Как устроен курс

Понять структуру курса и назначение лабораторий. Усвоить соглашения об обозначениях, единицах и ориентации. Знать, как в курсе маркируется происхождение данных

Десять модулей, описанных ниже, относятся к теоретическому разделу. Его главы включены в общую программу FEMM 5 и дополнены расчётными заданиями курса.

Кому адресован курс

Курс написан для студентов инженерных специальностей — электроэнергетиков, электромехаников, специалистов по электрическим аппаратам и теплотехнике, — которые уже знакомы с математическим анализом, элементами линейной алгебры и основами теории поля из курса физики. Предполагается, что читатель умеет дифференцировать и интегрировать функции нескольких переменных, знает, что такое вектор и его проекции, и помнит школьные законы Кулона, Ампера и Фарадея. Всё остальное — векторный анализ, уравнения поля, материальные соотношения, краевые задачи, тепловые модели и основы численного моделирования — выстраивается в курсе с нуля, но без упрощений, искажающих смысл.

Цель курса — не только научить считать поле, но и научить видеть его: понимать, почему линии напряжённости преломляются на границе диэлектриков, почему ток при высокой частоте вытесняется к поверхности провода, почему тепло в многослойной стенке «запинается» на контактном сопротивлении. Поэтому почти каждое ключевое понятие сопровождается интерактивной лабораторией, в которой можно повернуть сцену, передвинуть пробник и увидеть, как меняются числа.

Как построен каждый урок

Все уроки курса следуют одной логике изложения, которую полезно знать заранее — она подсказывает, где искать ответ на возникший вопрос.

Явление. Урок начинается с физической ситуации: заряд в диэлектрике, ток в проводнике, нагретая стенка. Это отвечает на вопрос «зачем».
Геометрический образ. Понятие рисуется прежде, чем записывается: градиент — как направление крутого склона, поток — как «количество линий», проходящих сквозь поверхность, ротор — как вращение маленького колёсика.
Уравнения. Даётся строгое определение (блок «Определение») и вывод (блок «Утверждение») с явным указанием всех обозначений и единиц.
Допущения и границы применимости. Для каждой формулы оговаривается, в каких условиях она верна: статика или квазистатика, линейная или нелинейная среда, гладкое поле или поле с особой точкой.
Визуализация. Раздел «Лаборатория» описывает, что показано в интерактивной сцене, какие параметры можно менять и на какие вопросы она отвечает.
Пример. Разобранный пример с числами в СИ (блок «Пример»), результат которого следует непосредственно из приведённых формул — его можно и нужно пересчитать самостоятельно.
Интерпретация. Что означает полученное число для инженера: допустимо ли оно, как оно изменится при изменении параметров, какие типичные ошибки (блок «Типичные ошибки») приводят к неверному результату.

Урок завершается вопросами для самопроверки (ответы к части из них скрыты и раскрываются по щелчку) и кратким перечнем «Итоги» со ссылкой на следующий урок. Заголовок, цели обучения и список пререквизитов формируются автоматически и показаны над текстом.

Карта курса

Курс разбит на десять модулей. Уроки, снабжённые лабораторией, отмечены знаком ⚙.

M0. Введение

Как устроен курс — этот урок.

M1. Математический язык полей

M2. Уравнения поля и краевые задачи

M3. Электростатика

M4. Поля электрического тока

M5. Магнитостатика

M6. Гармонические магнитные поля

M7. Интегральные величины и инженерные параметры

M8. Тепловые поля

M9. Связанные задачи и численное моделирование

Модули M1 и M2 — фундамент: без них невозможно читать остальные. Модули M3–M6 можно изучать в указанном порядке, модуль M8 (тепловые поля) опирается только на градиент и дивергенцию из M1 и может быть пройден сразу после них. Модуль M9 собирает всё вместе и объясняет, как те же уравнения решаются численно.

Соглашения об обозначениях и единицах

Единицы и запись чисел

Все формулы и примеры курса записаны в Международной системе единиц (СИ): метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин. Производные единицы — вольт, тесла, вебер, ватт и другие — выражаются через основные без дополнительных множителей, поэтому в формулы не входят коэффициенты вида $4\pi$ или $1/c$ , характерные для гауссовой системы. Числа записываются в русском формате: десятичный разделитель — запятая ( $0{,}5$ ; $1{,}2\cdot10^{-3}$ ), разряды групп не отделяются. Электрическая и магнитная постоянные: $\varepsilon_0=8{,}854\cdot10^{-12}$ Ф/м, $\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}$ Гн/м $\approx1{,}2566\cdot10^{-6}$ Гн/м [CODATA].

Температура в формулах — абсолютная, в кельвинах; градусы Цельсия допускаются только при описании «бытовых» температур («стенка нагрета до 80 °C»), а в законе Стефана–Больцмана и других формулах излучения — только кельвины. Буква $\rho$ без индекса обозначает объёмную плотность заряда (Кл/м³); удельное электрическое сопротивление записывается как $\rho_{\mathrm э}$ (Ом·м), плотность массы — $\rho_m$ (кг/м³).

Векторы и операторы

Векторные величины набираются полужирным шрифтом: $\uE$ , $\uB$ , $\uJ$ , $\uq$ . Модуль вектора — обычным: $E=|\uE|$ . Единичные базисные векторы — $\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z$ в декартовой системе и $\vec e_r,\vec e_\alpha,\vec e_z$ в цилиндрической; радиус-вектор точки — $\ur$ , единичная нормаль — $\un$ . Дифференциальные операторы записываются словами и полностью равнозначны записи через оператор «набла» $\nabla$ : $\nabla \varphi\equiv\nabla\varphi,\qquad \nabla\cdot \vec F\equiv\nabla\cdot\vec F,\qquad \nabla\times \vec F\equiv\nabla\times\vec F,\qquad \Delta\varphi\equiv\nabla^2\varphi\equiv\nabla\cdot \nabla \varphi .$ Оператор ротора в англоязычной литературе обозначается $\nabla\times$ ; в курсе принято традиционное для русской школы $\nabla\times$ . Дифференциал записывается прямой буквой: $\dd x$ , $\dl$ , $\dS$ , $\dV$ .

Главный источник обозначений для нас — учебники [Бессонов] и [Демирчян]; при расхождениях с ними в тексте даётся явное пояснение. Полный перечень символов с единицами и ссылками на уроки собран в глоссарии.

Гармонические процессы и комплексные амплитуды

Значительная часть курса (модули M4, M6, M7) посвящена полям, изменяющимся во времени по синусоидальному закону. Для них применяется метод комплексных амплитуд, и здесь важно зафиксировать соглашения, поскольку в литературе они различаются.

Соглашение о комплексных амплитудах

Мнимая единица обозначается $\ii$ , $\ii^2=-1$ . Гармоническая величина $x(t)=X_m\cos(\omega t+\psi)$ с амплитудой $X_m$ , угловой частотой $\omega=2\pi f$ и начальной фазой $\psi$ представляется комплексной амплитудой (фазором) $\cplx X=X_m e^{\ii\psi},\qquad x(t)=\Re\{\cplx X e^{\ii\omega t}\}.$ Временная зависимость — $e^{\ii\omega t}$ (не $e^{-\ii\omega t}$ ); комплексные амплитуды — амплитудные, а не действующие значения. Действующее значение $X=X_m/\sqrt2$ .

Два пояснения. Во-первых, буква $\ii$ выбрана вместо принятой в математике $i$ потому, что в электротехнике $i(t)$ — мгновенный ток; при записи $\ii\omega L\cplx I$ путаница исключена (полужирная $\uJ$ — плотность тока — с прямой $\ii$ не смешивается). Во-вторых, выбор $e^{\ii\omega t}$ означает, что дифференцирование по времени сводится к умножению на $\ii\omega$ : $\dd x/\dd t\leftrightarrow\ii\omega\cplx X$ . В курсах теоретической физики, например [Ландау] и [Джексон], принята зависимость $e^{-i\omega t}$ ; их формулы переходят в наши заменой $i\to-\ii$ (комплексным сопряжением). Так, коэффициент затухания поля в проводнике записывается у них через $\sqrt{-i}=(1-i)/\sqrt2$ , а у нас — через $\sqrt{\ii}=(1+\ii)/\sqrt2$ , тогда как сама глубина проникновения $\delta$ вещественна и от соглашения не зависит. При сопоставлении с литературой на это следует обращать внимание.

Из амплитудного соглашения вытекает запись средней мощности: $P=\tfrac12\Re\{\cplx U\cplx I^*\}$ , где звёздочка — комплексное сопряжение, а множитель $\tfrac12$ появляется именно потому, что амплитуды не действующие.

Соглашения об ориентации

Многие величины в теории поля — поток, циркуляция, ЭДС — имеют знак, зависящий от выбора направления. Чтобы знаки в курсе были согласованы с лабораториями, принимаются три правила.

Правила ориентации

Нормаль к замкнутой поверхности — внешняя. Поток $\oint_S\vec F\cdot\un\,\dS$ положителен, если поле «выходит» из объёма.
Правило правого винта. Для поверхности с краем направление обхода контура $L$ и нормаль $\un$ связаны так: если смотреть с конца вектора $\un$ , обход совершается против хода часовой стрелки. Иначе: если пальцы правой руки указывают направление обхода, большой палец даёт $\un$ .
ЭДС индукции $e=-\dd\Psi/\dd t$ , где потокосцепление $\Psi$ вычислено с нормалью, согласованной по правилу 2 с положительным направлением обхода контура (которое принимается и за положительное направление ЭДС и тока).

Знак «минус» в третьем правиле — закон Ленца, но только при согласованной ориентации: если нормаль выбрать противоположной, знак формально сменится, а физика, разумеется, нет. В лаборатории потокосцепления стрелка положительного направления обхода показана на сцене явно.

Как пользоваться лабораториями

Интерактивные лаборатории открываются прямо в тексте урока в месте, где они нужны. Трёхмерную сцену можно вращать (перетаскивание мышью или одним пальцем), сдвигать (перетаскивание правой кнопкой или двумя пальцами) и масштабировать (колесо прокрутки или щипок). На панели параметров справа (на узких экранах — снизу) каждый параметр представлен ползунком, числовым полем и единицей измерения; кнопка «Сброс» возвращает исходные значения, а заранее подобранные варианты — например, набор полей с положительной, отрицательной и нулевой дивергенцией — выбираются из списка. Пробник — перемещаемая точка, в которой выводятся локальные значения: компоненты поля, модуль градиента, производная по направлению. У каждой сцены есть текстовая альтернатива, пригодная для чтения с экрана и для случаев, когда трёхмерная графика недоступна; все элементы управления доступны с клавиатуры.

Происхождение данных

Каждая лаборатория снабжена пометкой о том, откуда взяты показываемые числа:

аналитическое решение — вычислено по замкнутым формулам, приведённым в уроке;
численное решение — получено дискретизацией (например, методом конечных элементов) с указанием метода и размера сетки; такие данные имеют погрешность, которая обсуждается в уроке о сходимости (модуль M9);
качественная иллюстрация — картина передаёт характер явления, а не количественный результат;
предвычисленные данные — рассчитаны заранее для набора параметров и воспроизводятся без пересчёта (например, временная шкала нестационарного прогрева). В графиках происхождение каждой кривой указано в легенде (например, «Кранк–Николсон» и «аналитический ряд»), а качественные элементы — линии поля, оттенки фона — изображаются полупрозрачно.

Линии поля — не траектории

Линии поля (силовые линии, линии тока, линии магнитной индукции) — это геометрическое представление направления вектора: касательная к линии в каждой точке совпадает с направлением поля. Они не являются траекториями каких-либо частиц: заряд, обладающий инерцией, в общем случае не движется вдоль линии $\uE$ ; линии $\uB$ никуда не «текут», хотя в анимациях их иногда рисуют движущимися. Густота линий отражает модуль поля лишь при специальном построении (в плоских задачах — при равном шаге потока между соседними линиями), поэтому выводы о величине поля в курсе всегда делаются по числам, а не по рисунку.

Что входит в курс и что остаётся за его рамками

Курс охватывает электростатику, поля постоянного и гармонического тока, магнитостатику, квазистационарные магнитные поля (вихревые токи, скин-эффект), тепловые поля в твёрдых телах и методы перехода от распределённого поля к сосредоточенным параметрам — ёмкости, индуктивности, сопротивлению, тепловому сопротивлению. Отдельно рассматривается, как эти задачи решаются численно и как проверять результат.

За рамками курса остаются электромагнитные волны, излучение антенн и волноводы: соответствующие явления упоминаются только там, где нужно указать границы применимости статических и квазистатических приближений (условие малости размеров системы по сравнению с длиной волны). Конвекция и тепловое излучение рассматриваются не как самостоятельные механизмы переноса, а только как граничные модели — коэффициент теплоотдачи $\alpha$ и закон Стефана–Больцмана на поверхности тела; движение жидкости и перенос излучения в объёме не изучаются. Магнитные материалы описываются однозначной кривой $B(H)$ без учёта гистерезиса; потери на гистерезис обсуждаются качественно.

Глоссарий и литература

Глоссарий содержит все обозначения курса с единицами измерения, кратким определением и ссылками на уроки, где символ вводится. Ссылки на него встроены в текст: например, дивергенция. Библиография включает только реально существующие издания; в тексте они обозначаются фамилией первого автора в квадратных скобках — [Бессонов], [Тамм], [Кочин]. Для векторного анализа рекомендуются [Кочин] и [Борисенко], для строгого изложения интегральных теорем — [Фихтенгольц], для уравнений поля — [Бессонов], [Демирчян] и [Тамм], для теплопроводности — [Лыков] и [Исаченко].

Вопросы для самопроверки

Чем комплексная амплитуда $\cplx I=5e^{\ii\pi/6}$ А отличается от действующего значения тока? Чему равно действующее значение?
Запишите $\dd^2x/\dd t^2$ для гармонической величины $x(t)$ через её комплексную амплитуду. Как изменился бы ответ при соглашении $e^{-\ii\omega t}$ ?
Через замкнутую поверхность поток $\oint\uJ\cdot\un\,\dS$ оказался отрицательным. Заряд внутри объёма растёт или убывает?
Почему пометка «численное решение» в лаборатории сопровождается указанием размера сетки, а пометка «аналитическое решение» — нет?
Является ли линия магнитной индукции траекторией движения какого-либо объекта? Приведите довод.

Ответы к пунктам 1–3

1. Амплитуда тока 5 А, начальная фаза 30°; мгновенный ток $i(t)=5\cos(\omega t+\pi/6)$ А. Действующее значение $I=5/\sqrt2\approx3{,}54$ А.

2. $\dd^2x/\dd t^2\leftrightarrow(\ii\omega)^2\cplx X=-\omega^2\cplx X$ . При соглашении $e^{-\ii\omega t}$ результат тот же ( $(-\ii\omega)^2=-\omega^2$ ), но первая производная сменила бы знак: $-\ii\omega\cplx X$ .

3. Поток плотности тока через внешнюю нормаль — это ток, вытекающий из объёма. Отрицательный поток означает, что ток втекает, и заряд внутри растёт: $\dd Q/\dd t=-\oint\uJ\cdot\un\,\dS>0$ .

Итоги

Каждый урок проходит путь «явление → геометрия → уравнения → допущения → визуализация → пример → интерпретация».
Единицы — СИ, числа — в русском формате, векторы — полужирные, операторы $\nabla$ , $\nabla\cdot$ , $\nabla\times$ равнозначны $\nabla$ , $\nabla\cdot$ , $\nabla\times$ .
Гармонические процессы описываются амплитудными комплексными амплитудами при зависимости $e^{\ii\omega t}$ ; мнимая единица — $\ii$ .
Нормаль к замкнутой поверхности внешняя, обход и нормаль связаны правилом правого винта, $e=-\dd\Psi/\dd t$ .
Лаборатории помечают происхождение данных; линии поля — средство изображения направления, а не траектории.

Далее — скалярные и векторные поля и системы координат: язык, на котором будут записаны все последующие уравнения.

Применение в FEMM 5

Новый интерфейс FEMM 5 и расположение инструментов