Электрическое поле тока · Плоскопараллельная

Распределение тока в проводнике переменного сечения

Проводник с боковым прямоугольным вырезом связывает привычное правило сопротивления участка с двумерным перераспределением тока. В узком месте средняя плотность тока возрастает, но переход к этому месту создаёт дополнительную неоднородность. По этой причине сумма сопротивлений трёх прямоугольных участков даёт полезную оценку снизу, однако не заменяет решение поля. Пример подходит для обсуждения шин, токоподводов и геометрических концентраторов.

Выбрана внешняя область 121 × 293 мм и боковой вырез 71 × 50 мм. Нижняя и верхняя границы выреза находятся на высоте 123 и 173 мм. Небольшое смещение выреза относительно середины намеренно сохранено, чтобы не полагаться на избыточное условие симметрии. Глубина 1 м служит явной нормировкой: расчёт описывает сопротивление и мощность метровой полосы, а не неуказанную толщину реального изделия.

Самостоятельная учебная модель FEMM 5: от физических соотношений к полевому решению и проверке результата.

Допущения и устройство учебной модели

Все размеры, свойства материалов и условия возбуждения заданы ниже. Численные результаты относятся к опубликованной версии модели FEMM 5.

Физическая и математическая постановка

Уравнение проводимости и нормировка по глубине

Удельное сопротивление в данном примере необычно велико для металлической шины: 0.0097784 Ом м. Оно сохранено как учебный параметр источника. Электропроводность равна обратной величине. Напряжение 10 В задано на верхнем торце, нижний торец имеет нулевой потенциал; боковые стенки и стенки выреза не выпускают ток.

Программа принимает глубину 1 м и прямо сообщает этот выбор. Ток и мощность относятся к этой глубине. Для другой постоянной глубины ток и мощность пропорциональны глубине, а сопротивление обратно пропорционально ей. Распределение потенциала и плотность тока от этой нормировки не меняются. Перед переносом вывода на изделие следует подставить его фактическую толщину.

\gamma=1/\rho,\quad \nabla\!\cdot(\gamma\nabla U)=0,\quad R=\Delta U/I

Интегральная проверка и локальное поле

Для контрольной оценки представьте каждый горизонтальный слой отдельным прямоугольным сопротивлением с равномерным током. Суммарная высота широких участков составляет 243 мм, высота узкого — 50 мм, ширина узкого участка — 50 мм. Получается нижняя энергетическая граница сопротивления. Двумерное растекание увеличивает потери и сопротивление относительно этой идеализированной оценки.

Три сетки с ограничениями 8, 4 и 2 мм проверяют устойчивость сопротивления и плотности тока в точке (96,148) мм. Точка находится внутри шейки и удалена от входящих углов. Допуск по сопротивлению равен 0.5 процента, по этой локальной плотности — 1 процент. На каждой сетке дополнительно проверяются баланс токов и равенство мощности джоулевых потерь и мощности источника питания. Максимум в идеальном углу не используется как критерий приёмки.

R\ge\frac{\rho}{d}\left(\frac{0.243}{0.121}+\frac{0.050}{0.050}\right)

Исходные данные

Прямоугольник 121 × 293 мм с боковым вырезом 71 × 50 мм; вырез 123 ≤ y ≤ 173 мм; глубина 1 м.

Величины, единицы и происхождение параметров
Параметр	Значение	Единица	Происхождение
Габарит	121 × 293	мм	Заданный параметр учебной модели
Вырез	71 × 50	мм	Заданный параметр учебной модели
Границы выреза y	123; 173	мм	Заданный параметр учебной модели
Удельное сопротивление	0,009778	Ом м	Заданный параметр учебной модели
Напряжение	10	В	Заданный параметр учебной модели
Глубина	1	м	Заданный параметр учебной модели

Порядок воспроизведения

Создайте отдельную рабочую папку и поместите в неё reproduce.py. Откройте программу во встроенном редакторе Python FEMM 5. Команды ci_, co_, hi_* и ho_* уже доступны в этой среде; внешний пакет pyFEMM здесь не требуется. Запустите файл целиком. Программа сама создаст новую папку calculated-XX, поэтому повторный опыт не уничтожит предыдущую серию.
Проследите три последовательных построения. Перед каждым решением программа записывает самостоятельную модель, закрывает документ и повторно открывает этот файл. Такое действие проверяет сохранение геометрии, свойств и русских имён. Для каждой сетки остаются входная модель, расчётное решение и запись численных показателей. Откройте окончательную модель вручную, чтобы сопоставить контуры, материалы и граничные условия с таблицей параметров.
Откройте result.json из новой папки. records содержит результаты каждой сетки, checks — проверяемую величину, допустимое значение и логический итог. Переходите к обсуждению физики после выполнения всех проверок. Само уменьшение невязки линейного решателя ещё не доказывает достаточность сетки: отдельно сравниваются интегральные характеристики двух последних дискретизаций.
Изменяйте один физический параметр за опыт и сохраняйте отдельную серию. Сравнивайте результаты при одинаковой длине, глубине и температурном соглашении. В отчёте приведите постановку, таблицу трёх сеток, результат независимой проверки и объяснение оставшегося расхождения.

Скачайте нужные файлы по отдельным ссылкам ниже в одну рабочую папку, затем откройте reproduce.py во встроенном Python FEMM 5 и выполните его. Сохраните имена файлов и структуру подпапок. Условия конкретного запуска и путь новых результатов указаны в комментариях программы.

Программа встроенного Python FEMM 5

"""Постоянный ток в проводнике с боковым вырезом.
Среда: встроенный MicroPython FEMM 5; команды FEMM доступны как глобальные функции.
Модель создаётся заново, сохраняется, закрывается и повторно открывается до расчёта.
Размеры геометрии заданы в миллиметрах; интегральные результаты имеют единицы СИ.
Каждый запуск создаёт новый calculated-XX рядом с программой и не меняет прежние
модели, результаты и квитанции. Все входные параметры заданы непосредственно в программе.
Область применимости и принятые допущения описаны в README.md.
"""

import os
import sys
import math
import json

script = globals().get("__file__", "") or (sys.argv[0] if sys.argv else "")
base = os.path.dirname(os.path.abspath(script)) if script else os.getcwd()
index = 1
while "calculated-%02d" % index in os.listdir(base):
    index += 1
directory = base + "/calculated-%02d" % index
os.mkdir(directory)
records = []
checks = []


def real(value):
    if isinstance(value, (list, tuple)):
        return real(value[0])
    return complex(value).real


def check(name, value, limit):
    checks.append(
        {
            "name": name,
            "value": value,
            "limit": limit,
            "passed": math.isfinite(value) and value <= limit,
        }
    )


MESHES = (8, 4, 2)
DEPTH_MM = 1000
MATERIAL = "Проводник переменного сечения"
SIGMA = 1 / 0.0097784
VOLTAGE = 10
LABEL_X = 100
LABEL_Y = 146


def polygon(points):
    for x, y in points:
        ci_addnode(x, y)
    for number, (x, y) in enumerate(points):
        x2, y2 = points[(number + 1) % len(points)]
        ci_addsegment(x, y, x2, y2)


def terminal(x, y, name, mesh):
    ci_selectsegment(x, y)
    ci_setsegmentprop("<None>", mesh, 0, 0, 0, name)
    ci_clearselected()


def circle(radius, conductor, angle):
    ci_addnode(-radius, 0)
    ci_addnode(radius, 0)
    ci_addarc(-radius, 0, radius, 0, 180, angle)
    ci_addarc(radius, 0, -radius, 0, 180, angle)
    ci_selectarcsegment(0, radius)
    ci_selectarcsegment(0, -radius)
    ci_setarcsegmentprop(angle, "<None>", 0, 0, conductor)
    ci_clearselected()


for level, mesh in enumerate(MESHES):
    newdocument(3)
    ci_probdef("millimeters", "planar", 0, 1e-10, DEPTH_MM, 30)
    ci_addmaterial(MATERIAL, SIGMA, SIGMA, 1, 1, 0, 0)
    ci_addconductorprop("Входной электрод", VOLTAGE, 0, 1)
    ci_addconductorprop("Выходной электрод", 0, 0, 1)
    polygon(
        [
            (0, 0),
            (121, 0),
            (121, 293),
            (0, 293),
            (0, 173),
            (71, 173),
            (71, 123),
            (0, 123),
        ]
    )
    terminal(60, 293, "Входной электрод", mesh)
    terminal(60, 0, "Выходной электрод", mesh)
    ci_addblocklabel(LABEL_X, LABEL_Y)
    ci_selectlabel(LABEL_X, LABEL_Y)
    ci_setblockprop(MATERIAL, 0, mesh, 1)
    ci_clearselected()
    model = directory + "/model-%02d.fec" % (level + 1)
    ci_saveas(model)
    ci_close()
    # Проверяется именно записанная версия с кириллическими именами.
    opendocument(model)
    ci_analyze(1)
    ci_loadsolution()
    co_smooth("off")
    potential_in, current_in = co_getconductorproperties("Входной электрод")
    potential_out, current_out = co_getconductorproperties("Выходной электрод")
    current = abs(complex(current_in))
    co_groupselectblock(1)
    power = real(co_blockintegral(0))
    co_clearblock()
    balance = abs(complex(current_in) + complex(current_out)) / current
    power_error = abs(power - VOLTAGE * current) / (VOLTAGE * current)
    row = {
        "mesh_mm": mesh,
        "model": "model-%02d.fec" % (level + 1),
        "nodes": co_numnodes(),
        "elements": co_numelements(),
        "I_A": current,
        "R_ohm": VOLTAGE / current,
        "P_W": power,
        "current_balance_relative": balance,
        "power_balance_relative": power_error,
    }
    values = co_getpointvalues(96, 148)
    row["J_neck_A_m2"] = math.sqrt(
        abs(complex(values[1])) ** 2 + abs(complex(values[2])) ** 2
    )
    records.append(row)
    check("Баланс токов, сетка %d" % (level + 1), balance, 1e-6)
    check("Баланс мощности, сетка %d" % (level + 1), power_error, 1e-6)
    co_close()
    ci_close()
check(
    "Сходимость сопротивления",
    abs(records[-1]["R_ohm"] / records[-2]["R_ohm"] - 1),
    0.005,
)
check(
    "Сходимость плотности тока вдали от входящего угла",
    abs(records[-1]["J_neck_A_m2"] / records[-2]["J_neck_A_m2"] - 1),
    0.01,
)
# Нижняя граница следует из одномерной цепи с равномерным током в каждом сечении.
lower = 0.0097784 * (0.243 / 0.121 + 0.050 / 0.050)
check(
    "Вариационная нижняя граница сопротивления",
    max(0, lower / records[-1]["R_ohm"] - 1),
    1e-6,
)

result = {
    "runtime": "FEMM 5.0; embedded MicroPython",
    "records": records,
    "checks": checks,
    "passed": all(item["passed"] for item in checks),
}
with open(directory + "/result.json", "w") as output:
    json.dump(result, output)
print(json.dumps(result))
assert result["passed"]

Картина рассчитанного поля

Потенциал, В: model-03.anc — Визуализация сохранённого решения FEMM 5 model-03.anc. Электрический потенциал по сохранённым узловым значениям. Показана расчётная область. Контуры деталей взяты из той же модели. Области вне сохранённых треугольников не заполняются. Это научный график сохранённых данных. Нажмите на карту, чтобы открыть её отдельно и увеличить.

Окна FEMM 5

Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.

Рабочая область модели «Распределение тока в проводнике переменного сечения». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Распределение тока в проводнике переменного сечения». Модуль потенциала |V|, В, и эквипотенциали проводника переменного сечения при постоянном токе. Открыть в полном размере

Результаты и численные проверки

Сохранено решений FEMM: 3. Выполнено проверок: 9. Полная точность чисел и условия сравнения доступны в таблицах результатов JSON.

Результаты расчётов и производные итоги
Ток, А	Масштаб сетки, мм	Узлов	Мощность, Вт	Элементов	Плотность тока в сужении, А/м²	Относительная невязка тока	Сопротивление, Ом	Относительная невязка мощности	Модель
275,85236	8	3126	2758,5236	5952	5498,9847	3,8874189 × 10⁻⁹	0,036251276	4,1378038 × 10⁻⁹	model-01.fec
275,85256	4	3168	2758,5256	6024	5498,9893	2,9615226 × 10⁻⁹	0,036251249	4,0673524 × 10⁻⁹	model-02.fec
275,71929	2	9664	2757,1929	18782	5448,9948	178,90529 × 10⁻¹²	0,036268772	2,1286849 × 10⁻⁹	model-03.fec

Проверки опубликованного расчёта
Критерий	Получено	Допуск или ожидаемое значение	Итог
Баланс токов, сетка 1	3,887 × 10⁻⁹	1e-06	Выполнен
Баланс мощности, сетка 1	4,138 × 10⁻⁹	1e-06	Выполнен
Баланс токов, сетка 2	2,962 × 10⁻⁹	1e-06	Выполнен
Баланс мощности, сетка 2	4,067 × 10⁻⁹	1e-06	Выполнен
Баланс токов, сетка 3	178,9 × 10⁻¹²	1e-06	Выполнен
Баланс мощности, сетка 3	2,129 × 10⁻⁹	1e-06	Выполнен
Сходимость сопротивления	483,4 × 10⁻⁶	0,005	Выполнен
Сходимость плотности тока вдали от входящего угла	0,009092	0,01	Выполнен
Вариационная нижняя граница сопротивления	0	1e-06	Выполнен

Допуски относятся к указанной учебной задаче и способу сравнения. Число показанных цифр не означает такой же физической точности.

Модели, решения и программа

Для нового расчёта сохраните программу, модели и необходимые данные в одну рабочую папку, сохраняя структуру подпапок.

Файл результатов: README.md9504 байт
Решение электрического тока: model-01.anc289352 байт
Модель электрического тока: model-01.fec1291 байт
Решение электрического тока: model-02.anc292615 байт
Модель электрического тока: model-02.fec1291 байт
Решение электрического тока: model-03.anc923417 байт
Модель электрического тока: model-03.fec1291 байт
Программа встроенного Python: reproduce.py5760 байт
Файл результатов: verification.json912 байт

Полные численные результаты

Границы применимости

Острые входящие углы идеализированы. Без скругления и тепловой задачи найденная точечная плотность тока не определяет допустимый длительный ток изделия.
Проверены сохранение, повторное открытие и расчёт точных файлов в FEMM 5.0 06Oct2026 со встроенным MicroPython. Проверка относится к данной учебной версии и к указанным численным критериям. Снимки интерфейса FEMM выполняются отдельным согласованным проходом.
Постановка, объяснения и встроенная программа образуют самостоятельную лабораторную работу курса. Перед расчётом реального изделия необходимо уточнить геометрию, свойства, нагрузку и условия охлаждения.