Градиент и производная по направлению

Дать геометрическое и аналитическое определение градиента. Связать производную по направлению с градиентом. Доказать, что градиент ортогонален поверхности уровня. Интерпретировать $\vec E=-\nabla \varphi$ и $\vec q=-\lambda\nabla T$

Поля, координаты и градиент. Аналитический эталон. Показан срез z = 0,5 и проекция градиента на x–y. Производная найдена для единичного направления (1;1;0)/√2. Координаты условные; пространственные размеры в миллиметрах не задаются. — Поля, координаты и градиент1 — точка P = (1; 1; 0,5); стрелка — проекция ∇fАналитический эталон. Показан срез z = 0,5 и проекция градиента на x–y. Производная найдена для единичного направления (1;1;0)/√2. Координаты условные; пространственные размеры в миллиметрах не задаются.Открыть SVG целиком Результат отдельно

Предварительные понятия

Скалярные и векторные поля. Системы координат

Зачем нужен градиент

Скалярное поле — потенциал $\varphi(\vec r)$ , температура $T(\vec r)$ , давление — задаёт в каждой точке одно число. Инженера почти всегда интересует не само число, а то, как быстро и в какую сторону оно меняется: напряжённость электрического поля есть мера изменения потенциала, плотность теплового потока определяется перепадом температуры. Этот «вектор изменения» и есть градиент.

Прежде чем давать определение, посмотрим на поле как на рельеф. Если $f(x,y)$ — высота холма над точкой $(x,y)$ , то линии уровня — это горизонтали на топографической карте. Там, где горизонтали густые, склон крутой. Направление самого крутого подъёма всегда перпендикулярно горизонтали: идя вдоль горизонтали, высоту не меняешь вовсе. Градиент — это вектор, направленный вверх по самому крутому склону, длина которого равна крутизне.

Производная по направлению

Пусть $f(\vec r)$ — дифференцируемое скалярное поле, $\vec l$ — единичный вектор ( $|\vec l|=1$ ). Сдвинемся из точки $\vec r$ на малое расстояние $s$ в направлении $\vec l$ .

Производная по направлению

$\frac{\partial f}{\partial \vec l}=\lim_{s\to 0}\frac{f(\vec r+s\vec l)-f(\vec r)}{s}.$ Это скорость изменения поля на единицу длины пути в направлении $\vec l$ . Единица: [единица $f$ ]/м.

В декартовых координатах $\vec l=l_x\vec e_x+l_y\vec e_y+l_z\vec e_z$ , и по правилу дифференцирования сложной функции $\frac{\partial f}{\partial \vec l}=\frac{\partial f}{\partial x}l_x+\frac{\partial f}{\partial y}l_y+\frac{\partial f}{\partial z}l_z .$ Правая часть — скалярное произведение вектора $\vec l$ и вектора с компонентами $(\partial f/\partial x,\ \partial f/\partial y,\ \partial f/\partial z)$ . Этот вектор и называют градиентом.

Градиент

$\nabla f=\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial f}{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial f}{\partial z}\vec e_z, \qquad \frac{\partial f}{\partial \vec l}=\nabla f\cdot\vec l .$ Символ $\nabla$ («набла») — векторный дифференциальный оператор $\nabla=\vec e_x\,\partial_x+\vec e_y\,\partial_y+\vec e_z\,\partial_z$ . Записи $\nabla f$ и $\nabla f$ полностью равнозначны; в курсе используется первая, в англоязычной литературе чаще вторая.

Геометрический смысл градиента

Производная по направлению максимальна при $\theta=0$ , то есть когда $\vec l$ совпадает с направлением градиента, и равна $|\nabla f|$ . Градиент направлен в сторону наискорейшего роста поля, а его модуль равен наибольшей скорости роста.
При $\theta=\pi/2$ производная равна нулю: в направлениях, перпендикулярных градиенту, поле в первом порядке не меняется.
При $\theta=\pi$ поле убывает быстрее всего: $\partial f/\partial\vec l=-|\nabla f|$ .

Определение через наискорейший рост не ссылается на систему координат. Поэтому градиент — настоящий вектор, не зависящий от выбора осей, хотя его компоненты в разных системах разные.

Градиент и поверхности уровня

Поверхностью уровня (эквипотенциальной, изотермической) называют множество точек, где $f(\vec r)=C$ . Если на ней нет особых точек ( $\nabla f\ne 0$ ), она является регулярной поверхностью.

Градиент ортогонален поверхности уровня

Пусть кривая $\vec r(t)$ целиком лежит на поверхности уровня $f=C$ . Тогда $f(\vec r(t))=C$ при всех $t$ , и, дифференцируя по $t$ , $\frac{\dd}{\dd t}f(\vec r(t))=\nabla f\cdot\frac{\dd \vec r}{\dd t}=0 .$ Вектор $\dd\vec r/\dd t$ — касательный к кривой, а значит, и к поверхности. Так как кривая произвольна, градиент ортогонален любому касательному вектору поверхности уровня, то есть направлен по нормали к ней: $\un=\pm\frac{\nabla f}{|\nabla f|}.$

Это даёт практический способ находить нормаль к поверхности, заданной уравнением $F(x,y,z)=0$ : $\un\parallel\nabla F$ . Например, для поверхности $z=f(x,y)$ положим $F=f(x,y)-z$ , тогда $\nabla F=(\partial f/\partial x,\ \partial f/\partial y,\ -1)$ — именно так в лаборатории ниже построена касательная плоскость к рельефу.

Лаборатория

В режиме «поверхность» значение $f(x,y)$ отложено по вертикали. Переместите пробник (ползунки или щелчок по поверхности), поверните вектор $\vec l$ и сравните производную по направлению с модулем градиента. Кривая сечения вдоль $\vec l$ и её касательная показывают, что производная по направлению — это просто наклон рельефа в выбранную сторону. В режиме «объёмное поле» поверхности уровня строятся численно методом марширующих кубов по аналитически заданному полю; красная поверхность проходит через пробник, зелёный диск — касательная плоскость, перпендикулярная градиенту.

Открыть опыт: Исследователь градиента

Вопросы, на которые лаборатория даёт наглядный ответ:

Почему при $\vec l\perp\nabla f$ показание $\partial f/\partial\vec l$ равно нулю, хотя поверхность в этой точке наклонена?
Как меняется $|\nabla f|$ при движении пробника от вершины холма к его склону и далее к подножию? Сопоставьте с густотой линий уровня.
Для поля $\varphi=1/r$ проверьте, что градиент направлен к центру и растёт как $1/r^2$ .

Градиент в цилиндрических координатах

В криволинейных координатах формула для градиента должна учитывать, что при изменении угловой координаты $\alpha$ на $\dd\alpha$ точка смещается на расстояние $r\,\dd\alpha$ , а не $\dd\alpha$ . Поэтому $\nabla f=\frac{\partial f}{\partial r}\vec e_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \alpha}\vec e_\alpha+\frac{\partial f}{\partial z}\vec e_z .$ Множитель $1/r$ восстанавливает размерность: все три слагаемых имеют единицу [ $f$ ]/м. Для осесимметричного поля ( $\partial/\partial\alpha=0$ ) остаются только радиальная и осевая составляющие — этим мы постоянно будем пользоваться в осесимметричных моделях.

Градиент в физике полей

Поле	Связь с градиентом	Смысл
Электростатическое	$\uE=-\nabla \varphi$	Поле направлено в сторону убывания потенциала, от «плюса» к «минусу»
Тепловое	$\uq=-\lambda\,\nabla T$	Тепло течёт от горячего к холодному (закон Фурье); $\lambda$ — теплопроводность
Стационарный ток	$\uJ=-\sigma\,\nabla \varphi$	Локальный закон Ома; $\sigma$ — удельная проводимость
Магнитостатика без токов	$\uH=-\nabla \varphi_{\mathrm м}$	Скалярный магнитный потенциал применим только там, где $\nabla\times \uH=0$

Знак «минус» во всех строках — следствие того, что потоки и силы направлены вниз по потенциалу или температуре, тогда как градиент указывает вверх.

Поле точечного заряда

Потенциал точечного заряда $q$ в вакууме: $\varphi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ . Поле зависит только от $r$ , поэтому в сферических (или цилиндрических на плоскости $z=0$ ) координатах $\uE=-\nabla \varphi=-\frac{\partial\varphi}{\partial r}\vec e_r=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec e_r .$ При $q=1$ нКл и $r=10$ см: $|\uE|=\dfrac{10^{-9}}{4\pi\cdot 8{,}854\cdot10^{-12}\cdot 0{,}01}\approx 899$ В/м. Поверхности уровня — сферы, градиент радиален, что и демонстрирует объёмный режим лаборатории для поля $1/r$ .

Разность потенциалов как интеграл градиента

Из $\dd\varphi=\nabla \varphi\cdot\dd\vec l$ следует, что приращение потенциала между точками $A$ и $B$ равно $\varphi_B-\varphi_A=\int_A^B\nabla \varphi\cdot\dl=-\int_A^B\uE\cdot\dl ,$ и не зависит от пути — это признак потенциального поля. Напряжение $U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B=\int_A^B\uE\cdot\dl$ .

Распространённые заблуждения

«Градиент — это производная». Градиент — вектор; производная по направлению — скаляр, равный его проекции на направление. Число «градиент температуры 50 К/м» без указания направления неполно.
«Градиент лежит на поверхности». В режиме рельефа градиент $f(x,y)$ лежит в горизонтальной плоскости $xy$ и указывает, куда по карте идти. Нормаль к самому рельефу — это градиент другой функции, $F=f-z$ .
« $E=-\nabla \varphi$ значит, что E направлено по градиенту». Напротив: $\uE$ направлено против градиента потенциала — в сторону его убывания.
Забытый множитель $1/r$ в цилиндрических координатах даёт величину неверной размерности.

Вопросы и упражнения

Для $f=x^2+\tfrac12 y^2+2z^2$ найдите градиент в точке $(1,\,1,\,0{,}5)$ , производную по направлению $\vec l=(1,1,0)/\sqrt2$ и угол между $\vec l$ и градиентом. Сверьте с лабораторией.
Докажите, что $\nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f$ и $\nabla \,F(f)=F'(f)\nabla f$ .
Температурное поле в стенке $T(x)=T_1+(T_2-T_1)x/d$ . Чему равен градиент? Куда направлен тепловой поток при $T_2>T_1$ ? Какова его плотность при $\lambda=0{,}8$ Вт/(м·К), $d=0{,}2$ м, $T_2-T_1=20$ К?
Поле $\varphi=\ln r$ в цилиндрических координатах (потенциал заряженной нити с точностью до множителя). Найдите $\nabla \varphi$ и покажите, что его модуль убывает как $1/r$ , а не $1/r^2$ . Почему?
В лаборатории выберите «седло». Найдите точку, где градиент равен нулю. Сколько направлений с нулевой производной существует в соседней точке? Почему это не противоречит утверждению о единственности направления наискорейшего роста?

Ответы к пунктам 1 и 3

1. $\nabla f=(2x,\,y,\,4z)=(2,\,1,\,2)$ , $|\nabla f|=3$ . $\partial f/\partial\vec l=(2+1)/\sqrt2\approx 2{,}121$ . $\cos\theta=2{,}121/3=0{,}707$ , $\theta=45°$ .

3. $\nabla T=\dfrac{T_2-T_1}{d}\vec e_x=100$ К/м. Тепловой поток $\uq=-\lambda\nabla T=-80\ \vec e_x$ Вт/м²: тепло идёт в сторону убывания температуры, то есть против оси $x$ .

Итоги

Производная по направлению $\partial f/\partial\vec l=\nabla f\cdot\vec l$ — скаляр; градиент — вектор.
Градиент указывает направление наискорейшего роста, его модуль — наибольшая скорость роста; он ортогонален поверхности уровня.
В криволинейных координатах компоненты градиента содержат метрические множители ( $1/r$ в цилиндрических).
В физике полей $\uE$ , $\uq$ , $\uJ$ пропорциональны минус градиенту потенциала или температуры.

Далее — дивергенция: как измерить, сколько поля «рождается» в точке.

Применение в FEMM 5

Поля, координаты и градиент