Электромеханическая динамика: проверка границ замороженной d–q модели

Сначала проверяем магнитную модель, затем трактуем траекторию

В текущей редакции open-slot-wedges-v_{2} три независимых поля при t=0; 0,25; 0,5 с дают относительные расхождения вектора \Psi 0{,}059176; 0,094140; 0,094260; в процентах 5,92 %; 9,41 %; 9,43 %. Данные прочитаны из текущего result.json с SHA-256 ab628156fca95c9cd45a8ba4b9578306b3befdd0e27ade443058741dc498c5d5. Диапазон i_d в трёх проверенных состояниях: -16,859…-12,940 А; область идентификации локальной L\Delta — около нулевых токов с пробами ±1 А. Критерий 5 % не выполнен. Численная сходимость выбранных ОДУ не уменьшает это расхождение; прогноз с объявленной точностью 5 % по такой замороженной карте не принят. В CSV и static_nonlinear_comparison сохранены замороженные и независимо рассчитанные нелинейные \Psi. Сравнивайте их в одинаковых осях, токах и положении ротора. До такой проверки траектория служит иллюстрацией выбранной системы ОДУ и не является подтверждённым прогнозом насыщенной машины.

Метод RK4 и энергетическое тождество проверяют решение выбранной системы уравнений. Даже малые численные ошибки не исправляют расхождение магнитной карты \Psi (i_d,i_q) с независимым полем. При неприемлемом расхождении прогноз по замороженной редукции отклоняется; качественная гладкость графика не меняет этого вывода. Полные квазистатические 72-позиционные функции шага 15 и согласованные полевые характеристики имеют отдельные проверки.

Устройство проверяемого контрпримера: автономная машина и нагрузка

Выполненная динамика использует Ldd,Lqq и \Psi f из шага 09 в линейной замороженной карте. Внешняя симметричная нагрузка меняется с 8 до 6 Ом/фазу в момент 0,1 с. Состояния — i_d,i_q,механическая скорость и угол относительно опорной синхронной оси. Последний угол является интегралом отклонения скорости; жёсткая сеть к выводам не подключена.

Пассивные токи направлены внутрь машины, поэтому у генератора они дают отрицательный электромагнитный момент. Турбина сообщает положительный момент. До ступени начальные токи находятся из нулевых электрических производных, а Tm — из механического равновесия. Положительная мощность резистивной нагрузки проверяется отдельно.

Замороженная карта и область её идентификации

L\Delta идентифицирована при i_d=i_q=0, If=30 А и пробах ±1 А. Сопоставьте фактические токи траектории с этим диапазоном; секущие до 10 А дают дополнительный контроль локальности. Число из другой геометрической редакции не является оценкой ошибки текущей карты. Независимые полевые пробы при тех же токах проверяют именно экстраполяцию локальных параметров.

Уменьшение временного шага уточняет траекторию ошибочно выбранной аппроксимации, но не приближает её магнитную карту к нелинейному полю. Для прогнозирующей модели нужна самосогласованная нелинейная карта \Psi d(i_d,i_q,If,\theta m), \Psi q(i_d,i_q,If,\theta m), её дифференциальная матрица и согласованный по коэнергии момент. При пазовой зависимости сохраняются угловые производные; в усреднённой карте их исключение должно быть отдельным допущением. Нужен контроль вдоль фактической траектории; при необходимости добавляются новые электрические состояния. Такая замена здесь не реализована. Инерция J и демпфирование Bm остаются условными внешними входами.

Отдельная скалярная иллюстрация качаний

В комплекте также сохранена полевая таблица Pe(угол), полученная при фиксированных токах и переменном напряжении, и скалярная иллюстрация механического уравнения. Её нельзя выдавать за сетевую угловую характеристику при U=\mathrm{const}. Приведённый контрольный пример M\delta¨=Pm−Pe — самостоятельная математическая редукция.

Для реальной модели качаний в сети требуется согласованная карта при неизменных сетевых условиях и возбуждении либо связанная полевая/цепная модель сети. Условие статического существования режима и динамическая устойчивость энергоблока — разные результаты.

Выполненная и требуемая проверка

Основной шаг времени 0,0001 с сопоставляется с 0,0002 с в совпадающие моменты. Программа контролирует начальные производные, знаки момента и мощности, а также отличие токов и скорости. Ступень должна попадать в узел временной сетки; при вычислении конца предыдущего интервала берётся левый предел.

Дополнительная проверка энергии выполняется по току и скорости в CSV. Интеграл мощности разделяется в t=0{,}1 с: для последней трапеции слева берётся старое сопротивление 8 Ом, справа — новое 6 Ом при том же непрерывном состоянии. В строке CSV на скачке уже стоит правое сопротивление; его использование для обеих сторон создаёт искусственную энергетическую невязку первого порядка по \Delta t. Результат предъявляется вместе с фактической магнитной ошибкой текущей редакции. Динамика возбуждения, демпферов, AVR, вихревые токи и аварийный бросок в этой редукции отсутствуют.

Вывод связанных электрических и механических уравнений d–q

Основной выполненный опыт шага 16 — автономный генератор на симметричную резистивную нагрузку. Используются замороженные локальные Ldd,Lqq и поток возбуждения из этапа 09, p=1, R=0{,}15 Ом; токи d–q пассивно направлены внутрь машины. Перекрёстные Ldq,Lqd в этой редукции отбрасываются явно.

Электрическое поле повторно не решается на каждом временном шаге. Предполагаем \Psi d=\Psi f+L_d i_d и \Psi q=L_q i_q с постоянными коэффициентами, независимое постоянное возбуждение и отсутствие демпферов. Инерция и механическое демпфирование — условные внешние параметры. Фактическая \omega e(t)=p\Omega m(t) изменяется со скоростью; постоянная \omega s нужна для опорного угла \delta.

Связь с программой. reduced_dq() интегрирует i_d,i_q,\Omega,\delta методом RK4: нагрузка 8→6 Ом при t=0{,}1 с, J=0{,}2 кг·м², Bm=0,001 Н·м·с, шаг 0,0002 с и контроль 0,0001 с. Файл 16-dq-dynamics.csv хранит траекторию выбранных ОДУ; 16-dq-static-comparison.csv даёт независимые ошибки \Psi текущей открытой геометрии для сравнения с выбранными 5 %. Это три статические проверки, а не реализованное нелинейное полевое интегрирование переходного процесса. Скалярные качания по статической таблице хранятся отдельно как иллюстрация.

1. В неподвижных осях v=Ri +d\Psi /dt. При переходе к вращающемуся базису производная вектора содержит добавку вращения \omega J\Psi с J, поворачивающей на 90^\circ.

   \mathbf v_{dq}=R\mathbf i_{dq}+\dot{\boldsymbol\Psi}_{dq}+\omega_e\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\boldsymbol\Psi_{dq}

   (37.163)

2. Подставляем замороженную карту потокосцеплений: производная \Psi f равна нулю. Получаем две цепные дифференциальные связи с перекрёстными скоростными ЭДС.

   v_d=Ri_d+L_d\dot i_d-\omega_eL_qi_q,\qquad v_q=Ri_q+L_q\dot i_q+\omega_e(\Psi_f+L_di_d)

   (37.164)

3. Нагрузка видит ток -i, потому её напряжение на выводах vd,q=-RL i_d,q. После переноса сопротивлений получаем явные правые части.

   \dot i_d=\frac{-(R+R_L)i_d+\omega_eL_qi_q}{L_d},\qquad\dot i_q=\frac{-(R+R_L)i_q-\omega_e(\Psi_f+L_di_d)}{L_q}

   (37.165)

4. Момент выводится из электромеханической мощности скоростных членов. В амплитудной нормировке dq мощность имеет коэффициент 3/2.

   T_{em}=\frac32p(\Psi_di_q-\Psi_qi_d),\qquad P_{em}=T_{em}\Omega_m

   (37.166)

5. Уравнение вращения использует положительный момент турбины и отрицательный генераторный Te. Дополнительный угол относительно синхронной оси интегрируется, но не задаёт жёсткую сеть.

   J\dot\Omega_m=T_m+T_{em}-B_m\Omega_m,\qquad\dot\delta=p\Omega_m-\omega_s

   (37.167)

6. Начальный установившийся режим найдём из нулевых производных токов при \Omega =\Omega s. Подстановка i_d=\omega L_q i_q/R\Sigma во второе уравнение даёт i_q, затем Tm выбирается для механического равновесия.

   i_{q0}=-\frac{\omega_s\Psi_f}{R_\Sigma+\omega_s^2L_dL_q/R_\Sigma},\quad i_{d0}=\frac{\omega_sL_qi_{q0}}{R_\Sigma},\quad T_m=-T_{em,0}+B_m\Omega_s

   (37.168)

7. Мощность симметричной резистивной нагрузки положительна независимо от знаков d–q: подстановка v=-RL i в отдаваемую мощность даёт сумму квадратов.

   P_L=\frac32R_L(i_d^2+i_q^2)>0,\qquad P_{Cu}=\frac32R(i_d^2+i_q^2)

   (37.169)

8. Умножим уравнения токов на 3i_{\mathrm{dL d}}/2 и 3i_{\mathrm{qL\,q}}/2, механику на \Omega. Скоростные члены дают −TemΩ в электрической части и+TemΩ в механической, поэтому сокращаются в суммарной энергии редукции.

   W_{red}=\frac34(L_di_d^2+L_qi_q^2)+\frac12J\Omega_m^2,\qquad\dot W_{red}=T_m\Omega_m-\frac32(R+R_L)(i_d^2+i_q^2)-B_m\Omega_m^2

   (37.170)

9. Ступень сопротивления меняет конечную правую часть ОДУ, но не содержит импульса. Интегрируем по бесконечно короткому интервалу вокруг ts: при конечных напряжениях, ненулевых L и J токи и скорость непрерывны, поэтому скачка энергии нет.

   \mathbf x(t_s^-)=\mathbf x(t_s^+),\qquad W_{red}(t_s^-)=W_{red}(t_s^+)

   (37.171)

10. Мгновенная мощность нагрузки всё же разрывна: в одинаковом непрерывном состоянии подставляем разные RL. Такой скачок мощности не является импульсом энергии.

    P_L(t_s^+)-P_L(t_s^-)=\frac32(R_{L,+}-R_{L,-})\bigl[i_d^2(t_s)+i_q^2(t_s)\bigr]

    (37.172)

11. Для численного энергетического баланса интеграл мощности делим на два гладких промежутка. В последней трапеции слева используем старое RL, в первой справа — новое; состояние в граничном узле одно и то же.

    \int_0^{T_f}P(t)\,\mathrm dt=\int_0^{t_s}P_-(t)\,\mathrm dt+\int_{t_s}^{T_f}P_+(t)\,\mathrm dt,\qquad\Delta W_{red}=\int_0^{T_f}P(t)\,\mathrm dt

    (37.173)

12. В CSV узел ts уже хранит правое сопротивление. Если использовать эту мощность и для конца предыдущего интервала, обычная трапеция добавит искусственный член первого порядка по шагу. Кусочное интегрирование устраняет именно эту ошибку обработки скачка.

    \Delta E_{\mathrm{ош}}\approx\frac{\Delta t}{2}\bigl[P_+(t_s)-P_-(t_s)\bigr],\qquad P=T_m\Omega_m-P_{Cu}-P_L-B_m\Omega_m^2

    (37.174)

13. Первая оценка берётся в начале интервала. Для второй прогнозируем середину по первой касательной; третья уточняет ту же середину по второй касательной.

    \begin{aligned}\mathbf k_1&=\mathbf f(t_n,\mathbf x_n),\\\mathbf k_2&=\mathbf f(t_n+\Delta t/2,\mathbf x_n+\Delta t\mathbf k_1/2),\\\mathbf k_3&=\mathbf f(t_n+\Delta t/2,\mathbf x_n+\Delta t\mathbf k_2/2).\end{aligned}

    (37.175)

14. Четвёртая оценка использует конец интервала и прогноз по третьей касательной. Взвешенная сумма выше имеет локальную ошибку O(\Delta t^{5}), а на гладком конечном промежутке — глобальную O(\Delta t^{4}); скачок обрабатывается отдельно.

    \mathbf k_4=\mathbf f(t_n+\Delta t,\mathbf x_n+\Delta t\mathbf k_3),\qquad\varepsilon_{local}=O(\Delta t^5),\quad\varepsilon_{global}=O(\Delta t^4)

    (37.176)

15. Классический RK4 использует четыре оценки правой части и взвешенную сумму; шаг нагрузки должен совпадать с узлом интегрирования, чтобы не смешивать левое и правое состояние скачка.

    \mathbf x_{n+1}=\mathbf x_n+\frac{\Delta t}{6}(\mathbf k_1+2\mathbf k_2+2\mathbf k_3+\mathbf k_4)

    (37.177)

16. Уточнение сравнивает совпадающие времена \Delta t и \Delta t/2, а не соседние индексы разных сеток. Ненулевой масштаб не даёт взрыва относительной ошибки при пересечении тока через ноль. Это ошибка интегрирования выбранных ОДУ, не ошибка их магнитной модели.

    \varepsilon_t=\max_{n,j}\frac{|x^{\Delta t}_{n,j}-x^{\Delta t/2}_{2n,j}|}{\max(|x^{\Delta t/2}_{2n,j}|,x_{scale,j})}

    (37.178)

17. Для независимой магнитной проверки подставим фактические i_d,i_q из траектории в замороженную карту и отдельно решим нелинейное поле при тех же токах, If и положении ротора. Нормируем разность векторов по норме нелинейного результата.

    \varepsilon_\Psi(t)=\frac{\|\boldsymbol\Psi_{frozen}(\mathbf i(t))-\boldsymbol\Psi_{FEM}(\mathbf i(t))\|_2}{\max(\|\boldsymbol\Psi_{FEM}(\mathbf i(t))\|_2,10^{-12}\,\mathrm{Wb})}

    (37.179)

18. Для данного учебного переноса параметров принимаем допустимое расхождение \Psi 5 %. Три пробы проверяют только три состояния; превышение порога хотя бы в одной отвергает эту точность замороженной карты, а успешный тест не доказывал бы всю нелинейную траекторию.

    \varepsilon_{\Psi,\max}=\max_{t_k\in\{0;0{,}25;0{,}5\}}\varepsilon_\Psi(t_k),\qquad\varepsilon_{\Psi,\mathrm{доп}}=0{,}05,\qquad\varepsilon_{\Psi,\max}\le\varepsilon_{\Psi,\mathrm{доп}}

    (37.180)

19. В будущей нелинейной модели пазовая геометрия может сохранять зависимость \Psi dq от положения ротора даже во вращающихся осях. Полное цепное правило тогда содержит производные по токам, возбуждению и углу; три статические пробы при одной позиции эту зависимость не проверяют.

    \frac{\mathrm d\boldsymbol\Psi}{\mathrm dt}=\mathbf L_\Delta\dot{\mathbf i}+\frac{\partial\boldsymbol\Psi}{\partial I_f}\dot I_f+\frac{\partial\boldsymbol\Psi}{\partial\theta_m}\Omega_m,\qquad\mathbf L_\Delta=\frac{\partial\boldsymbol\Psi}{\partial\mathbf i}

    (37.181)

20. При постоянном If переносим все известные члены в правую часть. Если карта явно усреднена по пазовому положению, последняя угловая производная отсутствует по допущению. Этот путь сформулирован как дальнейшая работа и не реализован текущей замороженной редукцией.

    \mathbf L_\Delta\dot{\mathbf i}=\mathbf v-R\mathbf i-\omega_e\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\boldsymbol\Psi-\Omega_m\frac{\partial\boldsymbol\Psi}{\partial\theta_m},\qquad\dot I_f=0

    (37.182)

21. Момент будущей углозависимой карты тоже должен быть энергетически согласован. В амплитудной нормировке производные полной трёхфазной коэнергии по i_d,i_q равны 3\Psi d/2{,}3\Psi q/2. При неизменных фазных токах поворот осей даёт \partial i_d/\partial \theta m=p i_q и \partial i_q/\partial \theta m=-p i_d.

    \left.\frac{\partial i_d}{\partial\theta_m}\right|_{abc}=p i_q,\quad\left.\frac{\partial i_q}{\partial\theta_m}\right|_{abc}=-p i_d,\quad\frac{\partial W^{\prime}_{dq}}{\partial i_d}=\frac32\Psi_d,\quad\frac{\partial W^{\prime}_{dq}}{\partial i_q}=\frac32\Psi_q

    (37.183)

22. Применяем цепное правило к угловой производной коэнергии при фиксированных токах abc и If. Кроме стандартного d–q момента остаётся явная угловая производная при фиксированных i_d,i_q,If. Она включает пазовый вклад и не может быть потеряна при переносе к полной карте.

    T_{em}=\left.\frac{\partial W^{\prime}}{\partial\theta_m}\right|_{abc,I_f}=\frac32p(\Psi_d i_q-\Psi_q i_d)+\left.\frac{\partial W^{\prime}_{dq}}{\partial\theta_m}\right|_{i_d,i_q,I_f}

    (37.184)

Границы применимости. Локальные коэффициенты около i_d=i_q=0 нельзя переносить на данную траекторию: независимая полевая проверка количественно отклоняет такую аппроксимацию. Численная сходимость и энергия остаются корректными свойствами выбранных ОДУ. Нелинейная прогнозирующая модель требует новой карты и проверки.