От поля к интегральным величинам

Поток электрического смещения и заряд

$$\Psi_{\mathrm э}=\int_S\uD\cdot\un\,\dS\ \ [\text{Кл}],\qquad Q=\int_V\rho\,\dV\ \ [\text{Кл}].$$ Для замкнутой поверхности $S$ с внешней нормалью теорема Гаусса даёт $\Psi_{\mathrm э}=Q$ — свободный заряд внутри. Отсюда способ измерить заряд электрода по полю: охватить электрод любой замкнутой поверхностью, лежащей в диэлектрике, и проинтегрировать нормальную составляющую $\uD$. Результат не зависит от выбора поверхности, пока она не захватывает других зарядов.

Магнитный поток и потокосцепление

$$\Phi=\int_S\uB\cdot\un\,\dS\ \ [\text{Вб}],\qquad \Psi=\sum_{k=1}^N\Phi_k\ \ [\text{Вб}].$$ Поверхность $S$ опирается на контур витка, нормаль согласована с положительным направлением тока в нём по правилу правого винта. Так как $\nabla\cdot \uB=0$, поток не зависит от выбора натянутой поверхности — только от контура. Потокосцепление обмотки — сумма потоков всех витков; равенство $\Psi=N\Phi$ справедливо лишь при одинаковых потоках витков (см. поток и потокосцепление). Через векторный потенциал $\Phi=\oint_L\uA\cdot\dl$.

Ток

$$I=\int_S\uJ\cdot\un\,\dS\ \ [\text{А}].$$ Поверхность $S$ пересекает проводник; её ориентация задаёт знак тока. В стационарном режиме ($\nabla\cdot \uJ=0$) ток один и тот же через любое сечение одного проводника. При переменных полях это верно лишь в МКС-приближении, где ток смещения пренебрежим; иначе поверхности, охватывающие заряд, дают разные значения $I$.

Напряжение

$$U_{AB}=\int_A^B\uE\cdot\dl\ \ [\text{В}]$$ — линейный интеграл вдоль ориентированного пути от $A$ к $B$. В статическом поле $\nabla\times \uE=0$, интеграл не зависит от пути и равен разности потенциалов $\varphi_A-\varphi_B$. В переменном поле $\oint\uE\cdot\dl=-\dd\Phi/\dd t\ne0$, и напряжение между двумя точками зависит от пути: два пути $A\to B$ отличаются на ЭДС контура, образованного ими. Поэтому «напряжение на зажимах» переменного устройства имеет смысл только вместе с указанием, как проложены измерительные провода, а в теории цепей — при допущении, что вне элементов переменный поток отсутствует.

Ёмкость двухэлектродной системы

Для двух проводников с зарядами $+Q$ и $-Q$ в линейном диэлектрике $$C=\frac{Q}{U}\ \ [\text{Ф}],$$ где $U$ — напряжение между ними. Линейность среды гарантирует, что отношение не зависит от $U$. Через энергию: $C=2W_{\mathrm э}/U^2=Q^2/(2W_{\mathrm э})$.

Собственная индуктивность

Для контура (обмотки) с током $I$ в линейной среде $$L=\frac{\Psi}{I}\ \ [\text{Гн}],\qquad\text{эквивалентно}\qquad L=\frac{2W_{\mathrm м}}{I^2},$$ где $\Psi$ — потокосцепление собственного поля, $W_{\mathrm м}$ — энергия магнитного поля во всём пространстве. Два определения совпадают только в линейной системе; в нелинейной вводят секущую и дифференциальную индуктивности (см. следующий урок). Для тонких проводов определение через поток требует оговорки, где проходит контур внутри провода; определение через энергию её не требует и автоматически включает внутреннюю индуктивность.

Взаимная индуктивность

Потокосцепление контура 1, создаваемое током контура 2: $$M_{12}=\frac{\Psi_{12}}{I_2}\ \ [\text{Гн}].$$ Теорема взаимности: $M_{12}=M_{21}$. Для тонких контуров в немагнитной среде это видно из формулы Неймана $$M_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L_1}\oint_{L_2}\frac{\dl_1\cdot\dl_2}{|\ur_1-\ur_2|},$$ симметричной относительно перестановки контуров [Калантаров]. Знак $M$ зависит от выбора положительных направлений обхода в обоих контурах.

Сопротивление

$$R=\frac{U}{I}=\frac{P}{I^2}\ \ [\text{Ом}],\qquad G=\frac1R\ \ [\text{См}],$$ где $U$ — напряжение между электродами проводника, $I$ — ток через любое его сечение, $P=\int_V\uJ\cdot\uE\,\dV$ — мощность потерь Джоуля. Два определения совпадают при линейном законе Ома $\uJ=\sigma\uE$; определение через мощность удобнее в численных моделях, так как объёмный интеграл сходится быстрее линейного.

Мощность потерь

$$P=\int_V\uJ\cdot\uE\,\dV=\int_V\sigma E^2\,\dV\ \ [\text{Вт}]$$ — мгновенная мощность. Для гармонических полей с амплитудными фазорами средняя мощность $$P=\tfrac12\int_V\Re\{\cplx{\uJ}\cdot\cplx{\uE}^*\}\dV=\tfrac12\int_V\frac{|\cplx{\uJ}|^2}{\sigma}\dV$$ (см. фазоры). Пропуск множителя $\tfrac12$ — ошибка вдвое.

Импеданс

Для гармонического режима отношение комплексных амплитуд напряжения и тока $$Z=\frac{\cplx U}{\cplx I}=R+\ii X\ \ [\text{Ом}].$$ Активная часть связана со средними потерями: $R=2P/|\cplx I|^2$; реактивная — со средней запасённой энергией: для магнитной системы $X=\omega L$, где $L=4\langle W_{\mathrm м}\rangle/|\cplx I|^2$. Поскольку напряжение в переменном поле зависит от пути, $Z$ привязан к определённому расположению зажимов. При скин-эффекте $R$ и $L$ зависят от частоты (вихревые токи).

Энергия поля (линейная среда)

$$W_{\mathrm э}=\tfrac12\int_V\uE\cdot\uD\,\dV,\qquad W_{\mathrm м}=\tfrac12\int_V\uB\cdot\uH\,\dV\ \ [\text{Дж}],$$ интеграл — по всему пространству, где поле отлично от нуля. Множитель $\tfrac12$ справедлив лишь для линейных сред; общие выражения $\int\uH\cdot\dd\uB$ рассматриваются в уроке об энергии и коэнергии.

Тепловой поток

$$P=\int_S\uq\cdot\un\,\dS\ \ [\text{Вт}]$$ — мощность, уходящая через поверхность $S$ в направлении нормали. Для замкнутой поверхности в стационарном режиме равен суммарному тепловыделению внутри: $\oint\uq\cdot\un\,\dS=\int_Vq_V\,\dV$. Это тепловой аналог теоремы Гаусса и основа проверки энергетического баланса.