Линейные и нелинейные материалы и параметры постоянного магнита

Среда замыкает систему

В предыдущем уроке мы убедились, что уравнений Максвелла меньше, чем неизвестных: они описывают структуру поля, но не отклик вещества. Недостающие связи между «силовыми» векторами $\uE$, $\uH$ и «потоковыми» $\uD$, $\uB$, $\uJ$ даёт среда. Эти связи называют материальными уравнениями; они феноменологические — получены из опыта, а не выведены из первых принципов, — и именно в них сосредоточена вся «инженерия»: марка стали, сорт изоляции, температура проводника.

Вторая тема урока — границы раздела. Внутри однородной среды поле гладкое, и дифференциальные уравнения справедливы. На поверхности, где $\varepsilon$, $\mu$, $\sigma$ или $\lambda$ меняются скачком, производные теряют смысл, и поле тоже испытывает скачок. Какие именно составляющие поля непрерывны, а какие — нет, определяют не новые законы, а те же уравнения Максвелла в интегральной форме, применённые к бесконечно тонкому слою у границы. Тепловое поле подчиняется тем же правилам, что делает его естественной частью этого урока.

Материальные уравнения

Первые три уравнения можно записать и через отклик вещества: $\uD=\varepsilon_0\uE+\vec P$, где $\vec P$ — поляризованность (дипольный момент единицы объёма, Кл/м²), и $\uB=\mu_0(\uH+\vec M)$, где $\vec M$ — намагниченность (А/м). В линейной среде $\vec P=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\uE$ и $\vec M=(\mu_r-1)\uH$, так что обе формы равносильны. Форма с $\vec M$ незаменима для постоянных магнитов, где $\vec M\ne0$ при $\uH=0$ (урок о магнитных цепях).

Второе уравнение — закон Ома в локальной (дифференциальной) форме: плотность тока пропорциональна напряжённости в той же точке. Величина $\rho_{\mathrm э}=1/\sigma$ — удельное сопротивление (Ом·м). Закон Фурье формально устроен так же, как $\uJ=-\sigma\nabla \varphi$: поток пропорционален минус градиенту «потенциала», и это сходство позволит в модуле M8 переносить электрические методы на тепловые задачи.

Значения ориентировочные; для расчётов следует брать данные конкретной марки материала при рабочей температуре.

Классификация сред

Три независимых признака описывают, насколько «простой» является среда.

Однородные и неоднородные

Среда однородна, если её параметры не зависят от координат: $\varepsilon=\mathrm{const}$ и т. д. Тогда $\nabla\cdot (\varepsilon\nabla \varphi)=\varepsilon\Delta\varphi$, и уравнение Пуассона принимает простейший вид. В неоднородной среде $\varepsilon(\ur)$ остаётся под знаком дивергенции. Кусочно-однородная среда — набор однородных областей с границами раздела — важнейший практический случай, и к нему относится вторая половина урока.

Изотропные и анизотропные

Среда изотропна, если её свойства одинаковы по всем направлениям: вектор $\uD$ параллелен $\uE$, $\uq$ параллелен $-\nabla T$. В анизотропной среде коэффициент пропорциональности — тензор второго ранга: $$D_i=\sum_{k}\varepsilon_{ik}E_k,\qquad q_i=-\sum_k\lambda_{ik}\frac{\partial T}{\partial x_k}.$$ Тензоры $\varepsilon_{ik}$, $\lambda_{ik}$ симметричны, и в главных осях матрица диагональна. Типичный инженерный источник анизотропии — слоистость.

Линейные и нелинейные

Среда линейна, если коэффициенты не зависят от самого поля. Для большинства диэлектриков и проводников это выполняется с высокой точностью вплоть до пробивных напряжённостей. Ферромагнетики — главное исключение: кривая $B(H)$ при малых $H$ крутая ($\mu_r\sim10^3$…$10^4$), а при насыщении ($B\gtrsim1{,}5$…$2$ Тл) выходит на наклон $\mu_0$. Говорить о «проницаемости стали» без указания рабочей точки бессмысленно; различают секущую $\mu=B/H$ и дифференциальную $\mu_{\mathrm{диф}}=\dd B/\dd H$ проницаемости. Нелинейность другого рода — зависимость свойств от температуры: $\lambda(T)$ и особенно $\sigma(T)$. Для металлов $$\rho_{\mathrm э}(T)=\rho_{\mathrm э 0}\bigl[1+\alpha_\rho(T-T_0)\bigr],$$ где для меди $\alpha_\rho\approx3{,}9\cdot10^{-3}$ 1/К: нагрев на 100 К увеличивает сопротивление на 39 %. Это связывает электрическую задачу с тепловой (урок о связанных задачах). Формально при нелинейности уравнения поля остаются теми же, но коэффициенты зависят от решения, что требует итерационных методов.

Условия на границе раздела

Пусть поверхность $S$ разделяет среды 1 и 2, а единичная нормаль $\un$ направлена из среды 1 в среду 2 (то же соглашение принято в лаборатории). Индексом $n$ обозначим составляющую вектора вдоль $\un$, индексом $t$ — касательную к поверхности. Дифференциальные уравнения на $S$ неприменимы, но интегральные законы справедливы для любой области, в том числе пересекающей границу.

Нормальные составляющие: цилиндр

Возьмём малый цилиндр («таблетку») с основаниями площадью $\Delta S$, параллельными $S$, по одному в каждой среде, и высотой $h\to0$. Поток через боковую поверхность исчезает вместе с $h$, остаются потоки через основания: $(F_{2n}-F_{1n})\Delta S$ для любого вектора $\vec F$ (внешняя нормаль основания в среде 2 совпадает с $\un$, в среде 1 противоположна ей).

Касательные составляющие: контур

Возьмём прямоугольный контур со сторонами $\Delta l$, параллельными $S$ (по одной в каждой среде), и высотой $h\to0$. Площадь контура $\Delta l\cdot h$ стремится к нулю, поэтому поток любой конечной величины через него исчезает. Циркуляция вектора $\vec F$ сводится к $(F_{2t}-F_{1t})\Delta l$, где $t$ — направление длинной стороны, а обход выбран так, что сторона в среде 2 проходится вдоль $\vec t$.

Сведём результаты в таблицу. Непрерывны ровно те составляющие, для которых соответствующий интегральный закон не имеет поверхностного источника.

Закон преломления линий поля

Пусть на границе нет поверхностных источников ($\sigma_s=0$, $K=0$). Обозначим $\alpha_1$, $\alpha_2$ углы между линией поля и нормалью в средах 1 и 2. Для электрического поля $\operatorname{tg}\alpha=E_t/E_n$. Из $E_{1t}=E_{2t}$ и $\varepsilon_1E_{1n}=\varepsilon_2E_{2n}$:

Линии поля отклоняются от нормали в среде с большим коэффициентом: там, где $\varepsilon$ (или $\mu$, $\sigma$, $\lambda$) больше, поле «ложится» вдоль границы, а в среде с малым коэффициентом подходит к границе почти перпендикулярно. Предельный случай $\mu_2/\mu_1\to\infty$ объясняет, почему линии $\uB$ выходят из поверхности стали в воздух практически по нормали — этим пользуются при построении картин поля магнитных цепей.

Граница проводников при стационарном токе

Пусть ток течёт поперёк границы двух проводников с разными $\sigma$ и $\varepsilon$. Непрерывность $J_n$ даёт $E_{1n}=J_n/\sigma_1$, $E_{2n}=J_n/\sigma_2$, откуда $$\sigma_s=D_{2n}-D_{1n}=J_n\left(\frac{\varepsilon_2}{\sigma_2}-\frac{\varepsilon_1}{\sigma_1}\right).$$ Если $\varepsilon_1/\sigma_1\ne\varepsilon_2/\sigma_2$, на границе обязательно накапливается поверхностный заряд. Он не задаётся извне, а устанавливается сам в течение времени релаксации $\tau=\varepsilon/\sigma$ (для металлов $\sim10^{-19}$ с, для масла — секунды) ровно таким, чтобы обеспечить непрерывность тока. Это ключевое отличие от электростатики, где $\sigma_s$ — независимый источник. Пусть среда 1 — медь, среда 2 — сталь, ток течёт из меди в сталь (вдоль $\un$, $J_n=+10^6$ А/м²), $\varepsilon_1=\varepsilon_2=\varepsilon_0$: $$\sigma_s=10^6\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\left(\frac1{5\cdot10^6}-\frac1{5{,}8\cdot10^7}\right)\approx+1{,}6\cdot10^{-12}\ \text{Кл/м}^2 .$$ Заряд ничтожен, но создаваемый им скачок $E_{2n}-E_{1n}=J_n(1/\sigma_2-1/\sigma_1)\approx0{,}18$ В/м — это и есть то, что гонит ток в менее проводящей стали. Знак подчиняется простому правилу: вдоль направления тока $E_n$ возрастает при входе в худший проводник, и по теореме Гаусса заряд на границе положителен; при переходе из худшего проводника в лучший $E_n$ убывает и заряд отрицателен.

Если же среда 2 — идеальный диэлектрик ($\sigma_2=0$), то $J_{2n}=0$, значит и $J_{1n}=0$: в проводнике у границы ток течёт строго вдоль поверхности, $E_{1n}=0$. В диэлектрике при этом $E_{2n}=\sigma_s/\varepsilon_2$ может быть каким угодно — он определяется зарядом, накопившимся на поверхности, а не током. Поэтому в задачах о стационарном токе границу проводник–изоляция моделируют условием $J_n=0$ и не заботятся о внешнем электрическом поле.

Лаборатория

Лаборатория показывает плоскую границу раздела и линию поля, пересекающую её под заданным углом. Четыре вкладки соответствуют четырём строкам таблицы выше: электрическое поле ($\uE$, $\uD$; параметры $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$ и поверхностный заряд $\sigma_s$), магнитное поле ($\uB$, $\uH$; $\mu_1$, $\mu_2$ и поверхностный ток $K$), стационарный ток ($\uJ$, $\uE$; $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\varepsilon_{r1}$, $\varepsilon_{r2}$ — показана накапливающаяся на границе поверхностная плотность заряда) и тепловое поле ($\uq$, $\nabla T$; $\lambda_1$, $\lambda_2$ и контактное сопротивление $R_{\mathrm к}$). Управление: угол падения $\alpha_1$ (от нормали), модуль вектора в среде 1, свойства обеих сред и источник на границе; предустановки соответствуют разобранным в уроке случаям (воздух → диэлектрик, сталь → воздух, медь → сталь). Показания: угол $\alpha_2$, нормальные и касательные составляющие обоих векторов по обе стороны, скачок, обусловленный источником на границе, и отношение $\operatorname{tg}\alpha_1/\operatorname{tg}\alpha_2$.

На какие вопросы отвечает лаборатория:

• Как при $\varepsilon_2/\varepsilon_1\to\infty$ линия поля в среде 2 ложится вдоль границы при любом $\alpha_1$, а при $\varepsilon_2/\varepsilon_1\to0$ выходит из границы почти по нормали?
• Почему при $\sigma_s\ne0$ скачок испытывает только $D_n$, а $E_t$ по-прежнему непрерывна? Что меняется, если на магнитной вкладке задать $K\ne0$?
• На вкладке тока: как знак накапливающегося заряда зависит от того, течёт ли ток из хорошего проводника в плохой или наоборот?
• На тепловой вкладке: как $R_{\mathrm к}$ создаёт скачок $T$ при непрерывном $q_n$?

Итоги

• Материальные уравнения $\uD=\varepsilon\uE$, $\uJ=\sigma\uE$, $\uB=\mu\uH$, $\uq=-\lambda\nabla T$ замыкают систему уравнений поля; среда может быть неоднородной ($\varepsilon(\ur)$), анизотропной (тензор) и нелинейной ($\mu(H)$, $\sigma(T)$).
• Слоистые структуры в крупном масштабе ведут себя как анизотропные среды с разными эффективными коэффициентами вдоль и поперёк слоёв.
• Условия на границе следуют из интегральных законов для исчезающе тонкого цилиндра и контура: непрерывны $D_n$ (при $\sigma_s=0$), $B_n$, $J_n$, $q_n$ и $E_t$, $H_t$ (при $K=0$), $T$ (при $R_{\mathrm к}=0$).
• Закон преломления $\operatorname{tg}\alpha_1/\operatorname{tg}\alpha_2=\varepsilon_1/\varepsilon_2$ (и аналоги с $\mu$, $\sigma$, $\lambda$): линии поля прижимаются к границе в среде с большим коэффициентом и выходят почти по нормали в среде с малым.
• На границе проводников при стационарном токе поверхностный заряд устанавливается сам — так, чтобы $J_n$ была непрерывна.

Граничные условия на поверхностях раздела — лишь часть постановки задачи. Далее — краевые задачи: какие условия надо задать на внешней границе области, чтобы решение существовало и было единственным.