Ротор и циркуляция

Определить ротор через циркуляцию по ориентированному контуру. Понять, почему кривизна линий поля не означает ненулевого ротора. Связать ротор с законом полного тока и законом Фарадея

Циркуляция и ротор поля. Аналитический эталон. Поле и контур лежат в x–y. Циркуляция положительна при обходе против часовой стрелки и нормали +ez. Координаты условные; пространственные размеры в миллиметрах не задаются. — Циркуляция и ротор поля1 — ориентированный круговой контур; стрелки — направление FАналитический эталон. Поле и контур лежат в x–y. Циркуляция положительна при обходе против часовой стрелки и нормали +ez. Координаты условные; пространственные размеры в миллиметрах не задаются.Открыть SVG целиком Результат отдельно

Предварительные понятия

Дивергенция и поток

Вихри поля

Дивергенция отвечает на вопрос, есть ли в точке источники поля. Но есть поля без источников, которые тем не менее далеки от «простых»: магнитное поле вокруг провода с током, электрическое поле, наведённое меняющимся магнитным потоком, поле скоростей в водовороте. Их линии замкнуты, обойти по такой линии и вернуться в исходную точку можно, всё время двигаясь «по полю», и работа поля на замкнутом пути не равна нулю. Такие поля называют вихревыми, а локальную меру вихря — ротором.

Ключ к определению — циркуляция по замкнутому контуру из урока об интегралах. Если по малому контуру поле в среднем направлено по ходу обхода, циркуляция положительна. Разделив её на площадь контура и стянув контур к точке, получим локальную характеристику — но, в отличие от дивергенции, зависящую от того, как контур ориентирован в пространстве.

Определение

Ротор

Пусть $\vec F(\ur)$ — дифференцируемое векторное поле, $L$ — малый плоский контур, охватывающий точку $\ur$ , площадью $S$ и с единичной нормалью $\un$ , согласованной с направлением обхода по правилу правого винта. Проекцией ротора на направление $\un$ называется предел $(\nabla\times \vec F)\cdot\un=\lim_{S\to0}\frac{1}{S}\oint_L\vec F\cdot\dl .$ Проекции на три независимых направления определяют вектор $\nabla\times \vec F=\nabla\times\vec F$ — ротор поля. Единица — [единица $\vec F$ ]/м. Предел не зависит от формы контура.

Ротор — вектор: его направление указывает ось, вокруг которой поле «закручено» сильнее всего, а модуль равен наибольшей циркуляции на единицу площади. Поскольку направление ротора задаётся правилом правого винта, при зеркальном отражении системы координат он меняет знак — ротор, как и векторное произведение, является псевдовектором. На практике это означает лишь одно: всегда нужно следить за ориентацией контура. В англоязычной литературе ротор обозначается $\nabla\times \vec F$ [Кочин].

Вывод компоненты ротора

Найдём $z$ -компоненту ротора, взяв контур в виде малого прямоугольника в плоскости $z=\mathrm{const}$ с центром $(x,y)$ и сторонами $\dd x$ , $\dd y$ . Нормаль $\un=\vec e_z$ , значит, обход — против хода часовой стрелки при взгляде с конца оси $z$ : по нижней стороне в сторону $+x$ , по правой — $+y$ , по верхней — $-x$ , по левой — $-y$ .

Компонента ротора вдоль оси z

Вклады четырёх сторон (в каждом множителе берётся касательная составляющая поля в середине стороны): $\begin{aligned} \text{нижняя }(y-\tfrac{\dd y}{2}):&\quad +F_x(x,\,y-\tfrac{\dd y}{2})\,\dd x,\\ \text{правая }(x+\tfrac{\dd x}{2}):&\quad +F_y(x+\tfrac{\dd x}{2},\,y)\,\dd y,\\ \text{верхняя }(y+\tfrac{\dd y}{2}):&\quad -F_x(x,\,y+\tfrac{\dd y}{2})\,\dd x,\\ \text{левая }(x-\tfrac{\dd x}{2}):&\quad -F_y(x-\tfrac{\dd x}{2},\,y)\,\dd y . \end{aligned}$ Складывая вклады противоположных сторон: $\oint_L\vec F\cdot\dl\approx\Bigl[F_y(x+\tfrac{\dd x}{2})-F_y(x-\tfrac{\dd x}{2})\Bigr]\dd y-\Bigl[F_x(y+\tfrac{\dd y}{2})-F_x(y-\tfrac{\dd y}{2})\Bigr]\dd x \approx\Bigl(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Bigr)\dd x\,\dd y .$ Деля на площадь $S=\dd x\,\dd y$ : $(\nabla\times \vec F)_z=\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}$ .

Вывод показывает главное: в циркуляцию входит не поле, а поперечное изменение поля. Если $F_x$ одинакова на верхней и нижней сторонах, эти стороны дают в сумме нуль, каким бы большим ни было само поле. Циклической перестановкой индексов $x\to y\to z\to x$ получаются остальные компоненты.

Ротор в декартовых координатах

$\nabla\times \vec F= \begin{vmatrix}\vec e_x&\vec e_y&\vec e_z\\ \dfrac{\partial}{\partial x}&\dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial z}\\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix} =\Bigl(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\Bigr)\vec e_x +\Bigl(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\Bigr)\vec e_y +\Bigl(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Bigr)\vec e_z .$

Ротор в цилиндрических координатах

$\nabla\times \vec F= \Bigl(\frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial\alpha}-\frac{\partial F_\alpha}{\partial z}\Bigr)\vec e_r +\Bigl(\frac{\partial F_r}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial r}\Bigr)\vec e_\alpha +\frac{1}{r}\Bigl(\frac{\partial(rF_\alpha)}{\partial r}-\frac{\partial F_r}{\partial\alpha}\Bigr)\vec e_z .$

Множители $1/r$ и $\partial(rF_\alpha)/\partial r$ имеют то же происхождение, что и в формуле дивергенции: длина дуги равна $r\,\dd\alpha$ , и противоположные дуги контура в плоскости $z=\mathrm{const}$ имеют разную длину. Для осесимметричного поля с единственной азимутальной компонентой $F_\alpha(r)$ остаётся одна формула, которой мы будем пользоваться постоянно: $(\nabla\times \vec F)_z=\frac{1}{r}\frac{\dd(rF_\alpha)}{\dd r}.$

Ротор в уравнениях поля

Уравнение	Название	Смысл
$\nabla\times \uH=\uJ$	закон полного тока (магнитостатика)	вихри напряжённости магнитного поля — токи; в переменном поле добавляется $\partial\uD/\partial t$
$\nabla\times \uE=-\dfrac{\partial\uB}{\partial t}$	закон электромагнитной индукции (Фарадея)	вихри электрического поля — изменяющаяся во времени индукция
$\nabla\times \uE=0$	электростатика	поле потенциально: $\uE=-\nabla \varphi$
$\nabla\times \uH=0$	области без тока	$\uH=-\nabla \varphi_{\mathrm м}$ — скалярный магнитный потенциал
$\nabla\times \uq=0$	закон Фурье в однородной изотропной среде	$\uq=-\lambda\nabla T$ — тепловой поток потенциален, если $\lambda$ однородна

Поля с нулевым ротором называют безвихревыми или потенциальными. Для них циркуляция по любому контуру (в односвязной области) равна нулю, линейный интеграл не зависит от пути и существует скалярный потенциал; подробнее — в следующем уроке. Ротор градиента тождественно равен нулю: $\nabla\times \nabla \varphi=0$ , в чём легко убедиться, подставив $F_x=\partial\varphi/\partial x$ , $F_y=\partial\varphi/\partial y$ в формулу для $(\nabla\times \vec F)_z$ — смешанные производные равны.

Лаборатория

В лаборатории поле выбирается из заранее заданного набора, а контуром служит окружность с заданным центром, радиусом $R$ и ориентацией нормали (азимут и угол места); направление обхода можно переключать, и нормаль меняется вместе с ним. Вдоль контура показаны стрелки касательной составляющей поля. Выводятся: циркуляция $\Gamma$ , вычисленная численно по контуру, площадь $S=\pi R^2$ , отношение $\Gamma/S$ , аналитическое значение $(\nabla\times \vec F)\cdot\un$ в центре контура и компоненты $\nabla\times \vec F$ .

Открыть опыт: Исследователь ротора

Что стоит проделать:

Для твёрдотельного вращения $\vec F=(-y,\,x,\,0)$ при нормали вдоль $\vec e_z$ отношение $\Gamma/S$ равно $2$ при любом $R$ и любом положении центра. Поверните нормаль на угол $\theta$ от оси $z$ — отношение станет $2\cos\theta$ ; при нормали в плоскости $xy$ циркуляция нуль.
Для сдвигового течения $\vec F=(y,\,0,\,0)$ посмотрите на стрелки вдоль контура (при центре в области $y>0$ ): сверху поле сильнее и направлено против обхода, снизу слабее и по обходу. Линии поля — прямые, но $\Gamma/S=-1$ .
Для азимутального поля прямого тока $\vec F=(-y,\,x,\,0)/(x^2+y^2)$ поместите контур в стороне от оси: стрелки изгибаются вдоль кривых линий поля, но $\Gamma/S\to0$ при $R\to0$ . Затем охватите контуром ось: циркуляция равна $2\pi$ при любом радиусе, а $\Gamma/S=2/R^2$ при уменьшении $R$ растёт — особая точка на оси.
Для «вихря с ядром» $\vec F=(-y,\,x,\,0)e^{-r^2}$ перемещайте центр малого контура от оси наружу и найдите радиус, где ротор меняет знак.

Разобранные примеры

Твёрдотельное вращение

Скорость точек тела, вращающегося с угловой скоростью $\vec\omega=\omega\vec e_z$ : $\vec v=\vec\omega\times\ur=\omega(-y\vec e_x+x\vec e_y)$ . Ротор: $(\nabla\times \vec v)_z=\frac{\partial(\omega x)}{\partial x}-\frac{\partial(-\omega y)}{\partial y}=2\omega,\qquad (\nabla\times \vec v)_x=(\nabla\times \vec v)_y=0 .$ Итак, $\nabla\times \vec v=2\vec\omega$ — ротор поля скоростей равен удвоенной угловой скорости, одинаков во всех точках тела. В цилиндрических координатах $v_\alpha=\omega r$ , и $(\nabla\times \vec v)_z=\frac1r\frac{\dd(\omega r^2)}{\dd r}=2\omega$ — тот же результат. Циркуляция по окружности радиуса $R$ с центром на оси: $\Gamma=\omega R\cdot2\pi R=2\pi\omega R^2$ , $\Gamma/S=2\omega$ точно.

Сдвиговое течение: прямые линии, ненулевой ротор

$\vec F=y\vec e_x$ . Линии поля — прямые, параллельные оси $x$ . Однако $(\nabla\times \vec F)_z=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=0-1=-1 .$ Ротор направлен против $\vec e_z$ и постоянен. Причина — поперечный градиент: верхние слои движутся быстрее нижних, и малый контур обходится «по полю» внизу и «против поля» вверху с разной скоростью. Циркуляция по окружности радиуса $R$ с центром $(x_0,y_0)$ : $\Gamma=\oint y\,\dd x=-\pi R^2$ (независимо от центра), $\Gamma/S=-1$ .

Азимутальное поле прямого тока: кривые линии, нулевой ротор

Напряжённость магнитного поля вне провода с током $I$ : $\uH=\dfrac{I}{2\pi r}\vec e_\alpha$ , то есть $H_\alpha=\dfrac{I}{2\pi r}$ . По формуле для осесимметричного поля $(\nabla\times \uH)_z=\frac{1}{r}\frac{\dd}{\dd r}\Bigl(r\cdot\frac{I}{2\pi r}\Bigr)=\frac{1}{r}\frac{\dd}{\dd r}\Bigl(\frac{I}{2\pi}\Bigr)=0 .$ Линии поля — окружности, но ротор вне оси равен нулю: это как раз закон полного тока $\nabla\times \uH=\uJ$ там, где тока нет. Убывание $H_\alpha\propto1/r$ точно компенсирует удлинение дальней дуги контура. Циркуляция же по контуру, охватывающему ось, равна $I$ при любом радиусе — вся «вихревая мощность» сосредоточена в токе. При $I=100$ А и $r=2$ см $H=100/(2\pi\cdot0{,}02)\approx796$ А/м. Внутри провода радиуса $a$ с равномерной плотностью тока $J=I/(\pi a^2)$ поле $H_\alpha=Jr/2$ , и $(\nabla\times \uH)_z=\frac{1}{r}\frac{\dd}{\dd r}\Bigl(\frac{Jr^2}{2}\Bigr)=J,$ как и требует закон полного тока. При $a=5$ мм: $J=100/(\pi\cdot25\cdot10^{-6})=1{,}27\cdot10^{6}$ А/м², на поверхности $H_\alpha=Ja/2=1{,}27\cdot10^6\cdot2{,}5\cdot10^{-3}\approx3{,}18\cdot10^{3}$ А/м — совпадает с $I/(2\pi a)=100/(2\pi\cdot0{,}005)\approx3{,}18\cdot10^3$ А/м.

Радиальное поле

$\vec F=\ur=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$ : все смешанные производные вида $\partial F_y/\partial x=\partial x/\partial y$ равны нулю, $\nabla\times \vec F=0$ . Поле потенциально — это градиент функции $r^2/2$ . Дивергенция этого поля равна $3$ : источники есть, вихрей нет. Твёрдотельное вращение — противоположный случай: вихри есть, источников нет.

Вихрь с ядром

$\vec F=(-y\vec e_x+x\vec e_y)e^{-r^2}$ , где $r=\sqrt{x^2+y^2}$ . В цилиндрических координатах $F_\alpha=re^{-r^2}$ , $F_r=0$ : $(\nabla\times \vec F)_z=\frac{1}{r}\frac{\dd}{\dd r}\bigl(r^2e^{-r^2}\bigr)=\frac{1}{r}\bigl(2r-2r^3\bigr)e^{-r^2}=2(1-r^2)e^{-r^2}.$ На оси ротор равен $2$ (как у твёрдотельного вращения), при $r=1$ обращается в нуль, при $r>1$ отрицателен: внешние слои отстают от внутренних так сильно, что локальное вращение меняет направление, хотя поле всюду направлено по $\vec e_\alpha$ .

Электрическое поле при изменении индукции

В цилиндрической области радиуса $R_0$ индукция однородна и растёт: $\uB=B(t)\vec e_z$ , $\dd B/\dd t=0{,}5$ Тл/с. Из симметрии наведённое поле азимутально: $\uE=E_\alpha(r)\vec e_\alpha$ . Закон Фарадея $\nabla\times \uE=-\partial\uB/\partial t$ даёт $\frac{1}{r}\frac{\dd(rE_\alpha)}{\dd r}=-\frac{\dd B}{\dd t}\ \Rightarrow\ E_\alpha=-\frac{r}{2}\frac{\dd B}{\dd t}.$ При $r=0{,}1$ м: $|E_\alpha|=0{,}05\cdot0{,}5=0{,}025$ В/м. ЭДС в витке радиуса $0{,}1$ м — циркуляция: $|e|=2\pi r|E_\alpha|=0{,}628\cdot0{,}025=1{,}57\cdot10^{-2}$ В, что совпадает с $\pi r^2\,\dd B/\dd t=0{,}0314\cdot0{,}5=1{,}57\cdot10^{-2}$ В. Знак «минус» (поле против $\vec e_\alpha$ при росте $B$ вдоль $\vec e_z$ ) — закон Ленца.

Колёсико с лопатками

Полезный образ ротора — маленькое колёсико с лопатками, помещённое в поток жидкости со скоростью $\vec F$ . Жидкость давит на лопатки с силой, пропорциональной касательной составляющей скорости; колёсико вращается, если моменты сил с разных сторон не уравновешены. Угловая скорость колёсика с осью вдоль $\un$ пропорциональна $(\nabla\times \vec F)\cdot\un$ : ось колёсика, при которой оно крутится быстрее всего, указывает направление ротора.

Образ объясняет оба «парадокса» лаборатории. В сдвиговом течении лопатки сверху толкаются сильнее, чем снизу, — колёсико крутится, хотя линии прямые. В азимутальном поле $1/r$ лопатка, ближняя к оси, движется в более быстрой жидкости, но дальняя лопатка проходит больший путь по дуге; при законе $1/r$ эти эффекты точно компенсируются, и колёсико, двигаясь по окружности вокруг оси, не вращается вокруг собственной оси, — как кабина колеса обозрения. Колёсико, надетое на саму ось, разумеется, крутится: там и сосредоточен вихрь.

Типичные ошибки

«Линии кривые — ротор не нуль». Поле $\uH$ прямого тока вне провода: линии — окружности, $\nabla\times \uH=0$ . Кривизна линий компенсируется убыванием модуля по закону $1/r$ .
«Линии прямые — ротор нуль». Сдвиговое течение $y\vec e_x$ : линии прямые, $\nabla\times =-\vec e_z$ . Ротор измеряет поперечную неравномерность поля, а не форму линий.
Циркуляция вместо ротора. Циркуляция по большому контуру вокруг провода равна $I$ , но это не значит, что ротор отличен от нуля в точках контура: весь вихрь — в проводе. Ротор локален, циркуляция интегральна.
Потерянный множитель $r$ . Для азимутального поля $(\nabla\times \vec F)_z=\frac1r\,\dd(rF_\alpha)/\dd r$ , а не $\dd F_\alpha/\dd r$ . Со второй формулой поле $1/r$ дало бы ненулевой ротор, что противоречит закону полного тока.
Ориентация. Смена направления обхода меняет знак циркуляции и нормали одновременно; знак $(\nabla\times \vec F)\cdot\un$ при этом не меняется. Если изменить только одно из двух, результат будет неверным по знаку.
«Ротор плоского поля — скаляр». У плоского поля ротор направлен вдоль $\vec e_z$ и имеет одну компоненту, но это всё же вектор: его направление определяет, по какую сторону плоскости смотрит нормаль положительной циркуляции.

Вопросы и упражнения

Вычислите ротор полей $\vec F_1=(z,\,x,\,y)$ , $\vec F_2=(yz,\,zx,\,xy)$ , $\vec F_3=(-y,\,x,\,0)/(x^2+y^2)$ (вне оси $z$ ). Какие из них потенциальны?
Поле $\vec F=x^2\vec e_y$ . Найдите $\nabla\times \vec F$ и вычислите циркуляцию по квадрату $0\le x\le1$ , $0\le y\le1$ (обход против часовой стрелки при взгляде с конца $\vec e_z$ ) непосредственно по сторонам. Сравните с интегралом ротора по площади квадрата.
В лаборатории для твёрдотельного вращения наклоните нормаль контура на $60°$ от оси $z$ . Каким станет $\Gamma/S$ ? Почему результат не зависит от радиуса?
Для азимутального поля $F_\alpha=cr^n$ найдите, при каком $n$ ротор равен нулю, при каком — постоянен, при каком — растёт с $r$ . Какое из этих полей реализуется внутри провода с равномерным током, а какое — вне его?
Внутри длинного соленоида $\uH=H_0\vec e_z$ однородно, снаружи $\uH\approx0$ . Чему равен ротор внутри и снаружи? Где он отличен от нуля и чему равна там его величина, если обмотка — тонкий слой с поверхностной плотностью тока $K$ (А/м)?
Тепловой поток в однородной изотропной стенке $\uq=-\lambda\nabla T$ . Покажите, что $\nabla\times \uq=0$ . Сохранится ли это свойство, если $\lambda=\lambda(\ur)$ зависит от точки?

Ответы к пунктам 1, 2 и 4

1. $\nabla\times \vec F_1=(\partial y/\partial y-\partial x/\partial z,\ \partial z/\partial z-\partial y/\partial x,\ \partial x/\partial x-\partial z/\partial y)=(1,\,1,\,1)$ — вихревое. $\nabla\times \vec F_2=(x-x,\ y-y,\ z-z)=0$ — потенциальное, $\vec F_2=\nabla (xyz)$ . $\nabla\times \vec F_3=0$ вне оси (см. пример), но поле не потенциально в области, охватывающей ось: циркуляция вокруг оси равна $2\pi$ .

2. $(\nabla\times \vec F)_z=\partial(x^2)/\partial x=2x$ . Стороны: нижняя ( $y=0$ , по $+x$ ): $F_x=0$ , вклад $0$ ; правая ( $x=1$ , по $+y$ ): $\int_0^1 1\,\dd y=1$ ; верхняя ( $y=1$ , по $-x$ ): $0$ ; левая ( $x=0$ , по $-y$ ): $F_y=0$ , вклад $0$ . $\Gamma=1$ . Интеграл ротора: $\int_0^1\int_0^1 2x\,\dd x\,\dd y=1$ . Совпадение — теорема Стокса.

4. $(\nabla\times \vec F)_z=\frac1r\,\dd(cr^{n+1})/\dd r=c(n+1)r^{n-1}$ . При $n=-1$ ротор нуль (поле вне провода); при $n=1$ ротор постоянен и равен $2c$ (поле внутри провода с равномерным током, $c=J/2$ , твёрдотельное вращение); при $n>1$ ротор растёт с $r$ .

Итоги

Проекция ротора на нормаль — предел отношения циркуляции по малому контуру к его площади; ротор — вектор (псевдовектор), плотность вихрей.
$(\nabla\times \vec F)_z=\partial F_y/\partial x-\partial F_x/\partial y$ ; в цилиндрических координатах для азимутального поля $(\nabla\times \vec F)_z=\frac1r\,\dd(rF_\alpha)/\dd r$ .
$\nabla\times \uH=\uJ$ , $\nabla\times \uE=-\partial\uB/\partial t$ ; потенциальные поля ( $\uE$ в статике, $\uq$ при однородной $\lambda$ ) безвихревые, $\nabla\times \nabla \varphi=0$ .
Форма линий не определяет ротор: кривые линии поля $1/r$ дают $\nabla\times =0$ , прямые линии сдвигового течения — $\nabla\times \ne0$ .
Твёрдотельное вращение имеет $\nabla\times \vec v=2\vec\omega$ ; циркуляция вокруг особой точки (ось тока) отлична от нуля при нулевом роторе всюду вне её.

Далее — теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса и лапласиан: как локальные операторы связываются с интегралами по поверхностям и контурам.

Применение в FEMM 5

Циркуляция и ротор поля