_Wb'];u=math.sqrt(ud*ud+uq*uq)
if u<=U:admissible.append((point['Tmean_Nm'],point,u))
if admissible:
T,point,u=max(admissible,key=lambda v:v[0]);speeds.append({'n_rpm':n,'T_Nm':T,'Pmechanical_W':T*2*math.pi*n/60,'id_A':point['id_A'],'iq_A':point['iq_A'],'Upeak_V':u,'beta_deg':point['beta_deg'],'sampled_feasible':True})
else:speeds.append({'n_rpm':n,'sampled_feasible':False,'meaning':'Ни одна из исследованных точек двух окружностей не допустима; отсутствие всех физических режимов не доказано.'})
# Независимая линейная учебная машина: сеточный максимум в токовом диске.
linear=[]
for n in [0,500,1000,1500,2000,3000]:
omega=4*2*math.pi*n/60;best=None
for j in range(201):
id=-10+j*.05
for k in range(201):
iq=k*.05
if id*id+iq*iq>100.000001:continue
psid=.08+.005*id;psiq=.008*iq
ud=.4*id-omega*psiq;uq=.4*iq+omega*psid
if ud*ud+uq*uq>48*48:continue
T=6*(psid*iq-psiq*id)
if best is None or T>best['T_Nm']:best={'n_rpm':n,'T_Nm':T,'id_A':id,'iq_A':iq,'Upeak_V':math.sqrt(ud*ud+uq*uq),'Pmechanical_W':T*2*math.pi*n/60}
linear.append(best or {'n_rpm':n,'sampled_feasible':False})
result={'scope':'Аналитические тождества и постобработка существующих FE-данных, не новое решение FEMM. Ограничения R=0.1 Ом, Uамп=4 В заданы для учебного сравнения и не являются паспортом исходной машины. Линейная машина — отдельная аналитическая постановка.','checks_passed':all(checks),'winding_factors':wind,'native_map_operating_envelope':speeds,'linear_reference':linear,'dq_roundtrip_3_4_theta_0':abc(-3,4,0)}
assert all(checks)
with open('dq-Обмотки-Напряжение-Результат.json','w') as f:json.dump(result,f)
print(json.dumps(result))
Обмоточные топологии взяты из скачанных материалов Katona и Бьянки. Введение в устройство, вывод коэффициентов и учебные численные эталоны написаны самостоятельно. Дробные обмотки проверяются общей векторной суммой; формулу целого q нельзя применять автоматически.
Первоисточники: Tests and examples [67] (Три документированных обмоточных примера; Модель-example_test1.fem, Модель-example_test2.fem, Модель-example_test3.fem.); Н. Бьянки. ПМ motor design with FEMM and LUA scripting [21] (Скачанный выделенный раздел: обмотки, пульсации и ослабление поля; с. 105–129, в том числе с.125–127 по ограничению напряжения.).
Физически в FEMM заданы токи трёх неподвижных фазных обмоток и положение ротора. Оси d и q — способ описания этих же величин относительно выбранной оси ротора. В синхронной машине с постоянными магнитами d совмещают с положительным потоком магнитов, q поворачивают от d на 90 электрических градусов в положительном направлении вращения. В асинхронной машине ось d можно ориентировать по потокосцеплению ротора: это другая физическая привязка при тех же алгебраических формулах.
Далее используется амплитудно-инвариантное преобразование: модуль вектора dq равен амплитуде симметричного фазного тока. Это не действующее значение и не энергетически инвариантное преобразование с коэффициентом корень из 2/3. Электрический угол равен p механических углов плюс начальное смещение. Начальное смещение определяется ориентацией обмотки и магнитов, а не выбирается по внешнему виду горизонтальной оси чертежа. Для существующей нелинейной IPM-модели курса это смещение равно 90 электрическим градусам.
Представим фазные оси единичными векторами с углами 0, +120^\circ и -120^\circ. Проекция фазных токов на оси \alpha и \beta представляет сумму трёх проекций, умноженную на 2/3. Коэффициент следует из суммы квадратов трёх косинусов, равной 3/2. Далее обычный поворот базиса на угол \theta эл даёт d и q. Для нулевой суммы фазных токов обратное преобразование восстанавливает каждый фазный ток без дополнительного масштаба.
Обратное преобразование важно не только для определения токов. Ровно ту же матрицу применяют к фазным потокосцеплениям и напряжениям; смесь разных нормировок в формуле момента даёт систематическую ошибку в 1,5 либо корень из двух раза. При вращении ротора в расчётной серии \theta эл обновляют на каждом шаге. При вычислении механической производной коэнергии фиксируют исходные физические фазные токи: это иное условие, чем сохранение i_d и i_q при повороте.
Скалярное произведение двух симметричных трёхфазных систем после преобразования получает множитель 3/2. Поэтому мгновенная электрическая мощность равна 3/2 суммы осевых произведений напряжения и тока; при наличии нулевой последовательности добавляется 3u_{0}i0. Подстановка стационарных уравнений ud=Rid−\omega эл \Psi q и uq=Riq+\omega эл \Psi d разделяет потери меди и электромагнитную мощность. Деление последней на механическую угловую скорость даёт формулу момента.
Формула dq описывает основную пространственную гармонику и выбранный способ осреднения. В пазовой машине локальный полевой момент содержит дополнительную зависимость от положения. Его рассчитывают интегралом напряжений Максвелла и сравнивают со средним dq-моментом на согласованном периоде. Не следует объявлять мгновенную разность этих величин ошибкой решения, пока не разделены пространственные гармоники и численная погрешность.
Дано. i_d=-3 А, i_q=4 А; \theta эл=0; нулевая последовательность отсутствует.
Фазные токи: iA=−3 А; iB=4,964 А; iC=-1,964 А. Их сумма равна нулю.
Сумма квадратов равна 37,5 А² = (3/2)(9+16). Обратное преобразование возвращает i_d=-3 А и i_q=4 А.
При p=2 механический поворот на 15^\circ означает изменение электрического угла на 30^\circ. В данной IPM-модели при \theta мех=0 следует использовать \theta эл=90^\circ, а не нуль.
Ответ. Токовая амплитуда равна 5 А, действующий ток симметричной фазы — 3,536 А.
Проверка. Скрипт проверяет восстановление при четырёх углах и норму тока с абсолютным допуском 10⁻¹².
Ожидаемый результат. Описание преобразования и проверенные фазные токи.
Проверка. Сумма фазных токов и норма проходят проверку; оси, p, радианы/градусы и начальный угол заданы явно.
Самостоятельный аналитический эталон в MicroPython.
Файлы для запуска: сохраните имена и структуру подпапок.
"""FEMM 5, встроенный MicroPython. Аналитика и обработка ранее решённой FE-карты.
Рабочая папка: распакованный комплект audit-machines. Новые поля не решаются.
"""
import math,json,sys
assert sys.implementation.name=='micropython'
# FEMM CLI и команда запуска сохранённого файла передают его путь в sys.argv[0].
# Локальные модели/таблицы ищутся возле программы, а не в случайной рабочей папке.
import os
_saved_file=globals().get('__file__') or (sys.argv[0] if sys.argv else '')
if not _saved_file or not os.path.isfile(_saved_file):
raise RuntimeError('Запустите сохранённый файл из полного распакованного комплекта командой FEMM Run Script; не вставляйте его частями в консоль.')
os.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(_saved_file)))
def abc(d,q,theta):
return [d*math.cos(theta-k*2*math.pi/3)-q*math.sin(theta-k*2*math.pi/3) for k in range(3)]
def dq(v,theta):
return [2/3*sum(v[k]*math.cos(theta-k*2*math.pi/3) for k in range(3)),-2/3*sum(v[k]*math.sin(theta-k*2*math.pi/3) for k in range(3))]
checks=[]
for theta in [0,.3,1.7,6.28]:
v=abc(-3,4,theta);back=dq(v,theta)
checks.append(max(abs(back[0]+3),abs(back[1]-4),abs(sum(v)),abs(sum(x*x for x in v)-37.5))<1e-12)
# Геометрическая сумма векторов ЭДС q соседних пазов.
def kw(q,alpha,pitch,harmonic):
z=sum(complex(math.cos(harmonic*k*alpha),math.sin(harmonic*k*alpha)) for k in range(q))/q
return abs(z)*abs(math.sin(harmonic*pitch/2))
wind=[]
for q,alpha,pitch,label in [(1,math.pi/3,math.pi,'Q12_2p4_full'),(1,math.pi/3,2*math.pi/3,'Q12_2p4_short'),(3,math.pi/9,math.pi,'Q36_2p4_distributed')]:
wind.append({'case':label,'harmonics':[{'nu':h,'kw':kw(q,alpha,pitch,h)} for h in [1,3,5,7]]})
with open('Внутренние-магниты-Карта-Компактный.json') as f:data=json.load(f)
speeds=[];R=.1;U=4.;Imax=10.;p=data['p']
for n in [100,200,300,500,750,1000,1500,2000,3000]:
omega=2*math.pi*n/60*p;admissible=[]
for point in data['points']:
if point['iq_A']<0 or point['I_A']>Imax+1e-9:continue
ud=R*point['id_A']-omega*point['psiq_Wb'];uq=R*point['iq_A']+omega*point['psid_Wb'];u=math.sqrt(ud*ud+uq*uq)
if u<=U:admissible.append((point['Tmean_Nm'],point,u))
if admissible:
T,point,u=max(admissible,key=lambda v:v[0]);speeds.append({'n_rpm':n,'T_Nm':T,'Pmechanical_W':T*2*math.pi*n/60,'id_A':point['id_A'],'iq_A':point['iq_A'],'Upeak_V':u,'beta_deg':point['beta_deg'],'sampled_feasible':True})
else:speeds.append({'n_rpm':n,'sampled_feasible':False,'meaning':'Ни одна из исследованных точек двух окружностей не допустима; отсутствие всех физических режимов не доказано.'})
# Независимая линейная учебная машина: сеточный максимум в токовом диске.
linear=[]
for n in [0,500,1000,1500,2000,3000]:
omega=4*2*math.pi*n/60;best=None
for j in range(201):
id=-10+j*.05
for k in range(201):
iq=k*.05
if id*id+iq*iq>100.000001:continue
psid=.08+.005*id;psiq=.008*iq
ud=.4*id-omega*psiq;uq=.4*iq+omega*psid
if ud*ud+uq*uq>48*48:continue
T=6*(psid*iq-psiq*id)
if best is None or T>best['T_Nm']:best={'n_rpm':n,'T_Nm':T,'id_A':id,'iq_A':iq,'Upeak_V':math.sqrt(ud*ud+uq*uq),'Pmechanical_W':T*2*math.pi*n/60}
linear.append(best or {'n_rpm':n,'sampled_feasible':False})
result={'scope':'Аналитические тождества и постобработка существующих FE-данных, не новое решение FEMM. Ограничения R=0.1 Ом, Uамп=4 В заданы для учебного сравнения и не являются паспортом исходной машины. Линейная машина — отдельная аналитическая постановка.','checks_passed':all(checks),'winding_factors':wind,'native_map_operating_envelope':speeds,'linear_reference':linear,'dq_roundtrip_3_4_theta_0':abc(-3,4,0)}
assert all(checks)
with open('dq-Обмотки-Напряжение-Результат.json','w') as f:json.dump(result,f)
print(json.dumps(result))
Вывод преобразований и мощности самостоятельный. Заимствуется идея согласованного задания токов из источников; чужой Lua-код не переносится. Наличие dq-токов не означает моделирования регулятора, ШИМ или инвертора.
Первоисточники: Н. Бьянки. ПМ motor design with FEMM and LUA scripting [21] (Скачанный выделенный раздел: обмотки, пульсации и ослабление поля; с. 105–129, в том числе с.125–127 по ограничению напряжения.); y-cyc-ESC. FEMM-FOC-Simulation, физический алгоритм задания фазных токов [74] (README и resources/FOC_sim.lua; внешний Lua-маршрут не включается.).
Амплитудно-инвариантная нормировка даёт коэффициент 3/2 в мощности. Формулы токов, напряжений и мощности должны использовать одну нормировку и одно направление токов.
Распакуйте комплект перед запуском программы; сохраните структуру папок.