U-образные характеристики, реактивная мощность и угол нагрузки

Почему появляется буква U

При фиксированных U и P активная составляющая тока постоянна, а реактивная меняется с возбуждением. Поэтому модуль тока минимален при Q=0, если такая точка достижима. Недовозбуждённые и перевозбуждённые ветви имеют противоположные знаки Q в принятом генераторном соглашении.

Готовая программа использует Q как параметр: при каждом заданном P,U задаются четыре Q, из Iout=(P−jQ)/(3U) вычисляется ток, а полевой поиск находит If и угол ротора. После этого точки строятся в координатах If,I. Таким образом условия U=\mathrm{const} и P=\mathrm{const} проверяются полем, хотя непосредственно перебирается Q. Четыре точки — редкая учебная сетка, её недостаточно для точного положения минимума.

Линейная проверка

Для линейной цилиндрической модели без R условие фиксированной активной мощности даёт E \sin \delta=PX/(3U). Реактивная составляющая определяется E \cos \delta -U. Условие |\sin \delta |\le 1 сразу показывает часть недостижимого диапазона возбуждения.

Формула минимума Imin=P/(3U) служит сильной проверкой нормировки фазного напряжения и действующего тока. В нелинейной модели с потерями и гармониками коэффициент мощности и минимальный ток надо определять по согласованной полной мощности; основной гармоники может быть недостаточно.

1. При P=6900 Вт и U=230 В получаем Imin=6900/(3\cdot 230)=10 А.

2. Если Q=6900 вар, ток возрастёт до 10√2=14{,}1421 А при той же P.

Допустимость не равна существованию решения

Сошедшаяся U-кривая показывает электрически согласованные точки учебной модели. Реальная область работы ограничивается нагревом ротора, статора, торцевых зон, устойчивостью и сетью. Без этих моделей нельзя называть всё семейство допустимой диаграммой мощности.

Сохраните U, P, Q, I, If, \delta, невязки и статусы ограничений. На графике не сглаживайте провалы от неудачных поисков. Для сравнения нескольких P используются одинаковые входы геометрии, сетки и сопротивления.

Вывод U-кривой и системы нелинейного поиска

Рассмотрим симметричный синусоидальный режим при заданных фазном U и трёхфазной активной мощности P. В линейной опоре пренебрегаем R и считаем внутреннюю ЭДС E управляемой возбуждением.

Каждая рассчитанная U-кривая требует одновременно выполнить два условия — U=\mathrm{const} и P=\mathrm{const}. Можно параметризовать возбуждением и искать ток либо параметризовать Q и заранее определить ток. В готовой программе используется второй путь: четыре заданных Q для каждого P, затем полевой поиск If и угла ротора.

Связь с программой. Шаг 14 перебирает четыре Q для двух P, определяет I и его фазу, затем target()/target_signed() находят If и угол ротора. Полученные точки строятся в координатах If,I. Для точного минимума нужна более частая сетка Q; минимум по четырём точкам не является непрерывным оптимумом.

1. Из S=3UI* получаем квадрат модуля тока. При фиксированных P,U зависимость от Q входит только неотрицательным квадратом.

   I^2=\frac{P^2+Q^2}{9U^2}\ge\frac{P^2}{9U^2}

   (37.123)

2. Равенство достигается при Q=0. Это даёт точный минимум в данной синусоидальной постановке, если существует соответствующий If.

   I_{min}=\frac{|P|}{3U},\qquad\cos\varphi=1

   (37.124)

3. Из P=3UE \sin \delta /X выражаем \sin \delta. Для вещественного угла необходим нижний предел модуля E.

   \sin\delta=\frac{PX}{3UE},\qquad E\ge\frac{|P|X}{3U}

   (37.125)

4. На выбранной устойчивой ветви \cos \delta \ge 0 подставляем корень в Q. Другая ветвь имеет противоположный знак \cos \delta и проверяется отдельно.

   Q(E)=\frac{3U}{X}\left(E\sqrt{1-\left(\frac{PX}{3UE}\right)^2}-U\right)

   (37.126)

5. В реализованной параметризации Q известен, поэтому модуль и угол тока получаем из заданных мощностей и напряжения.

   \underline I_{out}=\frac{P-jQ}{3U_*},\quad I=\frac{\sqrt{P^2+Q^2}}{3U_*},\quad\beta=-\operatorname{atan2}(Q,P)

   (37.127)

6. Затем по известному комплексному току решаем две невязки напряжения относительно U*=U*+j0. Искомые — If и угол ротора; U и P контролируются фактическими полевыми значениями.

   \mathbf r(I_f,\theta_m;P,Q)=\frac1{U_*}\binom{\Re U-U_*}{\Im U}=0,\qquad\mathbf J\Delta\mathbf x=-\mathbf r

   (37.128)

Границы применимости. Минимум основной гармоники не заменяет учёт гармонического RMS и всех потерь в полной машине.