Связанные электромагнитно-тепловые задачи

Формулировать потери как объёмные источники тепла. Учитывать зависимость проводимости от температуры. Различать последовательную и итерационную связь. Контролировать сходимость и энергетическую согласованность

Электротепловая обратная связь. Аналитический эталон. Слева условная схема объекта, справа характеристика по уравнениям занятия. Механические размеры элементов условной схемы не задаются. — Электротепловая обратная связь1 — Расчётная областьАналитический эталон. Слева условная схема объекта, справа характеристика по уравнениям занятия. Механические размеры элементов условной схемы не задаются.Открыть SVG целиком Результат отдельно

Предварительные понятия

Откуда в электротехнике тепло

Любое электромагнитное устройство — проводник с током, трансформатор, электрическая машина, индукционный нагреватель — часть подведённой энергии превращает в тепло. Эти потери нагревают устройство, а нагрев, в свою очередь, меняет свойства материалов: сопротивление меди растёт, магнитная проницаемость стали падает, глубина проникновения поля увеличивается. Электромагнитная и тепловая задачи оказываются связанными: решение одной входит в данные другой. Предельный случай такой связи — тепловой разгон, когда рост температуры увеличивает потери быстрее, чем усиливается их отвод, и стационарного режима не существует вовсе.

В этом уроке мы соберём то, что знаем о поле тока, вихревых токах и теплопроводности, в одну схему расчёта и разберём её на простейшем примере — проводе с током.

Потери как объёмные источники тепла

В уравнении теплопроводности $\rho_mc\,\partial T/\partial t=\nabla\cdot (\lambda\nabla T)+q_V$ источник $q_V$ — объёмная мощность тепловыделения, Вт/м³. В электротехнических устройствах она складывается из нескольких видов потерь.

Потери Джоуля

В проводнике с плотностью тока $\uJ$ и напряжённостью $\uE$ в единице объёма за единицу времени выделяется $q_V=\uJ\cdot\uE=\frac{|\uJ|^2}{\sigma}=\rho_{\mathrm э}|\uJ|^2,$ где $\sigma$ — удельная проводимость, См/м, $\rho_{\mathrm э}=1/\sigma$ — удельное сопротивление, Ом·м. Для гармонического тока с комплексной амплитудой $\cplx J$ (амплитудное значение) мгновенная мощность пульсирует с двойной частотой, а тепловую задачу интересует её среднее за период: $\overline{q_V}=\frac{1}{2}\frac{|\cplx J|^2}{\sigma}.$ Множитель $\tfrac12$ — следствие соглашения об амплитудных фазорах; при действующих значениях он исчезает.

Остальные виды потерь выражаются через поля аналогично:

Потери от вихревых токов в массивных проводящих деталях — это те же потери Джоуля, но плотность тока $\uJ=\sigma\uE$ индуцирована переменным магнитным полем и сосредоточена в слое толщиной порядка глубины проникновения $\delta=\sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}$ . Распределение $\overline{q_V}$ по сечению крайне неравномерно: у поверхности оно максимально и убывает как $e^{-2x/\delta}$ .
Потери на гистерезис в ферромагнетиках равны площади петли $B$ – $H$ , умноженной на частоту: $q_{V,\text{г}}=f\oint H\,\dd B$ . Точной теории петли нет, поэтому пользуются эмпирическими зависимостями от амплитуды индукции и частоты (формула Штейнмеца и её обобщения) или справочными удельными потерями материала, Вт/кг, при заданных $B_m$ и $f$ .
Диэлектрические потери в изоляции при гармоническом поле описываются мнимой частью комплексной проницаемости $\varepsilon=\varepsilon'-\ii\varepsilon''$ : $\overline{q_V}=\tfrac12\omega\varepsilon''|\cplx E|^2$ — с тем же множителем $\tfrac12$ для амплитудных значений. Эквивалентно, диэлектрик ведёт себя как среда с проводимостью $\omega\varepsilon''$ .

Во всех случаях тепловая задача получает $q_V(\vec r)$ как распределённый источник. Интеграл $P=\int_Vq_V\,\dV$ — полная мощность потерь — должен совпадать с мощностью, вычисленной «со стороны цепи» ( $I^2R$ , $\Re\{\cplx U\cplx I^*\}/2$ ): это первая проверка согласованности электромагнитного расчёта.

Обратное влияние температуры

Температурная зависимость удельного сопротивления

Для металлов в рабочем диапазоне температур $\rho_{\mathrm э}(T)=\rho_{\mathrm{э}0}\left[1+\alpha_\rho\,(T-T_0)\right],$ где $\rho_{\mathrm{э}0}$ — удельное сопротивление при опорной температуре $T_0$ (обычно $20$ °C), $\alpha_\rho$ — температурный коэффициент сопротивления, 1/К. Для меди $\rho_{\mathrm{э}0}=1{,}72\cdot10^{-8}$ Ом·м, $\alpha_\rho=3{,}9\cdot10^{-3}$ 1/К; для алюминия $\alpha_\rho\approx4{,}0\cdot10^{-3}$ 1/К. Нагрев на $100$ К увеличивает сопротивление медной обмотки на $39$ %.

Следствия для электромагнитной задачи:

При заданном токе потери Джоуля $I^2R(T)$ растут вместе с температурой. При заданном напряжении, напротив, ток и потери $U^2/R(T)$ падают — знак обратной связи зависит от режима питания.
Проводимость $\sigma(T)=1/\rho_{\mathrm э}(T)$ входит в глубину проникновения: $\delta\propto1/\sqrt\sigma=\sqrt{\rho_{\mathrm э}}$ . При нагреве меди на $100$ К $\delta$ возрастает на $\sqrt{1{,}39}-1\approx18$ %, ток распределяется по сечению равномернее, и сопротивление переменному току растёт медленнее, чем постоянному.
Теплопроводность $\lambda(T)$ меняется слабее: у меди она падает примерно на $5$ % на каждые $100$ К.
Кривая $B$ – $H$ ферромагнетика зависит от температуры: магнитная проницаемость и индукция насыщения уменьшаются с ростом $T$ и обращаются в нуль в точке Кюри (для железа $770$ °C). В индукционном нагреве стали это приводит к резкому изменению $\delta$ и распределения потерь при прохождении точки Кюри.

Стратегии связывания

Пусть электромагнитная задача по заданному распределению температуры $T(\vec r)$ (через $\sigma(T)$ , $\mu(T)$ ) даёт распределение потерь $q_V(\vec r)$ , а тепловая задача по $q_V$ даёт новое $T$ . Обозначим эти операции $q_V=\mathcal E[T]$ и $T=\mathcal T[q_V]$ . Способы их соединения различаются тем, учитывается ли обратное влияние.

Односторонняя (последовательная) связь

Решается электромагнитная задача при опорной температуре $T_0$ , потери передаются в тепловую задачу, которая решается один раз: $T=\mathcal T[\mathcal E[T_0]]$ . Обратное влияние $T$ на свойства игнорируется. Допустимо, когда перегрев мал или свойства слабо зависят от $T$ ; в остальных случаях занижает температуру при заданном токе.

Слабая (итерационная) связь

Задачи решаются поочерёдно до установления: $T_{k+1}=\mathcal T\big[\mathcal E[T_k]\big],\qquad k=0,1,2,\dots$ — итерации неподвижной точки (метод простой итерации). Итерации прекращают, когда изменение решения становится меньше допуска: $\max|T_{k+1}-T_k|<\varepsilon_T$ и одновременно относительное изменение потерь $|P_{k+1}-P_k|/P_k<\varepsilon_P$ . Если итерации колеблются или сходятся медленно, применяют нижнюю релаксацию: вместо $T_{k+1}$ берут $T_k+\omega_{\mathrm р}(T_{k+1}-T_k)$ с $0<\omega_{\mathrm р}<1$ , что гасит колебания ценой большего числа шагов.

Сильная (монолитная) связь

Электромагнитные и тепловые уравнения записываются как одна нелинейная система относительно всех неизвестных сразу и решаются совместно, например методом Ньютона. Сходимость быстрее и надёжнее, особенно при сильной обратной связи, но система больше и требует производных потерь по температуре. В нестационарных задачах с разными масштабами времени (электромагнитный период — миллисекунды, тепловой прогрев — минуты) чаще используют слабую связь: потери осредняют за период, а тепловую задачу продвигают крупными шагами.

Какая бы стратегия ни использовалась, в конце проверяется энергетическая согласованность: в стационарном режиме мощность, выделяемая электрически, должна равняться мощности, отводимой через границу тела, $P_{\text{Дж}}=\int_Vq_V\,\dV=\oint_S\uq\cdot\un\,\dS=P_{\text{отв}}.$ Невязка $|P_{\text{Дж}}-P_{\text{отв}}|/P_{\text{Дж}}$ служит мерой сходимости итераций и точности численного решения. Если она не уменьшается с ростом числа итераций, значит, либо итерации не сходятся, либо в тепловой или электромагнитной модели есть ошибка в граничных условиях.

Учебная задача: провод с током

Соберём всё на модели, которую решает лаборатория. Длинный цилиндрический провод радиуса $a$ и длины $\ell$ несёт постоянный ток $I$ . Поверхность провода омывается средой $T_\infty$ с коэффициентом теплоотдачи $\alpha$ . Удельное сопротивление $\rho_{\mathrm э}(T)$ — линейное, теплопроводность $\lambda$ постоянна. Будем работать с величинами на единицу длины (штрих).

Электромагнитный шаг. Ток постоянный, плотность $J=I/(\pi a^2)$ однородна. Сопротивление и потери на единицу длины при температуре $T$ : $R'(T)=\frac{\rho_{\mathrm э}(T)}{\pi a^2},\qquad P'=I^2R'(T),\qquad q_V=\frac{P'}{\pi a^2}.$ Поскольку, как мы увидим, сечение медного провода практически изотермично, достаточно вычислять $\rho_{\mathrm э}$ при температуре поверхности $T_s$ (лаборатория берёт среднюю по сечению температуру $T_s+q_Va^2/(8\lambda)$ , что для меди неотличимо).

Тепловой шаг. Радиальное стационарное поле с однородным $q_V$ (вывод): $T(r)=T_s+\frac{q_V}{4\lambda}\left(a^2-r^2\right),\qquad T_{\text{ц}}-T_s=\frac{q_Va^2}{4\lambda}.$ Температура поверхности находится из баланса: всё выделенное тепло уходит конвекцией через поверхность $2\pi a\ell$ , $P=\alpha\cdot2\pi a\ell\,(T_s-T_\infty)\;\Rightarrow\;T_s=T_\infty+\frac{P'}{2\pi a\alpha}.$

Связь. Подставляя потери в тепловой шаг, получаем отображение $T_{k+1}=g(T_k)$ : $T_{s,k+1}=T_\infty+\frac{I^2R'_0\left[1+\alpha_\rho(T_{s,k}-T_0)\right]}{2\pi a\alpha},\qquad R'_0=\frac{\rho_{\mathrm{э}0}}{\pi a^2}.$ Один проход ( $k=0$ , $T_{s,0}=T_0$ ) — это односторонняя связь; повторение до сходимости — слабая связь.

Сходимость итераций и условие теплового разгона

Положим для простоты $T_0=T_\infty$ и обозначим $\vartheta=T_s-T_\infty$ , $P'_0=I^2R'_0$ , $G'=2\pi a\alpha$ — тепловую проводимость поверхности на единицу длины, Вт/(м·К). Отображение линейно: $\vartheta_{k+1}=\frac{P'_0}{G'}+\kappa\,\vartheta_k,\qquad \kappa=\frac{I^2R'_0\alpha_\rho}{G'}=\frac{\dd P'/\dd T}{\dd P'_{\text{отв}}/\dd T}.$ Число $\kappa$ — отношение скорости роста потерь с температурой к скорости роста теплоотвода. При $\kappa<1$ итерации сходятся как геометрическая прогрессия к неподвижной точке $\vartheta^*=\frac{P'_0/G'}{1-\kappa},$ причём каждая итерация уменьшает ошибку в $1/\kappa$ раз; односторонняя связь даёт лишь первый член $P'_0/G'=(1-\kappa)\vartheta^*$ , то есть занижает перегрев на долю $\kappa$ . При $\kappa\ge1$ стационарного решения нет: потери растут с температурой быстрее, чем их отвод, температура неограниченно возрастает — тепловой разгон. Условие устойчивого режима: $I^2R'_0\,\alpha_\rho<2\pi a\alpha\qquad\text{или}\qquad I<I_{\text{кр}}=\sqrt{\frac{2\pi a\alpha}{R'_0\alpha_\rho}}.$ Для расходящихся итераций нижняя релаксация не помогает: расходятся не итерации, а сама физическая задача. В реальности разгон ограничивают излучение ( $\propto T^4$ ), рост $\alpha$ с перегревом и, в конечном счёте, разрушение изоляции или плавление — но в рамках линейной модели предел достигается при $I_{\text{кр}}$ .

Медный провод: итерации и неподвижная точка

Провод $a=1$ мм, ток $I=30$ А, воздух $T_\infty=20$ °C, $\alpha=15$ Вт/(м²·К); медь $\rho_{\mathrm{э}0}=1{,}72\cdot10^{-8}$ Ом·м при $T_0=20$ °C, $\alpha_\rho=3{,}9\cdot10^{-3}$ 1/К, $\lambda=400$ Вт/(м·К).

Исходные величины: $R'_0=\frac{1{,}72\cdot10^{-8}}{\pi\cdot10^{-6}}=5{,}475\cdot10^{-3}\ \text{Ом/м},\qquad P'_0=I^2R'_0=900\cdot5{,}475\cdot10^{-3}=4{,}927\ \text{Вт/м},$ $G'=2\pi a\alpha=2\pi\cdot10^{-3}\cdot15=0{,}09425\ \text{Вт/(м·К)},\qquad \kappa=\frac{P'_0\alpha_\rho}{G'}=\frac{4{,}927\cdot3{,}9\cdot10^{-3}}{0{,}09425}=0{,}204 .$

Итерации ( $\vartheta_{k+1}=P'_k/G'$ , $R'_k=R'_0(1+\alpha_\rho\vartheta_k)$ ):

$k$	$R'_k$ , мОм/м	$P'_k$ , Вт/м	$\vartheta_{k+1}$ , К	$T_{s,k+1}$ , °C
0 (один проход)	5,475	4,927	52,3	72,3
1	6,591	5,932	62,9	82,9
2	6,819	6,137	65,1	85,1
3	6,865	6,179	65,6	85,6

Точное решение: $\vartheta^*=52{,}28/(1-0{,}204)=65{,}7$ К, $T_s^*=85{,}7$ °C, $P'^*=6{,}19$ Вт/м. Односторонняя связь занизила перегрев на $13{,}4$ К, то есть на $20$ % ( $=\kappa$ ); три итерации дают ошибку $0{,}1$ К. Проверка баланса в неподвижной точке: $P'_{\text{отв}}=G'\vartheta^*=0{,}09425\cdot65{,}7=6{,}19$ Вт/м $=P'^*$ .

Перепад по сечению: $q_V=P'^*/(\pi a^2)=6{,}19/(3{,}14\cdot10^{-6})=1{,}97\cdot10^6$ Вт/м³, $T_{\text{ц}}-T_s=1{,}97\cdot10^6\cdot10^{-6}/(4\cdot400)=1{,}2\cdot10^{-3}$ К. Сечение изотермично, как и предполагалось; вся тепловая задача свелась к балансу на поверхности.

Критический ток: $I_{\text{кр}}=\sqrt{0{,}09425/(5{,}475\cdot10^{-3}\cdot3{,}9\cdot10^{-3})}=\sqrt{4414}=66{,}4$ А. Уже при $I=60$ А $\kappa=0{,}816$ , и перегрев в линейной модели достигает $1130$ К — заведомо за пределами применимости и модели, и изоляции провода. При удвоении тока потери при опорной температуре выросли вчетверо, а перегрев — в $17$ раз: так проявляется обратная связь.

Лаборатория

Лаборатория воспроизводит разобранную задачу: цилиндрический провод радиуса $a$ с током $I$ , $\rho_{\mathrm э}(T)=\rho_{\mathrm{э}0}[1+\alpha_\rho(T-T_0)]$ при $T_0=20$ °C, конвекция $\alpha$ на поверхности при $T_\infty$ . Итерации начинаются с $T_s=T_\infty$ ; на каждом шаге по текущей средней температуре сечения вычисляются $R'$ и потери $P'=I^2R'(T)$ , затем аналитически — радиальное температурное поле при однородном $q_V$ и новые $T_s$ , $T_{\text{ц}}$ , затем новое $R'$ . Два режима: один проход (без обратной связи) и итерации до сходимости по заданному допуску на $T_s$ . Выводятся $T_s$ , $T_{\text{ц}}$ , $R'$ , $P'$ , отводимая конвекцией мощность, невязка баланса $P'_{\text{Дж}}-P'_{\text{конв}}$ , число итераций, $\kappa$ , $I_{\text{кр}}$ и предупреждение о расходимости (тепловой разгон); графики истории итераций $T_s$ , $T_{\text{ц}}$ , $P'$ и профиль $T(r)$ .

Открыть опыт: Связанная электротепловая задача

Что стоит проделать:

Введите данные примера и сравните режимы «один проход» и «итерации»: разница температур поверхности должна составить около $13$ К, а невязка баланса в режиме одного прохода — около $20$ % потерь.
Наблюдайте за историей итераций: отношение соседних поправок $(\vartheta_{k+1}-\vartheta_k)/(\vartheta_k-\vartheta_{k-1})$ равно $\kappa$ . Увеличивайте ток и следите, как $\kappa$ растёт, а число итераций до заданного допуска увеличивается.
Приблизьтесь к $I_{\text{кр}}$ : при $\kappa\to1$ число итераций стремится к бесконечности, а при $I>I_{\text{кр}}$ появляется предупреждение о разгоне. Проверьте, что $I_{\text{кр}}$ растёт как $\sqrt{a^3\alpha}$ : удвоение $\alpha$ (обдув) увеличивает допустимый ток лишь в $1{,}41$ раза, а удвоение радиуса — в $2{,}8$ раза.
Заметьте, что $T_{\text{ц}}-T_s=q_Va^2/(4\lambda)=P'/(4\pi\lambda)$ при заданных потерях на единицу длины от радиуса не зависит: меняйте $a$ при постоянном $P'$ и убедитесь в этом. Затем уменьшите $\lambda$ до $1$ Вт/(м·К) (условный материал): при $P'\approx6$ Вт/м перепад составит около $0{,}5$ К, и парабола $T(r)$ станет отчётливо видна.

Распространённые заблуждения

«Один проход достаточно точен». При заданном токе односторонняя связь всегда занижает температуру, причём относительная ошибка равна $\kappa=\alpha_\rho\vartheta_1$ — произведению температурного коэффициента на перегрев, полученный в одном проходе. При $\vartheta_1=50$ К для меди это уже $20$ %; при $100$ К — $39$ %. Перегрев обмоток электрических машин как раз такого порядка.
Забытая зависимость $\delta$ от $\sigma(T)$ . В задачах с вихревыми токами нагрев увеличивает глубину проникновения и перераспределяет потери по сечению; расчёт потерь при $20$ °C ошибается не только в величине, но и в распределении $q_V$ .
Расходимость итераций принимают за численную проблему. Если $\kappa\ge1$ , итерации расходятся потому, что стационарного решения не существует физически. Релаксация и «более точный решатель» здесь не помогут — нужно менять конструкцию: снижать ток, улучшать охлаждение, увеличивать сечение.
Пренебрежение балансом. Совпадение $P_{\text{Дж}}$ и $P_{\text{отв}}$ — не роскошь, а обязательный критерий сходимости связанной задачи. Температура может «почти не меняться» от итерации к итерации при $\kappa$ , близком к единице, хотя до решения ещё далеко; невязка баланса выявит это.
Смешение режимов питания. При заданном напряжении обратная связь отрицательна: нагрев уменьшает ток и потери, и односторонняя связь завышает температуру. Прежде чем судить о знаке ошибки, нужно понять, что именно поддерживается постоянным.

Вопросы и упражнения

Повторите расчёт примера для алюминиевого провода того же радиуса ( $\rho_{\mathrm{э}0}=2{,}8\cdot10^{-8}$ Ом·м, $\alpha_\rho=4{,}0\cdot10^{-3}$ 1/К) при $I=30$ А. Найдите $\kappa$ , $\vartheta^*$ и $I_{\text{кр}}$ . Почему алюминий ближе к разгону, чем медь, при одинаковом токе?
Провод из примера питается не от источника тока, а от источника напряжения, подобранного так, что при $20$ °C ток равен $30$ А. Запишите отображение $g(\vartheta)$ для этого случая, найдите неподвижную точку и покажите, что односторонняя связь завышает перегрев.
Выведите условие теплового разгона для провода, охлаждаемого одновременно конвекцией и излучением (линеаризованным через $\alpha_{\text{изл}}$ ). Как изменится $I_{\text{кр}}$ из примера при $\alpha_{\text{изл}}=6$ Вт/(м²·К)?
Обмотка трансформатора рассчитана с односторонней связью: перегрев $80$ К при $\alpha_\rho=3{,}9\cdot10^{-3}$ 1/К. Оцените истинный перегрев при заданном токе, считая теплоотвод линейным. На сколько процентов занижены потери?
В задаче с вихревыми токами на частоте $50$ Гц медная пластина нагрелась от $20$ до $120$ °C. Как изменились $\delta$ и потери на единицу площади при заданной амплитуде внешнего поля $H_0$ в режиме $h\gg\delta$ (потери $\propto\sqrt{\rho_{\mathrm э}}$ )? Сравните с ростом потерь при заданном токе.
Итерации связанной задачи дают последовательность перегревов $40{,}0$ ; $52{,}0$ ; $55{,}6$ ; $56{,}7$ К. Оцените $\kappa$ и предел последовательности, не продолжая итераций.

Ответы к пунктам 1, 4 и 6

1. $R'_0=2{,}8\cdot10^{-8}/(\pi\cdot10^{-6})=8{,}913\cdot10^{-3}$ Ом/м, $P'_0=8{,}02$ Вт/м, $G'=0{,}09425$ Вт/(м·К); $\kappa=8{,}02\cdot4{,}0\cdot10^{-3}/0{,}09425=0{,}340$ ; $\vartheta^*=(8{,}02/0{,}09425)/(1-0{,}340)=85{,}1/0{,}660=129$ К. $I_{\text{кр}}=\sqrt{0{,}09425/(8{,}913\cdot10^{-3}\cdot4{,}0\cdot10^{-3})}=51{,}4$ А. Удельное сопротивление алюминия в $1{,}63$ раза больше — при том же токе больше потери и их производная по температуре.

4. Для линейного теплоотвода $\kappa=\alpha_\rho\vartheta_1=3{,}9\cdot10^{-3}\cdot80=0{,}312$ , истинный перегрев $\vartheta^*=\vartheta_1/(1-\kappa)=80/0{,}688=116$ К — на $36$ К больше расчётного. Истинные потери больше расчётных в $1+\alpha_\rho\vartheta^*=\vartheta^*/\vartheta_1=1{,}45$ раза, то есть односторонний расчёт занизил их на $31$ %. Такая ошибка недопустима; при перегреве $80$ К итерационный учёт обратной связи обязателен.

6. Разности: $12{,}0$ ; $3{,}6$ ; $1{,}1$ — отношения $0{,}30$ и $0{,}31$ , $\kappa\approx0{,}30$ . Предел геометрической прогрессии: $56{,}7+1{,}1\cdot0{,}30/(1-0{,}30)\approx57{,}2$ К.

Итоги

Потери — Джоуля $\uJ\cdot\uE=|\uJ|^2/\sigma$ (для гармоник среднее $\tfrac12|\cplx J|^2/\sigma$ ), от вихревых токов, на гистерезис, диэлектрические — входят в тепловую задачу как объёмный источник $q_V$ ; их интеграл должен совпадать с мощностью со стороны цепи.
Температура влияет обратно: $\rho_{\mathrm э}(T)=\rho_{\mathrm{э}0}[1+\alpha_\rho(T-T_0)]$ (медь $3{,}9\cdot10^{-3}$ 1/К) меняет потери и глубину проникновения $\delta\propto\sqrt{\rho_{\mathrm э}}$ ; $\lambda$ и кривая $B$ – $H$ тоже зависят от $T$ .
Односторонняя связь решает задачи по очереди один раз и при заданном токе занижает температуру; слабая связь итерирует $T_{k+1}=\mathcal T[\mathcal E[T_k]]$ до сходимости с проверкой невязки баланса; сильная связь решает всё совместно.
Для провода итерации линейны с множителем $\kappa=I^2R'_0\alpha_\rho/(2\pi a\alpha)$ : при $\kappa<1$ они сходятся к $\vartheta^*=\vartheta_1/(1-\kappa)$ , при $\kappa\ge1$ наступает тепловой разгон — стационарного режима нет.
Критерий правильности любой связанной задачи — энергетическая согласованность: выделенная электрически мощность равна отведённой тепловой.

Далее — основы численного моделирования полей: как краевые задачи этого курса превращаются в системы алгебраических уравнений.