Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Выбор расчётной области, симметрии и граничных условий
Инженерный вопрос. Достаточно ли удалена внешняя граница от катушки?
Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Проверьте совместимость границы с геометрией, источниками и искомым режимом. При секторе заранее выведите восстановление полного результата.
Оценка влияния внешней границы. Сопоставьте сокращённую и полную постановки или удаление границы при одном определении наблюдаемой величины.
Проверка радиуса открытой задачи. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Снимите одну внутреннюю контрольную величину при последовательном увеличении радиуса.
Результат этого занятия. Зависимость результата от радиуса и обоснование выбранной области.
Данные именно этого опыта. Снимите одну внутреннюю контрольную величину при последовательном увеличении радиуса.
Оформление наблюдений. Размер области, тип границы, размер сектора и множитель; внутренняя контрольная величина и полный восстановленный интеграл.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Для учебного опыта требуется изменение \Psi между двумя последними областями менее 0{,}5\,\%; при невыполнении продолжите расширение.
Независимый контроль. Сравните с большей областью либо полной геометрией, предусмотренной занятием; внешнюю границу меняйте отдельно от сетки.
Критерий выполнения. В плоской задаче постоянный A даёт поток вдоль границы; однородная нормальная производная A — поток поперёк.
Точность и расхождения. Оцените изменение одной контрольной величины при удалении границы или восстановлении полной модели. При близком к нулю результате укажите абсолютную разность и физический масштаб.
Основание сравнения. Используйте граничные условия и симметрию из теории занятия. Удалённая граница — приближение; симметрия допустима лишь при согласовании геометрии, источников и искомого режима.
Вывод для устройства
Обоснуйте сокращение вычислений без потери именно той характеристики, ради которой рассчитывается устройство.
Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.
Дополнительный расчётный метод
Гладкий зазор: аналитическая проверка поля и независимых источников ошибки
Сопоставление с точным полем гладкого зазора позволяет отдельно измерить ошибку сетки, дискретизации возбуждения и затухания гармоник.
Математическая модель поля и электрических цепей машины
Протокол краевой задачи связывает среды, свойства, границы, источники и электрические выводы. Проверка одной целевой величины на двух сетках показывает численную устойчивость выбранной постановки.
Получаемые величины. скачки H\tau при поверхностном токе и непрерывность Bn; напряжение вывода и ток; F и невязка действия/противодействия; изменение результата при сетке
Разбить устройство на среды и назначить материальные связи.
Для каждой границы записать физический смысл условия.
Согласовать возбуждение с внешней электрической цепью.
Сравнить силы и внутренние граничные соотношения при независимом уточнении сетки и внешней области.
Страницы источника. PDF 1–15 полностью: 1–4 область и уравнения; 5–8 границы раздела; 9–11 связь поля с цепью; 12–15 проверка геометрии и сетки.
Граничные условия связывают расчётную область с окружающим пространством и выражают физические ограничения задачи. Их выбор сопровождается проверкой того, насколько положение внешней границы влияет на результат.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Уравнение внутри области не определяет единственное решение без достаточных граничных условий и фиксации допустимой постоянной потенциала. Граница может представлять реальную поверхность симметрии либо искусственное усечение окружающего пространства. Эти случаи требуют разного обоснования. Если рядом с обмоткой просто провести стенку A=0, поток будет вынужден идти вдоль неё и исходная открытая задача изменится. Более мелкая сетка даст всё точнее решение этой изменённой задачи, но не восстановит отсутствующий воздух.
Условие Дирихле
Задаётся значение потенциала на границе. Для плоского магнитного поля постоянный A_z означает нулевую нормальную компоненту B, потому что она связана с тангенциальной производной A_z. Поток идёт вдоль границы. Нулевой потенциал является частным случаем; важна его постоянность. Переменный потенциал может задавать известный проходящий поток. Тип Prescribed A поддерживает линейную зависимость от координат и фазу. Условие A=0 не равнозначно B=0.
Знак B_n зависит от ориентации касательной; для постоянного A вывод о нулевой нормальной компоненте однозначен.
Условие Неймана
Задаётся нормальная производная потенциала либо соответствующая тангенциальная напряжённость. При однородном условии \partial A_z/\partial n=0 плоское поле пересекает границу нормально. Такая граница подходит для некоторых плоскостей симметрии, но не должна произвольно заменять внешнее пространство. В FEMM естественное однородное условие возникает на незафиксированной границе; для единственности потенциала всё равно нужна подходящая опора. Установка одновременно несовместимых значений A и его производной на одном контуре обычно переопределяет задачу.
Смешанное условие
Условие Робина связывает потенциал и нормальную производную. В FEMM тип Mixed записан с магнитным коэффициентом \nu=1/\mu и параметрами c_{0},c_{1}. Выбор c_{0}=c_{1}=0 даёт однородный Нейман. Подбор коэффициента для открытой границы связан с асимптотикой поля; он не универсален для любого размера и геометрии. Условие Small Skin Depth также имеет смешанную форму, но представляет проводящий поверхностный слой и требует малой глубины проникновения относительно размеров. Его нельзя использовать как воздушную внешнюю границу.
В приведённой нормировке c_{1} имеет единицу \text{А}/\text{м}; размерность c_{0} выбирается так, чтобы c_{0} A_z тоже имело \text{А}/\text{м}.
Открытая область
Простой вариант — достаточно большой воздушный круг с A=0. Встроенная конструкция открытой границы использует дополнительные слои для приближения бесконечной области; имеются также преобразования внешнего пространства. Во всех случаях необходимо проверить наблюдаемую величину при смене радиуса или параметров конструкции. Такой опыт проводят при неизменной локальной сетке у катушки. Если одновременно увеличить область и уточнить сетку, нельзя отделить погрешность границы от пространственной погрешности.
Как выбирать величину проверки
Центральное B, потокосцепление и энергия имеют разную чувствительность к удалённой области. Для машины особенно важны потокосцепление и момент, поэтому проверяется именно искомая величина. Относительная разность двух решений характеризует чувствительность к выбранному изменению, но не строго доказанную ошибку относительно бесконечной области. Для величины, близкой к нулю, применяйте абсолютный допуск. Сопоставьте направление линий поля при границах Дирихле, Неймана и удалённом усечении.
Q — выбранная ненулевая выходная величина; \varepsilon_{\text{гр}} безразмерна. Это оценка чувствительности, а не универсальная гарантия точности.
Почему направления поля следуют из производных
Возьмите плоскую границу, её единичную касательную и внешнюю нормаль. Поскольку B получается поворотом градиента A_z на прямой угол, тангенциальная производная потенциала связана с нормальным полем, а нормальная — с тангенциальным. Если вдоль границы A_z постоянен, тангенциальная производная равна нулю: поток не пересекает её. Если нормальная производная равна нулю, тангенциальное поле исчезает: поток направлен нормально. Это геометрическое объяснение помогает выбирать симметрию без словесной путаницы «магнитная стенка». На оси осесимметричной задачи используются регулярность и соответствующий цилиндрический оператор; плоское объяснение нельзя механически распространить на произвольную криволинейную координатную поверхность без проверки.
Граничный член в слабой форме
Нормаль направлена наружу расчётной области. Для плоского потенциала постоянное значение вдоль границы запрещает нормальный магнитный поток через неё.
Условие Дирихле фиксирует узловые значения потенциала; пробные функции на этом участке равны нулю. Условие Неймана задаёт поток в слабой форме через нормальную производную потенциала.
Подставьте условие Робина в граничный член. Часть, зависящая от потенциала, переносится в левую часть и дополняет матрицу; известная часть остаётся в нагрузке. Здесь остальные естественные участки имеют однородный Нейман; при ненулевом заданном потоке добавляется его граничный интеграл справа.
При искусственном усечении открытого пространства увеличьте радиус внешней границы, сохраняя разрешение около устройства. Изменение результата оценивает ошибку усечения, а не ошибку сетки.
Границы применимости. Нулевая нормальная производная потенциала означает перпендикулярность индукции границе, а постоянный потенциал — её касательность. Эти условия нельзя выбирать по сходству названий.
Пояснения к официальному руководству
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Естественная граница, опорный потенциал и совместимость источников
Неназначенная внешняя граница FEMM по умолчанию получает однородное условие Неймана. Это определённое математическое условие, а не отсутствие влияния границы. В плоскопараллельной магнитной задаче оно заставляет поток пересекать границу нормально; постоянный A на границе, напротив, запрещает нормальную компоненту потока. В электростатике однородное естественное условие означает нулевой нормальный электрический поток, а не заземление.
Заданный постоянный A удерживает поток вдоль границы плоской модели. Нулевая нормальная производная соответствует пересечению границы потоком под прямым углом. Эти варианты нельзя выбирать только потому, что оба содержат ноль.
Обозначения и единицы
A — плоский магнитный потенциал, Вб/м; \Gamma — граница; \mathbf n — её единичная нормаль; \partial A/\partial n имеет единицу Тл.
Условия применения. Указанное направление потока относится к плоскому магнитному потенциалу; осесимметрию интерпретируют с её геометрией.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
Если во всей связной области задана только нормальная производная потенциала, к решению можно прибавить произвольную постоянную. Поле при этом не изменится, но матрица имеет нулевую моду. Значение потенциала на подходящей границе или в опорной точке устраняет эту неопределённость. Для нескольких не связанных друг с другом областей проверяют каждую независимую компоненту. Периодическая связь равных потенциалов сама по себе не всегда устраняет общий постоянный сдвиг.
Нормальная производная и значение потенциала связаны линейно. Коэффициент c описывает выбранную модель внешней области; это не универсальное число для всех размеров устройства.
Обозначения и единицы
c — коэффициент, м⁻¹ при длинах в метрах; A — потенциал, Вб/м; \mathbf n — наружная единичная нормаль.
Условия применения. Однородная скалярная запись; более общий FEMM Mixed BC содержит отдельные коэффициенты и свободный член.
Кроме единственности нужна совместимость источников и потоков. Если все электрические границы изолированы, ненулевой суммарный объёмный заряд не согласуется с нулевым выходящим потоком D. Аналогично стационарное положительное тепловыделение требует пути отвода тепла. Искусственная фиксация одного узла при несовместимом балансе не превращает изолированное устройство в физически корректную модель: этот узел фактически становится неописанным стоком.
Условия применения. Гладкое конечное магнитное поле вблизи оси. Электростатический потенциал V на r=0 может быть ненулевым.
Осесимметричная магнитная задача имеет особый случай: FEMM автоматически обеспечивает A_{\theta } = 0 на оси r = 0. Если часть границы действительно лежит на оси, это может обеспечить нужную опору и без отдельного свойства Дирихле. В электростатике ось не является заземлённым электродом: V на ней может быть ненулевым. Поэтому переносить магнитное правило A_{\theta } = 0 на электрический потенциал нельзя.
Сопоставленные точки двух границ получают одинаковые либо противоположные значения потенциала. Одно свойство периодичности связывает одну пару соответствующих участков.
Обозначения и единицы
u — потенциал соответствующего модуля: магнитный A, Вб/м, или электрический V, В; индексы 1 и 2 обозначают парные точки.
Условия применения. Геометрическое соответствие пары и физическая симметрия источников обязательны.
В PDF равенство сформулировано словами; курс записывает его математически и сохраняет различие знаков.
Периодическое условие связывает значения на соответствующих точках двух сторон, антипериодическое меняет их знак. Такое условие обосновывается симметрией геометрии, материалов и источников вместе. Выбор половины или сектора только по внешнему виду рисунка недостаточен: встречные токи либо полюса могут менять требуемую связь.
Условие совместимости чистой задачи Неймана для скалярного положительного коэффициента a. При нулевом потоке слева суммарный источник справа должен равняться нулю.
Проверьте на своей модели
Для изолированной области с ненулевым суммарным источником сначала исправьте физический баланс, затем выбирайте опорный потенциал.
В осесимметричном конденсаторе проверьте, что ось не получила V = 0 только по аналогии с магнитным расчётом.
Открытая область: удалённая граница и кольцевые слои IABC
У воздушной катушки нет естественной стенки, за которой поле строго равно нулю. Простейший расчёт заменяет бесконечное пространство большой конечной областью с условием A = 0 либо \partial A/\partial n = 0. Руководство приводит ориентир: радиус внешней границы не менее пяти характерных расстояний от выбранного центра до устройства. Это начальный выбор, а не доказательство заданной точности; необходимое удаление зависит от источников и требуемой величины.
Первое условие выражает желаемое поведение открытой магнитной задачи. Второе — приведённое в руководстве практическое правило для усечения области, которое обязательно проверяют увеличением внешнего радиуса.
Обозначения и единицы
A — магнитный потенциал, Вб/м; R_{\mathrm{outer}} — расстояние от выбранного центра до внешней границы, м; R_{\mathrm{object}} — расстояние от того же центра до внешних частей объекта, м.
Условия применения. Правило не является оценкой ошибки и не гарантирует нужной точности силы или индуктивности. Нельзя применять его к произвольным источникам без проверки поведения поля на бесконечности.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
Проверку проводят, меняя только внешнюю область и сохраняя разрешение у источников, зазоров и интересующих кромок. В дальнем воздухе допустима более редкая сетка, поскольку локальные изменения обычно медленнее. Сравнивают именно целевой выход: поле в точке, потокосцепление, энергию, силу или момент. Относительная разность плохо подходит для величины около нуля; тогда назначают абсолютный масштаб.
Команда Open Boundary создаёт приближённое асимптотическое условие IABC из вложенных кольцевых слоёв со специально подобранными свойствами. В руководстве допускается от 1 до 12 слоёв; 7 предлагается как разумное исходное значение. Задаются радиус, центр и тип внешней кромки: Дирихле или Неймана. Предложенные по габаритам устройства параметры удобны для начала, но при необычной геометрии их необходимо проверить.
Рисунок М.A.7. IABC в двумерной плоскопараллельной задаче
Кольцевые области IABC приближают влияние внешнего неограниченного пространства. Они являются математической конструкцией, а не магнитными деталями устройства. При интегрировании по физическому телу выбирайте именно его области и проверяйте чувствительность результата к радиусу и числу оболочек.
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Горизонтальная координата здесь является радиусом r, а левая вертикальная линия — осью вращения. Полукруг представляет осесимметричную область, а не половину обычной плоской машины. При чтении объёмных интегралов используется вес 2\pi r.
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Решатель и постпроцессор обрабатывают оболочки IABC как области конечных элементов с заданными свойствами. Они видны на карте и попадут в интеграл, если выделить всю модель. Поэтому для физического интеграла сначала выбирают соответствующие области устройства. Особенно опасно считать искусственные слои реальной массой, объёмом или материалом. Если нужна полная энергия, включая бесконечное внешнее пространство, эквивалентность выбранной процедуры интегрирования нужно обосновать отдельно; механическое суммирование всех искусственных областей такого обоснования не даёт.
Скриптовые команды mi_makeABC, ei_makeABC, hi_makeABC и ci_makeABC создают аналогичную конструкцию в соответствующем модуле. Наличие команды в тепловом модуле ещё не гарантирует физический смысл стационарного отвода заданной мощности «в бесконечность». Например, у бесконечно длинного двумерного источника с ненулевой суммарной мощностью и постоянной теплопроводностью температура зависит логарифмически от расстояния, и конечная заданная температура на бесконечности не получается. Открытую границу выбирают вместе с допустимой физической постановкой.
Диагностическая чувствительность к радиусу с ненулевым масштабом Qмасштаб. Это разность двух приближённых решений, а не строгая верхняя граница ошибки.
Авторский контроль применимости открытой тепловой модели: P\ell — мощность на единицу длины в Вт/м; k — постоянная теплопроводность. Ненулевой P\ell несовместим с конечной температурой при r \to \infty в такой бесконечной двумерной среде.
Проверьте на своей модели
Сравните удалённое усечение и IABC по одной целевой величине при одинаковой сетке около устройства.
Для IABC отдельно измените число слоёв и радиус; не смешивайте эти изменения с уточнением зазора.
Перед блоковым интегралом проверьте выделение: искусственные слои не должны случайно стать частью физического тела.
Преобразование Кельвина: почему второй круг представляет бесконечность
Вывод приложения A.3.3 сначала относится к плоскопараллельному полю. Все источники и неоднородные материалы заключают в круг радиуса r_{0}. Во внешней однородной области без источников скалярный магнитный потенциал A_z удовлетворяет уравнению Лапласа. Замена радиуса R = r_{0}^{2}/r переводит внешность круга в его внутренность: граница r = r_{0} остаётся границей R = r_{0}, а бесконечность переходит в центр R = 0.
В плоской внешней области без токов и с постоянной проницаемостью магнитное уравнение сводится к Лапласу. Это исходное основание преобразования Кельвина. Существование поля во внешней области не требует локального источника: его создаёт устройство внутри охватывающей окружности.
\nabla^2 — двумерный скалярный лапласиан в плоскости.
Условия применения. Плоская геометрия, однородная изотропная внешняя среда, отсутствие токов в ней. Осесимметричное уравнение для A_{\theta } имеет другую геометрию и не заменяется этой записью.
Радиальный оператор содержит геометрический множитель r, а угловая производная масштабируется квадратом радиуса. Это описание той же плоской задачи, а не переход к осесимметричному магнитному уравнению. Полярные координаты выбраны потому, что внешняя граница для отображения — окружность.
Обозначения и единицы
r — расстояние от центра охватывающей окружности, м; \theta — полярный угол, рад.
A — Вб/м; оба слагаемых имеют единицу Вб/м³.
Условия применения. Однородная плоская внешняя область r>r_{0} без источников. Координата \theta описывает положение в плоскости, а не азимутальный поворот осесимметричной модели.
Бесконечная внешняя область r\ge r_{0} отображается внутрь круга 0<R\le r_{0}. Общая граница остаётся на месте, а удаление к бесконечности превращается в приближение к центру второго круга. Преобразование обратимо при ненулевом R: r=r_{0}^{2}/R.
Обозначения и единицы
r_0 — радиус окружности раздела, м; r — физический радиус, м.
R — координата отображённой внешней области, м.
Условия применения. Все источники и неоднородности заключены внутри первого круга. Центр отображённого круга соответствует бесконечности, поэтому условие в нём должно соответствовать физически допустимому поведению далёкого поля.
После этой замены плоский оператор Лапласа сохраняет свой вид с точностью до ненулевого множителя. Поэтому внешний бесконечный воздух можно представить вторым конечным кругом с тем же уравнением. На совпадающих по углу точках окружностей связывают потенциалы периодическими условиями. Нормальные производные при переходе меняют знак, что соответствует встречным внешним нормалям двух сопрягаемых областей; непрерывность потока обеспечивается согласованной вариационной постановкой.
Увеличение физического радиуса уменьшает отображённый радиус, что даёт минус. При применении к A сначала вычисляется производная по R, затем она умножается на dR /dr. Коэффициент стоит перед оператором: иначе запись можно ошибочно прочитать как дифференцирование самого коэффициента.
Оба дифференциальных оператора имеют размерность 1/м.
Условия применения. Производная по r при фиксированном \theta, R=r_{0}^{2}/r. При повторном дифференцировании коэффициент уже зависит от R и должен также дифференцироваться по правилу произведения.
В исходной типографике производная записана слева от dR /dr. Здесь применено однозначное операторное равенство: множитель расположен перед \partial /\partial R.
Связь радиальных производных на окружности сопряжения
На общей окружности модуль коэффициента преобразования равен единице, а знак остаётся отрицательным. Это отражает противоположные направления роста двух радиальных координат. Значения A на соответствующих границах связывают периодическими парами, а сопряжение производных следует из корректной вариационной постановки.
Обозначения и единицы
r=R=r_0 — окружность раздела физической и отображённой областей.
\partial A/\partial r и \partial A/\partial R — Вб/м².
Условия применения. Одинаковая однородная среда по обе стороны сопрягаемой внешней области. Знак относится к радиальным координатам; нельзя объявить два значения нормальной производной одинаковыми без учёта ориентации нормалей.
После преобразования и сокращения ненулевого масштабного множителя уравнение снова имеет форму плоского Лапласа. Поэтому бесконечную внешнюю область можно представить вторым ограниченным кругом с той же однородной средой и согласованной границей. Точность самого отображения не устраняет ошибку конечной сетки.
Обозначения и единицы
R — радиус во втором круге, м; \theta — сохранённый угол.
A — отображённый потенциал, Вб/м; R=0 соответствует бесконечности.
Условия применения. Плоская безисточниковая внешняя область при R>0. Условие в центре определяется асимптотикой: A\to 0 допустимо не для любой системы, например не для некомпенсированного бесконечного прямого тока с логарифмическим A_z.
Во втором круге центр соответствует бесконечности. Если выбранная открытая задача допускает условие A \to 0, в этом центре задают опорное A = 0. В примере руководства каждая окружность составлена из двух дуг и используются две отдельные периодические пары. Одно периодическое свойство должно связывать ровно две соответствующие геометрические сущности; присвоить одно имя всем четырём дугам недостаточно. Центр второго круга относится к его локальной системе координат, а не обязательно к началу общего чертежа.
Левый круг содержит физическое устройство, правый — образ бесконечной внешней области после плоского преобразования Кельвина. Две пары дуг должны иметь отдельные периодические свойства. Центр правого круга соответствует бесконечности и служит опорой A = 0 при допустимом поведении поля на бесконечности.
Обозначения на рисунке
Periodic BC 1
Первое периодическое граничное условие
Periodic BC 2
Второе периодическое граничное условие
Reference point where A=0
Опорная точка с A = 0
air
Воздух
iron
Железо
J+
Положительное направление плотности тока
J-
Отрицательное направление плотности тока
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Точность отображения в непрерывной математической постановке не отменяет сеточную ошибку, аппроксимацию окружностей дугами сетки и необходимость физически допустимого поведения на бесконечности. Например, для плоского бесконечного прямого проводника с ненулевым суммарным током A_z содержит логарифмический член; условие A \to 0 там не подходит без дополнительного рассмотрения возвратного тока и выбора постановки. Внешний круг не заменяет отсутствующий путь возврата тока.
Линии выходят из границы физического круга и продолжаются в образе внешнего пространства. Правый круг не является вторым физическим устройством. Обратное отображение позволяет восстановить положение во внешней области, но сеточную погрешность и исходные предположения всё равно нужно проверять.
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Осесимметричная версия отличается. В §2.2.8 FEMM требуется задавать центр внешней области по z, радиус внешней и радиус внутренней сферической области, а метки преобразованной области помечать Block located in an external region. Проницаемость там должна пространственно изменяться, и FEMM выполняет это преобразование автоматически по указанным параметрам. Правило «нарисовать два обычных круга с воздухом» из плоского вывода нельзя без изменений переносить в осесимметрию.
Проверьте на своей модели
Проверьте три образа: r = r_{0} переходит в R = r_{0}, r = 2r_{0} — в R = r_{0}/2, r \to \infty — в R \to 0.
Убедитесь, что каждая периодическая пара связывает две соответствующие дуги, а опорная точка находится в центре преобразованного внешнего круга.
В осесимметрии отдельно проверьте параметры Exterior Region и флаг каждой метки внешней области.
Список на страницах 171–172 содержит 24 позиции. Карта ниже связывает источники с физическими моделями и численными методами. При воспроизведении расчёта сверяйте параметры интерфейса и реализацию решателя с руководством выбранной версии FEMM; статья по методу помогает понять его математическое основание.
Общую физическую основу автор связывает с книгами Plonus [1], Hoole [2] и Jackson [3]. Для теплопроводности указаны White [4] и Haberman [5]. Они помогают различать уравнения Максвелла, приближения низкой частоты и тепловую аналогию, но не дают права смешивать физические единицы аналогичных величин. Документация MicroPython [9] относится к языковой среде встроенных сценариев; особенности FEMM и доступных модулей всё равно сверяют с главой 3 текущего руководства.
Вариационное построение конечных элементов связано с Allaire [10] и Silvester [11], а осесимметричная магнитная формулировка — с работой Henrotte и соавторов [12]. Эти источники отвечают на разные вопросы: откуда возникает матрица элемента и почему специальная формулировка ведёт себя лучше у оси. Техники вычисления сил имеют отдельную основу: объёмный взвешенный интеграл связывается с McFee, Webb и Lowther [7], а метод тонкой оболочки — с Henrotte, Deliege и Hameyer [8]. Их нельзя сводить к утверждению, что всякий силовой интеграл одинаково точен на любой сетке.
Freund [14] объясняет итерационные методы для комплексно-симметричных систем; D’Azevedo, Forsyth и Tang [15] — влияние нумерации неизвестных на сходимость. Fletcher [13] объясняет предобусловливание SSOR. В §7.2 текущего руководства главным предобусловливателем является неполное LDL ^{T} с пороговым заполнением. Zienkiewicz и Zhu [16] представляют восстановление поля по соседним элементам; FEMM использует упрощённое взвешивание для магнитного поля, поэтому ссылка на общий метод не означает дословной реализации всех его шагов.
Для открытой области Chen и Konrad [17] дают обзор подходов. Работы Meeker [18, 19] объясняют IABC для магнитных и электростатических задач. Работы Freeman, Lowther и Forghani [20–22] относятся к отображению внешней области и его плоской, осесимметричной и пространственной постановкам. В учебном расчёте полезно сначала определить, используется ли простое усечение, IABC или преобразование Кельвина, а затем обращаться к соответствующему источнику; эти методы не являются разными названиями одного и того же граничного условия.
Вихревые токи и частотную проницаемость тонких листов руководство связывает со Stoll [6]. Нелинейную гармоническую характеристику — с Jack и Mecrow [23], а модель нелинейного гистерезисного отставания — с O’Kelly [24]. Для статьи или отчёта следует сослаться одновременно на выбранную модель материала и на фактическую реализацию FEMM. Одного названия марки стали недостаточно для воспроизводимого утверждения о потерях.
Проверьте на своей модели
В отчёте о численном методе разделите ссылку на текущую реализацию FEMM и ссылку на исходный метод.
Если статья из списка не изучалась непосредственно, укажите, что её назначение установлено по руководству FEMM; не приписывайте ей независимо проверенные выводы.
Магнитные границы: какие параметры реально участвуют
Prescribed A задаёт A_{0}, A_{1}, A_{2} и фазу \varphi: линейное по координатам значение A на границе. Постоянное A на плоской границе означает нулевой нормальный B, а не отсутствие магнитного поля вообще. В осесимметрии координаты формы — r,z; интерпретацию потока ведут с учётом 2\pi rA.
В полях Prescribed A задаётся постоянная и линейная по координатам часть потенциала с общей фазой. Разность A_z вдоль плоской границы определяет нормальный поток. Постоянное значение A делает этот нормальный поток нулевым, но не запрещает касательное магнитное поле.
Обозначения и единицы
A здесь — компонента A_z, Вб/м; A_0 имеет ту же единицу.
При x,y в метрах коэффициенты A_1,A_2 имеют единицу Вб/м².
\varphi — общая фаза: в экспоненте радианы, поле интерфейса использует градусы.
Условия применения. Плоская магнитная модель. При ручной проверке коэффициентов согласуйте единицы координат с единицами задания; для постоянного режима используют вещественное значение.
Та же форма граничного задания использует радиальную и осевую координаты. Неизвестная магнитного поля — азимутальная компонента A_{\theta }. Поток через круг связан с 2\pi rA_{\theta }, поэтому постоянное ненулевое A_{\theta } не имеет того же смысла, что постоянное A_z на произвольной плоской границе.
Обозначения и единицы
r,z — радиальная и осевая координаты; A=A_\theta — Вб/м.
A_0 — Вб/м; при r,z в метрах A_1,A_2 — Вб/м².
\varphi в интерфейсе задаётся в градусах; в e^{j\varphi} — в радианах.
Условия применения. Осесимметричная геометрия, r\ge 0 и регулярное поле на оси. Проверка магнитного потока должна включать цилиндрический геометрический множитель.
Выбранный тип определяет активную строку параметров. Здесь задаётся координатная зависимость A; поля малого скин-слоя, смешанного условия и воздушного зазора не участвуют. Постоянный A в плоской задаче запрещает нормальный магнитный поток через границу, но не обнуляет всё поле.
Обозначения на рисунке
Type
Тип условия
Prescribed A
Заданный векторный потенциал A
Skin Depth
Малый скин-слой
Mixed BC
Смешанное граничное условие
Air Gap
Воздушный зазор
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Small Skin Depth заменяет проводящее тело поверхностным приближением, когда глубина проникновения мала относительно характерных размеров. Вводятся относительная проницаемость и проводимость материала. При нулевой частоте это условие вырождается в нулевую нормальную производную и уже не описывает малый скин-слой. Mixed использует c_{0},c_{1}: при c_{0}=0 задаётся производная, при c_{1}=0 подходящий c_{0} позволяет приблизить открытую границу.
Проводящее тело с тонким слоем проникновения заменяется комплексным условием Робина на поверхности. Множитель 1+j связывает амплитудное затухание и фазовое запаздывание поля внутри слоя. Это позволяет не строить сетку по чрезвычайно малой толщине, если выполнены условия приближения.
Обозначения и единицы
n — внешняя нормаль расчётной области; A — комплексный потенциал, Вб/м.
\delta — глубина проникновения, м; оба слагаемых имеют единицу Вб/м².
Условия применения. Гармоника \exp (j\omega t); скин-глубина мала относительно толщины проводника, радиусов кривизны и масштаба изменения поля вдоль поверхности. При f\to 0 формально получается \partial A/\partial n=0, но физическое приближение тонкого слоя тогда неприменимо.
Глубина проникновения — расстояние, на котором амплитуда поля в однородном полупространстве уменьшается в e раз. Она убывает как обратный квадратный корень частоты, проницаемости и проводимости. Сравнение \delta с размерами тела определяет, оправдано ли поверхностное условие либо нужна объёмная вихретоковая сетка.
\mu_0 — Гн/м; результат \delta — м. Значение \sigma в МСм/м сначала умножают на 10⁶.
Условия применения. Линейная изотропная проводящая среда с вещественными положительными \mu и \sigma, магнитоквазистатическое приближение. Для нелинейной или существенно комплексной проницаемости это простое выражение требует дополнительного обоснования.
Условие Mixed объединяет производную потенциала с самим потенциалом. При c_{0}=0 задаётся нормальная производная, а при c_{1}=0 подходящий c_{0} может приближать удалённое продолжение поля. Коэффициент для открытой границы нельзя выбирать независимо от формы и радиуса внешнего контура.
Обозначения и единицы
c_0 имеет единицу 1/Гн, c_1 — А/м при A в Вб/м и координатах в метрах.
n — внешняя нормаль, \mu_r\mu_0 — абсолютная проницаемость у границы.
Условия применения. Запись для скалярного магнитного потенциала используемой постановки. При c_{0}=0 выполняется (1/\mu )\partial A/\partial n=-c_{1}; знак касательного H дополнительно зависит от согласованного направления касательной.
Periodic связывает одинаковые значения, Antiperiodic — противоположные. Одно имя периодического свойства назначают только паре соответствующих отрезков либо паре дуг; составную границу разбивают на отдельные пары. Strategic Dual Image усредняет решения с однородными условиями Дирихле и Неймана на внешней окружности плоской области; это специальный приём с ограниченной областью применимости, особенно для моделей без железа.
Periodic Air Gap и Anti-Periodic Air Gap связывают две концентрические дуги воздушного кольца без обычной сетки в самом кольце. Inner и Outer задают относительные углы в градусах. Смена Inner позволяет менять положение ротора без перестройки сетки прилегающих частей. Выбор периодического либо антипериодического варианта определяется повторением поля сектора, а не только рисунком зубцов.
Проверьте на своей модели
Для каждой периодической связи покажите ровно две согласованные стороны и объясните знак.
Перед Small Skin Depth сравните расчётную глубину проникновения с толщиной и радиусом кривизны детали.
External Region задаёт центр внешнего преобразованного объёма по оси z, его радиус и радиус внутреннего объёма с устройством. Для осесимметричного преобразования Кельвина эффективные свойства внешней области меняются по положению; одних двух окружностей недостаточно. Метки внешней области должны иметь флажок Block located in an external region.
Параметры преобразования, парные связи границ и отметка внешних блоков работают совместно. Проверьте отсутствие источников и конструктивных деталей в области, которая служит математическим образом бесконечности. Сравнение с увеличением обычной воздушной области помогает обнаружить неправильное назначение внешней метки.
Три действия на панели — сетка, анализ, просмотр решения — сохраняют разный смысл во всех модулях. Файлы результатов различаются: .ans для магнитного поля, .res для электростатики, .anh для теплопроводности, .anc для токовой задачи. Открытая ранее карта не обновляется от изменения исходного документа: сохраните модель, завершите новый анализ и откройте соответствующий результат.
Проверьте на своей модели
Покажите три параметра External Region и все отмеченные внешние метки.
По расширению, Problem Info и имени файла установите, какой расчёт сейчас открыт.
Изменение от 150 до 300 \,\text{мм} составляет около 0{,}64\,\%; расширение от 300 до 600 \,\text{мм} заметно уменьшает влияние границы.
Ответ: Для выбранной таблицы последние области различаются на 0{,}159\,\%.
Проверка: Фиксированный учебный допуск 0{,}5\,\% выполнен по этой паре. Числа — искусственный пример расчёта критерия, не измерения готовой модели.
Углублённый разбор
Одна геометрия и три внешние области: A=0, IABC и Кельвин
Зачем моделировать пространство за пределами аппарата
Поле воздушной катушки занимает всё пространство, тогда как конечные элементы заполняют ограниченную область. Искусственная внешняя граница способна изменить потокосцепление и энергию даже при хорошо решённой внутренней сетке. Увеличение числа элементов внутри катушки не исправляет слишком близкую границу.
В общем опыте сохраняются катушка r=9…11 мм, z=-5…5 мм, 100 витков, ток 1 А и ближняя сетка. Сравниваются три стратегии внешней области. Показатели — поле в центре, потокосцепление и энергия LI ^{2}/2. Самосила симметричной катушки не выбрана главным показателем: её точное осевое значение равно нулю и плохо характеризует ошибку усечения.
Поле в отдельном треугольнике чувствительнее к локальной сетке, чем интегральное потокосцепление. Поэтому таблица содержит оба вида величин. Похожая картина силовых линий недостаточна для проверки открытой границы.
Удалённое A=0 и физика ошибки усечения
Условие A=0 на конечной окружности не означает свободное пространство. Оно фиксирует потенциал на искусственной поверхности и меняет магнитное сопротивление внешней области. При удалении границы решение возле источника стремится к решению открытой задачи. Скорость убывания ошибки определяется мультипольным составом поля.
У локализованной осесимметричной катушки дальнее поле имеет дипольный характер. Внешняя энергия убывает приблизительно с кубом радиуса, что объясняет улучшение при удвоении области. Коэффициент зависит от размеров источника и выбранного интеграла; правило «пять размеров достаточно» не заменяет серию R, 2R, 4R.
Масштабная оценка для пространственного диполя, а не точная оценка погрешности конечно-элементного расчёта произвольной топологии.
IABC и преобразование Кельвина
IABC заменяет бесконечную внешнюю область несколькими концентрическими оболочками с подобранными свойствами. Команда mi_makeABC получает число оболочек, внутренний радиус, центр и тип наружной границы. Здесь явно заданы семь оболочек и радиус 30 мм. Это делает сравнение воспроизводимым.
Преобразование Кельвина отображает бесконечную область во вторую конечную область. В осесимметрии оно требует пространственно изменяющейся эффективной проницаемости. FEMM применяет её к блокам, отмеченным mi_attachouterspace, после mi_defineouterspace. Дуги внутренней и внешней полусфер связываются периодическим условием.
Центр внешней области должен совпадать с геометрическим центром нарисованной полусферы. Копирование старого численного аргумента без проверки геометрии создаёт другое отображение. В новой программе координата центра вычисляется из радиусов, а дуги имеют согласованное разбиение.
Точность непрерывного отображения не отменяет дискретизацию. Сетка двух областей, периодические узлы и численная интеграция по-прежнему вносят ошибку. Поэтому Кельвин дополнительно рассчитан при радиусе 60 мм. Энергия определяется через потокосцепление линейной катушки; не требуется смешивать обычные и преобразованные объёмные интегралы.
Ответ. При R=30 мм обычное A=0 занижает \Psi приблизительно на 4,02% относительно Кельвина с R=30 мм. IABC и Кельвин при R=30 мм различаются по \Psi примерно на 0,00148%.
Проверка. Это численная чувствительность конкретной катушки. По B_{0} разница больше; совпадение одного интеграла не позволяет объявить точным всё поле.
Самостоятельное воспроизведение и расширение
Запустите 03-open-boundaries.py и сравните одновременно B_{0}, \Psi и W.
Измените только внешнюю границу, затем отдельно уменьшите ближнюю сетку.
Сравните IABC с 1, 7 и 10 оболочками при одинаковом внутреннем радиусе.
Для Кельвина проверьте центр внешней полусферы, периодические дуги и признак внешнего блока.
Ожидаемый результат. Шесть расчётов одной катушки; таблица влияния внешней области.
Проверка.
Источник и ближние размеры неизменны.
Проверены поле и потокосцепление.
Нулевая самосила не используется как единственный критерий.
A_{0}/IABC/Кельвин на одной катушке
Шесть магнитостатических решений; проверены поле и параметры цепи.
Проверка программы. Программа выполнена во встроенном Python FEMM 5.0. Это ограниченная проверка указанной постановки, не эксперимент.
"""Одна воздушная катушка: A=0, IABC и осесимметричное преобразование Кельвина.Катушка r=9..11 мм,z=-5..5 мм,N=100,I=1 А. Одни материалы и ближняя сетка.У Кельвина центр внешней полусферы задан по геометрии, а не скопированиз старого примера с несовпадающими координатами. Энергия берётся через L I²/2."""# Каталог сценария определяется явно: запуск не зависит от чужого CWD.importosimportsysos.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(sys.argv[0])))exec(open("common.py").read())folder=result_folder("results-open-boundaries")rows=[]formethod,radiusin[("A0",30),("A0",60),("A0",120),("IABC",30),("Kelvin",30),("Kelvin",60),]:newdocument(0)mi_probdef(0,"millimeters","axi",1e-10,1,30)material("Air")mi_addcircprop("Coil",1,1)mi_drawrectangle(9,-5,11,5)label(10,0,"Air",0.25,"Coil",100,1)label(5,0,"Air",0.7)ifmethod=="A0":a0_circle(radius,True)elifmethod=="IABC":mi_makeABC(7,radius,0,0,0)else:half_disk(radius)ext_radius=radius/2center=radius+2*ext_radiushalf_disk(ext_radius,center)mi_addboundprop("Periodic",0,0,0,0,0,0,0,0,4)mi_selectarcsegment(radius,0)mi_selectarcsegment(ext_radius,center)mi_setarcsegmentprop(1,"Periodic",0,0)mi_clearselected()mi_defineouterspace(center,ext_radius,radius)label(ext_radius/2,center,"Air",0.7)mi_selectlabel(ext_radius/2,center)mi_attachouterspace()mi_clearselected()solve(folder,"%s-R%d"%(method,radius))current,voltage,linkage=mo_getcircuitproperties("Coil")rows.append({"method":method,"radius_mm":radius,"B0_T":mo_getpointvalues(0,0)[2],"linkage_Wb":linkage,"energy_from_circuit_J":0.5*current*linkage,"elements":mo_numelements(),})close_magnetic()save_json(folder,rows)assertall(row["B0_T"]>0forrowinrows)print(rows)
Сохранённые численные результаты: таблица JSON. Просмотр серий доступен на отдельной странице исследования.
Границы модели.
Новый сравнительный расчёт одной катушки. Ошибки внешней области и внутренней сетки рассматриваются раздельно.
Постройте прямоугольник обмотки по точкам (20; -100), (30; -100), (30; 100), (20; 100). Горизонтальная координата — радиус r, вертикальная — координата z. Геометрия занимает только r \ge 0.
Замкните внешнюю область правой полуокружностью радиуса 300 \,\text{мм} с центром (0; 0) и отрезком оси r=0. Обмотка должна полностью находиться внутри области. Суммарный угол двух четвертей внешней дуги — 180^\circ.
В «Свойствах материала» (Material Properties) создайте «Воздух» с относительной проницаемостью 1 и проводимостью 0 и «Учебную обмотку» с теми же параметрами. Разместите метку области (Block Label) в обмотке и отдельную метку воздуха вне её.
В «Свойствах цепи» (Circuit Properties) создайте последовательную цепь (series) «Катушка», задайте ток 1 \,\text{А}. В свойствах метки обмотки назначьте эту цепь и число витков (Turns)+100. Не добавляйте к ней независимо объёмную плотность тока.
Создайте границу «A=0» типа Prescribed A, оставьте коэффициенты A_{0}, A_{1}, A_{2} равными нулю и назначьте её внешней дуге и оси. На оси это соответствует регулярности азимутального потенциала; на удалённой дуге — усечению бесконечной области.
Сохраните исходную модель; создайте и осмотрите сетку, выполните расчёт и откройте результат. В режиме точки снимите B в (0; 0), в результатах цепи (View → Circuit Properties) запишите ток, напряжение и потокосцепление. Сохраните таблицу с единицами отдельно от цветовой карты.
Сохраните копии с R=300, 450 и 600 \,\text{мм}; изменяйте только внешний воздушный контур. Локальные ограничения сетки в катушке оставьте одинаковыми.
В каждой копии снимите B_z в центре, \Psi и энергию. Сравните относительные изменения последних двух значений каждой величины.
Выберите радиус по требуемому результату, а не только по виду силовых линий.
Ожидаемый результат. Чувствительность к радиусу должна уменьшаться при удалении границы; точные числа определяются расчётом.
Как проверить. Для учебного опыта требуется изменение \Psi между двумя последними областями менее 0{,}5\,\%; при невыполнении продолжите расширение.
Обработка и анализ результатов
Достаточно ли удалена внешняя граница от катушки?
Снимите одну внутреннюю контрольную величину при последовательном увеличении радиуса.
Сравните контрольную величину в неизменной внутренней области и оцените влияние изменённой границы.
С чем сравнить. Используйте граничные условия и симметрию из теории занятия. Удалённая граница — приближение; симметрия допустима лишь при согласовании геометрии, источников и искомого режима.
Итог работы. Зависимость результата от радиуса и обоснование выбранной области.
Расчётное исследование и разбор результатов
Эти материалы продолжают практикум: постановка, программа встроенного Python, сохранённые численные результаты и проверка их смысла. Графики строятся по результатам FEMM 5.
В сплошном проводнике переменное магнитное поле перераспределяет плотность тока: скин-эффект вытесняет ток к поверхности, а поле соседнего проводника меняет распределение по сторонам сечения. Поэтому сопротивление переменному току зависит от частоты и взаимного расположения проводников.
Фрагмент таблицы Р1.2. Сохранённые результаты FEMM 5
Проводники
δ/шаг
Шаг сетки, мм
Элементы
Потери, Вт
Один
2
0,4673
9375
25,31
Один
4
0,2336
9707
25,34
Один
8
0,1168
11019
25,35
Глубина проникновения из параметров: 0,9346; критерий: 0,9346
Рисунок 3.5. Визуализация численных данных FEMM 5: Воздушная катушка. Это экспорт результатов поля, а не снимок окна программы.
Осесимметричная учебная модель. Независимо проверены изменения сетки и внешнего радиуса; аналитическая модель тонкостенного соленоида служит отдельным приближённым ориентиром.
