Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Получение периодической характеристики и её гармонического состава
Инженерный вопрос. Какие гармоники устойчиво восстанавливаются из потокосцепления?
От геометрии и обмоток переходят к потокосцеплениям и ЭДС, затем к характеристикам ХХ, КЗ, нагрузки и регулирования. Эти характеристики определяют требуемое возбуждение и допустимый электрический режим.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Определите механический и электрический периоды, шаг выборки и нормировку гармоник. Для ЭДС нужен переход от угловой производной к временной.
Ответить на вопрос по своим результатам. Обработайте равномерную периодическую таблицу: проверьте период, нормировку спектра и изменение результата при уточнении шага.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Спектральная таблица с периодом, фазой и проверкой шага.
Данные именно этого опыта. Сохраните угловые потокосцепления, коэффициенты ДПФ и ЭДС при заданной скорости.
Оформление наблюдений. Равномерная таблица за один период без повторной конечной точки, скорость, полюсность, гармоники с нормировкой амплитуды или действующего значения.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Точка 360^\circ не дублируется в ДПФ; E вычисляется из амплитуды \Psi с h\omega/√2; числа аналитического примера отделены от расчётной геометрии.
Независимый контроль. Восстановите контрольный сигнал из спектра и повторите выборку с меньшим угловым шагом; проверьте фазовые сдвиги и периодичность.
Критерий выполнения. Точка 360^\circ не дублируется в ДПФ; E вычисляется из амплитуды \Psi с h\omega/√2; числа аналитического примера отделены от расчётной геометрии.
Точность и расхождения. Сравнивайте основную гармонику и значимые высшие гармоники при уточнении шага. Для малой гармоники приводите абсолютную амплитуду; относительный процент от почти нулевой величины вводит в заблуждение.
Основание сравнения. Используйте определения ДПФ, гармоник и ЭДС из занятия. Электрический и механический углы различаются; повторная конечная точка периода искажает спектр.
Вывод для устройства
Объясните, что найденные гармоники означают для формы ЭДС, пульсаций или оценки качества магнитной системы, не подменяя их полным расчётом вибрации и нагрева.
Границы вывода. Каждая характеристика требует своих независимых условий и скорости. Двумерный срез, заданные токи и статическое поле не подтверждают автоматически режим на сеть, устойчивость и полную мощность реального генератора.
Дополнительный расчётный метод
Обмоточные коэффициенты как средство выбора схемы и шага обмотки
Обмоточные коэффициенты позволяют выбрать шаг и схему обмотки: сравнить потерю основной ЭДС с подавлением нежелательных гармоник.
\alpha — электрический угол между соседними пазами; \varepsilon — электрический угол укорочения относительно полного шага 180^\circ. Формула k_p здесь применяется к нечётным гармоникам с явно выбранной опорной фазой.Численный пример применения метода
Трёхфазная обмотка: q=3, угол между пазами \alpha =20^\circ, укорочение \varepsilon =20^\circ; фактический шаг катушки 160^\circ. Сравниваем основную и пятую гармоники.
Находим k_{\mathrm{d\,}}{1}=0.959795 и k_{\mathrm{p\,}}{1}=0.984808.
Получаем k_{\mathrm{w\,}}{1}=0.945214; относительно полного шага ЭДС основной гармоники уменьшается на 1.52%.
Для \nu =5 находим k_{\mathrm{d\,}}{5}=0.217568, k_{\mathrm{p\,}}{5}=0.642788, k_{\mathrm{w\,}}{5}=0.139850.
Ответ.k_{\mathrm{w\,}}{1}=0.945214, k_{\mathrm{w\,}}{5}=0.139850. При неизменной пятой гармонике поля её вклад в ЭДС уменьшается на 35.72% относительно полного шага. Это количественный компромисс выбора шага обмотки.
Страницы источника. PDF 1–3: предпосылки; 5–7: спектр и нормировка; 7–8: программа и варианты
Получаемые величины.C\nu = комплексный B\nu, slot/комплексный B\nu, smooth; B_{1} и высшие пространственные гармоники; ошибка аналитической оценки и чувствительность к B(H)
Рассчитываем гладкий зазор с бесконечно узкими пазами и заданной схемой токов.
Воспроизводим реальное раскрытие при тех же токах и граничных условиях.
Находим C\nu по комплексным коэффициентам двух спектров, сохраняя общий угловой ноль и фазу; сравниваем с аналитикой.
Отдельно вводим нелинейную сталь и проверяем сетку.
При постоянной скорости \nu-я пространственная гармоника потокосцепления изменяется вνраз быстрее основной; дифференцирование убирает множитель 1/\nu.Численный пример применения метода
Заданы B_{1}=0{,}90 Тл, B_{5}=0{,}12 Тл и коэффициенты обмотки из примера q=3, \varepsilon =20^\circ:kw1=0,9452,kw5=0,1398. Оцениваем модули вкладов при постоянной скорости.
Отношение амплитуд поля B_{5}/B_{1}=0.133333.
С учётом обмотки и порядка гармоники получаем \Psi 5/\Psi 1=0.00394549.
После дифференцирования E_{5}/E_{1}=5\Psi 5/\Psi 1=0.01972745.
Ответ. Пятая гармоника даёт 0.3945%основного потокосцепления, но 1.9727%основной ЭДС. Поэтому небольшое искажениеΨне обязательно означает столь же малое искажение напряжения.
Страницы источника. PDF 1–6: геометрия и прямые методы; 7–12: спектр; 12–13: вращающийся вектор; 14–16: программа и варианты
Получаемые величины. основная ЭДС и её фазовый угол; фазные \Psi; U, I, \cos \varphi при согласованной нагрузке; поправки длины и насыщения
Проверить обмоточную таблицу и период модели.
В одном режиме получить гармонику поля и фактические потокосцепления.
Восстановить ЭДС обоими способами с общей скоростью и нормировкой.
Согласовать внешнюю цепь и сравнить прогноз на независимой точке нагрузки.
Объяснить влияние неплоской конструкции и эффективной длины.
Страницы источника. PDF 1–14 полностью: 1–5 модели и определение ЭДС; 6–9 таблицы и выводы; 10–11 литература и геометрия; 12–14 английское резюме и авторы.
Расчёт потерь в массивных сердечниках электрических машин с помощью конечно-элементных моделей
Парное сравнение токового слоя и пазовой геометрии по спектру и вихревым потерям показывает, сохраняет ли упрощение нужную характеристику массивного сердечника.
Простые конечно-элементные модели для приближённых расчётов потерь в массивных роторах
Упрощение ротора обосновывают сохранением спектра возбуждения и рабочего насыщения. Потери существенных гармоник проверяют по отдельности, затем сравнивают их сумму с полной моделью.
Получаемые величины. состав и амплитуды токового слоя; частота гармоники относительно ротора; P\nu и ошибка суммы потерь; масштаб потерь и глубины проникновения
Получить поле основной гармоники и насыщение базового режима.
Сформировать отдельные гармонические токовые слои с достаточной дискретизацией.
Назначить каждой гармонике частоту в системе ротора.
Сравнить сумму потерь с многогармонической/полной моделью.
При масштабировании проверить подобие поля, глубины проникновения и пересчёт мощности.
Страницы источника. PDF 1–17 полностью: 1–5 гармонические модели; 6–7 сравнение потерь; 8–10 физическое масштабирование; 11–15 реальные роторы и разностное поле; 16–17 литература и автор.
Разделение переменных: поле плоского и кольцевого зазора
Затухание пространственных гармоник зависит от ширины зазора и радиусов. Расчёт связывает геометрию машины с полезной основной гармоникой и подавлением высших.
Получаемые величины.B\nu (y) и отношение потоков на двух сердечниках; затухание гармоники при \delta /\tau \nu; ошибка замены кольцевого зазора плоским
Задать одну гармонику МДС и её период.
Решить плоский и кольцевой зазоры с одинаковой МДС и согласованным масштабом.
Проверить амплитуды на обеих границах и поток.
Сравнить с FEMM и вычислить ошибку по основной и выбранным высшим гармоникам отдельно.
Страницы источника. PDF 1–33 полностью: 1–11 плоский зазор; 12–21 кольцевой и открытые области; 22–24 погрешности плоского приближения; 25–33 потоковая функция и комплексный потенциал.
Конформные преобразования и комплексная потенциальная функция
Кольцевой зазор даёт аналитический эталон потока. При преобразовании геометрии важно различать сохранение потенциала и потока и изменение локального поля.
Получаемые величины. поток между соответствующими линиями; локальная H через производную отображения; погрешность плоского приближения
Выбрать аналитическое однозначное отображение и соответствие границ.
Сохранить значения потенциала и потоковой функции в сходственных точках.
Перенести локальное поле через производную преобразования.
Проверить поток и поле в нескольких точках независимым аналитическим способом и FEMM.
Страницы источника. PDF 1–30 полностью: 1–7 аналитические функции и ортогональность; 8–17 преобразования; 18–25 кольцевой зазор; 26–30 поля линейных токов.
Отображение Шварца–Кристоффеля даёт углублённый пазовый эталон. Его результат позволяет оценить влияние раскрытия паза на поле без полного аналитического вывода в начальной работе.
Сравнение пазов по проводимости и гармоникам позволяет оценить зубчатость. Коэффициент Картера описывает эквивалентирование полного потока при той же МДС; локальные пики поля проверяют отдельно.
Получаемые величины.\Lambda зубцового деления и k\delta; \beta c(x), \beta s(x); разностная проводимость; B\nu и ошибка гладкого эквивалента
Проверить условия изолированного прямоугольного паза и большой \mu.
Рассчитать гладкий эталон и пазовый вариант при одинаковой МДС.
Из потока определить эквивалентный зазор и коэффициент Картера.
Сравнить пространственный профиль и гармоники; отдельно ослабить допущения и уточнить сетку.
Для зубцового контура проверить особые граничные условия перед переносом его проводимости.
Страницы источника. PDF 1–54 полностью: 1–10 зубцовая зона и допущения; 11–20 чётное/нечётное поле; 21–33 преобразования; 34–42 проводимость и Картер; 43–54 разностная проводимость и зубцовый контур.
Полный угловой период фазного потокосцепления служит основой гармонического анализа. Переход от зависимости по положению ротора к временной ЭДС выполняется с учётом частоты вращения и преобразования амплитуды в действующее значение.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
В режиме ХХ токи статора равны нулю, ток возбуждения постоянен. Для каждой позиции ротора решается поле и читается потокосцепление одной и той же цепи. Полный электрический период содержит N равноотстоящих отсчётов от 0 включительно до 2\pi не включительно. Повторение точки 2\pi изменяет нормировку простой ДПФ.
Потокосцепление распределённой обмотки уже содержит её пространственный фильтр. Спектр индукции в одной точке зазора и спектр \Psi A обычно различны; использовать их взаимозаменяемо нельзя. Пространственный угол, угол ротора и время совпадают лишь после определения системы наблюдения и скорости.
Реальная гармоническая форма
Для каждой гармоники вычисляются косинусная и синусная компоненты. При записи \Psi h=ah \cos (h\theta )+bh \sin (h\theta ) её амплитуда равна √(ah²+bh²). Постоянная составляющая вычисляется отдельно как среднее; коэффициент 2 для неё не нужен.
Мгновенная ЭДС имеет знак, заданный ориентацией выводов и законом Фарадея. В принятом на следующих шагах пассивном напряжении генератора используется производная потокосцепления цепи; действующая амплитуда каждой гармоники пропорциональна h. Поэтому THD напряжения обычно больше THD потокосцепления.
\Psi — Вб, E — действующее В, \omega e — рад/с; ограничение независимого разрешения h<N/2.
Дифференцирование \cos (h\omega t) умножает амплитуду на h\omega.
Переход от амплитуды синусоиды к действующему значению делит её на √2.
Спектральный контроль
Повторите набор с удвоенным числом позиций и сравните устойчивые гармоники. Отдельно сравните спектр дискретной производной \Psi с аналитическим умножением её коэффициентов на h\omega. Прямое дифференцирование усиливает шум, поэтому последние спектральные отсчёты не следует интерпретировать без проверки.
Ограничение симметрии до 60^\circ в серии статей использует балансы фаз и полупериодную антисимметрию. В учебной реализации выбран полный 360^\circ электрический период: это облегчает проверку и сохраняет маршрут для дефектов. Ускорение по симметрии вводится только после отдельного доказательства.
Сопоставление с работами 2013 г.: что именно преобразуется
Статья о классическом и численно-полевом гармоническом анализе связывает пространственную форму поля с распределённой трёхфазной обмоткой. Выведенные в занятии об обмотке kw,h дают классическую спектральную опору: одинаковая гармоника B и фазного \Psi имеет разный вес из-за распределения и шага катушек. В поле насыщение и пазовые проводимости вычисляются непосредственно, поэтому расхождение с классической опорой требует объяснения её допущениями.
Работа о поле, связанном с вращающимся ротором, рассматривает ХХ и КЗ в системе наблюдения материала. Для неподвижной точки f врем=h p n/60 при простой вращающейся пространственной гармонике; для точки ротора скорость относительна. В общем случае компонент с пространственным порядком h и временной частотой \omega имеет в системе ротора частоту |\omega -h\Omega m|/(2\pi ). Одна спектральная таблица без указания системы координат не задаёт частоту потерь в стали.
Вывод ДПФ, фазы, ЭДС и фильтрации пространственного вектора
Пусть \Psi (\theta ) — вещественная периодическая функция и N отсчётов равномерны. Здесь ненулевые целые порядки 1\le h,k<N/2; постоянная компонента и частота Найквиста нормируются отдельно. Сначала используем ортогональность синусов и косинусов, затем закон электромагнитной индукции.
При существенных гармониках мгновенный трёхфазный пространственный вектор не равен фундаментальному фазору. Для режима и мощности фундаментальный вектор демодулируется и усредняется по позициям.
Связь с программой. spectrum() вычисляет a,b,амплитуду; waveform() сохраняет полный период и центральную производную. operating() восстанавливает фундаментальную компоненту по шести позициям симметричной модели без дефекта с фазной реконструкцией; независимая 72-позиционная серия шага 15 проверяет эту экономию.
Умножение ряда Фурье на \cos (h\theta ) и интегрирование уничтожает остальные ортогональные компоненты; равномерная сумма является дискретным аналогом.
Синусный коэффициент вычисляется аналогично. Представление \operatorname{Re}{Ψhat \exp(jhθ)} требует Ψhat=ah−jbh, поскольку действительная часть (a−jb)(\cos +j \sin ) равна a \cos +b \sin.
Внутренняя ЭДС источника имеет знак Фарадея минус; пассивное напряжение выводов использует плюс d\Psi /dt. Оба выражения согласуются противоположными направлениями отсчёта.
Из фазных потокосцеплений строим пространственный вектор, затем удаляем вращение основной компоненты и усредняем. Остальные гармоники сокращаются при согласованном полном наборе.
Выполните run-07.py; проверьте полный период, число уникальных углов и нулевые токи статора.
Откройте CSV потокосцепления и восстановите среднее, a_{1}, b_{1} и \Psi 1 вручную или встроенным Python.
Вычислите E_{1}, E_{5} и THD с множителем номера гармоники; сравните с результатом программы.
Повторите с удвоенным числом углов; сравните первые гармоники и численный фон высоких порядков.
Выберите одну сохранённую позицию и повторно получите \Psi A из её точной пары .fem/.ans.
Ожидаемый результат. Полный период \Psi A, спектр, основная ЭДС и протокол нормировки.
Как проверить. Точка 360^\circ не дублируется в ДПФ; E вычисляется из амплитуды \Psi с h\omega/√2; числа аналитического примера отделены от расчётной геометрии.
Обработка и анализ результатов
Какие гармоники устойчиво восстанавливаются из потокосцепления?
Сохраните угловые потокосцепления, коэффициенты ДПФ и ЭДС при заданной скорости.
Обработайте равномерную периодическую таблицу: проверьте период, нормировку спектра и изменение результата при уточнении шага.
С чем сравнить. Используйте определения ДПФ, гармоник и ЭДС из занятия. Электрический и механический углы различаются; повторная конечная точка периода искажает спектр.
Итог работы. Спектральная таблица с периодом, фазой и проверкой шага.
Сохраните reproduce.py и выбранный run-NN.py в одну рабочую папку и прочитайте README.md. Укажите её абсолютный путь в TG_ROOT; пример на странице использует C:/FEMM5/turbogenerator. Запускайте через редактор Python FEMM 5. Каждый шаг восстанавливает необходимые входы без запуска предыдущих; внешний pyFEMM не требуется.
Python · встроенный MicroPython FEMM 5
"""Угловое потокосцепление, ДПФ и ЭДС холостого хода.Встроенный MicroPython FEMM 5; отдельный воспроизводимый шаг учебного турбогенератора.Результат относится к адаптированной геометрии, а не к промышленной машине 340 МВт."""# Укажите рабочий каталог; сохраните рядом reproduce.py и прочитайте README.md.TG_ROOT=r"C:/FEMM5/turbogenerator"STAGE="07"CASE="standard"# Программа заново строит нужные предпосылки и сохраняет модели, таблицы и квитанцию шага.exec(open(TG_ROOT+"/reproduce.py").read(),globals())
Расчётный образец FEMM 5
Откройте модель, воспроизведите указанный режим и сопоставьте свои измерения с таблицей результатов.
Рисунок 37.5. График сохранённых численных данных учебного образца; условия и формулы приведены в тексте. Это самостоятельная научная визуализация, а не снимок интерфейса FEMM.
Нелинейная 2D магнитостатика активной части и отдельная редуцированная динамика. Проверка сетки относится к напряжению ХХ. Уточнение углового шага и баланс мощности приведены отдельно на этапе 15.
Самостоятельная работа
Проверьте аналитический сигнал по собственному ДПФ и затем сопоставьте две угловые дискретизации модели. Составьте таблицу гармоник B, \Psi и e с указанием, где измерена каждая величина.
Критерий выполнения: Точка 360^\circ не дублируется в ДПФ; E вычисляется из амплитуды \Psi с h\omega/√2; числа аналитического примера отделены от расчётной геометрии.
Первоисточники и дополнительное чтение по занятию
[105] — С. 26–32; Угловые функции, гармоники и фазовые соотношения; нормировка курса определена отдельно.
[73] — С. 24–30; особенно с. 25–27: симметрия и многопозиционные функции. Реконструкция по 60° требует условий симметрии.
