Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Выбор модели материала и проверка рабочей точки
Инженерный вопрос. Где поле направлено против намагничивания и допустима ли характеристика материала?
Угловые потокосцепления, ЭДС, средний и пульсирующий моменты позволяют оценивать магнитную структуру и выбирать токовый угол. Рабочие точки магнитов ограничивают допустимые режимы.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Укажите происхождение и диапазон характеристики материала. Различайте линейную проницаемость, кривую намагничивания и температурно зависимые данные.
Локальная проверка магнита. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Снимите проекцию поля вдоль намагничивания и укажите используемые температурные данные.
Ответить на вопрос по своим результатам. Сопоставьте рабочие точки с принятой характеристикой материала; отделите изменение материала от изменения возбуждения.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Карта критических участков и ограниченный материалом вывод о запасе.
Данные именно этого опыта. Снимите проекцию поля вдоль намагничивания и укажите используемые температурные данные.
Оформление наблюдений. Версия материала, рабочая точка и режим; сравнение материала выполняется при одинаковой геометрии и источниках.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Происхождение материала, направление m, область выборки и сеточная устойчивость минимального H_{\text{паралл}} указаны. Факт повреждения не утверждается без соответствующих данных.
Независимый контроль. Сопоставьте рабочие точки с принятой характеристикой и контрольным линейным пределом, где он допустим.
Критерий выполнения. Приведены русские размерности, коэрцитивные силы по индукции и по намагниченности различены, локальная проекция проверена; обычная модель постоянного магнита не названа расчётом истории повреждения.
Точность и расхождения. Разделите численную устойчивость поля и неопределённость свойств материала. Экстраполяция за диапазон данных требует отдельного обоснования, даже при хорошей сходимости решателя.
Основание сравнения. Пользуйтесь характеристиками и диапазоном данных, указанными в занятии. Одна кривая или линейная ветвь не подтверждает температурную зависимость, гистерезис или необратимое размагничивание.
Вывод для устройства
Решите, достаточен ли выбранный материальный закон для оценки насыщения или локального запаса магнита в заданном режиме.
Границы вывода. Статическое состояние и заданная характеристика магнита не подтверждают автоматически температурный режим, необратимое размагничивание или полный спектр потерь.
Дополнительный расчётный метод
Задание 5. Выбор числа витков PM-генератора по требуемой ЭДС
По основной гармонике поля и требуемой ЭДС выбирают число витков фазы, затем независимо проверяют результат по угловому потокосцеплению.
Магнитные поля в электрических машинах — введение (файл Гончарова)
Теория связывает поле с потоком, коэффициентами формы и реакции якоря, рабочей точкой генератора и частотной постановкой асинхронной машины. Каждый переход заканчивается вычисляемым параметром.
Момент магнитной стрелки связывает опыт с вычисляемой характеристикой. Сравнение дискретной токовой и полевой моделей отделяет статический момент от движения с заданной инерцией.
Получаемые величины. момент стрелки M(\theta ); ошибка дискретизации токового слоя; эквивалентные \mu и намагниченность; угол и энергия движения при заданном Jмех
Зафиксировать геометрию провода, стрелки и источник.
Вычислить поле внешнего тока и силу каждого элемента эквивалентного токового слоя.
Суммировать моменты и уточнить число элементов/толщину слоя при сохранении полных токов.
Сравнить с FEMM при совместимых свойствах материала.
Для динамики добавить момент инерции и оговорённое трение, проверить шаг времени и баланс энергии.
Страницы источника. PDF 1–19 полностью: 1–4 опыты и амперовская модель; 5–14 алгоритм сил и программные иллюстрации; 15–17 сравнение FEMM; 18–19 движение стрелки.
Оценка состояния постоянных магнитов основана на возвратной характеристике и локальном поле вдоль направления намагниченности при заданной температуре. Статическое решение позволяет выявить неблагоприятные рабочие точки, но не воспроизводит историю необратимого размагничивания.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
На линейном участке характеристики возврата B = \mu_0\mu_{\text{возв}}H+B_{\text{ост}}. Отсюда коэрцитивная сила по индукции, соответствующая B = 0, равна B_{\text{ост}}/(\mu_{0} \mu_{\text{возв}}). Коэрцитивная сила по намагниченности H_{cJ} относится к поляризации J, а не к тому же пересечению B. Вводить заявленную изготовителем H_{cJ} в поле FEMM для нормальной H_c без проверки нельзя.
Поле в магните имеет векторное направление. Для размагничивания важна составляющая H вдоль его исходной намагниченности. Отрицательное значение H_{\text{паралл}} означает противодействующее поле, но не автоматически необратимое повреждение. Решающий критерий связан с изломом действительной температурной размагничивающей кривой и конструкционными запасами.
H_{\text{коэрц}}=\frac{B_{\text{ост}}}{\mu_0\mu_{\text{возв}}},\qquad H_{\parallel}=\mathbf H\cdot\mathbf m
Коэрцитивная сила по индукции используется в принятой линейной модели линии возврата; заявленная изготовителем коэрцитивная сила по намагниченности H_{cJ} проверяется отдельно.
Температурный и локальный контроль
Температура в данном курсе задаётся исходными данными. Для каждого состояния требуется заявленная изготовителем возвратная/размагничивающая характеристика; изменение только B_{\text{ост}} не полностью описывает изменение запаса до колена. Локально неблагоприятные зоны часто возникают у краёв магнитов и около мостиков, особенно при отрицательном i_d или коротком замыкании.
Один точечный минимум у математически острого угла может зависеть от сетки и скругления. Поэтому проверяют распределение по объёму, физически осмысленную область и несколько сеток. При выявленном пересечении колена обычная линейная модель постоянного магнита не обновляет автоматически оставшуюся намагниченность. Для оценки последствий нужна отдельная модель материала и истории, которую нельзя обещать из одного расчёта.
Приложенный образец машины с поверхностными постоянными магнитами имеет линейную сталь и ненулевые мгновенные статорные токи A = 1 \,\text{А}, B = 1 \,\text{А}, C = -2 \,\text{А}; частота задачи 0, глубина 80 \,\text{мм}. Это один расчёт при фиксированных токах, а не уже выполненная нулетоковая серия, карта насыщения или зубцовая характеристика. Для ХХ нужно обнулить токи и рассчитать угловые копии. Численные d/q-примеры выше остаются независимыми аналитическими эталонами.
Локальные максимумы у острых границ геометрии проверяют изменением сетки и физически заданным скруглением. При постоянной линейной проницаемости высокая вычисленная B не доказывает реально учтённое насыщение. Одиночный угловой пик H также не подтверждает необратимое объёмное размагничивание без температурной кривой материала и устойчивой выборки.
Это ограниченная линейная аппроксимация остаточной индукции. Она не даёт автоматически температурного закона H_{cJ} или необратимой деградации.
Проверка рабочей точки магнита
Температура и ориентация намагниченности заданы. Для сравнения с размагничивающей характеристикой нужна физическая напряжённость внутри магнита.
Получите проекцию напряжённости на направление намагниченности. Перед сравнением проверьте режим вывода напряжённости FEMM: поле эквивалентного источника и размагничивающее поле отличаются постоянным смещением.
Сопоставьте минимальную проекцию в объёме с температурной характеристикой выбранной марки магнита. Контролируйте не только среднее, но и локальные области у кромок.
Повторите опасный токовый режим при повышенной температуре с соответствующими параметрами материала. Отдельно проверьте сеточную устойчивость локального минимума.
Границы применимости. Линейная аппроксимация линии возврата сама не рассчитывает необратимое изменение остаточной индукции. Запас до колена подтверждает только рассмотренные температуру, нагрузку и модель материала.
Контроль физического поля в радиальном магните
В приложенной модели на верхней оси, в точке (x,y)=(0;52) \,\text{мм}, направление theta+180 равно 270^\circ: \mathbf m=(0,-1). Свежий расчёт FEMM 5.0 06Oct2026 даёт B_y=-0{,}771703349 \,\text{Тл}. При B_r=1{,}2 \,\text{Тл} и \mu_{\text{возв}}=1{,}05 физическая компонента H_y должна быть положительной.
Постпроцессор этой сборки возвращает здесь H_y=-584{,}859060 \,\text{кА}/\text{м}. В выражении намагниченности учитывается только числовой угол метки, а пространственная часть игнорируется при вычислении этого H; поэтому это поле не является ни физическим, ни согласованным эквивалентным полем для локального направления. Восстановление по B устраняет данное расхождение.
Проекция физического поля вдоль намагниченности равна H_\parallel=-324{,}597758 \,\text{кА}/\text{м}. Если ошибочно взять готовый H_y, получится проекция +584{,}859060 \,\text{кА}/\text{м} и неверный вывод о направлении воздействия. Это контроль определения поля; без температурного колена материала он не доказывает необратимое размагничивание.
Как превратить размагничивающую кривую в данные FEMM
В модели приложения A.1 магнит рассматривается как ферромагнитный объём с эквивалентным возбуждением, которое можно представить тонким поверхностным токовым слоем. Это полезная эквивалентная картина, а не требование дополнительно рисовать реальную обмотку вокруг магнита. Если источник уже задан коэрцитивной силой и направлением намагничивания, отдельный эквивалентный ток создал бы двойное возбуждение.
Сначала выбирают заявленную изготовителем кривую размагничивания B(H) при нужной температуре. Параметр H_c в Material Properties соответствует модулю поля, при котором B обращается в нуль на выбранной кривой. Для нелинейной модели эту кривую сдвигают вправо на H_c: координата H новой таблицы равна H исходной кривой плюс H_c, а B сохраняется. Тогда точка B = 0 попадает в начало координат. В таблицу вносится характеристика материала без постоянного смещения, а само смещение задаётся отдельным H_c.
Отрицательную исходную ветвь сдвигают вправо на положительный модуль H_c, чтобы точка B = 0 совпала с началом координат. Постоянное возбуждение задаётся отдельным полем H_c.
Обозначения и единицы
H_c — модуль коэрцитивного поля по B, А/м; H_{\mathrm{source}},H_{\mathrm{table}} — исходная и сдвинутая координаты, А/м; B — индукция, Тл.
Условия применения. Используется согласованная заявленная изготовителем характеристика при нужной температуре; сдвиг не заменяет модель истории размагничивания.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
Пересечение с осью B даёт остаточную индукцию, а с осью H — коэрцитивное поле по индукции. Для ввода нелинейного магнита требуется согласованно выделить H_c и сдвинуть характеристику; исходную отрицательную ветвь нельзя без преобразования копировать в обычную таблицу материала.
Обозначения на рисунке
Field Intensity, A/m
Напряжённость магнитного поля H, А/м
Flux density, Tesla
Магнитная индукция B, Тл
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
К каждой исходной координате H прибавляют положительный модуль H_c, сохраняя B. Полученная таблица описывает материал без постоянного смещения, а само возбуждение задаётся отдельным параметром H_c. Сдвиг по H не означает произвольного изменения измеренных значений B.
Обозначения на рисунке
Field Intensity, A/m
Напряжённость H, А/м
Flux density, Tesla
Индукция B, Тл
Demagnetization curve shifted to the right to meet the origin
Размагничивающая кривая сдвинута вправо так, чтобы проходить через начало координат
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Для достаточно прямолинейной характеристики вместо полной таблицы используют её наклон. Относительная возвратная проницаемость равна наклону dB /dH, делённому на \mu _{0}; она не равна безразмерному отношению B/H без указания точки. Линейная модель согласует B_r, \mu_{\text{воз}} и H_c. Если взять B_r из одной температурной кривой, H_c — из другой, а \mu_{\text{воз}} оставить произвольной, модель перестанет соответствовать любой из исходных кривых.
Не смешивайте коэрцитивную силу по индукции H_{cB} с собственной коэрцитивной силой H_{cJ}, определяемой нулём магнитной поляризации J = B - \mu _{0}H. В FEMM источник линейной линии возврата согласуется с нулём B. Проверка необратимого размагничивания дополнительно требует колена соответствующей заявленной изготовителем характеристики, температуры и компоненты H против направления намагничивания. Один интегральный магнитный поток не показывает наихудшую локальную рабочую точку.
Для Alnico уход ниже колена может перевести магнит на другую линию возврата: после удаления размагничивающего воздействия прежняя индукция не восстановится. Одна однозначная B(H)-таблица FEMM не хранит эту историю. Редкоземельные магниты при обычной температуре часто допускают линейное описание рабочего участка, но это не отменяет температурной зависимости колена и возможности необратимого размагничивания при неблагоприятном режиме. Статический расчёт оценивает рабочие точки принятой характеристики, а не автоматически моделирует историю повреждения магнита.
Рисунок М.A.4. Линия возврата частично размагниченного Alnico 5
После сильного размагничивающего воздействия возврат проходит по другой линии: удаление внешнего воздействия не восстанавливает прежнюю индукцию. Однозначная таблица FEMM не хранит такую историю автоматически. Для проверки стойкости нужны заявленное изготовителем колено при заданной температуре и локальная рабочая точка.
Обозначения на рисунке
recoil line
Линия возврата
Field Intensity, A/m
Напряжённость H, А/м
Flux density, Tesla
Индукция B, Тл
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Линейная модель вдоль направления намагничивания; \mu_{\text{воз}} безразмерна. Связь применима к одной согласованной линии возврата, а не произвольной петле гистерезиса.
Проверьте на своей модели
Возьмите точку исходной кривой H = -H_c, B = 0 и убедитесь, что после сдвига она стала (0, 0).
В простой линейной проверке H = 0 должно давать B = B_r, а H = -H_c должно давать B = 0.
Для оценки размагничивания сохраните температуру, источник заявленной изготовителем кривой и локальный минимум H вдоль намагничивания.
Энергетическое произведение магнита: полезная оценка и её пределы
В приложении приведена оценка H_c через максимальное энергетическое произведение (BH)max, когда размагничивающая характеристика линейна и относительная проницаемость принята равной единице. Обозначение E в этой формуле руководства означает численное значение энергетического произведения в MGOe; это не напряжённость электрического поля и не полная энергия магнита.
Оценка коэрцитивной силы по энергетическому произведению
Для линейной размагничивающей прямой с относительной возвратной проницаемостью 1 максимум -BH достигается в середине отрезка между B_r и -H_c. После перевода энергетического произведения из MGOe получается эта оценка. Например, 40 MGOe дают H_c\approx 1{,}0066 МА/м и B_r\approx 1{,}2649 Тл; это проверка порядка величины, а не универсальная характеристика всех магнитов такого класса.
Обозначения и единицы
E_{\mathrm{MGOe}} — численное значение (BH)_{\max} в MGOe, не полная энергия и не электрическое поле.
1\,\mathrm{MGOe}\approx7957{,}747 Дж/м³.
H_c — модуль напряжённости при B=0, А/м; не внутренняя коэрцитивная сила H_{ci}.
Условия применения. Линейная размагничивающая характеристика, \mu_{\text{воз}}=1, отсутствие ограничения максимума коленом кривой. При иной возвратной проницаемости или заметном температурном изменении нужны согласованные заявленные изготовителем B–H-данные.
Индекс MGOe и единица результата добавлены, чтобы коэффициент применялся к численному значению в исходных единицах. Исходная E переобозначена для исключения путаницы с энергией в джоулях.
Для прямой B = B_r + \mu _{0}\mu_{\text{воз}}H максимум положительного произведения -BH во втором квадранте достигается при B = B_r/2 и H = -H_c/2. Этим объясняется связь между энергетическим произведением и H_c. Однако заявленный изготовителем максимум может быть ограничен коленом кривой, а возвратная проницаемость может отличаться от единицы. Тогда упрощённая формула перестаёт быть полноценной заменой заявленных изготовителем B(H)-данных.
Число 40 MGOe при \mu_{\text{воз}} = 1 даёт приблизительно H_c = 1{,}0066 МА/м и B_r = 1{,}2649 Тл. Это аналитический пример пересчёта, а не подтверждённый материал конкретного производителя. Для проектного расчёта предпочтительнее согласованные B_r, \mu_{\text{воз}} и температурная характеристика; упрощённая оценка полезна для проверки порядка величины и обнаружения ошибки единиц.
B_{\text{ост}} при 100 \,{}^\circ\text{C} по заданной линейной поправке равно 1{,}0944 \,\text{Тл}. При прежней \mu_{\text{возв}} нормальная H_{\text{коэрц}} составит 829{,}425 \,\text{кА}/\text{м}.
Ответ: Противодействующее поле количественно получено, но вывод о необратимом размагничивании требует действительной температурной кривой с коленом.
Проверка: Из \alpha_B нельзя вычислить коэрцитивную силу по намагниченности H_{cJ}. Учебный коэффициент не относится автоматически к любой марке NdFeB.
Возьмите машину с поверхностными или встроенными постоянными магнитами с известной намагниченностью каждой части. Рассчитайте состояние при нулевых токах и один неблагоприятный отрицательный i_d при том же положении.
В нескольких внутренних точках получите B_x и B_y. Для принятой линейной прямой возврата вычислите физическое поле \mathbf H=(\mathbf B-B_{\text{ост}}\mathbf m)/(\mu_0\mu_{\text{возв}}), где \mathbf m=(\cos\alpha,\sin\alpha) — локальное направление намагниченности. Затем найдите H_{\text{паралл}}=\mathbf H\cdot\mathbf m. При выражениях theta/theta+180 направление берётся в самой точке. В проверенной сборке FEMM 5.0 06Oct2026 готовые H_x,H_y для таких выражений некорректны: используйте восстановление по B. Для другой версии или постоянного направления сначала сопоставьте определения; уже физическое поле не корректируют повторно.
Постройте таблицу вдоль среднего радиуса или середины прямоугольного магнита; отдельно исследуйте край, не смешивая его с объёмной средней.
Для второй заданной температуры создайте отдельный материал на основе доступных данных изготовителя. Если есть только \alpha_B, подпишите расчёт как ограниченную чувствительность, а не полный анализ размагничивания.
Повторите неблагоприятную точку на двух сетках и при физически заданном скруглении края. Сравните с температурным коленом, если оно действительно известно.
Ожидаемый результат. Области противодействующего поля выявляются по проекции H, а не только по модулю B. Температура влияет на магнитные параметры.
Как проверить. Происхождение материала, направление m, область выборки и сеточная устойчивость минимального H_{\text{паралл}} указаны. Факт повреждения не утверждается без соответствующих данных.
Обработка и анализ результатов
Где поле направлено против намагничивания и допустима ли характеристика материала?
Снимите проекцию поля вдоль намагничивания и укажите используемые температурные данные.
Сопоставьте рабочие точки с принятой характеристикой материала; отделите изменение материала от изменения возбуждения.
С чем сравнить. Пользуйтесь характеристиками и диапазоном данных, указанными в занятии. Одна кривая или линейная ветвь не подтверждает температурную зависимость, гистерезис или необратимое размагничивание.
Итог работы. Карта критических участков и ограниченный материалом вывод о запасе.
Пошаговая настройка расчётного примера
Откройте отдельную страницу с последовательными действиями, точными параметрами, накопительными файлами этапов и программами с русскими комментариями.
Рисунок 25.16. Визуализация численных данных FEMM 5: Машина с поверхностными постоянными магнитами. Это экспорт результатов поля, а не снимок окна программы.
Двумерная модель активной части. Модель стали с постоянной магнитной проницаемостью не описывает насыщение. Идеализированные обмотки с нулевой проводимостью не учитывают все потери. Сеточная проверка момента этой рабочей точки выполнена отдельно; её критерии, методы и границы приведены в протоколе. Здесь энергия получена отдельным интегрированием с фактическим локальным направлением намагниченности. Способ интегрирования приведён в программе шага 11. У острых кромок модели стали с постоянной проницаемостью возможны большие локальные значения B. Они не описывают реальный материал и сами по себе не доказывают насыщение или повреждение. Проверяйте нелинейную характеристику материала и сходимость поля в физически заданной области.
Температурный коэффициент остаточной индукции меняет поле постоянного магнита. Шар выбран как учебный объект с известным внутренним размагничивающим полем: так численную модель можно проверить аналитически.
Ослабление одного магнитного сегмента нарушает пространственную симметрию ротора. Полевая диагностика полезна, если сравниваются одинаковые токи, геометрия и способ обработки углового ряда.
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Температура постоянного магнита: обратимая рабочая точка и размагничивающее поле. Геометрия учебной модели; подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размереСохранённое решение «Температура постоянного магнита: обратимая рабочая точка и размагничивающее поле». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического магнитного поля; рабочая область модели. Открыть в полном размереМашина с локальным ослаблением одного постоянного магнита до 60% исходной остаточной индукции: геометрия выбранного положения ротора 15°. Подписи скрыты; размеры магнитов сохранены. Открыть в полном размереЛокальное ослабление одного магнита до 60% исходной остаточной индукции; положение ротора 15°. Статическая карта |B|, Т, и линии поля. Влияние дефекта оценивают сравнением потокосцеплений с исправной моделью при тех же условиях. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Составьте протокол проверки постоянных магнитов для двух заданных температур и двух токовых состояний с явным указанием доступных и отсутствующих данных.
Критерий выполнения: Приведены русские размерности, коэрцитивные силы по индукции и по намагниченности различены, локальная проекция проверена; обычная модель постоянного магнита не названа расчётом истории повреждения.
