Занятие 8.2

Магнитостатика и магнитоквазистатика: векторный и скалярный потенциалы

Воздушная катушка: N = 100 витков · I = 1 А; основные размеры, модуль магнитной индукции b; Ψ = 95,85 мкВб. — Воздушная катушка1 — Обмотка · 2 — r₂ = 30 ммРасчётный образец. Осесимметричное сечение; показана одна сторона обмотки. Размер r₁ отсчитывается от оси до внутренней поверхности, r₂ — до наружной.Открыть SVG целиком Результат отдельно Исходная учебная модель

Цель и задачи

Цель. Проверить связь потенциала с магнитным полем в простой постановке.

Задачи

Вывести уравнение плоской магнитостатики.
Назвать добавочный член вихретоковой задачи.

Что нужно вспомнить перед началом

Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.

Место занятия в инженерной методике

Теоретическое занятие с количественной проверкой · Проверка масштаба и пространственного распределения поля

Инженерный вопрос. Как заданный потенциал определяет направление и масштаб поля?

Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.

Лабораторная работа:

Опыт Эрстеда: момент стрелки, эквивалентный ток и движение — Выбор расчётной модели

Последовательность решения, отчёт и критерии результата

Однородный эталон проверяет связь потенциала и поля, а не представляет самостоятельный проект устройства.

Последовательность решения

Обосновать постановку и способ измерения. Свяжите потенциал, его производные и измеряемые компоненты поля; выберите точки внутри областей и отдельно у границ.
Поле заданного линейного потенциала. Получите аналитический масштаб поля в условиях примера; перенесите способ проверки, сохраняя ограничения его геометрии.
Поле однородного заданного потенциала. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Снимите компоненты поля в нескольких внутренних точках однородного эталона.
Ответить на вопрос по своим результатам. Проверьте знак, единицу и масштаб по постановке; используйте аналитическое поле, если для этого эталона оно выведено в занятии.

Что включить в отчёт

Результат этого занятия. Короткая оценка однородности и соответствия производной потенциала.

Данные именно этого опыта. Снимите компоненты поля в нескольких внутренних точках однородного эталона.

Оформление наблюдений. Координаты, компоненты поля, единицы, режим и принадлежность точки материалу; при сравнении профилей — одна ориентация оси.

Как обосновать результат

Проверка из практикума. Числа в нескольких внутренних точках совпадают в пределах округления и ошибки решения; знак B_y объяснён производной -\partial A_z/\partial x.

Независимый контроль. Используйте производную потенциала, аналитический однородный предел или закон источника, предусмотренный данным занятием.

Критерий выполнения. Получены B_x=1 \,\text{мТл} и B_y=4 \,\text{мТл}; одинаковое поле в нескольких внутренних точках.

Точность и расхождения. Сравнивайте поле в тех же физических точках. Максимум у идеальной острой кромки нельзя оценивать единственной относительной погрешностью; фиксируйте расстояние до кромки и шаг сетки.

Основание сравнения. Аналитический профиль из теории применим только при тех же источниках, материале и граничных условиях. Карта цветов не заменяет численное измерение.

Вывод для устройства

Поясните, где поле определяет полезный эффект устройства, а где локальная неоднородность ограничивает простую расчётную схему.

Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.

Дополнительный расчётный метод

Векторная алгебра и векторный магнитный потенциал

Провод с током даёт количественный эталон B(r), A(r), циркуляции и потока. Через него проверяют калибровку потенциала, локальные производные и допустимость скалярного магнитного потенциала.

Лабораторные работы по методу: Трансформатор от потокосцеплений до схемы замещения и нагрузочной характеристики; Асинхронный двигатель от поля в зазоре до параметров и механической характеристики; Генератор с постоянными магнитами от конструкции ротора до ЭДС и нагрузочного напряжения; Выбор обмотки и расчет момента в кольцевом зазоре; Определение коэффициентов поля явнополюсной машины; Потери массивного ротора: частота, гармоники и магнитное смещение; Пазовый зазор: коэффициент Картера и комплексная передача гармоник; Зубцовые контуры: проводимости, коронки и взаимная связь при смещении; Контрольный опыт: от условия задачи к инженерному выводу; Опыт Эрстеда: момент стрелки, эквивалентный ток и движение; Измерительная рамка: от поля провода к ЭДС; Аналогии полей: проводимость, дуальная сеть и диффузия; От магнитной цепи к карте \Psi (i,\theta ) и моменту SRM

Получаемые величины. B_r и B\tau прямого провода; разности A и поток на единицу длины; циркуляция H; ошибка численной производной и сеточной аппроксимации

Различить скалярное и векторное поле и вычисляемые операции.
Сопоставить аналитическое поле внутри и снаружи провода с точками и контурами FEMM.
Изменить отсчёт A, сохранив B и разности потенциала.
Проверить скачок скалярного магнитного потенциала вокруг тока и объяснить необходимость разреза области.

Страницы источника. PDF 1–31 полностью: 1–12 операции и потенциалы; 13–23 поле прямого провода; 24–28 поток, Биo–Савар, уравнения потенциала; 29–31 разностная схема.

Литература по методу

Аналитические методы: назначение эталонов и допущения

Равномерный зазор и линейная магнитная цепь задают независимый масштаб поля. Сравнение с полевой моделью показывает влияние рассеяния и помогает обосновать необходимую сложность расчёта.

Лабораторные работы по методу: Выбор обмотки и расчет момента в кольцевом зазоре; Определение коэффициентов поля явнополюсной машины; Пазовый зазор: коэффициент Картера и комплексная передача гармоник; Аналогии полей: проводимость, дуальная сеть и диффузия

Получаемые величины. H и B равномерного зазора; поток на единицу длины; скачок магнитного потенциала от тока; погрешность упрощения

Записать линейность, размерность задачи и условия симметрии.
Вывести аналитическое решение Лапласа или Пуассона.
Повторить его в FEMM с совпадающими источниками и границами.
По одному ослабить допущения и оценить изменение искомого параметра.

Страницы источника. PDF 1–19 полностью: 1–4 назначение аналитики и допущения; 5–12 потенциалы и условия; 13–15 равномерный зазор; 16–19 линейный ток и МДС.

Литература по методу

Теория и вывод формул

Описание магнитного поля через векторный потенциал позволяет перейти от уравнений Максвелла к расчётной постановке. Последовательно рассматриваются магнитостатическое и магнитоквазистатическое приближения и условия их применимости.

Соглашения об обозначениях и единицах

$i(t)$, $u(t)$ — мгновенные значения; $\widehat I$, $\widehat U$ — комплексные амплитуды; $\underline I_{\text{д}}$, $\underline U_{\text{д}}$ — комплексные действующие значения. Для синусоиды $\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}$; действующее значение тока равно $|\underline I_{\text{д}}|$. Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
$\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S$ — поток через ориентированную поверхность; $\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l$ — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка $\Psi=N\Phi$. Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
$\theta_{\text{м}}$, $\Omega$ (также $\omega_{\text{мех}}$) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники $\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}$, $\omega_{\text{э}}=p\Omega$, где $p$ — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность $L_{\text{ст}}=\Psi/i$ — наклон секущей из начала координат; это определение используется при $\Psi(0)=0$ и $i\ne0$. Динамическая индуктивность $L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i$ — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности $L$. При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.

Указатель формул этого занятия

(8.15) · Общее магнитостатическое уравнение
(8.16) · Плоскопараллельное сокращение
(8.17) · Электрическое поле при изменяющемся $A$
(8.18) · Слабая форма и система конечных элементов
(8.19) · Слабая форма и система конечных элементов
(8.20) · Слабая форма и система конечных элементов
(8.21) · Слабая форма и система конечных элементов
(8.22) · Численный пример
(8.23) · Численный пример

Магнитостатика: B, H и векторный потенциал

Два вектора одного поля

Магнитное поле обнаруживает себя силой, действующей на движущиеся заряды и на проводники с током. Эту силовую характеристику — индукцию $\uB$ — можно измерить непосредственно. Но источником поля являются токи, и связь «ток → поле» удобнее записывать для другого вектора — напряжённости $\uH$ , которая в вакууме отличается от $\uB$ лишь постоянным множителем, а в веществе учитывает ещё и отклик среды. Магнитостатика изучает поля постоянных токов, когда ни токи, ни поля не зависят от времени; её уравнения — это уравнения Максвелла с отброшенными производными по времени.

В этом уроке мы введём оба вектора, запишем закон полного тока, выясним, почему линии $\uB$ не могут обрываться, и построим векторный потенциал — главный рабочий инструмент плоских магнитных задач.

Магнитная индукция

Вектор $\uB$ определяется силой, действующей на заряд $q$ , движущийся со скоростью $\vec v$ : $\vec F=q\,\vec v\times\uB .$ Единица — тесла: $1\ \text{Тл}=1\ \text{Н}/(\text{А}\cdot\text{м})=1\ \text{Вб}/\text{м}^2$ . Вместе с электрической силой это сила Лоренца $\vec F=q(\uE+\vec v\times\uB)$ .

Магнитная сила перпендикулярна скорости и потому не совершает работы над зарядом: она лишь искривляет траекторию. Для элемента проводника длиной $\dl$ (направленного по току) с током $I$ суммирование по носителям даёт закон Ампера для силы: $\dd\vec F=I\,\dl\times\uB ,$ а для всего контура $\vec F=I\oint\dl\times\uB$ . Прямой провод длиной $\ell$ в однородном поперечном поле испытывает силу $F=BI\ell$ . Эта формула — основа электрических машин и измерительных приборов, и к ней мы вернёмся в уроке о силах.

Напряжённость и закон полного тока

Напряжённость магнитного поля

Вектор $\uH$ (единица А/м), источником которого является плотность тока: $\nabla\times \uH=\uJ .$ Это уравнение Максвелла–Ампера без тока смещения — уравнение Максвелла для $\nabla\times \uH$ в магнитостатическом приближении.

Интегрируя по поверхности $S$ , натянутой на замкнутый контур $L$ , и применяя теорему Стокса, получаем интегральную форму.

Закон полного тока

$\oint_L\uH\cdot\dl=\int_S\uJ\cdot\un\,\dS=I_{\text{охв}} .$ Циркуляция $\uH$ по любому замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, пронизывающих этот контур. Знак тока определяется по правилу правого винта относительно направления обхода: ток, текущий в направлении нормали $\un$ , согласованной с обходом, считается положительным.

Закон полного тока — рабочий инструмент там, где симметрия позволяет угадать направление $\uH$ и подобрать контур, на котором $|\uH|$ постоянен. Три классические задачи разобраны ниже. Заметим, что $\uH$ определяется только токами, если геометрия обладает нужной симметрией, — свойства среды в закон полного тока не входят.

Соленоидальность индукции

Отсутствие магнитных зарядов

$\nabla\cdot \uB=0,\qquad \oint_S\uB\cdot\un\,\dS=0 .$ Поток индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. Линии $\uB$ не имеют ни начала, ни конца: они либо замкнуты, либо уходят на бесконечность. Это опытный факт — магнитные заряды не обнаружены.

Следствие — сохранение потока вдоль трубки индукции (трубки, боковая поверхность которой образована линиями $\uB$ ). Применим интегральную форму к участку трубки между двумя поперечными сечениями $S_1$ и $S_2$ : через боковую поверхность поток равен нулю ( $\uB\perp\un$ ), поэтому поток, входящий через $S_1$ , равен потоку, выходящему через $S_2$ . Трубка сужается там, где поле сильнее. Понятие трубки лежит в основе магнитных цепей: сердечник электромагнита — это трубка индукции, в которой поток постоянен вдоль пути, как ток в проводе.

Материальное уравнение

Магнитная проницаемость

Для изотропной среды $\uB=\mu\uH=\mu_0\mu_r\uH,\qquad \mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\ \text{Гн/м},$ где $\mu_r$ — относительная проницаемость. Общая запись $\uB=\mu_0(\uH+\vec M)$ выделяет намагниченность $\vec M$ — магнитный момент единицы объёма; для линейной среды $\vec M=(\mu_r-1)\uH$ .

В вакууме, воздухе, меди, алюминии $\mu_r=1$ с точностью лучше $10^{-4}$ . У электротехнических сталей в ненасыщенном состоянии $\mu_r$ составляет тысячи, но зависит от $H$ и от предыстории — к нелинейности и гистерезису мы обратимся в уроке о магнитных цепях. Пока среда линейна и однородна, $\nabla\cdot \uH=0$ и $\nabla\times \uB=\mu\uJ$ , так что оба вектора взаимозаменяемы; различие проявляется на границах сред и в нелинейных материалах.

Векторный потенциал

В электростатике $\nabla\times \uE=0$ позволило ввести скалярный потенциал. В магнитостатике $\nabla\times \uH\ne0$ там, где есть ток, но зато $\nabla\cdot \uB=0$ всюду. Этому условию отвечает другой потенциал — векторный.

Существование векторного потенциала

Для любого векторного поля $\uA$ справедливо тождество $\nabla\cdot \nabla\times \uA\equiv0$ . Обратно: если $\nabla\cdot \uB=0$ в области (без «дыр» в смысле замкнутых поверхностей), то найдётся поле $\uA$ такое, что $\uB=\nabla\times \uA .$ Единица $\uA$ — Вб/м $=$ Тл·м. Потенциал определён неоднозначно: $\uA'=\uA+\nabla \chi$ с произвольной функцией $\chi$ даёт тот же $\uB$ , так как $\nabla\times \nabla \chi\equiv0$ .

Произвол в выборе $\chi$ называют калибровочным. Чтобы задача имела единственное решение, на $\uA$ накладывают дополнительное условие — калибровку. В магнитостатике стандартна калибровка Кулона $\nabla\cdot \uA=0$ : любое $\uA$ можно привести к ней, выбрав $\chi$ из уравнения $\Delta\chi=-\nabla\cdot \uA$ .

Уравнение для векторного потенциала

Подставим $\uH=\nu\uB=\nu\nabla\times \uA$ , где $\nu=1/\mu$ — величина, обратная проницаемости, в закон полного тока: $\nabla\times (\nu\nabla\times \uA)=\uJ .$ В однородной среде $\nu$ выносится, и по тождеству $\nabla\times \nabla\times \uA=\nabla \nabla\cdot \uA-\Delta\uA$ при калибровке Кулона $\Delta\uA=-\mu\uJ .$ Это три скалярных уравнения Пуассона — по одному на каждую декартову компоненту, — полностью аналогичных уравнению $\Delta\varphi=-\rho/\varepsilon$ электростатики. Решение для ограниченного распределения токов в безграничной однородной среде $\uA(\ur)=\frac{\mu}{4\pi}\int_V\frac{\uJ(\ur')}{|\ur-\ur'|}\,\dV'$ повторяет формулу для потенциала объёмного заряда.

Выгода векторного потенциала не в количестве уравнений, а в том, что условие $\nabla\cdot \uB=0$ выполняется автоматически: любое приближённое $\uA$ — например, кусочно-линейное на сетке — даёт в точности бездивергентное поле.

Плоские задачи

Пусть токи направлены вдоль оси $z$ и не зависят от $z$ : $\uJ=J_z(x,y)\vec e_z$ . Тогда и $\uA=A_z(x,y)\vec e_z$ , калибровка $\nabla\cdot \uA=\partial A_z/\partial z=0$ выполнена сама собой, а индукция лежит в плоскости $xy$ : $B_x=\frac{\partial A_z}{\partial y},\qquad B_y=-\frac{\partial A_z}{\partial x},\qquad \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\nu\frac{\partial A_z}{\partial x}\Bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\nu\frac{\partial A_z}{\partial y}\Bigr)=-J_z .$ Векторная задача свелась к одному скалярному уравнению $\nabla\cdot (\nu\nabla A_z)=-J_z$ , по форме совпадающему с уравнением для потенциала в неоднородной среде. Отсюда два полезных свойства.

Линии уровня $A_z$ — линии индукции

$\uB\cdot\nabla A_z=B_x\partial_xA_z+B_y\partial_yA_z=\partial_yA_z\,\partial_xA_z-\partial_xA_z\,\partial_yA_z=0$ . Вектор $\uB$ касается линий $A_z=\mathrm{const}$ : изолинии $A_z$ — это картина поля. Чем они гуще, тем сильнее поле, поскольку $|\uB|=|\nabla A_z|$ .

Поток на единицу длины — разность $A_z$

Возьмём в плоскости $xy$ произвольную кривую от точки $P_1$ до $P_2$ с единичным касательным вектором $\vec t$ и лежащей в плоскости нормалью $\un=\vec t\times\vec e_z=(t_y,\,-t_x,\,0)$ . Поток через полосу единичной высоты вдоль $z$ , опирающуюся на эту кривую, $\Phi'=\int_{P_1}^{P_2}\uB\cdot\un\,\dd l=\int(B_xt_y-B_yt_x)\,\dd l =\int\Bigl(\frac{\partial A_z}{\partial y}\dd y+\frac{\partial A_z}{\partial x}\dd x\Bigr)=A_z(P_2)-A_z(P_1).$ Результат не зависит от формы кривой — как и должно быть при $\nabla\cdot \uB=0$ . Поток через прямоугольник глубиной $d$ равен $\Phi=d\,[A_z(P_2)-A_z(P_1)]$ . Знак определяется выбором направления обхода от $P_1$ к $P_2$ и соответствующей нормали $\un$ .

Именно это свойство делает $A_z$ удобнейшей величиной для вычисления потокосцеплений плоских обмоток — см. следующий урок.

Классические поля

Бесконечный прямой провод

Ток $I$ по оси $z$ . По симметрии $\uH=H(r)\vec e_\alpha$ ; закон полного тока для окружности радиуса $r$ даёт $2\pi rH=I$ : $H=\frac{I}{2\pi r},\qquad B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}.$ Векторный потенциал: в цилиндрических координатах для $\uA=A_z(r)\vec e_z$ имеем $\nabla\times \uA=-\dfrac{\dd A_z}{\dd r}\vec e_\alpha$ , поэтому $-\frac{\dd A_z}{\dd r}=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\quad\Rightarrow\quad A_z=-\frac{\mu_0I}{2\pi}\ln r+\mathrm{const}.$ Постоянная — проявление калибровочного произвола; физический смысл имеют лишь разности. Поток на единицу длины между $r=a$ и $r=b$ : $A_z(a)-A_z(b)=\dfrac{\mu_0I}{2\pi}\ln\dfrac ba$ , что совпадает с прямым интегрированием $\int_a^bB\,\dd r$ . При $I=100$ А на расстоянии $r=5$ см: $H=100/(2\pi\cdot0{,}05)=318$ А/м, $B=4\pi\cdot10^{-7}\cdot318=4{,}0\cdot10^{-4}$ Тл $=0{,}4$ мТл.

Внутри провода с однородным током

Провод радиуса $a$ , плотность тока $J=I/(\pi a^2)$ однородна. Контур радиуса $r<a$ охватывает ток $J\pi r^2$ : $H=\frac{Jr}{2}=\frac{Ir}{2\pi a^2},\qquad A_z=-\frac{\mu_0Jr^2}{4}+\mathrm{const}.$ Поле растёт линейно от нуля на оси до $I/(2\pi a)$ на поверхности, затем убывает как $1/r$ . Проверка уравнения Пуассона: $\Delta A_z=\dfrac1r\dfrac{\dd}{\dd r}\Bigl(r\dfrac{\dd A_z}{\dd r}\Bigr)=\dfrac1r\dfrac{\dd}{\dd r}\Bigl(-\dfrac{\mu_0Jr^2}{2}\Bigr)=-\mu_0J$ . На поверхности провода радиуса $5$ мм при $I=100$ А: $H=100/(2\pi\cdot5\cdot10^{-3})=3{,}18$ кА/м, $J=1{,}27\cdot10^6$ А/м².

Длинный соленоид и тороид

Соленоид с $n=N/\ell$ витками на единицу длины. Внутри поле однородно и направлено вдоль оси, снаружи (для бесконечно длинного соленоида) равно нулю. Прямоугольный контур с одной стороной длиной $h$ внутри и другой снаружи охватывает ток $nhI$ : $Hh=nhI\quad\Rightarrow\quad H=nI,\qquad B=\mu_0nI .$ При $N=1000$ , $\ell=0{,}5$ м, $I=2$ А: $H=4000$ А/м, $B=4\pi\cdot10^{-7}\cdot4000=5{,}0$ мТл. Формальная подстановка стального сердечника с $\mu_r=1000$ дала бы $B=5$ Тл — результат физически невозможный: сталь насыщается при 1,5–2 Тл. Линейная модель здесь неприменима.

Тороид с $N$ витками: контур — окружность радиуса $r$ внутри обмотки, $2\pi rH=NI$ : $H=\frac{NI}{2\pi r}.$ Поле заключено внутри тороида, но неоднородно по сечению: у внутренней стенки оно больше, чем у внешней. Если толщина сечения мала по сравнению со средним радиусом $R$ , то $H\approx NI/(2\pi R)=NI/l_{\text{ср}}$ — это и есть исходная формула теории магнитных цепей. Подчеркнём: $H$ в тороиде не зависит от материала сердечника, тогда как $B=\mu H$ зависит.

Скалярный магнитный потенциал

В областях, где $\uJ=0$ , выполняется $\nabla\times \uH=0$ , и там можно ввести скалярный потенциал: $\uH=-\nabla \varphi_{\mathrm м}$ (единица — ампер). Из $\nabla\cdot \uB=0$ следует $\nabla\cdot (\mu\nabla \varphi_{\mathrm м})=0$ — то же уравнение, что и для электрического потенциала. Однако область «без токов» вокруг провода не односвязна: обходя провод по замкнутому пути, мы по закону полного тока набираем приращение $\varphi_{\mathrm м}$ , равное $-I$ . Потенциал оказывается многозначным, и его приходится определять на поверхности с разрезом. Поэтому скалярный потенциал удобен в задачах с постоянными магнитами и зазорами без обмоток, а при наличии токов предпочтителен векторный потенциал [Демирчян].

Граничные условия

На границе двух сред с проницаемостями $\mu_1$ , $\mu_2$ из $\nabla\cdot \uB=0$ и $\nabla\times \uH=\uJ$ следует (подробный вывод — в уроке о границах раздела): $B_{1n}=B_{2n},\qquad H_{1t}-H_{2t}=K ,$ где $K$ — поверхностная плотность тока на границе (А/м); при $K=0$ касательная составляющая $\uH$ непрерывна. Закон преломления линий индукции $\operatorname{tg}\alpha_1/\operatorname{tg}\alpha_2=\mu_1/\mu_2$ : при выходе из стали ( $\mu_r\sim10^3$ ) в воздух линии $\uB$ становятся почти нормальными к поверхности. Векторный потенциал на границе непрерывен; в плоских задачах непрерывность $A_z$ обеспечивает непрерывность $B_n$ , а условие для $H_t$ принимает вид $\nu_1\partial A_z/\partial n=\nu_2\partial A_z/\partial n$ . На границе с идеальным магнитным проводником ( $\mu\to\infty$ ) $H_t=0$ ; линия симметрии, вдоль которой течёт поле, — это линия $A_z=\mathrm{const}$ .

Распространённые заблуждения

« $\uH$ — это $\uB$ в вакууме, делённое на $\mu_0$ , а в веществе они просто пропорциональны». В вакууме — да. В веществе $\uH$ и $\uB$ различаются принципиально: в тороиде $\uH$ задано током и не зависит от сердечника, а $\uB$ зависит; в постоянном магните $\uH$ и $\uB$ внутри направлены навстречу друг другу. На границе сред непрерывны разные компоненты: $B_n$ и $H_t$ .
«Силовые линии $\uB$ начинаются на северном полюсе и заканчиваются на южном». Линии $\uB$ замкнуты: снаружи магнита они идут от северного полюса к южному, а внутри — продолжаются от южного к северному. Начинаться и заканчиваться на полюсах могут только линии $\uH$ (на фиктивных «магнитных зарядах» $-\nabla\cdot \vec M$ ).
«Векторный потенциал нефизичен, поэтому его значения ничего не значат». Значение $A_z$ в точке действительно условно, но разность $A_z$ между двумя точками равна потоку на единицу длины — измеримой величине. Изолинии $A_z$ — реальная картина поля.
«Закон полного тока даёт поле любой системы токов». Он даёт интеграл по контуру, а не само поле. Извлечь $\uH$ из циркуляции удаётся лишь при симметрии, когда $|\uH|$ постоянен вдоль контура. Для витка конечного радиуса или короткой катушки закона полного тока недостаточно.
Знаки и ориентация. Направление $\uH$ вокруг тока, знак тока в законе полного тока и порядок точек в $\Phi'=A_z(P_2)-A_z(P_1)$ связаны правилом правого винта. Любая перепутанная ориентация меняет знак результата.

Вопросы и упражнения

Коаксиальный кабель: жила радиуса $a$ с током $I$ , обратный ток по тонкой оболочке радиуса $b$ . Найдите $H(r)$ во всех трёх областях и постройте график. Почему поле снаружи равно нулю?
Для поля прямого провода проверьте, что $A_z=-(\mu_0I/2\pi)\ln r$ удовлетворяет условию $\nabla\cdot \uA=0$ и уравнению Лапласа $\Delta A_z=0$ при $r>0$ .
Две параллельные шины с токами $+I$ и $-I$ на расстоянии $D$ . Запишите $A_z$ как сумму потенциалов двух проводов и покажите, что линии $A_z=\mathrm{const}$ — окружности (окружности Аполлония).
Тороидальный сердечник прямоугольного сечения с внутренним радиусом $r_1$ и внешним $r_2$ , высотой $h$ , обмотка $N=200$ витков, $I=1$ А, $\mu_r=500$ . Найдите полный поток $\Phi=\int B\,\dS$ через сечение и сравните с приближением $B(R)\,h(r_2-r_1)$ при $R=(r_1+r_2)/2$ для $r_1=4$ см, $r_2=6$ см, $h=2$ см.
Докажите, что в области без токов векторный потенциал плоской задачи $A_z$ и скалярный потенциал $\varphi_{\mathrm м}$ связаны так же, как сопряжённые гармонические функции: $\partial A_z/\partial x=\mu\,\partial\varphi_{\mathrm м}/\partial y$ , $\partial A_z/\partial y=-\mu\,\partial\varphi_{\mathrm м}/\partial x$ .
Какая калибровка «включена» автоматически в плоской задаче и почему в осесимметричной задаче с $\uA=A_\alpha\vec e_\alpha$ происходит то же самое?

Ответы к пунктам 1 и 4

1. $r<a$ : $H=Ir/(2\pi a^2)$ ; $a<r<b$ : $H=I/(2\pi r)$ ; $r>b$ : $H=0$ , так как контур охватывает суммарный ток $I-I=0$ . Поле заперто между проводниками — одно из главных достоинств коаксиальной конструкции.

4. $B=\mu_0\mu_rNI/(2\pi r)$ , $\Phi=\displaystyle\int_{r_1}^{r_2}B\,h\,\dd r=\frac{\mu_0\mu_rNIh}{2\pi}\ln\frac{r_2}{r_1}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot500\cdot200\cdot1\cdot0{,}02}{2\pi}\ln1{,}5=4\cdot10^{-4}\cdot0{,}405=1{,}62\cdot10^{-4}$ Вб. Приближение: $B(R)=\mu_0\mu_rNI/(2\pi\cdot0{,}05)=0{,}4$ Тл, $\Phi\approx0{,}4\cdot0{,}02\cdot0{,}02=1{,}60\cdot10^{-4}$ Вб — отличие около 1,4 %.

Итоги

Индукция $\uB$ — силовая характеристика ( $\vec F=q\vec v\times\uB$ , $\dd\vec F=I\,\dl\times\uB$ ); напряжённость $\uH$ связана с токами: $\nabla\times \uH=\uJ$ , $\oint\uH\cdot\dl=I_{\text{охв}}$ .
$\nabla\cdot \uB=0$ : линии индукции замкнуты, поток вдоль трубки индукции сохраняется; в среде $\uB=\mu\uH$ .
Соленоидальность гарантирует существование векторного потенциала $\uB=\nabla\times \uA$ ; калибровка Кулона $\nabla\cdot \uA=0$ устраняет произвол, и в однородной среде $\Delta\uA=-\mu\uJ$ .
В плоских задачах достаточно одной компоненты $A_z$ : изолинии $A_z$ — линии поля, разность $A_z$ двух точек — поток на единицу длины.
Классические решения: $H=I/(2\pi r)$ у провода, $H=Jr/2$ внутри него, $H=nI$ в соленоиде, $H=NI/(2\pi r)$ в тороиде — последнее ведёт к понятию магнитной цепи.

Далее — магнитный поток, потокосцепление и ЭДС индукции: как от поля перейти к напряжению на зажимах катушки.

Уточнения постановки и расчётной методики FEMM 5

Векторный потенциал

Вместо независимого поиска всех компонент B используется векторный потенциал A: магнитная индукция равна его ротору. Дивергенция ротора тождественно равна нулю, поэтому отсутствие магнитных источников выполняется автоматически. A имеет единицу \text{Вб}/\text{м}. Сам потенциал зависит от выбранной калибровки; физически наблюдаемы поле и согласованные интегральные величины. Нулевая величина потенциала на одной границе не означает, что всё поле в соседней области исчезает: важны пространственные производные.

Общее магнитостатическое уравнение

Для неподвижных постоянных источников временные производные отсутствуют. Подстановка материальной связи H=\nu B в закон Ампера приводит к уравнению относительно A. Здесь \nu — обратная абсолютная магнитная проницаемость в линейном случае; её не следует смешивать с магнитным сопротивлением целого участка цепи. В нелинейном ферромагнитном материале эта величина зависит от полученного поля, поэтому задача решается итерационно. Постоянный магнит добавляет заданную намагниченность или эквивалентный вклад источника; нельзя просто заменить его железом с большой \mu и ожидать собственного поля.

\begin{gathered}\mathbf B=\nabla\times\mathbf A,\quad \mathbf H=\nu\mathbf B-\mathbf H_\text{коэрц},\\\nabla\times(\nu\nabla\times\mathbf A-\mathbf H_\text{коэрц})=\mathbf J_\text{св}\end{gathered}

(8.15)

\nu=1/\mu в \text{м}/\text{Гн}; H_{\text{коэрц}} — вектор эквивалентного постоянного источника в \text{А}/\text{м}, равный нулю для материала без магнита. Для линейной зависимости на линии возврата H_{\text{коэрц}}=B_{\text{ост}}/(\mu_0 \mu_{\text{воз}}) в направлении намагничивания.

Плоскопараллельное сокращение

В плоскопараллельной модели предполагается отсутствие изменения вдоль z, источники имеют компоненту J_z, а A имеет компоненту A_z. Тогда B лежит в плоскости x\text{–}y. Уравнение становится скалярным и решается на треугольной сетке. Координата z одновременно указывает направление проводников, поэтому рисунок пазов машины представляет их поперечное сечение. Лобовые части обмотки и её возвращение вне активного пакета в это сечение не попадают. Их влияние позже вводится отдельными поправками, а не геометрическим увеличением Depth.

B_x=\frac{\partial A_z}{\partial y},\quad B_y=-\frac{\partial A_z}{\partial x},\quad -\nabla\cdot(\nu\nabla A_z)=J_z

(8.16)

Производные берутся по x и y; уравнение предполагает отсутствие явного магнитного источника внутри материальной связи.

Электрическое поле при изменяющемся A

Закон Фарадея позволяет представить E как сумму индукционной части -\partial A/\partial t и потенциальной части -\nabla V. В неподвижном проводнике это поле создаёт ток проводимости. Поэтому полный ток, входящий в закон Ампера, складывается из заданного возбуждения и индуцированной составляющей. Потенциал V и ограничения цепей задают условия замыкания тока. Если проводник движется, появляется v\times B; геометрическое перемещение проводника между статическими решениями само по себе этот член не добавляет.

\begin{gathered}\mathbf E=-\partial_t\mathbf A-\nabla V,\quad\mathbf J_\text{пров}=\sigma\mathbf E,\\\nabla\times(\nu\nabla\times\mathbf A-\mathbf H_\text{коэрц})+\sigma\partial_t\mathbf A+\sigma\nabla V=\mathbf J_\text{зад},\\-\nabla\cdot(\nu\nabla\widehat A_z)+j\omega\sigma\widehat A_z=\widehat J_{z,\text{зад}}-\sigma\partial_z\widehat V\end{gathered}

(8.17)

Вторая строка — формальная магнитоквазистатическая временная постановка неподвижной среды; FEMM 5 не заявляет её прямое интегрирование по времени. Третья — её Planar-гармоника без постоянного магнитного источника при \exp(j\omega t). Требуются условия сохранения тока и связи цепей. E в \text{В}/\text{м}, V в В; \nu может зависеть от магнитного состояния.

Магнитоквазистатика не означает постоянное поле

В магнитоквазистатическом приближении в законе Ампера исключают ток смещения, но сохраняют индукцию и токи проводимости. При гармоническом режиме временная производная заменяется множителем j\omega. Получается комплексная задача одной частоты, которую решает FEMM. При произвольном переходном токе потребовалось бы интегрирование по времени и начальное состояние. В проверенном руководстве FEMM 5 прямой временной магнитный решатель не заявлен. Наличие временного теплового модуля не даёт такой возможности для электромагнитного поля.

Что именно проверяет первая задача

Воздушная катушка без проводимости решается как магнитостатика: сохраняются геометрическая неоднородность и поток рассеяния, но исключены вихревые токи. Повторение при другом постоянном токе проверяет линейность. Для наблюдения вихревого экранирования нужна проводящая область и ненулевая частота; увеличение \mu без \sigma не создаёт поверхностный эффект. Вывод уравнения объясняет структуру исходных данных: форма областей задаёт коэффициенты, метки — материальные уравнения, обмотка — источник, а граница завершает математическую постановку.

Слабая форма объясняет роль сетки и границы

Скалярное уравнение для A_z умножают на пробную функцию, затем интегрируют по области. Интегрирование по частям переносит одну производную с A_z на пробную функцию и оставляет граничный член. Внутри треугольников получается вклад магнитного сопротивления и источника, на границе — естественное либо назначенное условие. Линейные функции по трём вершинам дают конечное число неизвестных. Такой переход объясняет, почему в конечно-элементной модели можно работать с кусочно различными материалами, но нужно корректно замкнуть области. Непрерывность потенциала задаётся общими узлами соседних элементов; поле получается производными и потому менее гладко. Последующее сглаживание рисунка не заменяет более точную дискретизацию исходного уравнения.

Слабая форма и система конечных элементов

Вывод ниже относится к плоской магнитостатике без постоянных магнитов, с изотропной положительной проницаемостью. Обозначим область \Omega, её границу \Gamma, а пробную функцию v; на границе Дирихле она равна нулю.

Подстановка векторного потенциала автоматически выполняет отсутствие источников магнитной индукции. Закон Ампера затем даёт скалярное уравнение для продольной компоненты потенциала.
Умножьте уравнение на пробную функцию и проинтегрируйте. Интегрирование по частям снижает порядок производных и сохраняет граничный член.

\int_\Omega \nu\nabla A_z\cdot\nabla v\,\mathrm dS=\int_\Omega J_zv\,\mathrm dS+\int_\Gamma v\nu\partial_nA_z\,\mathrm dl
(8.18)
При заданном естественном условии замените нормальную производную известной величиной. На границе Дирихле вклад исчезает благодаря нулевой пробной функции.

\nu\partial_nA_z=g_N\quad\text{на }\Gamma_N
(8.19)
Разложите потенциал по узловым функциям формы и последовательно выберите каждую из них пробной. Объёмные источники и заданный поток Неймана формируют правую часть.

\begin{gathered}A_h=\sum_j a_jN_j,\quad K_{ij}=\int_\Omega\nu\nabla N_i\cdot\nabla N_j\,\mathrm dS,\\f_i=\int_\Omega J_zN_i\,\mathrm dS+\int_{\Gamma_N}g_NN_i\,\mathrm dl,\quad\mathbf K\mathbf a=\mathbf f\end{gathered}
(8.20)
Разделите неизвестные узлы и узлы с заданным потенциалом. Известные значения Дирихле переносятся вправо, после чего решается система только свободных узлов.

\mathbf K_{FF}\mathbf a_F=\mathbf f_F-\mathbf K_{FD}\mathbf a_D
(8.21)
На линейном треугольнике потенциал линейный, а вычисленная из его производных индукция постоянна внутри элемента. Поэтому сходимость потенциала сама по себе не гарантирует столь же точной силы.
При нелинейном материале коэффициенты зависят от найденной индукции: требуется итерационное обновление. В гармонической проводящей среде дополнительно появляется комплексная матрица проводимости. Это разные расширения данной статической формы.

Таблица 8.2. Обозначения и единицы
Величина	Физический смысл	Единица СИ
A_z	Продольная компонента векторного потенциала в плоской задаче	Вб/м
\nu=1/\mu	Величина, обратная абсолютной магнитной проницаемости	м/Гн
J	Плотность электрического тока	А/м²
N_j	Безразмерная узловая функция формы	1
a_j	Узловое значение потенциала	Вб/м
v	Безразмерная пробная функция в выбранной нормировке	1

Границы применимости. Для осесимметрии меняются оператор и вес интеграла; её нельзя получить простой заменой названий координат. Чистая задача Неймана требует условия совместимости источников и фиксации произвольной постоянной потенциала.

Когда допустима последовательность статических положений

Магнитостатическая карта по положению показывает равновесное поле при каждом заданном токе и положении. Гармоническая задача даёт установившийся комплексный отклик неподвижной системы на одной частоте.

Из смены геометрии между решениями не возникают скорость, инерция и вихретоковая память. ЭДС машины можно восстановить из \Psi (\theta ) при заданной скорости в пределах применимости статической карты; переходный процесс этим не рассчитывается.

Пояснения к официальному руководству

Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.

Формулы и таблицы руководства к этому занятию

Формула М.1.1 · Закон Ампера в магнитостатике
Формула М.1.2 · Отсутствие источников магнитного потока
Формула М.1.3 · Материальный закон изотропной магнитной среды
Формула М.1.4 · Секущая проницаемость нелинейной характеристики
Формула М.1.5 · Определение магнитного векторного потенциала
Формула М.1.6 · Уравнение магнитостатики в векторном потенциале
Формула М.1.7 · Уравнение Пуассона для однородной магнитной среды
Формула М.Н.1 · Калибровка Кулона
Формула М.Н.2 · Ротор градиента равен нулю

Четыре физических приближения и единицы источников

Одна и та же двумерная геометрия допускает несколько физических постановок. Магнитный модуль учитывает электромагнитную индукцию и токи проводимости, пренебрегая током смещения; электростатический модуль описывает поле неподвижных зарядов. Модуль протекания тока учитывает токи проводимости и смещения в приближении, исключающем существенное влияние магнитной индукции, а тепловой модуль решает задачу теплопроводности. В каждом случае выбирается плоскопараллельная или осесимметричная геометрия. Такой выбор не расширяет состав физических явлений: пространственное распределение общего вида, распространение электромагнитных волн и гидродинамика требуют других моделей.

Калибровка Кулона

\nabla\cdot\mathbf A=0

(М.Н.1)

Калибровка Кулона задаёт дополнительное условие для векторного потенциала. Совместно с линейной изотропной и пространственно постоянной проницаемостью она позволяет свести уравнение магнитного потенциала к форме Пуассона.

Обозначения и единицы

\mathbf A — магнитный векторный потенциал, Вб/м; \nabla\cdot\mathbf A имеет единицу Вб/м².

Условия применения. Сама калибровка является выбором представления потенциала. Упрощение уравнения до постоянного коэффициента перед лапласианом дополнительно требует однородной \mu и согласованных граничных условий.

Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.

В магнитостатике исходными соотношениями служат ротор H, равный плотности свободного тока, и нулевая дивергенция B. Запись B = \nabla\times A автоматически выполняет второе соотношение. При нелинейном материале следует оставлять проницаемость внутри дифференциального оператора. Заменить его постоянным множителем перед лапласианом допустимо лишь в однородной линейной изотропной области. Постоянный магнит требует дополнительного источника в материальном законе, как разобрано в занятии 8.3.

Закон Ампера в магнитостатике

\nabla\times\mathbf H=\mathbf J

(М.1.1)

Свободный ток является источником циркуляции магнитного поля. Интеграл касательной составляющей H по замкнутому контуру равен охваченному свободному току; намагниченность материала уже входит в связь между B и H. Поэтому ток обмотки нельзя второй раз добавлять как намагниченность.

Обозначения и единицы

\mathbf H — напряжённость магнитного поля, А/м.
\mathbf J — объёмная плотность свободного тока, А/м²; ротор добавляет размерность 1/м.

Условия применения. Поля постоянны во времени. В этой записи ток смещения отсутствует; плотность тока нельзя подменять полным током обмотки без её сечения.

Отсутствие источников магнитного потока

\nabla\cdot\mathbf B=0

(М.1.2)

Магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Линии B продолжаются через границы материалов: на интерфейсе непрерывна нормальная составляющая B, даже если проницаемость меняется скачком. Это проверка согласованности решения, а не требование нулевого поля.

Обозначения и единицы

\mathbf B — магнитная индукция, Тл.
\nabla\cdot\mathbf B — дивергенция, Тл/м.

Условия применения. Закон действует также при переменных полях; здесь он используется вместе с магнитостатическим законом Ампера.

Материальный закон изотропной магнитной среды

\mathbf B=\mu\mathbf H

(М.1.3)

Проницаемость связывает напряжённость с индукцией. Для линейного материала отношение постоянно; для нелинейного оно зависит от состояния. Относительную проницаемость из интерфейса сначала умножают на магнитную постоянную, если в формуле нужна абсолютная \mu.

Обозначения и единицы

\mu=\mu_0\mu_r — абсолютная проницаемость, Гн/м.
\mu_r — безразмерная относительная проницаемость; \mathbf B измеряется в Тл, \mathbf H — в А/м.

Условия применения. Скалярная запись предполагает изотропию и отсутствие отдельного смещения характеристики постоянным магнитом. Для анизотропии нужен тензор, для магнита — согласованный источник коэрцитивной силы.

Секущая проницаемость нелинейной характеристики

\mu(B)=\frac{B}{H(B)}

(М.1.4)

Отношение B к соответствующему H задаёт секущую проницаемость: геометрически это наклон прямой из начала координат к рабочей точке. Оно отличается от дифференциальной проницаемости dB /dH, определяющей малое изменение поля около рабочей точки. Подстановка одного вместо другого меняет постановку.

Обозначения и единицы

B и H(B) — согласованные скалярные значения одной ветви характеристики, Тл и А/м.
\mu(B) имеет единицу Гн/м; это не относительная проницаемость.

Условия применения. Для однонаправленной изотропной характеристики. При H=0 используют соответствующий предел, если он существует; для постоянного магнита сначала учитывают смещение B–H-кривой.

Определение магнитного векторного потенциала

\mathbf B=\nabla\times\mathbf A

(М.1.5)

Представление через ротор автоматически обеспечивает нулевую дивергенцию B. В плоской модели остаётся компонента A_z: B_x =\partial A_z /\partial y, B_y =-\partial A_z /\partial x. В осесимметрии используется азимутальная компонента A_{\theta }, а поток связан с 2\pi rA_{\theta }; её нельзя дифференцировать как плоскую A_z.

Обозначения и единицы

\mathbf A — векторный потенциал, Вб/м.
\mathbf B — индукция, Тл; r — радиальная координата осесимметрии, м.

Условия применения. Потенциал определяется с калибровочным произволом. Производные должны соответствовать координатам выбранной геометрии.

Уравнение магнитостатики в векторном потенциале

\nabla\times\left(\frac{1}{\mu(B)}\nabla\times\mathbf A\right)=\mathbf J

(М.1.6)

В этой записи объединены закон Ампера, материальный закон и определение векторного потенциала. Неизвестным становится A, а индукция получается после дифференцирования. При насыщении \mu зависит от самого решения, поэтому требуется нелинейная итерация. Коэффициент остаётся внутри ротора и при пространственном изменении свойств.

Обозначения и единицы

\mathbf A — Вб/м; \mu(B) — Гн/м; \mathbf J — А/м².
B в аргументе проницаемости обозначает величину индукции, по которой задана характеристика.

Условия применения. Изотропная магнитостатическая среда с однозначной используемой B–H-характеристикой. Источники постоянных магнитов и граничные условия должны быть включены согласованно с моделью материала.

Уравнение Пуассона для однородной магнитной среды

-\frac{1}{\mu}\nabla^2\mathbf A=\mathbf J

(М.1.7)

Для постоянной \mu тождество \nabla\times \nabla\times A=\nabla \nabla\cdot A-\nabla ^{2}A сводит исходное уравнение к Пуассону после выбора калибровки \nabla\cdot A=0. Минус перед лапласианом следует из этого тождества. Формула удобна для эталонных задач, но не разрешает вынести переменную проницаемость за производную.

Обозначения и единицы

\mu — постоянная абсолютная проницаемость, Гн/м.
\nabla^2\mathbf A — векторный лапласиан; правая часть имеет единицу А/м².

Условия применения. Линейная, изотропная и пространственно однородная область; калибровка Кулона. В цилиндрических координатах векторный лапласиан нельзя заменять скалярным лапласианом A_{\theta }.

К условиям оригинала явно добавлена пространственная однородность \mu: одной линейности и изотропии недостаточно для вынесения коэффициента за оператор.

В магнитной гармонике используется временной множитель \exp (j\omega t). Проводящий ток складывается из вклада изменения векторного потенциала и вклада продольного электрического градиента потенциала. Последний обеспечивает ограничения полного тока в проводящих телах и цепях. Если оставить только слагаемое -j\omega \sigma A, можно получить неверный полный ток даже при визуально правдоподобном распределении вихревых токов. Отдельно заданную плотность возбуждения не следует второй раз включать в индуцированную составляющую.

Ротор градиента равен нулю

\nabla\times(\nabla\psi)=\mathbf0

(М.Н.2)

Поэтому поле, представленное отрицательным градиентом потенциала, автоматически удовлетворяет безвихревому условию электростатики.

Обозначения и единицы

\psi — достаточно гладкая скалярная функция; если \psi=V — электрический потенциал, В, то \nabla V имеет единицу В/м.

Условия применения. Обычные области гладкости; на разрывах нужно учитывать предельные значения и граничные условия.

В соседнем предложении PDF ошибочно назван закон Ампера. Здесь речь о статическом законе Фарадея, \nabla\times E = 0.

В электростатике потенциальность E автоматически выполняет безвихревое условие Фарадея. В пояснении к (1.19) оригинал называет его законом Ампера; математически здесь используется именно \nabla\times E = 0. Для кусочно неоднородной или анизотропной среды правильна дивергентная форма уравнения, а не одна глобальная постоянная \varepsilon перед лапласианом. В тепловом модуле величина G руководства равна -\nabla T: это противоположность обычному математическому градиенту температуры. Плотность теплового потока F направлена от горячего к холодному.

В формулах СИ плотность магнитного тока J имеет единицу А/м², объёмный электрический заряд \rho — Кл/м³, объёмное тепловыделение q — Вт/м³; это разные типы источников. Абсолютные коэффициенты \mu, \varepsilon, k и \sigma имеют единицы Гн/м, Ф/м, Вт/(м·К) и См/м. Поля интерфейса могут использовать кратные единицы, например МСм/м для проводимости магнитного материала; перед подстановкой в формулы их переводят в СИ. Электрический ток через вывод в амперах и объёмная плотность тока не взаимозаменяемы без площади и распределения.

Графическая оболочка femm_gui и движок femm_headless готовят и обрабатывают документы; fkn, belasolv, hsolv и csolv решают соответственно магнитные, электростатические, тепловые и токовые задачи. Генератор сетки tangle интегрирован в решатели. Поэтому отсутствие видимого окна само по себе не меняет физическую постановку, а успешный запуск оболочки ещё не подтверждает получение решения. Документ с исходными данными и файл результата должны соответствовать одной версии геометрии и свойств.

\nabla\times\left(\frac{1}{\mu_{\text{эфф}}}\nabla\times\widehat{\mathbf A}\right)=-j\omega\sigma\widehat{\mathbf A}+\widehat{\mathbf J}_{\text{зад}}-\sigma\nabla\widehat V

(Р.1.2)

Гармоническая магнитная постановка неподвижной проводящей среды. Комплексные значения являются амплитудами; нелинейная эффективная проницаемость имеет ограничения приложения A.4.

\mathbf E=-\partial_t\mathbf A-\nabla V,\qquad\mathbf J_{\text{пров}}=-\sigma\partial_t\mathbf A-\sigma\nabla V

(Р.1.3)

Потенциальная и индукционная части электрического поля. Ротор градиента равен нулю, поэтому \nabla\times E = -\nabla\times \partial_t A; это промежуточная связь (1.10) перед (1.11)–(1.12).

\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf H)=0\quad\Longrightarrow\quad\nabla\cdot\mathbf J+\nabla\cdot\partial_t\mathbf D=0

(Р.1.4)

Переход (1.31)–(1.32) от закона Ампера–Максвелла к сохранению полного тока. При E = -\nabla V и замене \partial t на j\omega получается токовое уравнение.

\mathbf F=k\mathbf G,\qquad\mathbf G=-\nabla T,\qquad\nabla\cdot\mathbf F=q

(Р.1.5)

Три тепловых соотношения (1.21)–(1.23) в обозначениях руководства. G измеряется в К/м, F — в Вт/м², q — в Вт/м³; их подстановка даёт -\nabla\cdot (k \nabla T) = q.

-\frac1\mu\nabla^2\mathbf A=\mathbf J,\qquad-\varepsilon\nabla^2V=\rho,\qquad-(\sigma+j\omega\varepsilon)\nabla^2\widehat V=0,\qquad-\sigma\nabla^2V=0

(Р.1.6)

Локальные сокращения для однородных линейных изотропных областей; для векторного магнитного равенства дополнительно используется калибровка \nabla\cdot A = 0. Последнее равенство — предел токовой задачи при нулевой частоте. На интерфейсах возвращаются к дивергентной форме.

-\nabla\cdot(\boldsymbol\varepsilon\nabla V)=\rho,\qquad -\nabla\cdot(\mathbf k\nabla T)=q,\qquad -\nabla\cdot[(\boldsymbol\sigma+j\omega\boldsymbol\varepsilon)\nabla\widehat V]=0

(Р.1.7)

Электростатика, стационарная теплопроводность и гармоническое протекание тока без внутренних источников полного тока. Жирные материальные коэффициенты допускают тензорное представление; упрощение до лапласиана требует постоянных скалярных коэффициентов.

Проверьте на своей модели

Для токовой задачи при частоте, стремящейся к нулю, ёмкостный член должен исчезнуть; для магнитной задачи с нулевой проводимостью исчезают вихревые токи.
При переносе джоулевых потерь в тепловую модель передавайте Вт/м³ либо согласованную полную мощность, а не электрическую плотность тока.
Перед расчётом укажите, какой отброшенный член уравнений мал именно для выбранного устройства и наблюдаемой величины.

Источник: руководство FEMM 5 целиком [32]. § 1 · § 1.2 · § 1.3 · § 1.3.1 · § 1.3.2 · § 1.3.3 · § 1.3.4 · § 1.3.5

Вариационный принцип и действительная роль линейного треугольника

Руководство объясняет происхождение элементов FEMM вариационным принципом. Для линейной скалярной задачи с положительным коэффициентом a можно построить функционал из энергии градиента и работы источника. При фиксированных существенных граничных значениях его стационарность даёт слабую форму уравнения. Для такого самосопряжённого случая энергетическое и галёркинское получение матрицы приводят к одному результату; это не означает, что любой комплексный или нелинейный режим буквально минимизирует положительную вещественную энергию.

На плоском линейном треугольнике неизвестный потенциал выражают через три узловых значения и три линейные функции формы. Их градиенты постоянны. Поэтому для постоянного коэффициента интеграл жёсткости элемента сводится к площади, умноженной на скалярное произведение градиентов. Общий узел обеспечивает непрерывность потенциала соседних элементов, но производные могут иметь скачок. Отсюда различие между точностью первичного потенциала и производного поля.

Осесимметричный интеграл имеет вес 2\pi r. Магнитная постановка дополнительно содержит геометрический член A_{\theta }/r в выражении B_z. В §7.1 поясняется, что FEMM использует для осесимметричной магнитной задачи подход, близкий к формулировке Henrotte; прежний вариант с изменённым потенциалом давал большие ошибки около оси. Поэтому вывод для обычного плоского линейного A нельзя механически объявить точным описанием осесимметричного магнитного элемента. На оси проверяют регулярность и известный аналитический предел поля.

После сборки получается разреженная система. Уменьшение допуска линейного решателя точнее решает уже собранную систему; оно не добавляет узлы и не исправляет дискретизацию кривых. Практическая проверка разделяет ошибку геометрии, конечных элементов, итерационного решения и исходных материалов. Линейный patch-тест проверяет воспроизведение аффинного потенциала; задача с неоднородным полем проверяет реальное уточнение сетки.

\Pi[u]=\frac12\int_\Omega a|\nabla u|^2\,d\Omega-\int_\Omega su\,d\Omega-\int_{\Gamma_N}gu\,d\Gamma,\qquad g=a\partial_nu

(Р.4.1)

Функционал линейной скалярной задачи -\nabla\cdot (a \nabla u) = s с заданными значениями на границе Дирихле. Граничный знак согласован с определением g.

\delta\Pi=0\ \Longrightarrow\ \int_\Omega a\nabla u\cdot\nabla v\,d\Omega=\int_\Omega sv\,d\Omega+\int_{\Gamma_N}gv\,d\Gamma

(Р.4.2)

Пробная вариация v равна нулю на границе Дирихле. Вариационный вывод объясняет естественное условие и слабую форму, уже используемую в занятии 2.6.

u_h=\sum_{i=1}^{3}N_i u_i,\qquad K_{ij}^{(e)}=a_e S_e\,\nabla N_i\cdot\nabla N_j

(Р.4.3)

Плоский линейный треугольник с постоянным a_{e} и площадью S_{e}. Для тензорного коэффициента используется \nabla N_{i} \cdot a_{e}\nabla N_{j}; для осесимметрии нужен соответствующий вес и оператор.

Проверьте на своей модели

На однородном прямоугольнике задайте линейный потенциал и подтвердите постоянный градиент на двух сетках.
Проверку около r = 0 выполняйте осесимметричным эталоном; не используйте прямое деление чисел на нулевой радиус.
Сеточную сходимость измеряйте по физической величине при фиксированном допуске решателя, затем отдельно проверьте чувствительность к этому допуску.

Источник: руководство FEMM 5 целиком [32]. § 1.5 · § 7 · § 7.1

Разобранный численный пример

Поле заданного линейного потенциала

Дано. В однородной плоской области A_z=0{,}002x+0{,}003y \,\text{Вб}/\text{м}, где x,y подставляются в метрах.

Производные дают две постоянные компоненты.

B_x=0{,}003\,\text{Тл},\qquad B_y=-0{,}002\,\text{Тл}
(8.22)
Модуль индукции.

B=\sqrt{0{,}003^2+0{,}002^2}=0{,}003606\,\text{Тл}
(8.23)

Ответ: B_x=3 \,\text{мТл}; B_y=-2 \,\text{мТл}; B\approx 3{,}606 \,\text{мТл}.

Проверка: Добавление постоянных 0{,}01 \,\text{Вб}/\text{м} к A_z не изменяет B, поскольку производная константы равна нулю.

Практикум в FEMM 5

Короткий опыт: Можно ли изменить потенциал, сохранив поле? · 3 минуты

Поле однородного заданного потенциала

Таблица 8.3. Исходные данные практикума
Исходная величина	Значение	Единица
Прямоугольник	x,y=-10\ldots 10	мм
Тип задачи	Planar	—
Глубина модели	20	мм
Материал	Воздух; \mu_r=1; \sigma=0
Граница Prescribed A: A_{0}	0	Вб/м
Граница Prescribed A: A_{1}	2 × 10⁻⁶	Вб/(м·мм)
Граница Prescribed A: A_{2}	3 × 10⁻⁶	Вб/(м·мм)
Частота	0	Гц

Создайте Planar-задачу с прямоугольной воздушной областью без токов.
В Boundary Properties создайте Prescribed A с A_{0}=0, A_{1}=0{,}000002, A_{2}=0{,}000003 и фазой 0; назначьте эту границу всем четырём сторонам. В проверенной сборке FEMM 5 координаты в выражении границы заданы в единицах модели: здесь миллиметры. Поэтому коэффициенты для GUI в 1000 раз меньше коэффициентов 0,002 и 0,003 в формуле с координатами в метрах; A_z по-прежнему измеряется в \text{Вб}/\text{м}. Ввод 0,002 и 0,003 при геометрии в мм дал бы 3 и -2 \,\text{Тл} вместо 3 и -2 \,\text{мТл}.
Постройте сетку, решите задачу и снимите B_x, B_y в центре и ещё в двух внутренних точках.
Сохраните копию с A_{0}=0{,}01 и повторите измерения.

Ожидаемый результат. Аналитическое поле постоянно: B_x=0{,}003 \,\text{Тл}, B_y=-0{,}002 \,\text{Тл}; прибавление постоянного потенциала не должно менять эти компоненты.

Как проверить. Числа в нескольких внутренних точках совпадают в пределах округления и ошибки решения; знак B_y объяснён производной -\partial A_z/\partial x.

Оценка результата

Как заданный потенциал определяет направление и масштаб поля?

Снимите компоненты поля в нескольких внутренних точках однородного эталона.
Проверьте знак, единицу и масштаб по постановке; используйте аналитическое поле, если для этого эталона оно выведено в занятии.

С чем сравнить. Аналитический профиль из теории применим только при тех же источниках, материале и граничных условиях. Карта цветов не заменяет численное измерение.

Итог работы. Короткая оценка однородности и соответствия производной потенциала.

Пошаговая настройка расчётного примера

Откройте отдельную страницу с последовательными действиями, точными параметрами, накопительными файлами этапов и программами с русскими комментариями.

Воздушная катушка — основной пример занятия

Все расчётные примеры курса

Ориентиры в интерфейсе

Рисунок 8.1. Поле воздушной катушки: осесимметричный магнитостатический эталон FEMM 5. Открыть в полном размере

Расчётные исследования по теме

Изучите физическую постановку, выполните программу во встроенном Python FEMM 5 и проверьте результаты по сохранённым моделям и независимым критериям.

Поле двух проводников и векторная суперпозиция
Магнитное поле нескольких проводников складывается векторно. Даже когда токи имеют одинаковую величину, их поля могут усиливаться в одной части плоскости и ослабляться в другой. Эта работа учит строить направление каждого вклада, переходить от формулы бесконечного провода к компонентам поля и сопоставлять полученную сумму с конечно-элементным решением. Сравнение проводят по двум компонентам магнитной индукции; силовые линии помогают объяснить их распределение.
Решений FEMM: 3 · Численных проверок: 7
Индуктивность двухпроводной линии и внутренняя энергия
Индуктивность двухпроводной линии зависит от поля между проводами и от поля внутри проводящего материала. На постоянном токе плотность тока равномерна, поэтому внутренняя энергия даёт конечную добавку к внешней индуктивности. В этой работе одна и та же характеристика получается из энергии всего поля и из потокосцеплений двух цепей. Эти способы имеют общий полевой расчёт, поэтому дополнительно используется отдельная аналитическая формула.
Решений FEMM: 3 · Численных проверок: 7
Катушки Гельмгольца: поле и выбор расстояния
Пара катушек Гельмгольца создаёт область, где магнитная индукция слабо меняется при небольшом смещении от центра. Особое расстояние между катушками выбирается по кривизне осевого профиля, поэтому большой центральный уровень поля сам по себе ещё не означает хорошую однородность. В работе сравниваются три расстояния при одинаковых радиусах, токах и числе витков.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 84
Катушки Максвелла и размер однородной области
Трёхкатушечная система позволяет подавить больше членов разложения поля около центра, чем обычная симметричная пара. При этом важны не только расстояния, но и отношение токов центральной и крайних обмоток. Работа показывает, как геометрическая настройка влияет на профиль и почему проверку однородности нужно задавать как измеримую характеристику области.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 84
Катушка Брукса: индуктивность и геометрическое подобие
Катушка Брукса служит удобным примером связи индуктивности с геометрическими пропорциями. Её прямоугольное сечение задаётся одним масштабом, поэтому можно отделить изменение размеров от изменения формы. В работе проверяется аналитическая оценка индуктивности и закон масштабирования при трёх геометрически подобных моделях.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 21
Конечный соленоид: длина, поле и краевой эффект
Длинный соленоид часто описывается однородным полем внутри и практически нулевым полем снаружи. Конечная катушка имеет краевые области и поток рассеяния, поэтому важно определить, какие величины можно приближать длинным соленоидом. Эта работа сравнивает центральную индукцию и энергетическую индуктивность для трёх длин одной радиальной конструкции.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 21
Взаимная индуктивность двух неодинаковых катушек
Магнитная связь двух обмоток описывается матрицей индуктивностей. Взаимные коэффициенты имеют знак, зависящий от согласованной ориентации токов, а их величина ограничена собственными индуктивностями. В работе матрица определяется двумя отдельными полевыми опытами и проверяется без подгонки к заранее сохранённому числу.
Решений FEMM: 18 · Численных проверок: 30
Цилиндрический магнитный экран и роль проницаемости
Ферромагнитный экран изменяет распределение стационарного магнитного поля: значительная часть потока проходит по материалу с большей проницаемостью, а внутренняя область получает меньшую индукцию. В этой работе поперечное поле бесконечно длинного цилиндрического экрана проверяется аналитическим решением для концентрической оболочки.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 12
Сферический магнитный экран: аналитическая проверка
Сферическая оболочка даёт полезный эталон для проверки осесимметричного магнитного расчёта. В однородном внешнем поле индукция полости также однородна, а её величина известна из аналитического согласования условий на двух сферических поверхностях. Здесь проверяются геометрический вес полного тела вращения и магнитная проницаемость материала.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 12
Сферический экран: магнитный и вихретоковый механизмы
В переменном поле проводящий ферромагнитный экран использует одновременно два механизма. Большая проницаемость отводит магнитный поток в материал, а вихревые токи создают встречное поле и рассеивают активную мощность. Частота меняет не только величину поля в полости, но и глубину его проникновения в стенку. Для правильного результата сетку необходимо согласовать с этой глубиной.
Решений FEMM: 12 · Численных проверок: 19
Скин-эффект круглого провода и комплексное внутреннее сопротивление
Скин-эффект увеличивает сопротивление массивного проводника на переменном токе даже без заметного влияния соседних проводов. Изменяющееся поле порождает вихревые токи, которые вытесняют полный ток к поверхности сечения. В работе вычисленное активное сопротивление сравнивается с аналитическим решением для круглого провода через комплексные функции Бесселя.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 21
Эффект близости: два медных проводника переменного тока
Поле соседнего проводника изменяет распределение тока в рассматриваемом проводе. При противоположных токах токи сильнее концентрируются на обращённых друг к другу сторонах, а активные потери превышают сумму потерь двух удалённых проводов. Эффект близости нужно отделять от собственного скин-эффекта, который присутствует и у одиночного провода.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 21
Стержень и труба: равная площадь меди при переменном токе
При переменном токе увеличение наружного периметра проводника может уменьшить вытеснение тока без увеличения массы меди. Сравнение стержня и трубы имеет смысл только при явно выбранном общем ограничении: одинаковом сечении металла, длине, материале и токе. В этой работе все эти величины сохранены, а меняется форма поперечного сечения.
Решений FEMM: 18 · Численных проверок: 42
Вихретоковый датчик зазора над проводящей пластиной
Вихретоковый датчик определяет положение проводящей поверхности по изменению электрического импеданса катушки. Токи в мишени создают встречное поле, изменяют реактивную составляющую и потребляют активную мощность. В работе влияние зазора изучается при неизменных катушке, частоте и материале, поэтому отклик можно использовать как основу калибровочной характеристики.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 32
Кольцевой датчик: обнаружение утонения стенки трубы
Кольцевая катушка вокруг проводящей трубы чувствительна к изменению толщины стенки. Осесимметричная модель позволяет исследовать кольцевое утонение, одинаковое по всей окружности, и оценить его влияние на комплексный импеданс. Это полезная постановка для понимания неразрушающего контроля, однако она не описывает произвольную трещину локального размера.
Решений FEMM: 6 · Численных проверок: 21
Индукционный нагрев диска и баланс активной мощности
Индукционный нагрев возникает из-за джоулева рассеяния вихревых токов, наведённых полем катушки. Гармоническая магнитная задача позволяет определить распределение мощности без одновременного расчёта температуры. В этой работе исследуется частотная зависимость нагрева немагнитного диска и проверяется энергетический баланс системы.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 30
Проводник в ферромагнитном пазу: вытеснение и потери
Ферромагнитные стенки паза усиливают и изменяют поперечное поле медного проводника. Поэтому потери зависят не только от частоты и площади меди, но и от окружающей магнитной геометрии. Работа сравнивает проводник в открытом воздушном окружении и в U-образном линейном магнитопроводе. Одинаковые токи и размеры позволяют выделить влияние проницаемости стенок.
Решений FEMM: 18 · Численных проверок: 42
Пластина шихтованного сердечника и тонколистовая формула
Шихтование уменьшает вихревые потери, ограничивая размер замкнутых токовых контуров толщиной отдельных пластин. Для понимания этого механизма полезно начать с одной явно разрешённой пластины и сравнить полевое решение с тонколистовой формулой. Работа показывает как физическую квадратичную зависимость удельных потерь от толщины, так и требования к поперечной сетке.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 12
Пучок изолированных жил: перераспределение и заданные токи
Многожильный провод может уменьшать потери за счёт малого радиуса отдельных жил, но электрическое соединение и распределение токов между жилами остаются существенными. Работа сравнивает общий параллельный вывод семи изолированных жил с условием одинакового полного тока в каждой жиле. Второй вариант задаёт идеализированное выравнивание токов, а не воспроизводит геометрию скрутки.
Решений FEMM: 12 · Численных проверок: 28
Трёхфазный шинопровод с проводящим экраном
В трёхфазном шинопроводе фазовые токи могут иметь нулевую сумму, но каждый создаёт локальное поле и потери. Проводящий экран меняет поле снаружи, а его собственные вихревые токи добавляют активную мощность. Работа отделяет потери фазных шин от потерь экрана и показывает значение комплексного фазового соглашения.
Решений FEMM: 18 · Численных проверок: 42
Матрица индуктивностей и идеализированное транспонирование
Матрица погонных индуктивностей нужна для расчёта многопроводной линии с общим обратным проводом. Числа матрицы зависят от выбранных независимых токовых контуров. В работе каждый фазный ток возвращается через одну нейтраль, поэтому энергия, собственные коэффициенты и взаимные коэффициенты имеют явное определение.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 33
Импеданс линии с возвратом тока через проводящую среду
Линия с возвратом тока через протяжённую проводящую среду имеет распределённый обратный путь. Его размер определяется не только геометрией проводника, но и глубиной проникновения поля. Работа посвящена выбору размера области и проверке общего тока среды, разбитой на несколько областей ради сгущения сетки.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 22
Индукционный нагрев трубы с зоной изменённой проводимости
Неоднородная проводимость детали изменяет распределение вихревых токов и тепловыделения при индукционном нагреве. Кольцевая зона трубы служит удобным осесимметричным примером: её можно менять независимо от геометрии катушки и основного металла. Работа сравнивает однородную трубу с участком пониженной проводимости и рассчитывает мощность каждой области отдельно.
Решений FEMM: 8 · Численных проверок: 132
Сила на малой ферромагнитной частице в поле катушки
Малая ферромагнитная частица в неоднородном поле притягивается к области большей магнитной энергии. Этот эффект позволяет сопоставить полевой расчёт силы с дипольным приближением, не используя сохранённую заранее численную силу. Работа также показывает, почему сетку следует сгущать в воздухе около тела, а не только внутри него.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 30
Дифференциальный трансформатор LVDT: знак, нуль и калибровка
Дифференциальный трансформатор преобразует перемещение магнитного сердечника в разность потокосцеплений двух вторичных обмоток. Симметричное положение даёт дифференциальный нуль, а направление смещения определяется знаком синхронно выделенного сигнала. Работа строит калибровочную характеристику из полевых опытов и проверяет симметрию и взаимность магнитной связи.
Решений FEMM: 30 · Численных проверок: 52
Индукционный каротаж: передатчик, приёмник и слоистая проводимость
В индукционном измерении передающая катушка возбуждает токи в окружающей проводящей среде, а приёмная регистрирует изменённое поле. Комплексный коэффициент передачи зависит от проводимости и расположения слоёв. Работа демонстрирует прямой полевой отклик двух катушек и проверяет его взаимность; геологическая интерпретация по этому отклику не выполняется.
Решений FEMM: 30 · Численных проверок: 59
Идеальная сфера Мейснера: исключение потока и внешнее поле
В идеальном состоянии Мейснера магнитный поток исключён из объёма тела. Для внешнего поля сферы эта идеализация задаётся условием нулевой нормальной индукции на поверхности. Работа использует точное аналитическое решение, чтобы проверить направление и перераспределение поля вокруг идеально диамагнитной сферы. Реальная модель сверхпроводящего материала здесь не вводится.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 50
Экранированный полюс: короткозамкнутый виток и фазовый сдвиг
Короткозамкнутый виток не просто ослабляет переменное поле: индуцированный ток меняет его фазу. Если виток охватывает часть полюса, соседние участки зазора получают разные комплексные индукции. Работа исследует этот механизм на неподвижном П-образном магнитопроводе и решает ток витка из полевой матрицы и уравнения замкнутой цепи.
Решений FEMM: 27 · Численных проверок: 75
Комплексная матрица импедансов: токи, общая оболочка и нагрузки
В многопроводной линии взаимная связь определяется комплексной матрицей: соседние токи меняют не только потокосцепление, но и распределение потерь. Работа извлекает полную матрицу Z трёх портов с общей проводящей оболочкой, подключает две пассивные нагрузки и проверяет найденные токи новым полевым решением.
Решений FEMM: 45 · Численных проверок: 285
Резонансная передача энергии: реальные витки, компенсация и КПД
Две связанные катушки могут передавать энергию без электрического контакта, но их взаимная индуктивность ещё не определяет полезную мощность. Последовательные конденсаторы компенсируют реактивную часть, нагрузка отражается в первичную цепь, а потери меди ограничивают КПД. Работа соединяет реальные полевые импедансы катушек с полной комплексной схемой и отдельно проверяет сеточную и частотную сходимость.
Решений FEMM: 72 · Численных проверок: 275

Все темы учебного практикума

Окна FEMM 5

Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.

Рабочая область двух прямых проводников с русскими назначениями меди и цепей. Удалённая внешняя граница магнитной задачи за кадром. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Поле двух проводников и векторная суперпозиция». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического магнитного поля двух проводников; увеличенная рабочая область. Открыть в полном размере

Рабочая область модели индуктивности двух параллельных проводов с прямой и обратной цепями. Удалённая внешняя граница за кадром. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Индуктивность двухпроводной линии и внутренняя энергия». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического магнитного поля пары проводов; увеличенная рабочая область для расчёта индуктивности. Открыть в полном размере

Меридиональный разрез катушек Гельмгольца: ось вращения слева и два сечения обмоток справа. Показана рабочая область; удалённая внешняя граница за кадром. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Катушки Гельмгольца: поле и выбор расстояния». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического поля двух соосных катушек: исследуемый вариант d/R = 0,8, R = 100 мм, центры z = ±40 мм. Показана рабочая область. Открыть в полном размере

Меридиональный разрез трёхкатушечной системы Максвелла: ось вращения слева, сечения центральной и двух крайних обмоток справа. Исследуемый вариант коэффициента осевого расстояния 1,1; удалённая граница за кадром. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Катушки Максвелла и размер однородной области». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического поля трёхкатушечной системы Максвелла. Показан исследуемый вариант коэффициента осевого расстояния 1,1; рабочая область. Открыть в полном размере

Меридиональный разрез катушки Брукса: ось вращения слева, прямоугольное сечение обмотки справа. Удалённая граница воздушной области за кадром. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Катушка Брукса: индуктивность и геометрическое подобие». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического магнитного поля; рабочая область модели. Открыть в полном размере

Меридиональный разрез конечного соленоида: ось вращения, длинное сечение обмотки и фрагмент окружающей воздушной области. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Конечный соленоид: длина, поле и краевой эффект». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического магнитного поля; рабочая область модели. Открыть в полном размере

Меридиональный разрез двух связанных катушек с межцентровым расстоянием 100 мм. Показаны ось вращения и сечения обеих обмоток; удалённая граница за кадром. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Взаимная индуктивность двух неодинаковых катушек». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического поля в отдельном опыте взаимной индуктивности: I₁ = 0 А, I₂ = 1 А, расстояние между центрами 100 мм. Рабочая область. Открыть в полном размере

Поперечное сечение цилиндрического магнитного экрана в плоской постановке: линейная оболочка с μr = 1000 и внутренняя воздушная полость. Удалённая внешняя граница за кадром. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Цилиндрический магнитный экран и роль проницаемости». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического поля цилиндрического экрана: μr = 1000, внешнее поле B₀ = 1 мТл. Плоская модель длинного цилиндра, увеличенная рабочая область. Открыть в полном размере

Меридиональный разрез сферического магнитного экрана: радиусы 100 и 110 мм, μr = 1000; ось вращения слева. Показана рабочая область, текстовые подписи скрыты в отображении. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Сферический магнитный экран: аналитическая проверка». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, в осесимметричном сферическом экране: μr = 1000, внешнее статическое поле B₀ = 1 мТл. Показана увеличенная рабочая область. Открыть в полном размере

Меридиональный разрез проводящего сферического экрана: радиусы 100 и 110 мм, μr = 100, σ = 1 МСм/м. Показана рабочая область; текстовые подписи скрыты в отображении. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Сферический экран: магнитный и вихретоковый механизмы». Норма комплексного вектора амплитуд магнитной индукции B, Тл, в сферическом экране на 800 Гц: μr = 100, σ = 1 МСм/м, B₀ = 1 мТл. Увеличенная рабочая область; контуры потенциала скрыты. Открыть в полном размере

Рабочая область круглых проводов радиусом 5 мм: центры x = −100 и +100 мм, межосевое расстояние 200 мм. Русские назначения меди и прямой/обратной цепей; удалённая граница за кадром. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Скин-эффект круглого провода и комплексное внутреннее сопротивление». Модуль комплексной амплитуды плотности тока |J|, МА/м², на 5 кГц: вытеснение тока к поверхности круглого провода. Показано увеличенное сечение прямого проводника; обратный проводник на межосевом расстоянии 200 мм за кадром. Шкала отображения 0–6 МА/м²; контуры потенциала скрыты. Открыть в полном размере

Рабочая область двух круглых проводов радиусом 5 мм с межосевым расстоянием 15 мм. Русские назначения меди и прямой/обратной цепей; удалённая граница за кадром. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Эффект близости: два медных проводника переменного тока». Модуль комплексной амплитуды плотности тока |J|, МА/м², на 5 кГц при токах ±100 А. При расстоянии 15 мм между центрами круглых проводов ток усиливается на обращённых друг к другу поверхностях. Шкала отображения 0–12 МА/м²; контуры потенциала скрыты. Открыть в полном размере

Рабочая область трубчатых шин с внутренним радиусом 4 мм и наружным 6 мм: центры x = ±15 мм, межосевое расстояние 30 мм. Видны воздушные полости и русские назначения меди и цепей; удалённая граница за кадром. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Стержень и труба: равная площадь меди при переменном токе». Модуль комплексной амплитуды плотности тока |J|, МА/м², в трубчатых шинах на 5 кГц при токах ±100 А. Радиусы 4–6 мм, межосевое расстояние 30 мм; шкала отображения 0–8 МА/м². Контуры потенциала скрыты. Открыть в полном размере

Меридиональный разрез вихретокового датчика: катушка со 100 витками над проводящей мишенью, зазор 10 мм. Слева ось вращения; показана рабочая область. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Вихретоковый датчик зазора над проводящей пластиной». Норма комплексной амплитуды B, Т; 1 кГц, зазор 10 мм. Контуры A скрыты. Открыть в полном размере

Трубный вихретоковый датчик: геометрия базового варианта без дефекта; осесимметричная модель, катушка 100 витков. Открыть в полном размере

Трубный вихретоковый датчик: поле базового варианта без дефекта при 1 кГц; норма комплексной амплитуды B, Т. Контуры A скрыты. Открыть в полном размере

Рабочая область модели «Индукционный нагрев диска и баланс активной мощности». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Индукционный нагрев диска и баланс активной мощности». Норма комплексного вектора амплитуд магнитной индукции B, Тл; гармонический режим 10000 Гц. Контуры потенциала скрыты. Открыть в полном размере

Рабочая область модели «Проводник в ферромагнитном пазу: вытеснение и потери». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Проводник в ферромагнитном пазу: вытеснение и потери». Норма комплексного вектора амплитуд магнитной индукции B, Тл; гармонический режим 2000 Гц. Контуры потенциала скрыты. Открыть в полном размере

Отдельная электротехническая пластина 20 × 0,1 мм, глубина плоской модели 1 м. Геометрия показана целиком; толщина существенно меньше ширины. Открыть в полном размере

Отдельная пластина толщиной 0,1 мм при 50 Гц: увеличенный центральный фрагмент, торцы за кадром. Норма комплексной амплитуды плотности вихревого тока |J|, МА/м²; шкала отображения 0–0,019 МА/м². Контуры A скрыты. Открыть в полном размере

Многожильный провод: семь отдельных жил и обратный проводник. Вариант с заданным равным распределением токов; подписи скрыты для читаемости геометрии. Открыть в полном размере

Многожильный провод, 10 кГц: вариант с заданным равным распределением токов по семи жилам и отдельным обратным проводником. Норма комплексной амплитуды |J|, МА/м²; шкала отображения 0–5 МА/м². Контуры A скрыты. Открыть в полном размере

Три фазные шины внутри замкнутого цилиндрического экрана. Геометрия экрана и шин показана целиком; подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Трёхфазный шинопровод с проводящим экраном». Норма комплексного вектора амплитуд магнитной индукции B, Тл; гармонический режим 2000 Гц. Контуры потенциала скрыты. Открыть в полном размере

Четырёхпроводная линия A, B, C, N: геометрия проводников; подписи скрыты для читаемости. Выбранное возбуждение C–N используется для одного столбца матрицы индуктивностей. Открыть в полном размере

Четырёхпроводная линия: статическое базисное возбуждение C–N, I_C = 1 А, I_N = −1 А; токи A и B равны нулю. Карта |B|, Т, и линии магнитного поля для одного столбца матрицы индуктивностей. Открыть в полном размере

Возврат тока через проводящую землю: общая геометрия расчётной области. Верхняя полуплоскость — воздух, нижняя — проводящая среда; малый надземный провод находится у центра. Подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размере

Линия с возвратом через проводящую землю: 50 Гц, амплитуда тока 100 А, σ = 4 См/м. Увеличенная центральная область; удалённая граница за кадром. Норма комплексной амплитуды B, Т; шкала ограничена 0–2·10⁻⁶ Т, большие значения показаны верхним цветом. Контуры A скрыты. Открыть в полном размере

Индукционный нагрев трубного стыка, версия 2: труба, катушка и вспомогательная воздушная дуга R100 мм для раздельного задания сетки. На дуге нет физического граничного условия; внешняя граница R600 мм за кадром. Подписи скрыты. Открыть в полном размере

Сила на ферромагнитную частицу: осесимметричное сечение частицы и кольцевой катушки. Подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Сила на малой ферромагнитной частице в поле катушки». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического магнитного поля; рабочая область модели. Открыть в полном размере

Дифференциальный трансформатор LVDT: осесимметричная геометрия сердечника и трёх катушек при смещении сердечника +5 мм. Подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размере

LVDT при смещении сердечника +5 мм: статическое базисное возбуждение верхней вторичной катушки током 1 А; остальные токи равны нулю. Карта |B|, Т, и линии поля для расчёта взаимной индуктивности. Открыть в полном размере

Электромагнитный каротаж: общая осесимметричная геометрия двух слоёв среды и измерительных катушек у оси. Подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размере

Электромагнитный каротаж, 100 кГц: обратное возбуждение Rx = 1 А, Tx = 0 для проверки взаимности. Увеличенная область катушек и границы пластов; удалённые границы за кадром. Норма комплексной амплитуды B, Т; шкала 0–10⁻⁵ Т, большие значения показаны верхним цветом. Контуры A скрыты. Открыть в полном размере

Идеальная сфера Мейснера: осесимметричная внешняя задача с исключённой из сетки внутренностью сферы. Показаны сфера, вспомогательная область и внешняя граница; подписи скрыты. Открыть в полном размере

Идеальная сфера Мейснера радиуса 20 мм в статическом поле B₀ = 1 мТл: увеличенное внешнее поле |B|, Т; шкала 0–0,0016 Т. Белая внутренняя область исключена из сетки, нулевая индукция внутри задаётся идеализацией модели. Удалённая граница за кадром; контуры A скрыты. Открыть в полном размере

Геометрия, русские метки и назначения: Экранированный полюс: короткозамкнутый виток и фазовый сдвиг. Геометрия учебной модели; подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Экранированный полюс: короткозамкнутый виток и фазовый сдвиг». Норма комплексного вектора амплитуд магнитной индукции B, Тл; гармонический режим 200 Гц. Контуры потенциала скрыты. Открыть в полном размере

Комплексная матрица импедансов: токи, общая оболочка и нагрузки. Геометрия учебной модели; подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размере

Матрица импедансов и связанные нагрузки: выбранная схема load1 при 50 кГц, R₂ = 0,05 Ом, R₃ = 0,005 Ом. Карта нормы комплексной амплитуды B, Т; контуры A скрыты. Открыть в полном размере

Резонансная передача энергии: реальные витки, компенсация и КПД. Геометрия учебной модели; подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размере

Резонансная беспроводная передача энергии: выбранная нагруженная рабочая точка при 98,75 кГц. Норма комплексной амплитуды B, Т; контуры A скрыты. Положение резонансного максимума определяется частотной характеристикой в расчёте. Открыть в полном размере

Самостоятельная работа

Выведите знак B_x и B_y для A_z=-0{,}004x+0{,}001y, где x,y заданы в метрах, и подтвердите ответ в FEMM. Для геометрии в миллиметрах в Prescribed A введите A_{1}=-0{,}000004 и A_{2}=0{,}000001; не переносите коэффициенты формулы СИ без пересчёта координат.

Критерий выполнения: Получены B_x=1 \,\text{мТл} и B_y=4 \,\text{мТл}; одинаковое поле в нескольких внутренних точках.

Литература

Finite Element Method Magnetics. Version 5.0. User’s Manual [32] — С. 10–12, 28–29
ENSEM. Учебные задания FEMM [19] — 7–9 скачанного ENSEM_TP_FEMM.pdf
Векторная алгебра и векторный магнитный потенциал [77] — PDF 1–31 полностью: 1–12 операции и потенциалы; 13–23 поле прямого провода; 24–28 поток, Биo–Савар, уравнения потенциала; 29–31 разностная схема.
Аналитические методы: назначение эталонов и допущения [73] — PDF 1–19 полностью: 1–4 назначение аналитики и допущения; 5–12 потенциалы и условия; 13–15 равномерный зазор; 16–19 линейный ток и МДС.
Демирчян К. С., Нейман Л. Р., Коровкин Н. В. Теоретические основы электротехники: в 2 т. Т. 2. — 5-е изд. — СПб.…

Полные библиографические описания

Пояснения и типичные ошибки

Почему потенциал удобен?

Он автоматически выполняет \nabla\cdot B=0 и уменьшает число неизвестных в 2D.

Какой член создаёт вихретоковую реакцию?

Ток \sigma(-\partial A/\partial t-\nabla V).

Является ли серия положений ротора временным решением?

Нет. Это независимые статические задачи без памяти диффузии поля.

На что обратить внимание

Путать магнитоквазистатику с магнитостатикой.
Забыть минус в B_y.
Приписывать движущемуся телу член v\times B только потому, что оно перемещено на рисунке.

Магнитостатика и магнитоквазистатика: векторный и скалярный потенциалы

Цель и задачи

Задачи

Место занятия в инженерной методике

Последовательность решения

Что включить в отчёт

Как обосновать результат

Вывод для устройства

Векторная алгебра и векторный магнитный потенциал

Аналитические методы: назначение эталонов и допущения

Теория и вывод формул

Магнитостатика: B, H и векторный потенциал

Два вектора одного поля

Магнитная индукция

Напряжённость и закон полного тока

Соленоидальность индукции

Материальное уравнение

Векторный потенциал

Плоские задачи

Классические поля

Скалярный магнитный потенциал

Граничные условия

Итоги

Векторный потенциал

Общее магнитостатическое уравнение

Плоскопараллельное сокращение

Электрическое поле при изменяющемся A

Магнитоквазистатика не означает постоянное поле

Что именно проверяет первая задача

Слабая форма объясняет роль сетки и границы

Слабая форма и система конечных элементов

Когда допустима последовательность статических положений

Четыре физических приближения и единицы источников

Калибровка Кулона

Закон Ампера в магнитостатике

Отсутствие источников магнитного потока

Материальный закон изотропной магнитной среды

Секущая проницаемость нелинейной характеристики

Определение магнитного векторного потенциала

Уравнение магнитостатики в векторном потенциале

Уравнение Пуассона для однородной магнитной среды

Ротор градиента равен нулю

Вариационный принцип и действительная роль линейного треугольника

Разобранный численный пример

Поле заданного линейного потенциала

Практикум в FEMM 5

Поле однородного заданного потенциала

Оценка результата

Пошаговая настройка расчётного примера

Расчётные исследования по теме

Окна FEMM 5

Самостоятельная работа

По теме в курсе

Литература

На что обратить внимание