Электрическое сопротивление тонкой пластины

Допущения и устройство учебной модели

Все размеры, свойства материалов и условия возбуждения заданы ниже. Численные результаты относятся к опубликованной версии модели FEMM 5.

Физическая и математическая постановка

Растекание и сопротивление

В однородной стали потенциал удовлетворяет уравнению непрерывности постоянного тока. На двух контактах задан потенциал, остальные края электрически изолированы. Поток на каждом электроде вычисляется интегрально; сопротивление определяется через разность потенциалов и суммарный ток. Принят ноль на выходе и 0.02 В на входе. Общий сдвиг потенциалов не изменяет электрическое поле и может использоваться как дополнительный проверочный опыт.

Добавка 0.469 к числу квадратов учитывает область растекания и используется как независимый приближённый ориентир. Запись с тремя десятичными знаками не является точным решением произвольной конечной пластины. Допуск 0.5 процента учитывает округление поправки и остаточное влияние дискретизации.

Что проверять на сетке

Программа строит три сетки с ограничениями размера 0.6, 0.3 и 0.15 мм. На каждой проверяются равенство входного и выходного тока и совпадение объёмной джоулевой мощности с мощностью на выводах. Разность сопротивлений двух последних сеток должна быть меньше 0.5 процента. Наличие большого числа элементов около контакта объясняется работой генератора сетки и геометрической особенностью границы.

Сравнивайте ток или сопротивление, а не максимальную плотность тока в точке переключения граничных условий. В идеализированном остром конце контакта локальное поле чувствительно к сгущению сетки. Для оценки нагрева реального соединения потребуются радиус скругления и сопротивление контакта; таких данных исходный пример не задаёт.

Исходные данные

Прямоугольник 26 × 6 мм; нижний контакт 0 ≤ x ≤ 6 мм; правый контакт x=26 мм; глубина 1 мм.

Порядок воспроизведения

1. Создайте отдельную рабочую папку и поместите в неё reproduce.py. Откройте программу во встроенном редакторе Python FEMM 5. Команды ci_, co_, hi_* и ho_* уже доступны в этой среде; внешний пакет pyFEMM здесь не требуется. Запустите файл целиком. Программа сама создаст новую папку calculated-XX, поэтому повторный опыт не уничтожит предыдущую серию.
2. Проследите три последовательных построения. Перед каждым решением программа записывает самостоятельную модель, закрывает документ и повторно открывает этот файл. Такое действие проверяет сохранение геометрии, свойств и русских имён. Для каждой сетки остаются входная модель, расчётное решение и запись численных показателей. Откройте окончательную модель вручную, чтобы сопоставить контуры, материалы и граничные условия с таблицей параметров.
3. Откройте result.json из новой папки. records содержит результаты каждой сетки, checks — проверяемую величину, допустимое значение и логический итог. Переходите к обсуждению физики после выполнения всех проверок. Само уменьшение невязки линейного решателя ещё не доказывает достаточность сетки: отдельно сравниваются интегральные характеристики двух последних дискретизаций.
4. Изменяйте один физический параметр за опыт и сохраняйте отдельную серию. Сравнивайте результаты при одинаковой длине, глубине и температурном соглашении. В отчёте приведите постановку, таблицу трёх сеток, результат независимой проверки и объяснение оставшегося расхождения.

Скачайте нужные файлы по отдельным ссылкам ниже в одну рабочую папку, затем откройте reproduce.py во встроенном Python FEMM 5 и выполните его. Сохраните имена файлов и структуру подпапок. Условия конкретного запуска и путь новых результатов указаны в комментариях программы.

"""Сопротивление тонкой пластины с угловым контактом.
Среда: встроенный MicroPython FEMM 5; команды FEMM доступны как глобальные функции.
Модель создаётся заново, сохраняется, закрывается и повторно открывается до расчёта.
Размеры геометрии заданы в миллиметрах; интегральные результаты имеют единицы СИ.
Каждый запуск создаёт новый calculated-XX рядом с программой и не меняет прежние
модели, результаты и квитанции. Все входные параметры заданы непосредственно в программе.
Область применимости и принятые допущения описаны в README.md.
"""

import os
import sys
import math
import json

script = globals().get("__file__", "") or (sys.argv[0] if sys.argv else "")
base = os.path.dirname(os.path.abspath(script)) if script else os.getcwd()
index = 1
while "calculated-%02d" % index in os.listdir(base):
    index += 1
directory = base + "/calculated-%02d" % index
os.mkdir(directory)
records = []
checks = []


def real(value):
    if isinstance(value, (list, tuple)):
        return real(value[0])
    return complex(value).real


def check(name, value, limit):
    checks.append(
        {
            "name": name,
            "value": value,
            "limit": limit,
            "passed": math.isfinite(value) and value <= limit,
        }
    )


MESHES = (0.6, 0.3, 0.15)
DEPTH_MM = 1
MATERIAL = "Сталь пластины"
SIGMA = 10e6
VOLTAGE = 0.02
LABEL_X = 13
LABEL_Y = 3


def polygon(points):
    for x, y in points:
        ci_addnode(x, y)
    for number, (x, y) in enumerate(points):
        x2, y2 = points[(number + 1) % len(points)]
        ci_addsegment(x, y, x2, y2)


def terminal(x, y, name, mesh):
    ci_selectsegment(x, y)
    ci_setsegmentprop("<None>", mesh, 0, 0, 0, name)
    ci_clearselected()


def circle(radius, conductor, angle):
    ci_addnode(-radius, 0)
    ci_addnode(radius, 0)
    ci_addarc(-radius, 0, radius, 0, 180, angle)
    ci_addarc(radius, 0, -radius, 0, 180, angle)
    ci_selectarcsegment(0, radius)
    ci_selectarcsegment(0, -radius)
    ci_setarcsegmentprop(angle, "<None>", 0, 0, conductor)
    ci_clearselected()


for level, mesh in enumerate(MESHES):
    newdocument(3)
    ci_probdef("millimeters", "planar", 0, 1e-10, DEPTH_MM, 30)
    ci_addmaterial(MATERIAL, SIGMA, SIGMA, 1, 1, 0, 0)
    ci_addconductorprop("Входной электрод", VOLTAGE, 0, 1)
    ci_addconductorprop("Выходной электрод", 0, 0, 1)
    polygon([(0, 0), (6, 0), (26, 0), (26, 6), (0, 6)])
    terminal(3, 0, "Входной электрод", mesh)
    terminal(26, 3, "Выходной электрод", mesh)
    ci_addblocklabel(LABEL_X, LABEL_Y)
    ci_selectlabel(LABEL_X, LABEL_Y)
    ci_setblockprop(MATERIAL, 0, mesh, 1)
    ci_clearselected()
    model = directory + "/model-%02d.fec" % (level + 1)
    ci_saveas(model)
    ci_close()
    # Проверяется именно записанная версия с кириллическими именами.
    opendocument(model)
    ci_analyze(1)
    ci_loadsolution()
    co_smooth("off")
    potential_in, current_in = co_getconductorproperties("Входной электрод")
    potential_out, current_out = co_getconductorproperties("Выходной электрод")
    current = abs(complex(current_in))
    co_groupselectblock(1)
    power = real(co_blockintegral(0))
    co_clearblock()
    balance = abs(complex(current_in) + complex(current_out)) / current
    power_error = abs(power - VOLTAGE * current) / (VOLTAGE * current)
    row = {
        "mesh_mm": mesh,
        "model": "model-%02d.fec" % (level + 1),
        "nodes": co_numnodes(),
        "elements": co_numelements(),
        "I_A": current,
        "R_ohm": VOLTAGE / current,
        "P_W": power,
        "current_balance_relative": balance,
        "power_balance_relative": power_error,
    }

    records.append(row)
    check("Баланс токов, сетка %d" % (level + 1), balance, 1e-6)
    check("Баланс мощности, сетка %d" % (level + 1), power_error, 1e-6)
    co_close()
    ci_close()
check(
    "Сходимость сопротивления",
    abs(records[-1]["R_ohm"] / records[-2]["R_ohm"] - 1),
    0.005,
)
reference = (20 / 6 + 0.469) / (10e6 * 0.001)
check(
    "Аналитическое сопротивление с округлённой поправкой 0.469",
    abs(records[-1]["R_ohm"] / reference - 1),
    0.005,
)

result = {
    "runtime": "FEMM 5.0; embedded MicroPython",
    "records": records,
    "checks": checks,
    "passed": all(item["passed"] for item in checks),
}
with open(directory + "/result.json", "w") as output:
    json.dump(result, output)
print(json.dumps(result))
assert result["passed"]

Картина рассчитанного поля

Окна FEMM 5

Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.

Результаты и численные проверки

Сохранено решений FEMM: 3. Выполнено проверок: 8. Полная точность чисел и условия сравнения доступны в таблицах результатов JSON.

Допуски относятся к указанной учебной задаче и способу сравнения. Число показанных цифр не означает такой же физической точности.

Модели, решения и программа

Для нового расчёта сохраните программу, модели и необходимые данные в одну рабочую папку, сохраняя структуру подпапок.

• Файл результатов: README.md9130 байт
• Решение электрического тока: model-01.anc201809 байт
• Модель электрического тока: model-01.fec1188 байт
• Решение электрического тока: model-02.anc206476 байт
• Модель электрического тока: model-02.fec1188 байт
• Решение электрического тока: model-03.anc818317 байт
• Модель электрического тока: model-03.fec1188 байт
• Программа встроенного Python: reproduce.py5104 байт
• Файл результатов: verification.json912 байт

Полные численные результаты

Границы применимости

• Проводимость постоянна и изотропна; контакт идеален; температурная зависимость, магнитное поле и переходные процессы отсутствуют.
• Проверены сохранение, повторное открытие и расчёт точных файлов в FEMM 5.0 06Oct2026 со встроенным MicroPython. Проверка относится к данной учебной версии и к указанным численным критериям. Снимки интерфейса FEMM выполняются отдельным согласованным проходом.
• Постановка, объяснения и встроенная программа образуют самостоятельную лабораторную работу курса. Перед расчётом реального изделия необходимо уточнить геометрию, свойства, нагрузку и условия охлаждения.

Связанные занятия курса

• 11.1 · Постоянный ток: потенциал, закон Ома и сохранение заряда
• 11.2 · Границы раздела проводящих сред, сужение тока и эквивалентный контактный слой
• 11.4 · Джоулевы потери, баланс выводов и перенос источников в тепловую модель