Граничные условия теплообмена и тепловые схемы

Применять условия заданной температуры и заданного потока. Моделировать конвекцию и излучение как граничные условия. Учитывать контактное тепловое сопротивление. Составлять тепловые схемы замещения и проверять тепловой баланс

Пластина с конвекцией на правой границе. Аналитический эталон. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены. — Пластина с конвекцией на правой границе1 — Расчётная областьАналитический эталон. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены.Открыть SVG целиком Результат отдельно

Предварительные понятия

Температурное поле и закон Фурье

Зачем нужны граничные условия

Уравнение теплопроводности описывает, что происходит внутри тела. Но нагрев обмотки или остывание стенки определяются прежде всего тем, как тело обменивается теплом с окружением: омывается ли оно воздухом или водой, излучает ли в холодное помещение, прижато ли к радиатору. Все эти процессы — конвекция, излучение, контакт с другим телом — в расчётной модели теплопроводности сводятся к граничным условиям на поверхности тела. Решение краевой задачи единственно, только если на каждой части границы задано ровно одно условие (теорема единственности); выбор правильного типа условия — главное инженерное решение при постановке тепловой задачи.

Обозначения: $T_s$ — температура поверхности тела, $\un$ — внешняя нормаль к ней, $q_n=\uq\cdot\un=-\lambda\,\partial T/\partial n$ — плотность теплового потока, выходящего из тела через поверхность.

Три рода граничных условий

Граничное условие первого рода (Дирихле)

На поверхности задана температура: $T\big|_S=T_s(\vec r,t)$ . Физически это означает, что внешняя среда настолько интенсивно обменивается теплом с поверхностью, что навязывает ей свою температуру: кипящая жидкость, конденсирующийся пар, массивный термостатированный радиатор. Плотность потока через поверхность при этом заранее неизвестна и находится из решения.

Граничное условие второго рода (Нейман)

На поверхности задана нормальная плотность потока: $-\lambda\,\partial T/\partial n\big|_S=q_n(\vec r,t)$ . Важнейший частный случай $q_n=0$ — теплоизолированная (адиабатная) поверхность. Такое же условие ставят на плоскости симметрии задачи: если распределение температуры симметрично относительно плоскости, то на ней $\partial T/\partial n=0$ и тепло через неё не переходит; это позволяет рассчитывать половину или четверть тела. Условие второго рода задаёт также известный подвод тепла — например, от плёночного нагревателя на поверхности.

Граничное условие третьего рода (конвекция, закон Ньютона–Рихмана)

Поверхность омывается средой с температурой $T_\infty$ вдали от неё; плотность потока, отдаваемого поверхностью среде, пропорциональна разности температур: $-\lambda\frac{\partial T}{\partial n}\Big|_S=\alpha\,(T_s-T_\infty).$ Коэффициент $\alpha$ — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²·К). Условие связывает температуру и её производную на границе и содержит два параметра среды: $\alpha$ и $T_\infty$ .

Коэффициент теплоотдачи — не свойство материала, а характеристика процесса обтекания: он зависит от скорости среды, её вязкости и теплопроводности, от ориентации и размера поверхности, от самой разности $T_s-T_\infty$ при свободной конвекции. Типичные порядки величины [Исаченко]:

Условия теплоотдачи	$\alpha$ , Вт/(м²·К)
Воздух, свободная конвекция	5–25
Воздух, вынужденная конвекция (обдув)	25–250
Вода, вынужденная конвекция	500–10 000

Разброс в три порядка объясняет, почему водяное охлаждение позволяет снимать с той же поверхности в сотни раз большую мощность, чем естественное охлаждение воздухом.

Конвекция и излучение здесь — модели границы, а не расчёт течения

Условие третьего рода не решает задачу о движении жидкости и переносе тепла в ней: вся сложная гидродинамика пограничного слоя спрятана в одном числе $\alpha$ , взятом из опытных зависимостей (критериальных уравнений). Точно так же условие излучения, о котором речь ниже, не решает задачу переноса излучения между многими поверхностями с переотражениями — оно описывает обмен малой поверхности с большим окружением. Точность теплового расчёта определяется, как правило, не точностью решения уравнения теплопроводности, а точностью задания $\alpha$ : ошибка в $\alpha$ на $30$ % — обычное дело, и к ней нужно относиться как к неустранимой неопределённости модели.

Излучение

Любая поверхность с абсолютной температурой $T_s$ излучает в окружение, имеющее температуру $T_{\text{окр}}$ , и поглощает излучение окружения. Для малого тела в большом окружении (стенки помещения, небо) результирующая плотность потока $q_{\text{изл}}=\varepsilon_{\mathrm и}\,\sigma_{\text{СБ}}\left(T_s^4-T_{\text{окр}}^4\right),$ где $\varepsilon_{\mathrm и}$ — степень черноты поверхности ( $0<\varepsilon_{\mathrm и}\le1$ ; окисленный металл $0{,}6$ – $0{,}9$ , краска $0{,}9$ , полированный металл $0{,}05$ – $0{,}1$ ), $\sigma_{\text{СБ}}=5{,}670\cdot10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴) — постоянная Стефана–Больцмана [CODATA]. Температуры входят в четвёртой степени и только в кельвинах: подстановка градусов Цельсия даёт бессмыслицу, вплоть до отрицательного потока от более горячего тела к более холодному.

Нелинейное условие неудобно для схем замещения, поэтому его линеаризуют, представляя разность четвёртых степеней как произведение: $T_s^4-T_{\text{окр}}^4=\left(T_s^2+T_{\text{окр}}^2\right)\left(T_s+T_{\text{окр}}\right)\left(T_s-T_{\text{окр}}\right),$ откуда $q_{\text{изл}}=\alpha_{\text{изл}}\,(T_s-T_{\text{окр}}),\qquad \alpha_{\text{изл}}=\varepsilon_{\mathrm и}\,\sigma_{\text{СБ}}\left(T_s^2+T_{\text{окр}}^2\right)\left(T_s+T_{\text{окр}}\right).$ Величина $\alpha_{\text{изл}}$ — «коэффициент теплоотдачи излучением» — зависит от обеих температур, поэтому её приходится уточнять итерациями: задаться $T_s$ , вычислить $\alpha_{\text{изл}}$ , решить линейную задачу, получить новое $T_s$ и повторить. Так же поступают и в численных расчётах; лаборатория ниже решает нелинейное условие итерационно и приводит $R_{\text{изл}}=1/(\alpha_{\text{изл}}S)$ при найденной $T_s$ .

Коэффициент теплоотдачи излучением

Окрашенный корпус, $\varepsilon_{\mathrm и}=0{,}9$ , при $T_s=350$ К в помещении с $T_{\text{окр}}=300$ К: $\alpha_{\text{изл}}=0{,}9\cdot5{,}670\cdot10^{-8}\cdot(350^2+300^2)(350+300)=0{,}9\cdot5{,}670\cdot10^{-8}\cdot2{,}125\cdot10^5\cdot650\approx7{,}05\ \text{Вт/(м}^2\cdot\text{К)}.$ Проверка по исходной формуле: $q_{\text{изл}}=0{,}9\cdot5{,}670\cdot10^{-8}\cdot(1{,}5006\cdot10^{10}-8{,}1\cdot10^{9})=352$ Вт/м², и $352/50=7{,}05$ Вт/(м²·К). При свободной конвекции в воздухе ( $\alpha\approx5$ – $10$ ) излучение переносит столько же или больше тепла, чем конвекция, — пренебрегать им при естественном охлаждении нельзя.

Если тело одновременно омывается воздухом с $T_\infty$ и излучает в окружение с $T_{\text{окр}}$ , потоки складываются: $q_n=\alpha\,(T_s-T_\infty)+\varepsilon_{\mathrm и}\sigma_{\text{СБ}}\left(T_s^4-T_{\text{окр}}^4\right).$ При $T_\infty=T_{\text{окр}}$ это условие третьего рода с суммарным коэффициентом $\alpha_\Sigma=\alpha+\alpha_{\text{изл}}$ .

Условия на границе раздела и контактное сопротивление

На границе двух тел с теплопроводностями $\lambda_1$ , $\lambda_2$ выполняются два условия (см. границы раздела сред): непрерывность нормальной плотности потока — энергия на границе не накапливается — и непрерывность температуры при идеальном контакте: $\lambda_1\frac{\partial T_1}{\partial n}=\lambda_2\frac{\partial T_2}{\partial n},\qquad T_1=T_2 .$ Реальные поверхности шероховаты, соприкасаются лишь отдельными выступами, а в промежутках заключён воздух с его ничтожной теплопроводностью. Поэтому при одинаковом потоке температура на границе испытывает скачок: $T_1-T_2=R_{\mathrm к}\,q_n ,$ где $R_{\mathrm к}$ — удельное контактное тепловое сопротивление, К·м²/Вт. Его типичные значения $10^{-5}$ – $10^{-3}$ К·м²/Вт; оно уменьшается при росте давления прижима, шлифовке поверхностей, применении теплопроводящих паст и прокладок. При $q_n=10^4$ Вт/м² и $R_{\mathrm к}=2\cdot10^{-4}$ К·м²/Вт скачок составляет $2$ К — для силового полупроводникового прибора на радиаторе это заметная величина.

Тепловые сопротивления и схемы замещения

В стационарном одномерном случае через каждый слой и каждую граничную поверхность идёт один и тот же тепловой поток $P$ , а температура падает на величину, пропорциональную $P$ . Это полная аналогия с электрической цепью: $P$ играет роль тока, перепад температур — роль напряжения.

Тепловое сопротивление

$R_{\mathrm т}=\Delta T/P$ , К/Вт. Из одномерных решений предыдущего урока и граничных условий: $R_{\text{пл}}=\frac{d}{\lambda S},\qquad R_{\text{цил}}=\frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi\lambda\ell},\qquad R_{\text{конв}}=\frac{1}{\alpha S},\qquad R_{\text{изл}}=\frac{1}{\alpha_{\text{изл}}S},\qquad R_{\text{конт}}=\frac{R_{\mathrm к}}{S}.$ Здесь $S$ — площадь, через которую идёт поток (для цилиндра — площадь той поверхности, на которой задано условие), $\ell$ — длина трубы. Сопротивления слоёв, стоящих на пути одного потока, складываются (последовательное соединение); сопротивления параллельных путей — например, конвекции и излучения с одной поверхности — складываются по обратным величинам (параллельное соединение).

Для многослойной плоской стенки между двумя средами полное сопротивление на единицу площади $\frac1k=\frac1{\alpha_1}+\sum_i\frac{d_i}{\lambda_i}+\sum_j R_{\mathrm к j}+\frac1{\alpha_2},\qquad q=k\,(T_{\infty1}-T_{\infty2}),$ где $k$ — коэффициент теплопередачи, Вт/(м²·К). Для цилиндрической стенки удобнее работать с сопротивлениями на единицу длины $R'=R\,\ell$ , К·м/Вт, и потоком $P'$ , Вт/м. Температура на каждой границе находится последовательным вычитанием $P\,R_i$ : это и есть «расчёт цепи».

Проверка теплового баланса

В стационарном режиме для любого замкнутого объёма — слоя, всей стенки, всего устройства — выполняется $P_{\text{вх}}-P_{\text{вых}}+P_{\text{выд}}=0 ,$ где $P_{\text{выд}}=\int_Vq_V\,\dV$ — мощность внутренних источников. Без источников тепловой поток через все сечения одинаков. Этот баланс — первая проверка любого расчёта, аналитического или численного: если он нарушен, ошибка либо в граничных условиях, либо в постановке задачи. В численных решениях невязка баланса, отнесённая к $P_{\text{вх}}$ , служит мерой погрешности.

Трёхслойная стена с конвекцией с обеих сторон

Стена: бетон $d_1=0{,}15$ м ( $\lambda_1=1{,}5$ ), минеральная вата $d_2=0{,}10$ м ( $\lambda_2=0{,}04$ ), бетон $d_3=0{,}05$ м ( $\lambda_3=1{,}5$ ). Внутри воздух $T_{\infty1}=20$ °C, свободная конвекция $\alpha_1=8$ ; снаружи $T_{\infty2}=-20$ °C, ветер, $\alpha_2=25$ Вт/(м²·К). Сопротивления на 1 м²: $\frac1{\alpha_1}=0{,}125,\quad \frac{d_1}{\lambda_1}=0{,}100,\quad \frac{d_2}{\lambda_2}=2{,}500,\quad \frac{d_3}{\lambda_3}=0{,}033,\quad \frac1{\alpha_2}=0{,}040\ \ \text{К·м}^2\text{/Вт};$ сумма $1/k=2{,}798$ , $k=0{,}357$ Вт/(м²·К). Плотность потока $q=40/2{,}798=14{,}3$ Вт/м². Температуры границ, начиная от внутреннего воздуха: $20-14{,}3\cdot0{,}125=18{,}2$ °C (внутренняя поверхность), далее $16{,}8$ °C, $-19{,}0$ °C, $-19{,}4$ °C и, наконец, $-19{,}4-14{,}3\cdot0{,}040=-20{,}0$ °C — вернулись к температуре наружного воздуха: баланс сошёлся. Почти весь перепад ( $35{,}7$ К из $40$ ) приходится на утеплитель, который даёт $89$ % сопротивления; бетонные слои и конвекция вместе — лишь $11$ %.

Изолированная труба

Стальная труба $r_1=25$ мм, $r_2=30$ мм ( $\lambda=50$ ), покрыта минеральной ватой до $r_3=60$ мм ( $\lambda_{\mathrm и}=0{,}04$ ). Внутри вода $150$ °C, $\alpha_1=2000$ ; снаружи воздух $20$ °C, $\alpha_2=10$ Вт/(м²·К). Сопротивления на 1 м длины: $R'_1=\frac1{2\pi\cdot0{,}025\cdot2000}=0{,}0032,\quad R'_{\text{ст}}=\frac{\ln(30/25)}{2\pi\cdot50}=0{,}0006,\quad R'_{\mathrm и}=\frac{\ln(60/30)}{2\pi\cdot0{,}04}=2{,}758,\quad R'_2=\frac1{2\pi\cdot0{,}06\cdot10}=0{,}265\ \ \text{К·м/Вт}.$ Сумма $3{,}027$ К·м/Вт, $P'=130/3{,}027=42{,}9$ Вт/м. Температуры: вода $150$ , внутренняя стенка $149{,}9$ , наружная стенка трубы $149{,}8$ , поверхность изоляции $31{,}4$ °C. Без изоляции $R'_2=1/(2\pi\cdot0{,}03\cdot10)=0{,}531$ , сумма $0{,}534$ , $P'=243$ Вт/м — изоляция снизила потери в $5{,}7$ раза, а стальная стенка и внутренняя теплоотдача практически не сопротивляются потоку.

Критический радиус изоляции

Наращивание изоляции на трубе увеличивает её сопротивление теплопроводности, но одновременно увеличивает наружную поверхность, с которой тепло отдаётся среде. Два эффекта противоположны, и для тонких труб второй может победить.

Критический радиус

Пусть труба с наружным радиусом $r_1$ покрыта изоляцией ( $\lambda$ ) до радиуса $r$ , снаружи — теплоотдача $\alpha$ . Сопротивление изоляции и теплоотдачи на единицу длины: $R'(r)=\frac{\ln(r/r_1)}{2\pi\lambda}+\frac{1}{2\pi r\alpha}.$ Дифференцируем: $\frac{\dd R'}{\dd r}=\frac{1}{2\pi\lambda r}-\frac{1}{2\pi\alpha r^2}=\frac{1}{2\pi r^2}\left(\frac r\lambda-\frac1\alpha\right)=0 \;\Rightarrow\; r_{\text{кр}}=\frac{\lambda}{\alpha}.$ При $r<r_{\text{кр}}$ производная отрицательна: сопротивление убывает с ростом толщины изоляции, и потери растут. При $r>r_{\text{кр}}$ изоляция начинает работать как изоляция. Таким образом, $r_{\text{кр}}$ — радиус наибольших потерь. Критерий простой: если наружный радиус трубы $r_1$ уже больше $\lambda/\alpha$ , любая изоляция уменьшает потери; если меньше — сначала потери возрастут.

Для минеральной ваты в воздухе при $\alpha=10$ : $r_{\text{кр}}=0{,}04/10=4$ мм. Для труб это неактуально — их радиусы заведомо больше. Но для электрических проводов в изоляции из полимера ( $\lambda\approx0{,}2$ , $r_{\text{кр}}=20$ мм при $\alpha=10$ ) эффект работает в полезную сторону: слой изоляции на тонком проводе улучшает его охлаждение, увеличивая поверхность теплоотдачи. Безразмерная форма условия, $\alpha r/\lambda<1$ , — это число Био, меньшее единицы; с ним мы встретимся в нестационарных задачах.

Лаборатория

Лаборатория рассчитывает многослойную стенку — плоскую или цилиндрическую (труба с изоляцией) — до трёх слоёв. Для каждого слоя задаются толщина, $\lambda$ и объёмное тепловыделение $q_V$ ; между слоями можно ввести контактное сопротивление $R_{\mathrm к}$ . На левой и правой границах выбирается тип условия: заданная температура, конвекция ( $\alpha$ , $T_\infty$ ), излучение ( $\varepsilon_{\mathrm и}$ , $T_{\text{окр}}$ ), конвекция вместе с излучением (при $T_\infty=T_{\text{окр}}$ ), заданная плотность потока или теплоизоляция. Все температуры вводятся в °C; в формулу излучения подставляются кельвины. Выводятся температуры на всех границах слоёв, $q$ на наружной границе, тепловые потоки $P$ через обе границы (положительные — наружу) при заданной площади $S$ (для трубы — длине $\ell$ ), выделяемая мощность, баланс «сумма потоков наружу − выделенное = 0», тепловые сопротивления слоёв, контактов и граничных условий, схема замещения и графики $T(x)$ , $q(x)$ . Решение аналитическое по слоям; нелинейное условие излучения решается итерационно, а $R_{\text{изл}}$ вычисляется по линеаризованному $\alpha_{\text{изл}}$ при найденной $T_s$ .

Открыть опыт: Тепловая лаборатория: многослойная стенка

Что стоит проделать:

Соберите трёхслойную стену из примера выше и сверьте температуры границ. Затем замените наружную конвекцию на теплоизоляцию: убедитесь, что при отсутствии источников поток обращается в нуль, а вся стенка принимает температуру внутреннего воздуха.
Включите тепловыделение в одном слое. Проследите, как $q(x)$ из постоянной становится линейной, а температурный профиль — параболическим; проверьте по балансу, что сумма выходящих потоков равна $q_V$ , умноженному на объём слоя.
Добавьте контактное сопротивление между слоями и посмотрите на скачок температуры на графике $T(x)$ при непрерывном $q(x)$ .
Для трубы с тонкой изоляцией ( $\lambda=0{,}2$ , $\alpha=8$ ) уменьшайте радиус трубы и найдите, при каком радиусе добавление слоя изоляции перестаёт снижать потери. Сравните с $\lambda/\alpha$ .
Замените конвекцию на излучение при $\varepsilon_{\mathrm и}=0{,}9$ и сравните сопротивление $R_{\text{изл}}$ с $R_{\text{конв}}$ при $\alpha=7$ : при комнатных температурах они близки.

Распространённые заблуждения

Градусы Цельсия в формуле излучения. $T^4$ требует абсолютной температуры. $(50\ °\text{C})^4$ не имеет физического смысла, а разность четвёртых степеней в градусах Цельсия может дать даже неверный знак. В разности $T_s-T_\infty$ закона Ньютона–Рихмана — любые единицы.
«Коэффициент теплоотдачи — свойство материала стенки». $\alpha$ характеризует среду и режим её движения; материал стенки на него почти не влияет. Два одинаковых корпуса в спокойном воздухе и под вентилятором имеют $\alpha$ , различающиеся в десять раз.
Условие первого рода «вместо» конвекции. Задать на поверхности $T_s=T_\infty$ — значит предположить $\alpha\to\infty$ . Для водяного охлаждения это иногда приемлемо, для воздушного — грубая ошибка, занижающая температуру тела на десятки кельвинов.
Два условия на одной границе. Нельзя одновременно задать и температуру, и поток: задача станет переопределённой. Поток на границе первого рода — результат решения, а не входная величина.
Сложение сопротивлений параллельных путей. Конвекция и излучение с одной поверхности действуют параллельно: складываются коэффициенты $\alpha+\alpha_{\text{изл}}$ (проводимости), а не сопротивления.
Пренебрежение излучением «потому что температуры низкие». При естественном охлаждении в воздухе $\alpha_{\text{изл}}\approx5$ – $7$ Вт/(м²·К) сопоставим с конвективным $\alpha$ уже при $50$ К перегрева.

Вопросы и упражнения

Пластина толщиной $20$ мм из стали ( $\lambda=50$ ) с одной стороны обогревается потоком $q_n=2000$ Вт/м², с другой омывается воздухом $T_\infty=20$ °C, $\alpha=20$ Вт/(м²·К). Найдите температуры обеих поверхностей. Какая доля перепада приходится на саму пластину?
Для стены из примера найдите, во сколько раз уменьшится $q$ , если толщину минеральной ваты удвоить. Почему не вдвое?
Поверхность $T_s=400$ К излучает в окружение $T_{\text{окр}}=300$ К, $\varepsilon_{\mathrm и}=0{,}8$ . Найдите $q_{\text{изл}}$ точно и через $\alpha_{\text{изл}}$ ; убедитесь, что результаты совпадают. Какую ошибку даст подстановка градусов Цельсия ( $127$ и $27$ )?
Силовой транзистор выделяет $P=50$ Вт и прижат к радиатору через площадь $S=4$ см² с $R_{\mathrm к}=3\cdot10^{-4}$ К·м²/Вт. Найдите скачок температуры на контакте и тепловое сопротивление контакта в К/Вт. Как его уменьшить вдвое?
Выведите критический радиус для сферического слоя изоляции и покажите, что он равен $2\lambda/\alpha$ .
Трёхслойная стенка без источников рассчитана численно, и программа выдала потоки на левой и правой границах $103{,}2$ и $98{,}7$ Вт. Что это означает и какой параметр расчёта следует проверить в первую очередь?

Ответы к пунктам 1, 3 и 4

1. В стационарном режиме весь подводимый поток уходит в воздух: $T_{s2}=T_\infty+q_n/\alpha=20+2000/20=120$ °C. Перепад в пластине $q_nd/\lambda=2000\cdot0{,}02/50=0{,}8$ К, $T_{s1}=120{,}8$ °C. На пластину приходится $0{,}8/100{,}8\approx0{,}8$ % перепада — всё определяется теплоотдачей.

3. Точно: $q=0{,}8\cdot5{,}670\cdot10^{-8}\cdot(2{,}56\cdot10^{10}-8{,}1\cdot10^{9})=794$ Вт/м². Через $\alpha_{\text{изл}}=0{,}8\cdot5{,}670\cdot10^{-8}\cdot(1{,}6\cdot10^5+9\cdot10^4)\cdot700=7{,}94$ Вт/(м²·К), $q=7{,}94\cdot100=794$ Вт/м². В градусах Цельсия: $127^4-27^4=2{,}60\cdot10^8-5{,}3\cdot10^5\approx2{,}6\cdot10^8$ , что даёт $q\approx11{,}8$ Вт/м² — в $67$ раз меньше истинного.

4. $q_n=50/(4\cdot10^{-4})=1{,}25\cdot10^5$ Вт/м²; скачок $\Delta T=R_{\mathrm к}q_n=3\cdot10^{-4}\cdot1{,}25\cdot10^5=37{,}5$ К; $R_{\text{конт}}=R_{\mathrm к}/S=0{,}75$ К/Вт. Уменьшить вдвое — удвоить площадь контакта или вдвое снизить $R_{\mathrm к}$ (теплопроводящая паста, большее усилие прижима).

Итоги

На границе тела задают одно условие: температуру (первый род), плотность потока (второй род; $q_n=0$ — изоляция и симметрия) или связь потока с температурой среды (третий род, $q_n=\alpha(T_s-T_\infty)$ ).
Излучение $q=\varepsilon_{\mathrm и}\sigma_{\text{СБ}}(T_s^4-T_{\text{окр}}^4)$ требует кельвинов; линеаризация даёт $\alpha_{\text{изл}}=\varepsilon_{\mathrm и}\sigma_{\text{СБ}}(T_s^2+T_{\text{окр}}^2)(T_s+T_{\text{окр}})$ , при комнатных температурах порядка $5$ – $7$ Вт/(м²·К).
Конвекция и излучение в задаче теплопроводности — модели границы с эмпирическими коэффициентами, а не решение задач о течении или переносе излучения.
Неидеальный контакт даёт скачок температуры $\Delta T=R_{\mathrm к}q_n$ при непрерывном потоке.
Стационарная одномерная задача сводится к цепи тепловых сопротивлений $d/(\lambda S)$ , $\ln(r_2/r_1)/(2\pi\lambda\ell)$ , $1/(\alpha S)$ ; обратная сумма даёт коэффициент теплопередачи $k$ ; критический радиус изоляции $r_{\text{кр}}=\lambda/\alpha$ ; тепловой баланс — обязательная проверка.

Далее — нестационарная теплопроводность: как быстро тело прогревается и когда его можно считать телом с одной температурой.