Сходимость, проверки и верификация

Проводить сгущение сетки и оценивать порядок сходимости. Объяснять, почему разные величины сходятся с разной скоростью. Распознавать сингулярности. Различать верификацию и валидацию

Коаксиальный конденсатор. Сохранённое решение FEMM 5. Узловой скаляр сохранённой модели. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены. — Коаксиальный конденсатор1 — ИзоляцияСохранённое решение FEMM 5. Узловой скаляр сохранённой модели. b и h — размеры выделенной геометрии между крайними поверхностями по координатам; пропорции сечения сохранены.Открыть SVG целиком Результат отдельно Исходная учебная модель

Предварительные понятия

Основы численного моделирования полей

Чему верить в численном решении

Любое численное решение неверно — вопрос лишь в том, насколько и в каком смысле. Дискретная модель приближает математическую, и при неограниченном сгущении сетки её решение должно стремиться к точному. Это свойство называют сходимостью, и именно оно, а не красота картинки, отличает расчёт от иллюстрации. Но сходимость — свойство предела, а работаем мы всегда с конечной сеткой. Поэтому нужны инструменты, позволяющие по нескольким конечным сеткам оценить, насколько далёк результат от предела, и понять, какие величины уже достоверны, а какие нет.

Этот урок — о трёх вопросах: с какой скоростью убывает погрешность при сгущении, почему разные величины сходятся по-разному и чем проверка численного метода отличается от проверки физической модели.

Погрешность дискретизации и порядок сходимости

Пусть $u$ — точное решение краевой задачи, $u_h$ — решение дискретной модели с характерным размером элемента $h$ , а $e(h)=\|u-u_h\|$ — погрешность в некоторой норме (или погрешность производной от решения величины: ёмкости, энергии, поля в точке). Говорят, что метод сходится с порядком $p$ , если при $h\to0$ $e(h)\approx Ch^p ,$ где постоянная $C$ зависит от задачи и гладкости решения, но не от $h$ . Уменьшение $h$ вдвое уменьшает погрешность в $2^p$ раз.

Порядок $p$ определяется двумя обстоятельствами: степенью полиномов в функциях формы и гладкостью точного решения. Для линейных треугольников и гладкого решения теория даёт следующие априорные ожидания [Сегерлинд; Сильвестер].

Величина	Порядок	Причина
Потенциал $\varphi_h$ (среднеквадратичная погрешность)	$O(h^2)$	Линейная функция приближает гладкую с ошибкой, квадратичной по размеру элемента
Поле $\uE_h=-\nabla \varphi_h$ внутри элемента	$O(h)$	Дифференцирование теряет один порядок: кусочно-постоянное поле приближает гладкое с ошибкой, линейной по $h$ (усреднённое по соседним элементам поле в узлах регулярной сетки сходится быстрее — см. лабораторию)
Энергия $W_h$ , ёмкость $C_W=2W_h/U^2$ , индуктивность	$O(h^2)$	Погрешность энергии квадратична по погрешности поля

Почему энергия сходится быстрее поля

Пусть $\uE$ — точное поле, $\uE_h$ — приближённое, $\delta\uE=\uE_h-\uE$ . Энергия приближённого решения $W_h=\frac12\int\varepsilon|\uE+\delta\uE|^2\dV =W+\int\varepsilon\,\uE\cdot\delta\uE\,\dV+\frac12\int\varepsilon|\delta\uE|^2\dV .$ Для задачи Лапласа с заданными потенциалами электродов среднее слагаемое равно нулю. Действительно, $\delta\uE=-\nabla (\varphi_h-\varphi)$ , где разность $\varphi_h-\varphi$ обращается в нуль на электродах, а точное поле удовлетворяет $\nabla\cdot (\varepsilon\uE)=0$ ; по теореме Остроградского–Гаусса $\int\varepsilon\,\uE\cdot\delta\uE\,\dV=-\oint(\varphi_h-\varphi)\,\varepsilon\uE\cdot\un\,\dS+\int(\varphi_h-\varphi)\nabla\cdot (\varepsilon\uE)\,\dV=0$ (на электродах нуль первый множитель, на линиях симметрии — нормальная составляющая поля). Остаётся $W_h-W=\frac12\int\varepsilon|\delta\uE|^2\dV\ge0 .$ Если поле сходится как $O(h)$ , то его квадрат — как $O(h^2)$ . Кроме того, при заданных потенциалах $W_h\ge W$ : метод Галёркина минимизирует энергию на подпространстве функций формы, и любое приближение даёт энергию не ниже точной. Ёмкость по энергии при сгущении сетки убывает к точному значению сверху, монотонно. При заданных источниках (зарядах, токах) картина зеркальна: минимизируется функционал, равный в точке решения $-W$ , и энергия, а с ней индуктивность катушки с заданным током, сходится снизу.

Это один из самых полезных фактов практики: интегральные величины, вычисляемые из энергии, достоверны уже на сетках, где поле в отдельных точках ошибается на десятки процентов.

Ёмкость по энергии и по заряду

Ёмкость можно вычислить и иначе — через заряд электрода, то есть поток смещения через замкнутый контур вокруг него: $C_Q=Q_h/U$ , где $Q_h=\oint\uD_h\cdot\un\,\dd l$ (на единицу глубины). Здесь используется само разрывное поле $\uD_h$ , а не его квадрат, и условие ортогональности не помогает. Результат зависит от того, где проведён контур: через элементы, прилегающие к электроду, или дальше — в точной задаче поток один и тот же, в дискретной — нет, ибо $\nabla\cdot \uD_h$ отличен от нуля на рёбрах. Поэтому $C_Q$ , как правило, сходится медленнее, чем $C_W$ , может приближаться к пределу с любой стороны, а разность $|C_Q-C_W|$ служит внутренней оценкой погрешности, не требующей знания точного ответа. Обе величины сходятся к одной ёмкости — их расхождение на конечной сетке есть мера того, насколько дискретное решение ещё не удовлетворяет закону Гаусса локально.

Оценка порядка по нескольким сеткам

Если точное решение известно, порядок находят по двум сеткам: $p=\frac{\ln(e_1/e_2)}{\ln(h_1/h_2)} .$ При $e_1=4\,\%$ , $e_2=1\,\%$ и $h_1/h_2=2$ получаем $p=\ln4/\ln2=2$ .

Точное решение обычно неизвестно — иначе и считать было бы незачем. Тогда применяют экстраполяцию Ричардсона [Самарский].

Экстраполяция Ричардсона

Пусть величина $F$ вычислена на трёх последовательно сгущаемых сетках $h$ , $h/2$ , $h/4$ : значения $F_1$ , $F_2$ , $F_3$ . Если $F_k=F+C h_k^p$ (старшие члены отброшены), то $F_1-F_2=Ch^p\left(1-2^{-p}\right),\qquad F_2-F_3=C(h/2)^p\left(1-2^{-p}\right),$ и их отношение равно $2^p$ . Отсюда наблюдаемый порядок и экстраполированное значение $p=\log_2\frac{F_1-F_2}{F_2-F_3},\qquad F\approx F_3+\frac{F_3-F_2}{2^p-1} .$ Оценка погрешности самой мелкой сетки: $|F_3-F|\approx|F_3-F_2|/(2^p-1)$ .

Три значения ёмкости

Погонная ёмкость получена на трёх сетках: $C_1=104{,}00$ пФ/м, $C_2=101{,}00$ пФ/м, $C_3=100{,}25$ пФ/м (по энергии; сгущение вдвое на каждом шаге). Разности: $C_1-C_2=3{,}00$ , $C_2-C_3=0{,}75$ ; отношение $3{,}00/0{,}75=4$ , наблюдаемый порядок $p=\log_24=2$ — соответствует априорному ожиданию для энергии на линейных элементах. Экстраполированное значение $C\approx100{,}25+\frac{100{,}25-101{,}00}{4-1}=100{,}25-0{,}25=100{,}00\ \text{пФ/м}.$ Погрешности относительно экстраполированного значения: $4{,}0\,\%$ , $1{,}0\,\%$ , $0{,}25\,\%$ — каждая следующая вчетверо меньше предыдущей, как и положено при $p=2$ . Погрешность самой мелкой сетки оценивается как $0{,}75/3=0{,}25$ пФ/м без знания точного ответа. Монотонное убывание сверху согласуется с минимизацией энергии.

Если бы отношение разностей оказалось, например, равным $2{,}5$ ( $p\approx1{,}3$ ), это означало бы, что либо решение негладко (особая точка), либо сетки ещё слишком грубы для асимптотики $Ch^p$ , либо сгущение выполнено неравномерно.

Экстраполяция Ричардсона применима только в асимптотической области, где старший член $Ch^p$ действительно доминирует. Признак того, что область достигнута, — стабильность наблюдаемого $p$ при переходе к следующей тройке сеток. На графике погрешности от $h$ в двойном логарифмическом масштабе асимптотика видна как прямая с наклоном $p$ ; загиб на грубых сетках означает, что асимптотика не достигнута.

Проверки баланса

Дискретное решение должно удовлетворять законам сохранения: полный поток $\uD$ через замкнутую поверхность вокруг всех электродов равен их суммарному заряду; сумма токов, втекающих в проводник, равна нулю; в стационарной тепловой задаче подведённое тепло равно отведённому плюс выделенному. Эти проверки обязательны, и их нарушение указывает на ошибку: неверное граничное условие, незамкнутую область, неточно решённую систему.

Однако выполнение баланса не гарантирует точности. Если потоки вычисляются согласованно с дискретной формулировкой — через те же уравнения, что и решение, — то метод Галёркина обеспечивает баланс с точностью решателя на любой, даже грубой, сетке: сумма уравнений Галёркина по всем узлам электрода есть не что иное, как равенство его полного потока заряду. Поток, найденный прямым интегрированием разрывного поля $\uD_h$ по контуру, удовлетворяет балансу лишь приближённо, и степень этого приближения также слабо связана с погрешностью ёмкости. Баланс выполняется на сетке из трёх элементов — ёмкость при этом может быть неверна вдвое. Баланс — необходимое условие, сгущение сетки — путь к достаточному.

Особые точки

Априорные порядки из таблицы предполагают гладкое решение. Вблизи острых кромок проводников, входящих углов и точек смены граничного условия решение уравнения Лапласа негладко, и сходимость ухудшается.

Поле у входящего угла

Пусть граница проводника образует угол, а область поля (диэлектрик) занимает сектор с раствором $\theta$ при вершине. Решение уравнения Лапласа вблизи вершины в полярных координатах $(r,\psi)$ с началом в вершине имеет вид $\varphi\approx\varphi_0+Kr^{\pi/\theta}\sin\frac{\pi\psi}{\theta},\qquad |\uE|\propto r^{\pi/\theta-1},$ где $K$ — постоянная, зависящая от задачи в целом. При $\theta<\pi$ (диэлектрик занимает выпуклый сектор, например внутри прямого угла между двумя пластинами) показатель степени у поля положителен и поле у вершины стремится к нулю. При $\theta>\pi$ показатель отрицателен и поле неограниченно. Для прямоугольной кромки проводника внешний угол со стороны диэлектрика $\theta=3\pi/2$ , откуда $\pi/\theta=2/3$ и $|\uE|\propto r^{-1/3}.$ Поле бесконечно на кромке, но энергия конечна: $\int|\uE|^2\,r\,\dd r\,\dd\psi\propto\int r^{-2/3}r\,\dd r=\int r^{1/3}\dd r$ — сходится. [Джексон]

Следствия для численного решения таковы.

Локальное поле у кромки не сходится вовсе. Какую бы сетку ни взять, вычисленное $|\uE|$ в элементе у вершины конечно и растёт при сгущении примерно как $h^{-1/3}$ . Величина «максимальная напряжённость» для геометрически острой кромки не имеет смысла — реальные кромки скруглены, и предельное поле определяется радиусом скругления, который следует включить в модель, если он важен.
Интегральные величины сходятся, но медленнее. На равномерной сетке погрешность энергии и ёмкости убывает как $O(h^{2\pi/\theta})$ вместо $O(h^2)$ ; для кромки с $\theta=3\pi/2$ это $O(h^{4/3})$ . Наблюдаемый порядок $1{,}3$ – $1{,}4$ на задаче с углом — не ошибка, а признак особенности.
Локальное сгущение восстанавливает порядок. Если размер элементов убывает к вершине по геометрической прогрессии (градиентная сетка), погрешность интегральных величин снова убывает как $O(h^2)$ при том же общем числе узлов. Это главный аргумент в пользу неравномерных сеток: сгущать нужно там, где решение негладко, а не везде.

Ещё один источник погрешности, не связанный с $h$ напрямую, — численное интегрирование. Для линейных элементов с постоянными свойствами интегралы берутся точно; при переменных свойствах и в осесимметричных задачах с весом $2\pi r$ квадратуры Гаусса вносят погрешность, которая обычно много меньше погрешности дискретизации, но может стать заметной для элементов, примыкающих к оси.

Лаборатория

Открыть опыт: Лаборатория сходимости

Лаборатория решает уравнение Лапласа методом конечных элементов с линейными треугольниками для двух задач. Первая — четверть коаксиального конденсатора ( $a=10$ мм, $b=30$ мм, $U=100$ В): на дугах заданы потенциалы $U$ и $0$ , на двух радиальных отрезках — условия симметрии. Все величины погонные и относятся к четверти сечения, поэтому аналитический эталон $C'=2\pi\varepsilon_0/\ln(b/a)=50{,}64$ пФ/м берётся с множителем $1/4$ : $12{,}66$ пФ/м; поле в контрольной точке $r=a+(b-a)/4=15$ мм равно $|\uE|=U/(r\ln(b/a))=6068$ В/м. Вторая — электрод с острым углом (квадрат $[0;\tfrac12]^2$ в единичной области): со стороны диэлектрика угол входящий, решение имеет особенность вида $r^{\pi/\theta-1}$ (для прямоугольной кромки — $r^{-1/3}$ ), аналитического эталона в замкнутой форме нет, и за эталон ёмкости принято значение, экстраполированное по Ричардсону.

Четыре уровня сгущения сетки $h$ , $h/2$ , $h/4$ , $h/8$ (на нулевом уровне — 4 или 8 ячеек на сторону). Для каждого уровня показаны ёмкость по энергии $C_W=2W_h/U^2$ , ёмкость по заряду $C_Q=Q_h/U$ (поток $\uD_h$ через поверхность внутреннего электрода), $|\uE_h|$ в контрольной точке — для коаксиала в узле, где поле восстановлено усреднением по прилегающим элементам, для кромки в элементе у вершины, — погрешности относительно эталона, а также график погрешности от $h$ в двойном логарифмическом масштабе с оценкой наблюдаемого порядка. Карта потенциала и сетка показаны для каждого уровня.

На что обратить внимание:

Для коаксиальной задачи наклон прямой погрешности $C_W$ равен $2$ , и $C_W$ приближается к эталону сверху. Погрешность $C_Q$ убывает лишь с порядком около $1$ (в этой задаче — снизу): поток разрывного поля через поверхность электрода наследует локальную погрешность поля.
Поле в узле, восстановленное усреднением, сходится быстрее, чем предсказывает оценка $O(h)$ для поля внутри элемента: наблюдаемый порядок близок к $2$ . На регулярной сетке погрешности соседних элементов имеют разные знаки и при усреднении частично гасятся (суперсходимость в узлах); на нерегулярной сетке и вблизи границ на это рассчитывать нельзя.
Сравните $C_Q$ и $C_W$ на каждом уровне. Как изменяется их разность при сгущении и какая из величин ближе к эталону?
Для задачи с кромкой $|\uE|$ в элементе у вершины не стабилизируется, а растёт от уровня к уровню примерно в $2^{1/3}\approx1{,}26$ раза, как и предписывает особенность $r^{-1/3}$ . Ёмкость $C_W$ при этом сходится, но наблюдаемый порядок около $1{,}4$ — ниже $2$ и близок к теоретическому $4/3$ .
По первым трём уровням выполните экстраполяцию Ричардсона вручную и сравните с четвёртым уровнем (для коаксиала — и с эталоном).

Сравнение с аналитическими решениями

Аналитическое решение — самый сильный эталон, потому что его погрешность равна нулю. Задач с такими решениями мало, но для каждого типа поля в курсе есть по крайней мере одна.

Эталон	Решение	Что проверяет
Коаксиальный конденсатор	$C'=2\pi\varepsilon/\ln(b/a)$ , $E=U/(r\ln(b/a))$	Электростатика, криволинейные границы, ёмкость двумя способами
Пластина с тепловыделением	$T(x)=T_s+\dfrac{q_V}{2\lambda}(L^2-x^2)$	Объёмные источники, условие Дирихле, параболический профиль
Скин-эффект в пластине толщиной $d$	$\cplx J(x)\propto\dfrac{\operatorname{ch}\bigl[(1+\ii)x/\delta\bigr]}{\operatorname{ch}\bigl[(1+\ii)d/(2\delta)\bigr]}$	Гармонический режим, комплексные амплитуды, разрешение сеткой слоя $\delta$
Длинный соленоид	$B_z=\mu_0NI/\ell$ внутри ( $N$ витков на длине $\ell$ )	Осесимметричная магнитостатика, множитель $2\pi r$ , условие на оси

Эталоны проверяют метод и его реализацию, но не модель реального устройства: коаксиальный эталон не скажет, правильно ли вы учли концевое поле кабеля.

Верификация и валидация

Два слова, которые часто путают, обозначают разные и одинаково необходимые виды проверки [Oberkampf].

Верификация

Ответ на вопрос: правильно ли решены уравнения? Включает верификацию кода (программа решает именованную задачу так, как задумано: сравнение с аналитическими решениями, проверка наблюдаемого порядка сходимости против теоретического) и верификацию решения (для данной задачи оценена погрешность дискретизации: сгущение сетки, экстраполяция Ричардсона, сравнение независимых способов вычисления одной величины). Верификация — чисто математическая деятельность; физика в ней не участвует.

Валидация

Ответ на вопрос: решены ли правильные уравнения? Сравнение результатов модели с измерениями на реальном устройстве или его физической модели. Валидация оценивает погрешность модели: допущений о симметрии, граничных условиях, материальных свойствах, пренебрежённых явлениях. Она возможна лишь после верификации — иначе невозможно отличить ошибку модели от ошибки её решения.

Структура полной погрешности результата: $\text{результат}-\text{истина}=\underbrace{(\text{модель}-\text{истина})}_{\text{погрешность модели}}+\underbrace{(\text{точное решение модели}-\text{дискретное})}_{\text{дискретизация}}+\underbrace{(\text{округление, решатель})}_{\text{обычно пренебрежимо}} .$ Первое слагаемое включает и неопределённость исходных данных: если теплопроводность изоляции известна с точностью $\pm10\,\%$ , расчётная температура неопределённа примерно в той же мере, и сгущать сетку до $0{,}1\,\%$ бессмысленно. Разумная цель верификации — довести численную погрешность до уровня, заметно меньшего неопределённости данных, и не далее. Оценку чувствительности результата к данным получают, варьируя свойства в пределах их разброса, — это часть анализа неопределённости, а не сходимости.

Распространённые заблуждения

«Сетка сошлась, значит, ответ верен». Сходимость означает лишь, что найдено решение выбранной математической модели. Ошибки геометрии, граничных условий и материалов она не обнаруживает — это предмет валидации.
«Баланс сходится, значит, сетка достаточна». Законы сохранения в интегральной форме выполняются методом Галёркина на любой сетке; они проверяют постановку, а не точность.
«Нужно сгущать, пока максимальное поле не стабилизируется». У острой кромки оно не стабилизируется никогда. Либо введите реальное скругление, либо работайте с интегральными величинами.
«Погрешность 0,1 % по сравнению с предыдущей сеткой означает точность 0,1 %». Разность соседних сеток равна погрешности мелкой сетки, умноженной на $2^p-1$ : при $p=2$ она втрое превышает истинную погрешность мелкой сетки (оценка консервативна), но при $p<1$ — у особых точек — занижает её. Кроме того, вне асимптотической области оценка вообще неприменима.
«Экстраполированное значение точнее любого расчёта, его и следует указывать». Экстраполяция верна лишь при стабильном наблюдаемом порядке; при переменном $p$ она может ухудшить результат.

Вопросы и упражнения

Энергия электрического поля системы электродов с заданными потенциалами на сетках $h$ , $h/2$ , $h/4$ : $W_1=2{,}560$ мДж, $W_2=2{,}440$ мДж, $W_3=2{,}410$ мДж. Найдите наблюдаемый порядок, экстраполированное значение и оценку погрешности третьей сетки. С какой стороны сходится энергия и почему? Как изменился бы ответ на последний вопрос для катушки с заданным током?
На тех же трёх сетках $|\uE_h|$ в элементе, лежащем в гладкой части области, равно $3{,}60$ , $3{,}30$ и $3{,}15$ кВ/м. Каков наблюдаемый порядок? Согласуется ли он с ожиданием для линейных элементов?
У кромки с внешним углом $\theta=3\pi/2$ на сетке $h$ получено $|\uE|=10$ кВ/м в элементе у вершины. Чего ожидать на сетке $h/8$ ? Как изменится показатель степени для кромки с углом $\theta=2\pi$ (бесконечно тонкая пластина)?
В тепловой задаче баланс «подведённое тепло равно отведённому» выполнен с точностью $10^{-12}$ на сетке из 40 элементов, а температура центра отличается от аналитической на 30 %. Объясните, почему здесь нет противоречия.
Расчёт температуры обмотки верифицирован: погрешность дискретизации 0,2 %. Измерение дало на 12 К больше расчётных 85 К. Какой вид погрешности это выявляет и какие допущения модели вы проверили бы в первую очередь?
Два инженера считают одну и ту же ёмкость: один по энергии, другой по потоку через контур вплотную к электроду. На грубой сетке ответы различаются на 6 %. Кто ближе к истине и как это проверить, не зная точного ответа?

Ответы к пунктам 1, 2 и 3

1. $W_1-W_2=0{,}120$ , $W_2-W_3=0{,}030$ мДж; отношение $4$ , $p=2$ . $W\approx2{,}410+(2{,}410-2{,}440)/3=2{,}410-0{,}010=2{,}400$ мДж. Погрешность третьей сетки $\approx0{,}010$ мДж ( $0{,}4\,\%$ ). При заданных потенциалах энергия сходится сверху — метод Галёркина минимизирует энергетический функционал на подпространстве. Для катушки с заданным током минимизируемый функционал равен $-W$ , и энергия (индуктивность) сходится снизу.

2. Разности $0{,}30$ и $0{,}15$ кВ/м, отношение $2$ , $p=1$ — ожидаемый первый порядок для кусочно-постоянного поля внутри линейного элемента. Экстраполированное значение $3{,}15-0{,}15=3{,}00$ кВ/м.

3. Поле у вершины растёт как $h^{-1/3}$ : при сгущении в 8 раз — в $8^{1/3}=2$ раза, то есть около 20 кВ/м; дальнейшее сгущение продолжит рост. Для $\theta=2\pi$ : $\pi/\theta-1=-1/2$ , $|\uE|\propto r^{-1/2}$ — особенность сильнее.

Итоги курса

Этот урок завершает курс, и его итоги — итоги всего пройденного пути.

Математический язык (М1). Поля описываются градиентом, дивергенцией и ротором; интегральные теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса связывают локальные и интегральные формулировки; метрические множители криволинейных координат — не формальность, а размерность.
Уравнения поля (М2). Уравнения Максвелла и уравнение теплопроводности в статическом и квазистатическом приближениях сводятся к краевым задачам для потенциалов; материальные уравнения и условия на границах раздела замыкают постановку; единственность требует опорного потенциала.
Электростатика, ток, магнитостатика, гармонические поля (М3–М6). Одна и та же структура — уравнение Пуассона или Гельмгольца с коэффициентом $\varepsilon$ , $\sigma$ , $1/\mu$ или $\lambda$ — описывает поля разной природы; различие в источниках, граничных условиях и в том, какие интегральные величины из них извлекают.
Интегральные величины (М7). Ёмкость, индуктивность, сопротивление, энергия и сила — функционалы поля с явно указанной областью интегрирования, ориентацией и допущениями; энергетические определения точнее потоковых.
Тепловые поля (М8). Закон Фурье и баланс энергии дают уравнение теплопроводности; граничные условия теплообмена — модели внешнего мира; нестационарность вносит характерное время.
Связанные задачи и численное моделирование (М9). Потери — источники тепла, свойства зависят от температуры; метод конечных элементов строится на слабой форме и функциях формы; симметрия понижает размерность ценой явных допущений; сходимость, порядок, особые точки, верификация и валидация — инструменты, отличающие расчёт от картинки.

Главный урок курса состоит в следующем: численная модель отвечает ровно на тот вопрос, который ей задан — с той геометрией, теми материалами, теми граничными условиями и той сеткой, которые выбраны. Понимать поле означает понимать, какой вопрос был задан, и уметь оценить, насколько ответ достоверен.