Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Обоснование численной устойчивости выбранной характеристики
Инженерный вопрос. Меняется ли интересующая величина после уточнения сетки?
Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Выберите одну защищаемую величину и различите погрешности сетки, внешней области и дискретизации положения. Точность линейного решателя не заменяет эти проверки.
Три сетки. Разберите порядок сравнения уточняемых решений и причину независимого изменения факторов.
Три сетки воздушной катушки. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сохраните размер сетки, число элементов и одну и ту же величину на трёх сетках.
Ответить на вопрос по своим результатам. Постройте таблицу уточнения с изменением выбранной величины между соседними уровнями; остальные параметры сохраняйте.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Таблица сходимости и ограниченный ею вывод о точности.
Данные именно этого опыта. Сохраните размер сетки, число элементов и одну и ту же величину на трёх сетках.
Оформление наблюдений. Таблица параметра уточнения, числа элементов и одной неизменной по определению величины; отдельная серия для каждого источника численного изменения.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Минимум три сетки; изменение \Psi последней пары менее 1\,\%; отдельная область меняет \Psi менее 0{,}5\,\%.
Независимый контроль. Используйте последовательное уточнение и независимый физический предел; одно совпадение двух грубых сеток недостаточно для оценки порядка сходимости.
Критерий выполнения. Серии независимы; значения h,R,число элементов и относительные разности указаны; критерий сформулирован до выбора расчётной сетки.
Точность и расхождения. Выполните уровни и допуск, прямо заданные практикумом. Иначе укажите требуемую точность по инженерной задаче до сравнения; изменение соседних решений является оценкой устойчивости, а не доказанной полной погрешностью.
Основание сравнения. Критерий берётся из практикума. Сетку, размер внешней области и шаг положения уточняют раздельно; малая невязка решателя не равна полной погрешности.
Вывод для устройства
Выберите достаточно экономную сетку для требуемой характеристики и покажите, почему именно её устойчивость достаточна для последующего решения.
Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.
Дополнительный расчётный метод
Гладкий зазор: аналитическая проверка поля и независимых источников ошибки
Сопоставление с точным полем гладкого зазора позволяет отдельно измерить ошибку сетки, дискретизации возбуждения и затухания гармоник.
Расчёт магнитных систем электромагнитов классическим и численным методом (ОНПУ,2010)
Размеры и B(H) задают магнитную цепь, затем полевой расчёт определяет тяговую силу. Таблица независимых оценок показывает пользу и границы классического и численного методов.
Независимые энергетические определения связывают поле с параметрами цепи и электромеханическим преобразованием. Сравнение зависит от принятого материального закона и удерживаемых величин.
Получаемые величины. AJ=\int A\cdot J dV; W и W'; матрица индуктивностей и перекрёстное насыщение; устойчивость параметров при сетке и перемещении
Для линейной токовой системы сопоставить AJ, \Sigma i\Psi и 2W.
Для нелинейной системы интегрировать H по B и B по H, сохраняя одну рабочую точку.
Определить секущие и локальные параметры отдельными опытами.
Проверить сетку в узких зазорах и перенос карты в уравнения цепи/механики.
Страницы источника. PDF 1–7: энергия и функционал; 8–9: нелинейная магнитная цепь; 10–18: постановка и параметры; 19–25: сетка и движение; 26–30: связанные модели.
Математическая модель поля и электрических цепей машины
Протокол краевой задачи связывает среды, свойства, границы, источники и электрические выводы. Проверка одной целевой величины на двух сетках показывает численную устойчивость выбранной постановки.
Получаемые величины. скачки H\tau при поверхностном токе и непрерывность Bn; напряжение вывода и ток; F и невязка действия/противодействия; изменение результата при сетке
Разбить устройство на среды и назначить материальные связи.
Для каждой границы записать физический смысл условия.
Согласовать возбуждение с внешней электрической цепью.
Сравнить силы и внутренние граничные соотношения при независимом уточнении сетки и внешней области.
Страницы источника. PDF 1–15 полностью: 1–4 область и уравнения; 5–8 границы раздела; 9–11 связь поля с цепью; 12–15 проверка геометрии и сетки.
Сравнение пазов по проводимости и гармоникам позволяет оценить зубчатость. Коэффициент Картера описывает эквивалентирование полного потока при той же МДС; локальные пики поля проверяют отдельно.
Получаемые величины.\Lambda зубцового деления и k\delta; \beta c(x), \beta s(x); разностная проводимость; B\nu и ошибка гладкого эквивалента
Проверить условия изолированного прямоугольного паза и большой \mu.
Рассчитать гладкий эталон и пазовый вариант при одинаковой МДС.
Из потока определить эквивалентный зазор и коэффициент Картера.
Сравнить пространственный профиль и гармоники; отдельно ослабить допущения и уточнить сетку.
Для зубцового контура проверить особые граничные условия перед переносом его проводимости.
Страницы источника. PDF 1–54 полностью: 1–10 зубцовая зона и допущения; 11–20 чётное/нечётное поле; 21–33 преобразования; 34–42 проводимость и Картер; 43–54 разностная проводимость и зубцовый контур.
Достоверность численного результата оценивают последовательным уточнением сетки, размеров внешней области и шага перемещения. Раздельное исследование этих факторов позволяет выявить источник изменения результата и обосновать достаточность дискретизации.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Погрешность физического приближения возникает из-за двумерности, неполной B(H), отсутствия торцевых эффектов и других принятых допущений. Ошибка внешней границы связана с усечением воздуха. Сеточная погрешность возникает при пространственной дискретизации. Алгебраическая погрешность характеризует решение уже составленной системы. Уменьшение Precision до 10^{-12} не заменяет мелкую сетку и не добавляет в модель реальные лобовые части. Проверки строят так, чтобы в каждой серии изменялась одна причина.
Локальное уточнение
Элементы особенно нужны в узком зазоре, около кромок, в слое проникновения и на поверхности движущегося тела. Дальний воздух обычно можно разбивать крупнее. Уточняют размеры меток областей и сегментов, сохраняя исходную геометрию и источник. Три последовательных сетки дают сведения о тенденции, которых две сетки не показывают. Число элементов записывают, но оно не является самостоятельным критерием точности: миллион элементов в дальнем воздухе не заменяет несколько рядов элементов в критическом зазоре.
Изменение интегрального результата
Для ненулевой величины удобно считать разность двух последних сеток относительно более мелкого решения. Если изменения уменьшаются, это признак приближения, но не строгая оценка точной ошибки. Для учебных катушек предлагается добиться изменения \Psi менее 1\,\%; для силы понадобится отдельный допуск порядка 2\,\%. Эти числа — учебные критерии конкретного опыта, а не универсальные нормы промышленной квалификации. Для малой пульсации момента относительная ошибка может быть огромной даже при малой абсолютной разности.
h — характерный размер элемента; Q — проверяемая величина. Для Q\approx 0 используют \Delta Q и заранее выбранный абсолютный допуск.
Отдельная проверка области
После выбора достаточной локальной сетки расширяют внешний воздух. Важные ограничения у катушки и зазора при этом остаются прежними. Затем можно вернуться к сеточной серии в принятой области. Для открытых систем возможна заметная энергия за пределами близкой границы, хотя B в центре выглядит почти неизменным. Поэтому проверяйте потокосцепление или силу, ради которых строилась модель. Удобно хранить две таблицы: одну для h при фиксированном R, другую для R при фиксированных локальных h.
Шаг производной и положение тела
Сила через разность коэнергий и динамическая индуктивность требуют выбора шага. Слишком большой шаг усредняет нелинейную зависимость, слишком малый усиливает численный шум разности близких чисел. Полезна центральная разность и опыт с половинным шагом. Для движущегося якоря нужно проверять также сетку в каждом положении: почти одинаковая геометрия не гарантирует одинаковую структуру треугольников. Энергетическая производная особенно чувствительна к этим изменениям, поэтому сравнение со взвешенным тензором является отдельной проверкой.
Когда максимум не сходится
В идеальном остром углу локальная B может возрастать при последовательном измельчении сетки. Это не обязательно отказ решателя: модель может иметь математическую сингулярность. Для реальной детали нужен конечный радиус скругления или показатель поля в физически заданной зоне вдали от самого угла. Энергия и потокосцепление при этом могут сходиться вполне устойчиво. Посчитайте критерий по таблице собственных результатов FEMM и укажите, какое независимое изменение проверялось.
Как отличить стабилизацию от случайного совпадения
Если две соседние сетки случайно дали одинаковое округлённое значение, это ещё не подтверждает сходимость. Проверяйте несколько значащих цифр, третью сетку и сопутствующую физическую величину. Немонотонная последовательность не обязательно неверна: перестройка треугольников может давать колебания результата около предела. Однако тогда нужен более устойчивый диапазон, а не выбор единственной удобной пары. Для производной особенно полезны два независимых шага и две сетки, поскольку разность энергий усиливает шум. Сравнение всегда должно быть привязано к цели: сетка достаточна для среднего потокосцепления, но может быть недостаточна для малого зубцового момента. Такой вывод формулируется с указанием проверенной величины и не распространяется на все будущие задачи той же модели.
Что именно доказывает уточнение
Сходимость оценивается для выбранного интегрального результата при неизменных физических исходных данных.
Последовательно уменьшайте размер элемента, сохраняя внешнюю границу и геометрию. Не менее трёх уровней позволяет заметить немонотонность или отсутствие установившейся тенденции.
У почти нулевого результата используйте заранее выбранный ненулевой масштаб: это исключает деление на случайную малую величину.
Отдельно увеличьте внешнюю область, затем отдельно уменьшите шаг угла или тока. Полученные различия относятся к разным источникам ошибки и не заменяют друг друга.
Проверяемый результат; единица определяется выбором результата
по результату
\varepsilon_h
Относительное изменение результата при уточнении сетки
1
Границы применимости. Малая разность двух сеток не является строгой оценкой истинной ошибки. Экстраполяция требует установленного порядка сходимости и режима, в котором главный член ошибки действительно преобладает.
Пояснения к официальному руководству
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Сглаживание поля: что восстанавливается и что остаётся приближением
В плоской задаче линейный потенциал на треугольнике даёт постоянное по элементу производное поле. На общей вершине несколько соседних элементов поэтому предлагают разные значения B. Карта без сглаживания показывает этот кусочно-постоянный результат. Сглаживание создаёт узловое представление производного поля для интерполяции и отображения; исходные узловые значения потенциала и сама сетка от этого не становятся решениями более высокого порядка.
Общий метод восстановления по группе соседних элементов мог бы аппроксимировать значения поля в центрах треугольников плоскостью по наименьшим квадратам. Однако на нерегулярной сетке такая задача может оказаться плохо обусловленной. Для магнитного поля FEMM использует более простое среднее: вклад каждого соседнего элемента взвешивается обратно пропорционально расстоянию от его центра тяжести до рассматриваемого узла. Поэтому большие и маленькие элементы влияют не одинаково, а восстановление не является простым средним всех ближайших значений.
Каждому соседнему треугольнику приписывается вес, обратный расстоянию от его центра до рассматриваемого узла. Сглаживание делает поле непрерывнее на рисунке, но не создаёт новую сетку.
Обозначения и единицы
\mathbf B_e — индукция в центре элемента, Тл; \mathbf x_e и \mathbf x_{\mathrm{node}} — координаты центра и узла, м; w_e — вес, м⁻¹; восстановленная \mathbf B_{\mathrm{node}} имеет единицу Тл.
Условия применения. На интерфейсах действуют специальные правила; нельзя усреднять несовместимые предельные значения через физический разрыв.
В PDF правило задано словами «inversely proportional to the distance»; нормированная формула раскрывает это описание.
Для электростатики процедура другая: в окрестности узла аппроксимируют узловые напряжения плоскостью и используют её градиент для восстановления электрического поля и смещения с учётом материала. Специальные случаи на границах и поверхностях обрабатываются отдельно. Магнитную формулу усреднения B поэтому нельзя выдавать за точное описание любого поля любого модуля.
На границе материалов физически непрерывны определённые компоненты, а не весь вектор. Без поверхностного заряда непрерывна нормальная D; при разных \varepsilon нормальная E обычно разрывна. Аналогично для границы раздела магнитных сред без поверхностного тока непрерывны нормальная B и тангенциальная H. Сглаживание изображения не должно скрывать эти физически обусловленные скачки. Сравнивайте значения с одной выбранной стороны границы раздела и фиксируйте режим сглаживания.
У острых углов поле может иметь сингулярность. Сглаживание способно изменить показанный максимум, но не создать конечное физическое значение для идеальной острой кромки. Для оценки изоляции указывают реальный радиус скругления; для интегральных сил и энергии отдельно проверяют сходимость нужного интеграла. Сравнение сглаженного и несглаженного профиля полезно как диагностический опыт, но не является самостоятельной строгой оценкой погрешности.
Открытая область: удалённая граница и кольцевые слои IABC
У воздушной катушки нет естественной стенки, за которой поле строго равно нулю. Простейший расчёт заменяет бесконечное пространство большой конечной областью с условием A = 0 либо \partial A/\partial n = 0. Руководство приводит ориентир: радиус внешней границы не менее пяти характерных расстояний от выбранного центра до устройства. Это начальный выбор, а не доказательство заданной точности; необходимое удаление зависит от источников и требуемой величины.
Первое условие выражает желаемое поведение открытой магнитной задачи. Второе — приведённое в руководстве практическое правило для усечения области, которое обязательно проверяют увеличением внешнего радиуса.
Обозначения и единицы
A — магнитный потенциал, Вб/м; R_{\mathrm{outer}} — расстояние от выбранного центра до внешней границы, м; R_{\mathrm{object}} — расстояние от того же центра до внешних частей объекта, м.
Условия применения. Правило не является оценкой ошибки и не гарантирует нужной точности силы или индуктивности. Нельзя применять его к произвольным источникам без проверки поведения поля на бесконечности.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
Проверку проводят, меняя только внешнюю область и сохраняя разрешение у источников, зазоров и интересующих кромок. В дальнем воздухе допустима более редкая сетка, поскольку локальные изменения обычно медленнее. Сравнивают именно целевой выход: поле в точке, потокосцепление, энергию, силу или момент. Относительная разность плохо подходит для величины около нуля; тогда назначают абсолютный масштаб.
Команда Open Boundary создаёт приближённое асимптотическое условие IABC из вложенных кольцевых слоёв со специально подобранными свойствами. В руководстве допускается от 1 до 12 слоёв; 7 предлагается как разумное исходное значение. Задаются радиус, центр и тип внешней кромки: Дирихле или Неймана. Предложенные по габаритам устройства параметры удобны для начала, но при необычной геометрии их необходимо проверить.
Рисунок М.A.7. IABC в двумерной плоскопараллельной задаче
Кольцевые области IABC приближают влияние внешнего неограниченного пространства. Они являются математической конструкцией, а не магнитными деталями устройства. При интегрировании по физическому телу выбирайте именно его области и проверяйте чувствительность результата к радиусу и числу оболочек.
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Горизонтальная координата здесь является радиусом r, а левая вертикальная линия — осью вращения. Полукруг представляет осесимметричную область, а не половину обычной плоской машины. При чтении объёмных интегралов используется вес 2\pi r.
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Решатель и постпроцессор обрабатывают оболочки IABC как области конечных элементов с заданными свойствами. Они видны на карте и попадут в интеграл, если выделить всю модель. Поэтому для физического интеграла сначала выбирают соответствующие области устройства. Особенно опасно считать искусственные слои реальной массой, объёмом или материалом. Если нужна полная энергия, включая бесконечное внешнее пространство, эквивалентность выбранной процедуры интегрирования нужно обосновать отдельно; механическое суммирование всех искусственных областей такого обоснования не даёт.
Скриптовые команды mi_makeABC, ei_makeABC, hi_makeABC и ci_makeABC создают аналогичную конструкцию в соответствующем модуле. Наличие команды в тепловом модуле ещё не гарантирует физический смысл стационарного отвода заданной мощности «в бесконечность». Например, у бесконечно длинного двумерного источника с ненулевой суммарной мощностью и постоянной теплопроводностью температура зависит логарифмически от расстояния, и конечная заданная температура на бесконечности не получается. Открытую границу выбирают вместе с допустимой физической постановкой.
Диагностическая чувствительность к радиусу с ненулевым масштабом Qмасштаб. Это разность двух приближённых решений, а не строгая верхняя граница ошибки.
Авторский контроль применимости открытой тепловой модели: P\ell — мощность на единицу длины в Вт/м; k — постоянная теплопроводность. Ненулевой P\ell несовместим с конечной температурой при r \to \infty в такой бесконечной двумерной среде.
Проверьте на своей модели
Сравните удалённое усечение и IABC по одной целевой величине при одинаковой сетке около устройства.
Для IABC отдельно измените число слоёв и радиус; не смешивайте эти изменения с уточнением зазора.
Перед блоковым интегралом проверьте выделение: искусственные слои не должны случайно стать частью физического тела.
Преобразование Кельвина: почему второй круг представляет бесконечность
Вывод приложения A.3.3 сначала относится к плоскопараллельному полю. Все источники и неоднородные материалы заключают в круг радиуса r_{0}. Во внешней однородной области без источников скалярный магнитный потенциал A_z удовлетворяет уравнению Лапласа. Замена радиуса R = r_{0}^{2}/r переводит внешность круга в его внутренность: граница r = r_{0} остаётся границей R = r_{0}, а бесконечность переходит в центр R = 0.
В плоской внешней области без токов и с постоянной проницаемостью магнитное уравнение сводится к Лапласу. Это исходное основание преобразования Кельвина. Существование поля во внешней области не требует локального источника: его создаёт устройство внутри охватывающей окружности.
\nabla^2 — двумерный скалярный лапласиан в плоскости.
Условия применения. Плоская геометрия, однородная изотропная внешняя среда, отсутствие токов в ней. Осесимметричное уравнение для A_{\theta } имеет другую геометрию и не заменяется этой записью.
Радиальный оператор содержит геометрический множитель r, а угловая производная масштабируется квадратом радиуса. Это описание той же плоской задачи, а не переход к осесимметричному магнитному уравнению. Полярные координаты выбраны потому, что внешняя граница для отображения — окружность.
Обозначения и единицы
r — расстояние от центра охватывающей окружности, м; \theta — полярный угол, рад.
A — Вб/м; оба слагаемых имеют единицу Вб/м³.
Условия применения. Однородная плоская внешняя область r>r_{0} без источников. Координата \theta описывает положение в плоскости, а не азимутальный поворот осесимметричной модели.
Бесконечная внешняя область r\ge r_{0} отображается внутрь круга 0<R\le r_{0}. Общая граница остаётся на месте, а удаление к бесконечности превращается в приближение к центру второго круга. Преобразование обратимо при ненулевом R: r=r_{0}^{2}/R.
Обозначения и единицы
r_0 — радиус окружности раздела, м; r — физический радиус, м.
R — координата отображённой внешней области, м.
Условия применения. Все источники и неоднородности заключены внутри первого круга. Центр отображённого круга соответствует бесконечности, поэтому условие в нём должно соответствовать физически допустимому поведению далёкого поля.
После этой замены плоский оператор Лапласа сохраняет свой вид с точностью до ненулевого множителя. Поэтому внешний бесконечный воздух можно представить вторым конечным кругом с тем же уравнением. На совпадающих по углу точках окружностей связывают потенциалы периодическими условиями. Нормальные производные при переходе меняют знак, что соответствует встречным внешним нормалям двух сопрягаемых областей; непрерывность потока обеспечивается согласованной вариационной постановкой.
Увеличение физического радиуса уменьшает отображённый радиус, что даёт минус. При применении к A сначала вычисляется производная по R, затем она умножается на dR /dr. Коэффициент стоит перед оператором: иначе запись можно ошибочно прочитать как дифференцирование самого коэффициента.
Оба дифференциальных оператора имеют размерность 1/м.
Условия применения. Производная по r при фиксированном \theta, R=r_{0}^{2}/r. При повторном дифференцировании коэффициент уже зависит от R и должен также дифференцироваться по правилу произведения.
В исходной типографике производная записана слева от dR /dr. Здесь применено однозначное операторное равенство: множитель расположен перед \partial /\partial R.
Связь радиальных производных на окружности сопряжения
На общей окружности модуль коэффициента преобразования равен единице, а знак остаётся отрицательным. Это отражает противоположные направления роста двух радиальных координат. Значения A на соответствующих границах связывают периодическими парами, а сопряжение производных следует из корректной вариационной постановки.
Обозначения и единицы
r=R=r_0 — окружность раздела физической и отображённой областей.
\partial A/\partial r и \partial A/\partial R — Вб/м².
Условия применения. Одинаковая однородная среда по обе стороны сопрягаемой внешней области. Знак относится к радиальным координатам; нельзя объявить два значения нормальной производной одинаковыми без учёта ориентации нормалей.
После преобразования и сокращения ненулевого масштабного множителя уравнение снова имеет форму плоского Лапласа. Поэтому бесконечную внешнюю область можно представить вторым ограниченным кругом с той же однородной средой и согласованной границей. Точность самого отображения не устраняет ошибку конечной сетки.
Обозначения и единицы
R — радиус во втором круге, м; \theta — сохранённый угол.
A — отображённый потенциал, Вб/м; R=0 соответствует бесконечности.
Условия применения. Плоская безисточниковая внешняя область при R>0. Условие в центре определяется асимптотикой: A\to 0 допустимо не для любой системы, например не для некомпенсированного бесконечного прямого тока с логарифмическим A_z.
Во втором круге центр соответствует бесконечности. Если выбранная открытая задача допускает условие A \to 0, в этом центре задают опорное A = 0. В примере руководства каждая окружность составлена из двух дуг и используются две отдельные периодические пары. Одно периодическое свойство должно связывать ровно две соответствующие геометрические сущности; присвоить одно имя всем четырём дугам недостаточно. Центр второго круга относится к его локальной системе координат, а не обязательно к началу общего чертежа.
Точность отображения в непрерывной математической постановке не отменяет сеточную ошибку, аппроксимацию окружностей дугами сетки и необходимость физически допустимого поведения на бесконечности. Например, для плоского бесконечного прямого проводника с ненулевым суммарным током A_z содержит логарифмический член; условие A \to 0 там не подходит без дополнительного рассмотрения возвратного тока и выбора постановки. Внешний круг не заменяет отсутствующий путь возврата тока.
Линии выходят из границы физического круга и продолжаются в образе внешнего пространства. Правый круг не является вторым физическим устройством. Обратное отображение позволяет восстановить положение во внешней области, но сеточную погрешность и исходные предположения всё равно нужно проверять.
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Осесимметричная версия отличается. В §2.2.8 FEMM требуется задавать центр внешней области по z, радиус внешней и радиус внутренней сферической области, а метки преобразованной области помечать Block located in an external region. Проницаемость там должна пространственно изменяться, и FEMM выполняет это преобразование автоматически по указанным параметрам. Правило «нарисовать два обычных круга с воздухом» из плоского вывода нельзя без изменений переносить в осесимметрию.
Проверьте на своей модели
Проверьте три образа: r = r_{0} переходит в R = r_{0}, r = 2r_{0} — в R = r_{0}/2, r \to \infty — в R \to 0.
Убедитесь, что каждая периодическая пара связывает две соответствующие дуги, а опорная точка находится в центре преобразованного внешнего круга.
В осесимметрии отдельно проверьте параметры Exterior Region и флаг каждой метки внешней области.
Изменение предыдущей пары равно 3{,}23\,\%. Уменьшение разности и соблюдение допуска 1\,\% позволяют принять последнюю сетку для исследуемой величины.
Ответ: Последняя относительная разность 0{,}8\,\%; предыдущая 3{,}23\,\%.
Проверка: Утверждать точную ошибку 0{,}8\,\% нельзя: точное решение здесь неизвестно. Проверка радиуса ещё не выполнена.
Углублённый разбор
Одна геометрия и три внешние области: A=0, IABC и Кельвин
Зачем моделировать пространство за пределами аппарата
Поле воздушной катушки занимает всё пространство, тогда как конечные элементы заполняют ограниченную область. Искусственная внешняя граница способна изменить потокосцепление и энергию даже при хорошо решённой внутренней сетке. Увеличение числа элементов внутри катушки не исправляет слишком близкую границу.
В общем опыте сохраняются катушка r=9…11 мм, z=-5…5 мм, 100 витков, ток 1 А и ближняя сетка. Сравниваются три стратегии внешней области. Показатели — поле в центре, потокосцепление и энергия LI ^{2}/2. Самосила симметричной катушки не выбрана главным показателем: её точное осевое значение равно нулю и плохо характеризует ошибку усечения.
Поле в отдельном треугольнике чувствительнее к локальной сетке, чем интегральное потокосцепление. Поэтому таблица содержит оба вида величин. Похожая картина силовых линий недостаточна для проверки открытой границы.
Удалённое A=0 и физика ошибки усечения
Условие A=0 на конечной окружности не означает свободное пространство. Оно фиксирует потенциал на искусственной поверхности и меняет магнитное сопротивление внешней области. При удалении границы решение возле источника стремится к решению открытой задачи. Скорость убывания ошибки определяется мультипольным составом поля.
У локализованной осесимметричной катушки дальнее поле имеет дипольный характер. Внешняя энергия убывает приблизительно с кубом радиуса, что объясняет улучшение при удвоении области. Коэффициент зависит от размеров источника и выбранного интеграла; правило «пять размеров достаточно» не заменяет серию R, 2R, 4R.
Масштабная оценка для пространственного диполя, а не точная оценка погрешности конечно-элементного расчёта произвольной топологии.
IABC и преобразование Кельвина
IABC заменяет бесконечную внешнюю область несколькими концентрическими оболочками с подобранными свойствами. Команда mi_makeABC получает число оболочек, внутренний радиус, центр и тип наружной границы. Здесь явно заданы семь оболочек и радиус 30 мм. Это делает сравнение воспроизводимым.
Преобразование Кельвина отображает бесконечную область во вторую конечную область. В осесимметрии оно требует пространственно изменяющейся эффективной проницаемости. FEMM применяет её к блокам, отмеченным mi_attachouterspace, после mi_defineouterspace. Дуги внутренней и внешней полусфер связываются периодическим условием.
Центр внешней области должен совпадать с геометрическим центром нарисованной полусферы. Копирование старого численного аргумента без проверки геометрии создаёт другое отображение. В новой программе координата центра вычисляется из радиусов, а дуги имеют согласованное разбиение.
Точность непрерывного отображения не отменяет дискретизацию. Сетка двух областей, периодические узлы и численная интеграция по-прежнему вносят ошибку. Поэтому Кельвин дополнительно рассчитан при радиусе 60 мм. Энергия определяется через потокосцепление линейной катушки; не требуется смешивать обычные и преобразованные объёмные интегралы.
Ответ. При R=30 мм обычное A=0 занижает \Psi приблизительно на 4,02% относительно Кельвина с R=30 мм. IABC и Кельвин при R=30 мм различаются по \Psi примерно на 0,00148%.
Проверка. Это численная чувствительность конкретной катушки. По B_{0} разница больше; совпадение одного интеграла не позволяет объявить точным всё поле.
Самостоятельное воспроизведение и расширение
Запустите 03-open-boundaries.py и сравните одновременно B_{0}, \Psi и W.
Измените только внешнюю границу, затем отдельно уменьшите ближнюю сетку.
Сравните IABC с 1, 7 и 10 оболочками при одинаковом внутреннем радиусе.
Для Кельвина проверьте центр внешней полусферы, периодические дуги и признак внешнего блока.
Ожидаемый результат. Шесть расчётов одной катушки; таблица влияния внешней области.
Проверка.
Источник и ближние размеры неизменны.
Проверены поле и потокосцепление.
Нулевая самосила не используется как единственный критерий.
A_{0}/IABC/Кельвин на одной катушке
Шесть магнитостатических решений; проверены поле и параметры цепи.
Проверка программы. Программа выполнена во встроенном Python FEMM 5.0. Это ограниченная проверка указанной постановки, не эксперимент.
"""Одна воздушная катушка: A=0, IABC и осесимметричное преобразование Кельвина.Катушка r=9..11 мм,z=-5..5 мм,N=100,I=1 А. Одни материалы и ближняя сетка.У Кельвина центр внешней полусферы задан по геометрии, а не скопированиз старого примера с несовпадающими координатами. Энергия берётся через L I²/2."""# Каталог сценария определяется явно: запуск не зависит от чужого CWD.importosimportsysos.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(sys.argv[0])))exec(open("common.py").read())folder=result_folder("results-open-boundaries")rows=[]formethod,radiusin[("A0",30),("A0",60),("A0",120),("IABC",30),("Kelvin",30),("Kelvin",60),]:newdocument(0)mi_probdef(0,"millimeters","axi",1e-10,1,30)material("Air")mi_addcircprop("Coil",1,1)mi_drawrectangle(9,-5,11,5)label(10,0,"Air",0.25,"Coil",100,1)label(5,0,"Air",0.7)ifmethod=="A0":a0_circle(radius,True)elifmethod=="IABC":mi_makeABC(7,radius,0,0,0)else:half_disk(radius)ext_radius=radius/2center=radius+2*ext_radiushalf_disk(ext_radius,center)mi_addboundprop("Periodic",0,0,0,0,0,0,0,0,4)mi_selectarcsegment(radius,0)mi_selectarcsegment(ext_radius,center)mi_setarcsegmentprop(1,"Periodic",0,0)mi_clearselected()mi_defineouterspace(center,ext_radius,radius)label(ext_radius/2,center,"Air",0.7)mi_selectlabel(ext_radius/2,center)mi_attachouterspace()mi_clearselected()solve(folder,"%s-R%d"%(method,radius))current,voltage,linkage=mo_getcircuitproperties("Coil")rows.append({"method":method,"radius_mm":radius,"B0_T":mo_getpointvalues(0,0)[2],"linkage_Wb":linkage,"energy_from_circuit_J":0.5*current*linkage,"elements":mo_numelements(),})close_magnetic()save_json(folder,rows)assertall(row["B0_T"]>0forrowinrows)print(rows)
Сохранённые численные результаты: таблица JSON. Просмотр серий доступен на отдельной странице исследования.
Границы модели.
Новый сравнительный расчёт одной катушки. Ошибки внешней области и внутренней сетки рассматриваются раздельно.
Постройте прямоугольник обмотки по точкам (20; -100), (30; -100), (30; 100), (20; 100). Горизонтальная координата — радиус r, вертикальная — координата z. Геометрия занимает только r \ge 0.
Замкните внешнюю область правой полуокружностью радиуса 300 \,\text{мм} с центром (0; 0) и отрезком оси r=0. Обмотка должна полностью находиться внутри области. Суммарный угол двух четвертей внешней дуги — 180^\circ.
В «Свойствах материала» (Material Properties) создайте «Воздух» с относительной проницаемостью 1 и проводимостью 0 и «Учебную обмотку» с теми же параметрами. Разместите метку области (Block Label) в обмотке и отдельную метку воздуха вне её.
В «Свойствах цепи» (Circuit Properties) создайте последовательную цепь (series) «Катушка», задайте ток 1 \,\text{А}. В свойствах метки обмотки назначьте эту цепь и число витков (Turns)+100. Не добавляйте к ней независимо объёмную плотность тока.
Создайте границу «A=0» типа Prescribed A, оставьте коэффициенты A_{0}, A_{1}, A_{2} равными нулю и назначьте её внешней дуге и оси. На оси это соответствует регулярности азимутального потенциала; на удалённой дуге — усечению бесконечной области.
Сохраните исходную модель; создайте и осмотрите сетку, выполните расчёт и откройте результат. В режиме точки снимите B в (0; 0), в результатах цепи (View → Circuit Properties) запишите ток, напряжение и потокосцепление. Сохраните таблицу с единицами отдельно от цветовой карты.
При фиксированном R=300 \,\text{мм} выполните варианты с максимальным размером элемента в катушке 2;1;0{,}5 \,\text{мм}. Вблизи катушки воздух уточняйте согласованно; далёкий воздух оставьте крупным.
Для каждой сетки запишите число элементов, B_z(0;0), \Psi и W_{\text{м}}. Считайте критерий для \Psi по двум соседним решениям.
После выполнения критерия повторите мелкую сетку при R=450 и 600 \,\text{мм} и отдельно оцените влияние внешней границы.
Ожидаемый результат. Должна появиться тенденция стабилизации \Psi; конкретные числа определяются новой серией FEMM.
Как проверить. Минимум три сетки; изменение \Psi последней пары менее 1\,\%; отдельная область меняет \Psi менее 0{,}5\,\%.
Обработка и анализ результатов
Меняется ли интересующая величина после уточнения сетки?
Сохраните размер сетки, число элементов и одну и ту же величину на трёх сетках.
Постройте таблицу уточнения с изменением выбранной величины между соседними уровнями; остальные параметры сохраняйте.
С чем сравнить. Критерий берётся из практикума. Сетку, размер внешней области и шаг положения уточняют раздельно; малая невязка решателя не равна полной погрешности.
Итог работы. Таблица сходимости и ограниченный ею вывод о точности.
Расчётное исследование и разбор результатов
Эти материалы продолжают практикум: постановка, программа встроенного Python, сохранённые численные результаты и проверка их смысла. Графики строятся по результатам FEMM 5.
Г-образный проводник изменяет направление тока на прямой угол. У входящего угла линии тока сгущаются: локальные потери возрастают, а идеальная острая кромка создаёт математическую особенность. Этот опыт связывает геометрию контакта, сходимость сетки и смысл выбранной расчётной величины.
Фрагмент таблицы Р2.2. Сохранённые результаты FEMM 5
Рисунок 3.8. Визуализация численных данных FEMM 5: Воздушная катушка. Это экспорт результатов поля, а не снимок окна программы.
Осесимметричная учебная модель. Независимо проверены изменения сетки и внешнего радиуса; аналитическая модель тонкостенного соленоида служит отдельным приближённым ориентиром.
Ориентиры в интерфейсеРисунок 3.9. Треугольная конечно-элементная сетка катушки в воздухе. В областях проводников элементы мельче, чем у внешней границы расчётной области. Открыть в полном размереРисунок 3.10. Поле воздушной катушки: осесимметричный магнитостатический эталон FEMM 5. Открыть в полном размереРисунок 3.11. Машина с поверхностными постоянными магнитами: выбранная сетка воздушного зазора. Открыть в полном размереРисунок 3.12. Машина с поверхностными постоянными магнитами: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 3.13. Машина со встроенными постоянными магнитами: выбранная сетка воздушного зазора. Открыть в полном размереРисунок 3.14. Машина со встроенными постоянными магнитами: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 3.15. Синхронная машина с неявнополюсным ротором: выбранная сетка воздушного зазора. Открыть в полном размереРисунок 3.16. Синхронная машина с неявнополюсным ротором: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 3.17. Синхронная машина с явнополюсным ротором: выбранная сетка воздушного зазора. Открыть в полном размереРисунок 3.18. Синхронная машина с явнополюсным ротором: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 3.19. Синхронная реактивная машина: выбранная сетка воздушного зазора. Дополнительные окружности в воздушном кольце задают области объёмного радиального усреднения при проверке момента методом Арккио. Открыть в полном размереРисунок 3.20. Синхронная реактивная машина: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 3.21. Вентильно-индукторная машина: исходное положение: выбранная сетка воздушного зазора. Дополнительные окружности в воздушном кольце задают области объёмного радиального усреднения при проверке момента методом Арккио. Открыть в полном размереРисунок 3.22. Вентильно-индукторная машина: исходное положение: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 3.23. Вентильно-индукторная машина: смещённый ротор: выбранная сетка воздушного зазора. Открыть в полном размереРисунок 3.24. Вентильно-индукторная машина: смещённый ротор: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 3.25. Машина постоянного тока: выбранная сетка воздушного зазора. Открыть в полном размереРисунок 3.26. Машина постоянного тока: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 3.27. Профиль |B| через стержни и окно: сглаживание выключено. Контур от (−45; 15) до (45; 15) мм, 400 точек. Position — расстояние от начала контура в мм; |B| — магнитная индукция в Тл. Единицы восстановлены по модели и выбранной величине: само окно FEMM их не печатает. Открыть в полном размереРисунок 3.28. Профиль |B| через стержни и окно: сглаживание включено. Контур от (−45; 15) до (45; 15) мм, 400 точек. Position — расстояние от начала контура в мм; |B| — магнитная индукция в Тл. Единицы восстановлены по модели и выбранной величине: само окно FEMM их не печатает. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Подготовьте таблицы сеточной и граничной чувствительности для выбранного \Psi.
Критерий выполнения: Серии независимы; значения h,R,число элементов и относительные разности указаны; критерий сформулирован до выбора расчётной сетки.
