Полный период под нагрузкой, силы и статический эксцентриситет

Квазистатическая динамика периода

Каждому положению \theta m при заданной скорости соответствует время t=\theta m/\Omega m. Токи статора изменяются согласованно с электрическим углом, так что при постоянном нагрузочном угле поле реакции якоря вращается синхронно с ротором. Если сохранить токи неизменными на всём обороте, взаимное положение поля статора и ротора будет изменяться; такая последовательность представляет другой вычислительный опыт.

Индукция в неподвижной точке и в точке, связанной с ротором, имеет разные временные функции. Для силы на проводнике необходимо определить, движется ли проводник, какое тело выделено и включена ли ферромагнитная часть. В комплекте сохраняются доступные интегральные и точечные величины вместе с координатами.

Почему используем полный период

В статье 2015 г. сокращение до 60^\circ использует симметрию трёх фаз и антисимметрию полупериода; для соответствующих функций приведены соотношения с перестановкой фаз и сменой знака. Это не универсальный период всех сил и моментов. Дефект, несимметрия или иная обмотка могут разрушить эти отношения.

Учебная серия рассчитывает полный 360^\circ электрический период и затем проверяет симметрии. У данного ротора геометрия повторяется через 180^\circ, центр статического смещения фиксирован, а все токовые источники меняют знак через полпериода. Поэтому при нечётной B(H) фазное \Psi и B неподвижной пробы сохраняют антисимметрию по полупериоду даже при e\ne 0; их чётные временные гармоники ожидаются на уровне численного фона. Квадратичные силовые каналы имеют другой период.

1. Для f=50 Гц и N=120 временной шаг равен 1/(50\cdot 120)=0{,}000166667 с.

2. Электрический шаг 3^\circ; у p=1 он равен механическому.

Дефект как контролируемое изменение геометрии

Статический эксцентриситет задаётся фиксированным смещением центра ротора относительно статора; относительная величина \varepsilon =e/g. Динамический эксцентриситет означал бы вращение вектора смещения, это другой сценарий. В серии без дефекта и серии с дефектом сохраняются одинаковые токи, сеточные правила, положение датчика и угловой набор.

Готовая серия измеряет временные гармоники фазного потокосцепления и B в неподвижной точке зазора при r=(Rr+Rs)/2. Она не воспроизводит внешний датчик и корпус из работы Д. И. Баловнева. Для текущего статического e антисимметрия по полупериоду сохраняется, поэтому рост чётных временных гармоник не является ожидаемым диагностическим результатом. even_flux_ratio рассматривается прежде всего как контроль симметрии и численного фона. Сравнивайте среднюю силу, основные и нечётные гармоники, сохраняя неединственность вывода.

Минимальный зазор и магнитное притяжение

До расчёта проверяется e<g, чтобы смещённый ротор не пересёк статор. В первом приближении gmin≈g-e и gmax≈g+e. Уменьшение зазора усиливает локальную проводимость и может создавать неуравновешенное магнитное притяжение; направление силы сопоставляется с направлением смещения.

Статья Д. И. Баловнева рассматривает внешний датчик на отдельном генераторе 4 кВт. Для переноса этого маршрута потребуется наружная воздушная область, корпус, координаты датчика и новая проверка границы. Имеющаяся проба в зазоре и фазный спектр не названы внешним полем.

GE GER-2668 рассматривает другой измерительный маршрут: поисковую катушку в зазоре и межвитковые замыкания роторной обмотки. Магнитные клинья могут шунтировать пазовый поток и менять её пики. Поэтому материал клина — часть диагностической модели; условные немагнитные клинья данного опыта не дают готовой калибровки такого датчика. Внешний датчик Баловнева, наша проба B в зазоре и поисковая катушка GE различаются областью наблюдения и измеряемым сигналом.

Относительно какой оси измерен момент

В исходном нативном результате rotor_torque_Nm и в столбце torque_Nm временных CSV хранится mo_blockintegral(22): момент относительно глобального начала координат, совпадающего с центром статора. При смещении оси ротора на e по x это не момент относительно его вала. Нужно вычесть e\cdot F_y, переведя e из миллиметров в метры.

Публикационный слой сохраняет исходный нативный result.json и отдельно создаёт verified/shaft-torque-correction.json и verified/shaft-torque-correction.csv. В них поле torque_about_origin_Nm содержит исходный момент, а torque_about_axis_Nm — результат переноса к оси ротора; также записаны смещение и F_y. Для сравнения механической мощности дефектной машины используйте момент вокруг фактической оси вращения. Проверка мощности исправной машины не меняется: при e=0 оба определения совпадают.

Вывод времени, эксцентричного зазора и смешения гармоник

Угол движения и токи задаются синхронно; каждый отсчёт — отдельное магнитостатическое равновесие. Для статического эксцентриситета центр ротора смещён на постоянный вектор e, причём e<g и e/Rr мало.

Для пространственной оценки при одном фиксированном времени предположим локально высокую проницаемость железа и поле, определяемое МДС, делённой на зазор. Пространственная координата \varphi вдоль зазора и угол вращения \theta e(t) — разные переменные. Пространственный порядок h нельзя автоматически назвать временным порядком датчика.

Связь с программой. waveform() шага 15 рассчитывает 72 позиции моделей с концентрическим и смещённым роторами; 36-позиционное подмножество проверяет устойчивость основных гармоник. Эксцентриситет передаётся в построение узлов и меток, а координаты неподвижной точки внутри зазора остаются фиксированными. Исходные rotor_torque_Nm и torque_Nm относятся к началу координат. Отдельные verified/shaft-torque-correction.json и verified/shaft-torque-correction.csv содержат torque_about_origin_Nm и torque_about_axis_Nm по точному переносу T_C=T_O−eFy; нативный result.json и исходные числа не изменяются.

1. Положение центра относительно точки расточки даёт локальное изменение зазора как функции пространственного азимута \varphi. Первое приближение по малому e/Rr содержит косинус относительно направления смещения \alpha e.

   g(\phi)\approx g_0-e\cos(\phi-\alpha_e)=g_0[1-\varepsilon\cos(\phi-\alpha_e)],\qquad\varepsilon=e/g_0

   (37.130)

2. Разложение 1/(1-x)=1+x+x^{2}+… при |x|<1 даёт пространственные гармоники проводимости фиксированного эксцентричного зазора.

   \Lambda(\phi)\approx\frac{\mu_0}{g_0}\left[1+\varepsilon\cos(\phi-\alpha_e)+\varepsilon^2\cos^2(\phi-\alpha_e)+\cdots\right]

   (37.131)

3. Локальная скалярная аппроксимация радиальной компоненты B_r\approx F\Lambda превращает произведение в свёртку пространственных спектров. Она сама по себе ещё не обеспечивает глобальный баланс потока по замкнутой окружности.

   B_r(\phi,t)\approx\mathcal F(\phi,t)\Lambda(\phi),\qquad B_{r,h}^{\mathrm{простр}}(t)=\sum_k\mathcal F_k(t)\Lambda_{h-k}

   (37.132)

4. Непосредственное произведение при фиксированном времени и нулевой фазе МДС содержит постоянную пространственную составляющую и гармонику h=2. Для радиальной компоненты постоянная составляющая должна быть исключена условием divB=0; считать её физическим потоком машины нельзя.

   \cos\phi\cos(\phi-\alpha_e)=\tfrac12[\cos(2\phi-\alpha_e)+\cos\alpha_e]

   (37.133)

5. Интегрируем divB=0 по кругу в плоской задаче и применяем теорему Гаусса. Радиус контура постоянен и сокращается: средняя радиальная индукция по замкнутой окружности строго нулевая.

   \oint\mathbf B\cdot\mathbf n\,\mathrm dl=R\int_0^{2\pi}B_r(\phi,t)\,\mathrm d\phi=0\quad\Longrightarrow\quad B_{r,0}^{\mathrm{простр}}=0

   (37.134)

6. В узкозазорной скалярной опоре можно восстановить этот баланс добавлением неизвестной постоянной F_{0} к пространственной МДС F1cos(φ−δ). Подставляем B_r=\Lambda F в нулевой интеграл и решаем относительно F_{0}.

   \mathcal F=F_1\cos(\phi-\delta)+F_0,\qquad F_0=-F_1\frac{\int_0^{2\pi}\Lambda(\phi)\cos(\phi-\delta)\,\mathrm d\phi}{\int_0^{2\pi}\Lambda(\phi)\,\mathrm d\phi}

   (37.135)

7. В первом порядке \varepsilon числитель равен \Lambda 0 \varepsilon \pi \cos (\delta -\alpha e), знаменатель — 2\pi \Lambda 0. Постоянная поправка F_{0} сокращает ложный DC из произведения; остаётся иллюстративный пространственный второй порядок, а не измеренный FEMM результат.

   F_0\approx-\frac{\varepsilon F_1}{2}\cos(\delta-\alpha_e),\quad B_r\approx\frac{\mu_0F_1}{g_0}\left[\cos(\phi-\delta)+\frac\varepsilon2\cos(2\phi-\delta-\alpha_e)\right]+O(\varepsilon^2)

   (37.136)

8. Если \delta=ωet, обе компоненты в последней формуле при фиксированном \varphi _{0} изменяются на частоте \omega e. Пространственный порядок 2 здесь имеет временной порядок 1; автоматическая подмена пространственного спектра временным ошибочна.

   \cos(2\phi_0-\omega_et-\alpha_e)\quad\Longrightarrow\quad h_{\mathrm{простр}}=2,\qquad h_{\mathrm{врем}}=1

   (37.137)

9. В реализованной модели роторная геометрия повторяется после \pi, центр статического смещения неизменен, а все источники тока меняют знак через T/2. Нечётный закон B(H) и однородное граничное условие позволяют сменить знак всего решения поля.

   T_e=1/f,\quad\mathcal G(\theta_m+\pi)=\mathcal G(\theta_m),\quad\mathbf J(t+T_e/2)=-\mathbf J(t),\quad\mathbf B(t+T_e/2)=-\mathbf B(t)

   (37.138)

10. Фазное потокосцепление и индукция фиксированной пробы поэтому антисимметричны по полупериоду даже при выбранном статическом e. Разбиваем интеграл Фурье на две половины и переносим вторую к первой.

    X(t+T_e/2)=-X(t)\ \Longrightarrow\ C_h=\frac{1-(-1)^h}{T_e}\int_0^{T_e/2}X(t)e^{-jh\omega_e t}\,\mathrm dt

    (37.139)

11. Для чётного временного h множитель равен нулю. Ненулевой even_flux_ratio в этой постановке сначала проверяем как численный фон или нарушение исходных предпосылок, а не как ожидаемый рост от статического эксцентриситета.

    h=2k\ \Longrightarrow\ C_{2k}=0\qquad(X=\Psi_A,\ B_x(\phi_0,t),\ B_y(\phi_0,t))

    (37.140)

12. Сила Лоренца содержит произведение J и B, а тензорная сила и момент — квадратичные выражения поля. Две смены знака сокращаются, поэтому силовые каналы могут иметь постоянную и чётные временные компоненты.

    \mathbf J(t+T_e/2)\times\mathbf B(t+T_e/2)=\mathbf J(t)\times\mathbf B(t),\qquad\mathbf F(t+T_e/2)=\mathbf F(t)

    (37.141)

13. Для реального наблюдаемого канала C отдельно сравниваем временные коэффициенты серии без дефекта и серии с дефектом. В данной конфигурации полезны также средняя результирующая сила, основная и нечётные гармоники \Psi /B; один признак не делает диагноз единственным.

    \Delta C_h=C_{h,defect}-C_{h,healthy},\qquad d_h=\frac{|\Delta C_h|}{\max(|C_{1,healthy}|,C_{scale})}

    (37.142)

14. Переход к времени использует \theta e=ωet; численная производная и спектр рассчитываются по полному набору уникальных позиций.

    \frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dt}=\omega_e\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm d\theta_e},\qquad\Delta t=\frac{1}{fN}

    (37.143)

15. Среднее механической мощности проверяется средним момента относительно фактической оси вращения, а пульсация записывается отдельно. При концентрическом роторе без дефекта ось совпадает с началом координат. Удвоение частоты силы объясняется квадратичной зависимостью напряжений от B.

    \overline P_{conv}=-\Omega_m\overline T_C,\qquad\sigma\sim\frac{B^2}{2\mu_0}

    (37.144)

16. При статическом эксцентриситете исходный FEMM-интеграл относительно O переносится к смещённой оси C. Поправка имеет размерность м·Н, то есть Н·м, и вычисляется для каждой позиции до усреднения.

    T_C(\theta)=T_O(\theta)-[\mathbf r_c\times\mathbf F(\theta)]_z=T_O(\theta)-10^{-3}e_{mm}F_y(\theta)

    (37.145)

17. При постоянном e усреднение линейно, поэтому средний осевой момент можно получить из средних исходного момента и F_y; для переменного центра необходим средний от произведения.

    \overline T_C=\overline T_O-10^{-3}e_{mm}\overline F_y\quad(e=\mathrm{const})

    (37.146)

Границы применимости. В источнике Баловнева подпись одного рисунка содержит «нечётные», тогда как текст и легенда относятся к 2-й/4-й. Интерпретируйте реально определённый порядок h; диагноз не выводится из одной подписи.

Вывод временной силы на неподвижной пазовой стороне обмотки

Выделяем одну немагнитную пазовую область статора, а не весь ротор и не ферромагнитное тело. Область неподвижна в лабораторных осях; ток Jz направлен вдоль оси z, B=(B_x ,B_y ,0). Токи каждой позиции мгновенные со знаками цепи FEMM, не действующие и не токи отдачи без смены знака.

Для равномерно распределённых по области знаковых витков Ns и тока цепи ia(t) плотность Jz=Ns ia/Sslot. Сила Лоренца возникает из J\times B. У немагнитной медной области этот объёмный интеграл можно сопоставить с Lorentz-интегралами FEMM; для ферромагнитного ротора используется отдельный тензорный интеграл с другой областью и физическим смыслом.

Связь с программой. Дополнение postprocess_saved_forces.py принимает TG_RESULT_FILE — абсолютный путь к result.json полного шага 15/all; TG_FORCE_OUTPUT_ROOT — необязательный существующий выходной каталог. FORCE_SLOT=6 означает шестой из 24 пазов (счёт с 1), A+, N=12, точка r=89 мм, \alpha =82{,}5^\circ. FORCE_KIND="both" обрабатывает решения для концентрической и эксцентричной моделей. Через mo_blockintegral(11)/(12) читается сила Лоренца, через 8/9 — объёмные интегралы B_x /B_y, через 5 — площадь. Новая папка forces-calculated-NN содержит conductor-forces.json и conductor-forces.csv с обоими определениями силы, током, J, площадью, путями и SHA источников. Это повторная обработка имеющихся ANS без анализа и пересохранения. Для полного ряда необходимы все 72 решения для концентрической модели и 72 решения для эксцентричной модели свежего run-15.py или all; публичных представительных ANS недостаточно.

1. Раскрываем векторное произведение базисных векторов ez×ex=ey, ez×ey=−ex. Поэтому положительный Jz в положительном B_y создаёт отрицательную силу по x.

   \mathbf f=\mathbf J\times\mathbf B=J_z\mathbf e_z\times(B_x\mathbf e_x+B_y\mathbf e_y)=J_z(-B_y\mathbf e_x+B_x\mathbf e_y)

   (37.147)

2. Плотность силы имеет единицу Н/м³: произведение А/м² и Тл=Н/(А·м) даёт правильную размерность. Интегрирование по объёму выбранной пазовой стороны даёт силу в ньютонах.

   [J_zB]=\frac{\mathrm A}{\mathrm m^2}\frac{\mathrm N}{\mathrm{A\,m}}=\frac{\mathrm N}{\mathrm m^3},\qquad\mathbf F=\int_{V_{slot}}\mathbf J\times\mathbf B\,\mathrm dV

   (37.148)

3. Из условия полного тока через поперечное сечение ∫Jz dS=Ns ia следует равномерная Jz. Знак Ns уже входит в это равенство; знак тока нельзя менять второй раз.

   \int_{S_{slot}}J_z\,\mathrm dS=N_s i_a(t),\qquad J_z(t)=\frac{N_s i_a(t)}{S_{slot}}

   (37.149)

4. В открытом профиле обмотка занимает прямоугольник ширины b и глубины h обм. Воздух шлица и отдельный клин не включаются в площадь проводящей области. Для b=89sin_{8}^\circ и h обм=22 мм площадь равна выбранной площади прежнего четырёхугольника, однако текущий расчёт использует фактический прямоугольник. Миллиметры требуют множителя 10⁻⁶ при вычислении J.

   S_{slot,mm^2}=b h_{\mathrm{обм}}=89\sin8^\circ\cdot22,\qquad S_{slot,m^2}=10^{-6}S_{slot,mm^2}

   (37.150)

5. Поскольку J одинаково во всей области, выносим его за знак интеграла. Получается независимая вычислительная тождественность для проверки интеграла Лоренца на той же сетке.

   F_x=-J_z\int_{V_{slot}}B_y\,\mathrm dV,\qquad F_y=J_z\int_{V_{slot}}B_x\,\mathrm dV,\qquad\mathrm dV=\ell\,\mathrm dS

   (37.151)

6. Выбранная область проверяется по площади mo_blockintegral(5): она должна совпадать с площадью прямоугольника обмотки, без клина и шлица. Это предотвращает получение силы другой области из-за ошибки точки выбора.

   S_{selected}=S_{slot}=b h_{\mathrm{обм}},\qquad\varepsilon_S=\frac{|S_{selected}-S_{slot}|}{S_{slot}}

   (37.152)

7. Радиальное и тангенциальное направления выбранной неподвижной стороны задаются постоянным углом \alpha s. Проецирование силы не требует поворачивать область вместе с ротором.

   F_r=F_x\cos\alpha_s+F_y\sin\alpha_s,\qquad F_\theta=-F_x\sin\alpha_s+F_y\cos\alpha_s

   (37.153)

8. Для полного набора позиций получаем t_k=k/(fN) и читаем ia(tk) из каждой точной модели. Так формируется временная сила, включающая изменение токов и поля, а не только вращение одной сохранённой картины поля.

   \mathbf F_k=\mathbf F(t_k),\qquad t_k=\frac{k}{fN},\quad k=0,\ldots,N-1

   (37.154)

9. Для независимого однородного примера r_{1}=78 мм, r_{2}=100 мм, w=8^\circ, \ell =0{,}25 м, Ns=12, мгновенный i=10 А и B=(0,6; 0,8) Тл: площадь 272,5 мм², J=440365{,}47 А/м². Площадь сокращается в F=Ns i \ell (-B_y ,B_x ), что даёт простой контроль единиц и знака.

   \mathbf F=N_s i\ell(-B_y,B_x)=12\cdot10\cdot0{,}25(-0{,}8,0{,}6)=(-24,18)\,\mathrm N

   (37.155)

Границы применимости. Совпадение двух интегральных способов на одной сетке проверяет вычисление силы и знаки, но не является независимой сеточной сходимостью. Сила Лоренца одной медной стороны не равна силе на весь ротор или зубец; для ферромагнитного тела нужна согласованная тензорная или энергетическая процедура.

Отдельный пространственный спектр по замкнутой окружности зазора

Фиксируем одну сохранённую позицию ротора и её мгновенные токи. Меняется только пространственный азимут \varphi точки постобработки. Это отдельный эксперимент от вращения ротора во времени: два сохранённых решения healthy/eccentric достаточны для пары пространственных кривых.

Окружность имеет центр статора и радиус 71 мм. При Rr=70 мм, Rs=72 мм и e=0{,}4 мм она целиком лежит в воздушном зазоре, поэтому пересечения с ротором исключены не только на выбранных точках.

Связь с программой. postprocess_saved_gap.py принимает TG_GAP_RESULT_FILE, необязательные TG_GAP_SCRIPT_FILE и TG_GAP_OUTPUT_ROOT. Он читает сохранённые healthy/eccentric ANS позиции 0, делает по 180 вызовов чтения B по кругу R=71 мм и сохраняет spatial-gap.json, spatial-gap-samples.csv, spatial-gap-harmonics.csv для h=1…15. mo_smooth("off") явно отключает сглаживание: это поле конечных элементов; проверяются конечность данных, \mu _{r}=1 в каждой точке и неизменность SHA исходных файлов. Br_mean_T сохраняется отдельно как численный контроль потока. Программа не выполняет новых solve и не изменяет исходные FEM/ANS; новое положение ротора требует другого сохранённого решения.

1. Максимальный радиус смещённого ротора относительно центра статора не превышает Rr+|e|. Выбираем R между ним и расточкой, затем задаём точки полярным преобразованием.

   R_r+|e|<R<R_s,\qquad x_k=R\cos\phi_k,\quad y_k=R\sin\phi_k

   (37.156)

2. Проецируем декартово поле на радиальный и касательный единичные векторы. Матрица ортогональна, поэтому квадрат модуля B сохраняется и служит контролем преобразования.

   B_r=B_x\cos\phi+B_y\sin\phi,\quad B_\theta=-B_x\sin\phi+B_y\cos\phi,\quad B_r^2+B_\theta^2=B_x^2+B_y^2

   (37.157)

3. Берём N\varphi =180 уникальных точек полного круга. Это шаг пространства 2^\circ, а не временной шаг; одно и то же ANS используется для всех точек одной кривой.

   \phi_k=\frac{2\pi k}{N_\phi},\quad k=0,\ldots,N_\phi-1,\qquad\Delta\phi=\frac{2\pi}{180}

   (37.158)

4. Коэффициенты получаются той же ортогональной проекцией, что в ДПФ, но аргумент — \varphi. Для постоянной компоненты нужен множитель 1/N, для ненулевого порядка 1\le h<N/2 — 2/N.

   \overline B_r=\frac1{N_\phi}\sum_kB_{r,k},\quad a_h=\frac2{N_\phi}\sum_kB_{r,k}\cos(h\phi_k),\quad b_h=\frac2{N_\phi}\sum_kB_{r,k}\sin(h\phi_k)

   (37.159)

5. Пространственная амплитуда имеет единицу Тл, а фаза относится к фиксированному нулю азимута статора. Множитель h\omega относится к производной по времени и не применяется к этому спектру индукции.

   B_{r,h}=\sqrt{a_h^2+b_h^2},\quad\gamma_h=\operatorname{atan2}(-b_h,a_h),\qquad[B_{r,h}]=\mathrm T

   (37.160)

6. Интегральный поток через окружность на единицу аксиальной длины приближённо равен 2\pi R средней B_r. Точное значение в плоской задаче равно нулю; остаток дискретного обхода проверяет угловую квадратуру и чтение поля, но не является монополем.

   \Phi_{\mathrm{зам}}^{\prime}=R\int_0^{2\pi}B_r\,\mathrm d\phi\approx2\pi R\overline B_r,\qquad[\Phi_{\mathrm{зам}}^{\prime}]=\mathrm{Wb/m},\quad\Phi_{\mathrm{зам}}^{\prime}=0

   (37.161)

7. Нормируем остаток ненулевым масштабом индукции и сравниваем кривые для моделей без дефекта и с дефектом при одинаковых R,N\varphi и позиции ротора. Спектральные изменения описываются по фактическим значениям; рост h=2 не является обязательным результатом или уникальным диагнозом.

   \varepsilon_{\mathrm{зам}}=\frac{|\overline B_r|}{\max(B_{r,1},B_{\mathrm{масш}})},\qquad\Delta B_{r,h}=B_{r,h,defect}-B_{r,h,healthy}

   (37.162)

Границы применимости. Одно пространственное сечение во времени не задаёт спектр неподвижного датчика при вращении. Замыкание потока и ортогональная проекция проверяют обработку выбранного поля; угловое и сеточное уточнение остаются отдельными проверками.