Размерность моделей: плоские и осесимметричные задачи

Зачем понижать размерность

Реальные устройства трёхмерны, но трёхмерный расчёт дорог: число узлов растёт как куб от числа узлов вдоль ребра, а вместе с ним — память, время и трудность анализа результата. К счастью, большинство электротехнических конструкций обладает симметрией, и поле в них по существу зависит лишь от двух координат. Длинная шина, пакет листов статора, коаксиальный кабель — поле в них повторяется от сечения к сечению. Катушка соленоида, индуктор нагревателя, круглый изолятор — поле в них повторяется при поворотах вокруг оси. В первом случае говорят о плоской (плоскопараллельной) модели, во втором — об осесимметричной. Обе двумерны, но математика и правила пересчёта в них разные, и перепутать их — распространённая и дорогая ошибка.

Трансляционная симметрия: плоская модель

Для электростатики и теплопроводности следствия просты: $\varphi=\varphi(x,y)$, $\uE=-\nabla \varphi$ лежит в плоскости сечения, уравнение Пуассона записывается в двух переменных. В магнитостатике картина своеобразнее. Токи, создающие поле длинного устройства, текут вдоль $z$: $\uJ=J_z(x,y)\,\vec e_z$. Тогда и векторный потенциал имеет одну составляющую, $\uA=A_z(x,y)\,\vec e_z$, а индукция $$\uB=\nabla\times \uA=\frac{\partial A_z}{\partial y}\vec e_x-\frac{\partial A_z}{\partial x}\vec e_y$$ лежит в плоскости сечения и перпендикулярна току. Уравнение магнитостатики $\nabla\times (\mu^{-1}\nabla\times \uA)=\uJ$ сводится к скалярному $$-\nabla\cdot \left(\frac1\mu\nabla A_z\right)=J_z ,$$ формально совпадающему с уравнением Пуассона для потенциала [Бессонов; Демирчян]. Калибровка здесь не нужна: $\nabla\cdot \uA=\partial A_z/\partial z=0$ выполняется автоматически. Линии уровня $A_z=\mathrm{const}$ являются силовыми линиями $\uB$ — так построены картины потока в лаборатории магнитной цепи.

Разность $A_z$ между двумя точками — это поток на единицу глубины, Вб/м, что согласуется с единицей векторного потенциала.

Величины на единицу длины и пересчёт на глубину

Плоская задача ничего не знает о $d$: она решается в сечении, и все интегралы по области берутся по площади. Поэтому «извлекаемые» из неё величины — это величины на единицу глубины, которые принято снабжать штрихом. Чтобы получить параметры реального устройства, нужно понять, как каждая величина зависит от $d$.

Обратите внимание на две строки о сопротивлении. Если ток течёт вдоль $z$ (шина, жила кабеля, сторона обмотки в пазу), то в плоской задаче задаётся полный ток $I$ в сечении площадью $S$, плотность $J_z=I/S$, а потери на единицу длины $P'=\rho_{\mathrm э}J_z^2S$. Чем глубже устройство, тем длиннее путь тока: $R=\rho_{\mathrm э}d/S$ — сопротивление растёт с глубиной, как и потери. Если же ток течёт в плоскости сечения (между двумя электродами, вытянутыми вдоль $z$), то увеличение глубины добавляет параллельные пути: $R=R'/d$ — сопротивление убывает. Такова же природа теплового сопротивления стенки: тепло в плоской тепловой задаче течёт в плоскости сечения, и $R_{\mathrm т}=\Delta T/P=\Delta T/(P'd)$.

Ёмкость и индуктивность линии растут с глубиной по той же причине, что и проводимость: удлинение линии добавляет параллельно включённые «ломтики» ёмкости и последовательно — потокосцепление с тем же током.

Когда плоская модель непригодна

Плоская модель предполагает бесконечную протяжённость вдоль $z$. На концах реального устройства поле замыкается иначе: у короткой катушки значительная часть потока проходит через торцы, у электрической машины лобовые части обмоток создают поля, не имеющие аналога в сечении, у конденсатора конечной длины краевое поле добавляет к $C'd$ ёмкость торцов. Правило грубой оценки: плоская модель применима, когда глубина $d$ в несколько раз превышает поперечный размер области, в которой поле существенно, а искомая величина интегральна по длине. Концевые эффекты либо оценивают отдельно (поправки на «выпучивание» в магнитных цепях, формулы для лобового рассеяния), либо требуют трёхмерного расчёта.

Вращательная симметрия: осесимметричная модель

Для скалярных задач $\varphi=\varphi(r,z)$, $T=T(r,z)$, и градиент содержит лишь компоненты $\partial/\partial r$ и $\partial/\partial z$ (см. урок о градиенте). В магнитостатике токи, обладающие осевой симметрией и создающие поле катушек, текут по окружностям: $\uJ=J_\alpha(r,z)\vec e_\alpha$. Соответственно $\uA=A_\alpha(r,z)\vec e_\alpha$, а индукция лежит в меридиональной плоскости: $$B_r=-\frac{\partial A_\alpha}{\partial z},\qquad B_z=\frac1r\frac{\partial(rA_\alpha)}{\partial r}.$$ Здесь важно не спутать две осесимметричные ситуации. Ток, текущий вдоль оси круглого провода, тоже обладает вращательной симметрией, но создаёт азимутальное поле $B_\alpha(r)$, описываемое потенциалом $A_z$ — такая задача одновременно и плоская (сечение провода), и одномерная по $r$; именно так решена задача о скин-эффекте в круглом проводе. Осесимметричная формулировка с $A_\alpha$ предназначена для азимутальных токов: соленоидов, индукторов, колец.

Отсюда линии уровня величины $rA_\alpha$ (а не $A_\alpha$!) являются силовыми линиями $\uB$ в меридиональной плоскости; произведение $rA_\alpha$ часто называют функцией потока. На оси $A_\alpha(0,z)=0$: окружность нулевого радиуса не охватывает потока.

Множитель $2\pi r$

Элемент объёма в цилиндрических координатах $\dV=r\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z$. При интегрировании по $\alpha$ от $0$ до $2\pi$ независимой от угла функции получаем $$\dV\to2\pi r\,\dd r\,\dd z ,$$ то есть каждому элементу меридионального сечения площадью $\dd r\,\dd z$ соответствует кольцо объёмом $2\pi r\,\dd r\,\dd z$. Все объёмные интегралы осесимметричной задачи берутся с этим весом: $$W=\int\!\!\int w(r,z)\,2\pi r\,\dd r\,\dd z,\qquad P=\int\!\!\int p(r,z)\,2\pi r\,\dd r\,\dd z,\qquad Q=\int\!\!\int\rho\,2\pi r\,\dd r\,\dd z .$$ Тот же вес появляется в элементных матрицах МКЭ: $K^e_{ij}=\int\varepsilon\,\nabla N_i\cdot\nabla N_j\,2\pi r\,\dd r\,\dd z$ — площадь элемента умножается на $2\pi r_c$, где $r_c$ — радиус его центра тяжести (точно для линейных функций формы). Следствие: элементы одинакового размера, но расположенные дальше от оси, «весят» больше, а материал у самой оси почти не вносит вклада в интегральные величины. Поверхностные интегралы по поверхностям вращения берутся с весом $2\pi r\,\dd l$, где $\dd l$ — элемент длины кривой в меридиональном сечении.

В осесимметричной задаче результат уже является полным, а не погонным: интегрирование по $\alpha$ выполнено аналитически. Никаких множителей на «глубину» нет — глубины нет.

Ось симметрии как граница

Ось $r=0$ — граница расчётной области, хотя физически там ничего не происходит. Условия на ней следуют из гладкости поля: для скалярных величин $\partial\varphi/\partial r=0$, $\partial T/\partial r=0$ (однородное условие Неймана, которое, как показано в уроке о численном моделировании, является естественным и не требует действий); для азимутального потенциала $A_\alpha=0$ (условие Дирихле, задаётся явно). Проводник, пересекающий ось, невозможен в формулировке с $A_\alpha$ — азимутальный ток на оси не имеет смысла.

Лаборатория

Открыть опыт: Осесимметричная модель: конечный соленоид

Лаборатория решает осесимметричную задачу магнитостатики для катушки прямоугольного сечения (внутренний радиус $R_1$, наружный $R_2$, длина $\ell$, $N$ витков, ток $I$) в воздухе или с цилиндрическим сердечником на оси; ток в обмотке азимутальный, равномерно распределённый по сечению: $J_\alpha=NI/[(R_2-R_1)\ell]$. Неизвестная — функция потока $u=rA_\alpha$, для которой уравнение $\nabla\times (\mu^{-1}\nabla\times \uA)=\uJ$ принимает вид $$-\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{\mu r}\frac{\partial u}{\partial r}\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{1}{\mu r}\frac{\partial u}{\partial z}\right)=J_\alpha,\qquad B_r=-\frac1r\frac{\partial u}{\partial z},\quad B_z=\frac1r\frac{\partial u}{\partial r},$$ а энергия $W=\int\!\!\int\frac{B^2}{2\mu}\,2\pi r\,\dd r\,\dd z=\pi\int\!\!\int\frac{1}{\mu r}|\nabla u|^2\,\dd r\,\dd z$ — множитель $2\pi r$ объёма вращения и деление на $r^2$ при переходе от $u$ к $\uB$ вместе дают вес $1/r$. На оси и на удалённой внешней границе $A_\alpha=0$. На экране — меридиональная полуплоскость $(r,z)$: карта $|\uB|$ и линии потока, то есть линии уровня $rA_\alpha$, проведённые так, что между соседними линиями заключён одинаковый поток ($\Phi=2\pi u$). Переключатель «полное сечение» зеркально отражает полуплоскость — это операция отображения, о которой говорилось выше, а не второй расчёт. Знаки ⊗ и ⊙ в обмотке показывают направление тока (за экран и к наблюдателю): система $(r,\alpha,z)$ правая, при $I>0$ справа от оси ток направлен за экран и $B_z>0$ внутри катушки.

Что менять и на что смотреть:

• Длина катушки. При $\ell\gg R_2$ поле внутри однородно и равно $\mu_0nI$; укорачивая катушку, наблюдайте, как поле на оси в центре отстаёт от этого предела, а у торцов спадает до половины. Численное $B_z(0,z)$ сравнивается с замкнутой формулой для поля на оси конечного соленоида и с пределом $\mu_0nI$; показание «расхождение в центре» — относительная разность численного и точного значений (для катушки без сердечника; при обычной сетке она составляет десятые доли процента).
• Сетка. Переключатель «грубая / обычная / мелкая» меняет шаг сетки примерно в полтора раза; сравнивая показания, можно оценить погрешность дискретизации — подробнее об этом в следующем уроке.
• Поток через круг. Зонд задаёт круг радиуса $r_p$ в плоскости $z_p$; показание $\Phi=2\pi r_pA_\alpha$ читается прямо из решения. Внутри длинного соленоида $\Phi=\mu_0nI\,\pi r_p^2$; график $\Phi(r)$ показывает, что поток растёт до обмотки, а дальше убывает — внешние линии замыкаются в обратном направлении (ответ к упражнению 4).
• Энергия и индуктивность. $W$ вычисляется с весом $2\pi r$ и является полной, а не погонной; $L=2W/I^2$ сравнивается с $L_\infty=\mu_0n^2\pi a^2\ell$ для тонкого соленоида среднего радиуса $a=(R_1+R_2)/2$ и с $L_N=K_NL_\infty$, где $K_N(2a/\ell)<1$ — коэффициент Нагаоки, учитывающий конечную длину (при $\ell/2a=10$ он равен 0,959, при $\ell=2a$ — 0,688). Для толстой обмотки численное $L$ ниже и этого эталона — витки на разных радиусах сцеплены с разным потоком: для длинной катушки дефицит составляет примерно $(R_2-R_1)/(3a)$.
• Сердечник. Цилиндр с линейной $\mu_r$ лежит на оси: это допустимо, поскольку ось — граница лишь для $A_\alpha$, а не для материала. Короткий сердечник увеличивает $L$ далеко не в $\mu_r$ раз — его размагничивают собственные торцы.

Какие устройства какой модели соответствуют

Одна конструкция может требовать обеих моделей для разных вопросов: активная часть машины — плоская, а её лобовые части — существенно трёхмерные; индуктор нагревателя осесимметричен, но подводящие шины к нему — нет.

Трёхмерная визуализация и научная честность

Осесимметричное решение можно «повернуть» вокруг оси и показать как объёмное тело с цветной картой; плоское — «вытянуть» на глубину $d$. Это удобно для восприятия, но следует отдавать себе отчёт: поворот и вытягивание — операции отображения, а не расчёта. Решение по-прежнему двумерно и предполагает идеальную симметрию. Оно не является трёхмерным решением задачи для произвольной геометрии и ничего не знает о том, что в реальном устройстве симметрию нарушает. В этом курсе принят принцип: любое объёмное изображение, построенное из двумерного решения, помечается как таковое, и по нему нельзя судить о трёхмерных эффектах.

Что именно теряется при нарушении симметрии:

• Катушка с токоподводом. Выводы катушки — радиальные проводники, нарушающие вращательную симметрию. Их поле локально сравнимо с полем витков, но на интегральную индуктивность длинной катушки влияет слабо. Осесимметричная модель верна для $L$ и для поля внутри, но не для поля вблизи выводов и не для потерь в них.
• Цилиндр с продольным пазом. Паз делает задачу трёхмерной. Если он узкий и глубина его влияния мала по сравнению с радиусом, осесимметричная модель с «размазанным» по окружности пазом может дать приемлемую среднюю температуру, но не локальный перегрев у кромки паза.
• Плоская модель короткого объекта. Если глубина $d$ соизмерима с поперечным размером, поле у торцов не описано вовсе; погрешность величин, пропорциональных $d$, порядка отношения поперечного размера к $d$.

Во всех этих случаях честная формулировка результата — «в предположении осевой (трансляционной) симметрии», а оценка потерянного эффекта требует либо отдельной модели, либо эксперимента.

Итоги

• Трансляционная симметрия даёт плоскую модель: $\partial/\partial z=0$, $\uA=A_z\vec e_z$, токи вдоль $z$, $\uB$ в плоскости сечения; поток на единицу глубины — разность $A_z$.
• Результаты плоской модели — погонные величины. Ёмкость, индуктивность, энергия, потери, сила и сопротивление продольного проводника умножаются на глубину $d$; сопротивления при токе в плоскости (электрическое, тепловое) делятся на $d$; поля и потенциалы от $d$ не зависят.
• Вращательная симметрия даёт осесимметричную модель в плоскости $(r,z)$: $\uA=A_\alpha\vec e_\alpha$, азимутальные токи, $\Phi=2\pi rA_\alpha$, объёмные интегралы с весом $2\pi r$; результат полный, не погонный; на оси $A_\alpha=0$, $\partial T/\partial r=0$.
• Поворот и вытягивание двумерного решения — операции отображения; они предполагают идеальную симметрию и не заменяют трёхмерного расчёта.

Далее — сходимость, проверки и верификация: как убедиться, что дискретная модель действительно приближает выбранную математическую, и с какой скоростью сходятся разные величины.