Краевые задачи: граничные условия и единственность

Классифицировать граничные условия Дирихле, Неймана и смешанные. Использовать симметрию и периодичность для сокращения расчётной области. Понимать проблему открытых границ. Объяснить роль опорного потенциала и теорему единственности

Предварительные понятия

Материальные уравнения и границы раздела сред

Уравнения недостаточно

Уравнение Лапласа $\Delta\varphi=0$ имеет бесконечно много решений: в одномерном случае это все линейные функции $\varphi=ax+b$ , в трёхмерном — все гармонические функции, а их столько же, сколько функций на границе области. Дифференциальное уравнение описывает лишь локальное правило («значение в точке равно среднему по соседям»), и само по себе не знает, какой конденсатор, какой трансформатор и какая стенка нас интересуют. Эта информация приходит с границы расчётной области: потенциалы электродов, температура охлаждающей среды, ток в обмотке.

Пара «уравнение в области + условия на её границе» называется краевой задачей. Правильно поставить её — значит задать ровно столько условий, чтобы решение существовало и было единственным. Переизбыток условий делает задачу неразрешимой, недостаток — неопределённой. Этот урок учит выбирать условия по физическому смыслу и объясняет, почему единственность гарантирована.

Краевая задача

Найти функцию $u(\ur)$ (потенциал $\varphi$ , температуру $T$ , компоненту векторного потенциала $A_z$ ), удовлетворяющую в области $V$ уравнению в частных производных $-\nabla\cdot \bigl(k\,\nabla u\bigr)=f ,$ а на границе $S=\partial V$ — заданным граничным условиям. Здесь $k$ — коэффициент среды ( $\varepsilon$ , $\sigma$ , $\lambda$ , $1/\mu$ ), $f$ — плотность источников ( $\rho$ , $0$ , $q_V$ , $J_z$ ). При $f=0$ получается уравнение Лапласа, при $f\ne0$ — Пуассона.

Три типа граничных условий

На каждом участке границы задаётся одно условие одного из трёх типов.

Условие Дирихле (первого рода)

Задано значение самой функции: $u\big|_{S_D}=u_0$ . Электростатика и стационарный ток: потенциал электрода $\varphi=U$ (металл при статике эквипотенциален). Теплопроводность: температура поверхности $T=T_s$ — модель контакта с массивным телом, кипящей жидкостью или интенсивным обдувом, когда $\alpha\to\infty$ . Магнитостатика: $A_z=A_0$ — линия потока вдоль границы (см. ниже).

Условие Неймана (второго рода)

Задана нормальная производная, то есть нормальная составляющая потока: $k\,\partial u/\partial n\big|_{S_N}=g$ . Электростатика: $\varepsilon\,\partial\varphi/\partial n=-D_n$ — задан поверхностный заряд; при $g=0$ линии $\uE$ касаются границы. Стационарный ток: $\sigma\,\partial\varphi/\partial n=-J_n$ ; на границе проводника с изоляцией $J_n=0$ , то есть $\partial\varphi/\partial n=0$ . Теплопроводность: $-\lambda\,\partial T/\partial n=q_n$ — заданная плотность теплового потока (нагреватель); $q_n=0$ — теплоизоляция. Магнитостатика: $\partial A_z/\partial n=0$ — линии потока перпендикулярны границе.

Смешанное условие (третьего рода, Робина)

Задана линейная комбинация функции и её нормальной производной: $k\,\partial u/\partial n+\beta u=\gamma$ . Главный пример — конвективный теплообмен по закону Ньютона–Рихмана: $-\lambda\frac{\partial T}{\partial n}=\alpha\,(T-T_\infty),$ где $\alpha$ — коэффициент теплоотдачи (Вт/(м²·К)), $T_\infty$ — температура среды. Условие связывает неизвестную температуру поверхности с уходящим потоком: ни $T$ , ни $q_n$ заранее не известны, известна лишь их связь. В электродинамике аналогичную роль играет поверхностный импеданс — условие на поверхности хорошего проводника, связывающее касательные составляющие $\uE$ и $\uH$ через глубину проникновения; к нему мы вернёмся в уроке о вихревых токах.

Пределы смешанного условия: при $\alpha\to\infty$ оно переходит в условие Дирихле $T=T_\infty$ , при $\alpha\to0$ — в условие Неймана $q_n=0$ . Это удобный способ проверить правдоподобие расчёта: температура поверхности должна лежать между этими крайними случаями.

Физика	Неизвестная	Дирихле	Нейман ( $g=0$ )	Смешанное
Электростатика	$\varphi$	потенциал электрода	$E_n=0$ : линии касаются границы	—
Стационарный ток	$\varphi$	потенциал контакта	$J_n=0$ : изолированная поверхность	—
Магнитостатика (плоская)	$A_z$	$B_n=0$ : линии потока вдоль границы	$B_t=0$ : линии потока по нормали	—
Теплопроводность	$T$	заданная температура	$q_n=0$ : теплоизоляция	конвекция $\alpha(T-T_\infty)$

Симметрия

Если геометрия, свойства и источники симметричны относительно плоскости, то и решение симметрично (чётно) или антисимметрично (нечётно) относительно неё, и достаточно рассчитать половину области, поставив на плоскости симметрии подходящее условие.

Условия на плоскости симметрии

Пусть плоскость $x=0$ — плоскость симметрии задачи, $\un=\vec e_x$ .

Чётная симметрия ( $u(-x)=u(x)$ ): производная $\partial u/\partial x$ — нечётная функция, и на плоскости она равна нулю: $\partial u/\partial n=0$ — условие Неймана. Для $\varphi$ и $T$ : поле $\uE$ или $\uq$ касается плоскости, через неё ничего не течёт.

Нечётная симметрия ( $u(-x)=-u(x)$ ): сама функция обращается в нуль: $u=0$ — условие Дирихле. Для $\varphi$ : плоскость эквипотенциальна (как между электродами $+U/2$ и $-U/2$ ), поле $\uE$ перпендикулярно ей.

Для векторного потенциала картина обратная по отношению к линиям поля, и это стоит разобрать отдельно. В плоской задаче $\uA=A_z\vec e_z$ , и $\uB=\nabla\times \uA=\dfrac{\partial A_z}{\partial y}\vec e_x-\dfrac{\partial A_z}{\partial x}\vec e_y$ . Отсюда $\uB\cdot\nabla A_z=0$ : индукция касается линий уровня $A_z$ , то есть изолинии $A_z$ — это линии магнитного потока, а разность значений $A_z$ между двумя линиями равна потоку (на единицу длины) между ними.

Граничные условия для $A_z$

На границе с нормалью $\un$ и касательной $\vec t$ (тройка $\un$ , $\vec t$ , $\vec e_z$ — правая): $B_n=\partial A_z/\partial t$ , $B_t=-\partial A_z/\partial n$ . Поэтому:

линии потока параллельны границе ( $B_n=0$ ) $\Leftrightarrow$ $A_z=\mathrm{const}$ вдоль границы — условие Дирихле (обычно $A_z=0$ ). Так ведёт себя поток у поверхности идеального проводника, а также на плоскости нечётной симметрии тока (противоположно направленные токи, как в окне трансформатора);
линии потока перпендикулярны границе ( $B_t=0$ ) $\Leftrightarrow$ $\partial A_z/\partial n=0$ — условие Неймана. Так ведёт себя поток у поверхности среды с $\mu\to\infty$ и на плоскости чётной симметрии тока.

Запомнить просто: для $\varphi$ и $T$ условие Неймана означает «поле вдоль границы», для $A_z$ — «поле поперёк границы», потому что $A_z$ — не потенциал поля, а «функция потока».

Периодичность и антипериодичность

Электрические машины обладают вращательной симметрией с периодом в одно полюсное деление. Если машина имеет $2p$ полюсов, то поле повторяется через угол $2\pi/p$ (пара полюсов) и повторяется с обратным знаком через $\pi/p$ (один полюс): $u(r,\alpha+2\pi/p)=u(r,\alpha)\quad\text{(периодичность)},\qquad u(r,\alpha+\pi/p)=-u(r,\alpha)\quad\text{(антипериодичность)}.$ Эти условия связывают значения на двух разных участках границы расчётного сектора друг с другом, а не с заданным числом; они не относятся ни к одному из трёх классических типов, но так же обеспечивают единственность. Антипериодичность позволяет рассчитывать один полюс вместо целой машины, уменьшая область в $2p$ раз. Для четырёхполюсной машины ( $p=2$ ) расчётный сектор — $90°$ с антипериодическим условием или $180°$ с периодическим.

Открытые границы

Поле уединённого проводника, катушки или нагретого тела простирается до бесконечности, а расчётная область конечна. Границу приходится ставить искусственно, и на ней нужно какое-то условие.

Усечение области. Простейший приём — провести границу на расстоянии $R$ от устройства и задать $\varphi=0$ или $A_z=0$ (Дирихле) либо $\partial u/\partial n=0$ (Нейман). Условие Дирихле «прижимает» поле к нулю раньше, чем это происходит в действительности, и занижает запас энергии; условие Неймана запрещает полю выходить за границу и завышает его. Истинное значение лежит между ними — расчёт с обоими условиями даёт оценку погрешности усечения. Эмпирическое правило: $R$ в 5–10 раз больше характерного размера устройства; достаточность проверяют удвоением $R$ . Насколько быстро убывает поле, зависит от источника: потенциал заряженного тела спадает как $1/r$ (поле — как $1/r^2$ ), поле замкнутой системы токов (магнитного диполя) — как $1/r^3$ , а поле двух параллельных разноимённых токов в плоской задаче — как $1/r^2$ ; чем медленнее спад, тем дальше нужна граница.

Преобразованная внешняя область. Вместо того чтобы отодвигать границу, бесконечную внешность $r>R$ можно отобразить на конечную область инверсией $r'=R^2/r$ : уравнение Лапласа в плоском случае инвариантно к этому преобразованию, и точка $r=\infty$ переходит в центр второго круга. Две области — исходный круг и «вывернутая наизнанку» внешность — сшиваются по окружности $r=R$ , и расчётная область остаётся конечной при точном учёте бесконечности. Родственный приём — асимптотические (или «бесконечные») элементы, в которых решение приближают функциями с правильным убыванием на бесконечности. Подробности этих методов относятся к курсу численного моделирования; здесь важно знать, что проблема открытой границы имеет аккуратные решения, а не только грубое усечение.

Теорема единственности

Почему мы уверены, что правильно поставленная задача не имеет двух разных решений? Ответ даёт энергетическое рассуждение, принадлежащее по существу Грину [Тихонов].

Единственность решения задачи Дирихле–Неймана

Пусть $u_1$ и $u_2$ — два решения уравнения $-\nabla\cdot (k\nabla u)=f$ в области $V$ ( $k>0$ ) с одинаковыми условиями Дирихле на $S_D$ и Неймана на $S_N$ , $S_D\cup S_N=S$ . Тогда $u_1=u_2$ , если $S_D$ непусто; если же $S_D$ пусто (чистая задача Неймана), то $u_1-u_2=\mathrm{const}$ .

Набросок доказательства. Разность $w=u_1-u_2$ удовлетворяет однородному уравнению $\nabla\cdot (k\nabla w)=0$ с нулевыми условиями: $w=0$ на $S_D$ , $k\,\partial w/\partial n=0$ на $S_N$ . По формуле Грина (следствие теоремы Остроградского–Гаусса для вектора $w\,k\nabla w$ ) $\int_V k\,|\nabla w|^2\,\dV=\oint_S w\,k\frac{\partial w}{\partial n}\,\dS-\int_V w\,\nabla\cdot (k\nabla w)\,\dV .$ Второй интеграл справа равен нулю по уравнению; первый — тоже, так как на каждом участке границы нулю равен один из множителей. Слева стоит удвоенная «энергия» поля разности, подынтегральная функция неотрицательна, значит $\nabla w\equiv0$ и $w=\mathrm{const}$ . Если хотя бы в одной точке границы $w=0$ , то $w\equiv0$ всюду.

При смешанном условии с $\beta>0$ (конвекция с $\alpha>0$ ) поверхностный интеграл равен $-\oint\beta w^2\,\dS\le0$ , и вывод сохраняется без всякого участка Дирихле: температура окружающей среды $T_\infty$ сама «привязывает» уровень решения.

Следствия

Опорный потенциал. Потенциал определён с точностью до постоянной: уравнения содержат только $\nabla \varphi$ . Если на всей границе заданы лишь условия Неймана (например, проводник с заданными втекающим и вытекающим токами), решение неопределено на константу, и нужно назначить потенциал хотя бы в одной точке — это и есть «земля», опорный потенциал. Физического содержания у этого выбора нет: все наблюдаемые величины ( $\uE$ , $\uJ$ , напряжения) от него не зависят.

Условие совместности. Для чистой задачи Неймана данные не произвольны: интегрируя уравнение по $V$ , получаем $\oint_S k\,\partial u/\partial n\,\dS=-\int_V f\,\dV$ — суммарный поток через границу должен равняться суммарному источнику. Теплоизолированное тело с внутренним тепловыделением стационарного состояния не имеет: температура растёт неограниченно. В электростатике это условие — теорема Гаусса: поток $\uD$ через границу области должен равняться заряду внутри неё.

Калибровка $A_z$ . В плоской магнитостатике $A_z$ тоже определён с точностью до постоянной (к $\uA$ можно добавить градиент, в плоском случае — константу). Условие $A_z=0$ хотя бы на одной линии фиксирует эту свободу; при чистых условиях Неймана по $A_z$ его тоже нужно задать.

Корректность. Задача называется корректно поставленной (по Адамару), если решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных. Задачи Дирихле, Неймана (с условием совместности) и смешанная для уравнений Лапласа и Пуассона корректны. Напротив, задать на одном и том же участке границы и $u$ , и $\partial u/\partial n$ (задача Коши для уравнения Лапласа) нельзя: решение, как правило, не существует, а когда существует — катастрофически чувствительно к данным [Тихонов]. Правило «одно условие на каждом участке» — не формальность, а условие корректности.

Четверть коаксиального конденсатора

Внутренний электрод радиуса $a$ под потенциалом $U$ , внешний радиуса $b$ заземлён. Поле обладает осевой симметрией, и для расчёта достаточно четверти кольца $0\le\alpha\le\pi/2$ . Условия: на $r=a$ — Дирихле $\varphi=U$ ; на $r=b$ — Дирихле $\varphi=0$ ; на лучах $\alpha=0$ и $\alpha=\pi/2$ — чётная симметрия, поле $\uE$ радиально и касается этих плоскостей, значит, $\partial\varphi/\partial n=0$ (Нейман). Ошибкой было бы задать на лучах $\varphi=0$ : это сделало бы их электродами и исказило поле. Ёмкость полной конструкции — учетверённая ёмкость четверти. Точное решение $\varphi=U\ln(b/r)/\ln(b/a)$ действительно удовлетворяет $\partial\varphi/\partial\alpha=0$ , то есть всем поставленным условиям, и по теореме единственности является единственным.

Пластина с нагревом и охлаждением

Плоская стенка толщиной $d=0{,}1$ м, $\lambda=0{,}5$ Вт/(м·К), без внутренних источников. Слева ( $x=0$ ) подводится тепловой поток $q_0=500$ Вт/м² (условие Неймана $-\lambda\,\dd T/\dd x=q_0$ ), справа ( $x=d$ ) — конвекция в воздух с $\alpha=10$ Вт/(м²·К), $T_\infty=20$ °C (смешанное условие $-\lambda\,\dd T/\dd x=\alpha(T-T_\infty)$ ). Ни одной температуры не задано, но задача корректна благодаря смешанному условию. Уравнение $\dd^2T/\dd x^2=0$ даёт линейный профиль с постоянным потоком $q=q_0$ по всей толщине. На правой стороне $q_0=\alpha(T_d-T_\infty)$ , откуда $T_d=20+500/10=70$ °C. Перепад на стенке $T_0-T_d=q_0d/\lambda=500\cdot0{,}1/0{,}5=100$ К, поэтому $T_0=170$ °C. Если заменить конвекцию условием Дирихле $T_d=20$ °C ( $\alpha\to\infty$ ), получим $T_0=120$ °C — нижняя оценка; при теплоизоляции справа стационарного решения нет вовсе (нарушено условие совместности).

Распространённые заблуждения

«На внешней границе ничего задавать не нужно — там поля нет». «Поля нет» — это тоже условие ( $\varphi=0$ или $A_z=0$ ), и оно вносит погрешность, если граница близко. Отсутствие условия делает задачу неопределённой.
«Условие Неймана для $A_z$ — это теплоизоляция для потока». Напротив: $\partial A_z/\partial n=0$ означает, что поток перпендикулярен границе и свободно уходит через неё; «непроницаемая» для потока граница — это $A_z=\mathrm{const}$ .
«Опорный потенциал влияет на поле». Сдвиг всех потенциалов на константу не меняет $\nabla \varphi$ . Опорную точку выбирают из удобства; её отсутствие делает систему уравнений вырожденной.
«Чем больше условий, тем точнее». Задание на одном участке и $\varphi$ , и $\partial\varphi/\partial n$ делает задачу некорректной. На каждом участке границы — ровно одно условие.
Условие совместности задачи Неймана забыто: тело, со всех сторон теплоизолированное, но с источниками, не имеет стационарной температуры.

Вопросы и упражнения

Два длинных параллельных провода несут токи $+I$ и $-I$ (плоская задача для $A_z$ ). Укажите плоскости симметрии и условие на каждой из них. Какая часть сечения достаточна для расчёта?
Те же провода с токами $+I$ и $+I$ . Как изменятся условия на плоскости между проводами? Почему?
Для стержня с изолированной боковой поверхностью, в один торец которого втекает ток $I$ , а из другого вытекает, перечислите граничные условия для $\varphi$ . Почему задача неопределена и что надо добавить?
Стенка из примера выше дополнительно охлаждается слева конвекцией ( $\alpha_1=5$ Вт/(м²·К), $T_{\infty1}=20$ °C), а нагреватель убран. При $T_{\infty2}=-20$ °C справа ( $\alpha_2=10$ Вт/(м²·К)) найдите $q$ , $T_0$ и $T_d$ последовательным сложением тепловых сопротивлений.
Какое условие ставится на оси симметрии $r=0$ осесимметричной задачи для $\varphi$ и для $T$ ? Является ли оно независимым физическим условием или следствием регулярности решения?
Расчёт поля уединённого шара радиуса $a$ под потенциалом $U$ выполнен в сферической области радиуса $R=5a$ с условием $\varphi=0$ на внешней границе. Найдите точное решение этой усечённой задачи и сравните ёмкость с ёмкостью уединённого шара $4\pi\varepsilon_0 a$ . Какова погрешность усечения?

Ответы к пунктам 1, 4 и 6

1. Плоскость, перпендикулярная линии центров и проходящая через её середину: токи антисимметричны относительно неё, поэтому $A_z$ нечётна и на плоскости $A_z=0$ (Дирихле). Это означает $B_n=0$ : плоскость сама является линией потока, индукция направлена вдоль неё — именно так ведёт себя поле между разноимёнными токами. Плоскость, содержащая оба провода: $A_z$ чётна, $\partial A_z/\partial n=0$ (Нейман), $B_t=0$ , линии потока пересекают эту плоскость под прямым углом. Достаточно четверти плоскости сечения.

4. $R_{\mathrm т}=1/\alpha_1+d/\lambda+1/\alpha_2=0{,}2+0{,}2+0{,}1=0{,}5$ м²·К/Вт; $q=(20-(-20))/0{,}5=80$ Вт/м². $T_0=20-80\cdot0{,}2=4$ °C, $T_d=4-80\cdot0{,}2=-12$ °C; проверка: $-12-80\cdot0{,}1=-20$ °C.

6. Решение $\varphi=A/r+B$ с $\varphi(a)=U$ , $\varphi(5a)=0$ : $\varphi=\dfrac{U}{1/a-1/(5a)}\left(\dfrac1r-\dfrac1{5a}\right)=\dfrac{5U}{4}\left(\dfrac{a}{r}-\dfrac15\right)$ . Заряд $Q=4\pi\varepsilon_0 a^2|\dd\varphi/\dd r|_{r=a}=4\pi\varepsilon_0 a\cdot\tfrac54 U$ , то есть $C=\tfrac54\cdot4\pi\varepsilon_0a$ — на 25 % больше ёмкости уединённого шара. Усечение с условием Дирихле завышает ёмкость (заземлённая оболочка близко); при $R=50a$ погрешность составила бы около 2 %.

Итоги

Краевая задача = уравнение в области + ровно одно условие на каждом участке границы. Дирихле задаёт значение (потенциал электрода, температуру), Нейман — нормальный поток ( $D_n$ , $J_n$ , $q_n$ , $B_t$ через $\partial A_z/\partial n$ ), смешанное — их связь (конвекция $\alpha(T-T_\infty)$ , поверхностный импеданс).
На плоскости чётной симметрии для $\varphi$ и $T$ ставится $\partial u/\partial n=0$ , на плоскости нечётной — $u=0$ . Для $A_z$ наоборот с точки зрения линий поля: $A_z=\mathrm{const}$ — поток вдоль границы, $\partial A_z/\partial n=0$ — поток поперёк.
Периодические и антипериодические условия позволяют рассчитывать один полюс электрической машины; открытые границы требуют либо отодвинутого усечения (с проверкой Дирихле/Нейман), либо преобразованной внешней области.
Решение задачи Дирихле–Неймана единственно (энергетическое доказательство); при чистых условиях Неймана оно определено с точностью до константы, и необходим опорный потенциал, а данные должны удовлетворять условию совместности.

Поставив задачу, можно её решать. Далее — электростатическое поле: уравнения Пуассона и Лапласа, проводники и диэлектрики, точные одномерные решения.