Опыты независимого возбуждения, ХХ, КЗ и нагрузки дают параметры связи, рассеяния и изменения напряжения. Они образуют последовательность построения и проверки схемы замещения трансформатора.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Выберите независимые неизвестные и уравнения выводов. Разделите полевое отображение потокосцеплений и условия источника или нагрузки.
Две независимые невязки и баланс мощности. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сохраните полевую невязку, невязки выводов и отдельный баланс мощности.
Ответить на вопрос по своим результатам. Вычислите невязки уравнений электрической цепи отдельно от полевых величин; сопоставьте найденный режим с независимым контрольным случаем.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Таблица независимых проверок и вывод о причине остаточного расхождения.
Данные именно этого опыта. Сохраните полевую невязку, невязки выводов и отдельный баланс мощности.
Оформление наблюдений. Найденные токи, напряжения, потокосцепления, начальное приближение, число итераций и невязки уравнений цепи отдельно от полевого решателя.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Числа сверены по исходным комплексным величинам, а не по округлённым подписи графика.
Независимый контроль. Подставьте найденные величины обратно в независимые уравнения выводов и сравните с линейным либо нулевым контрольным режимом.
Критерий выполнения. Каждый режим повторён независимо; есть сеточная проверка и согласованная мощностная нормировка; ограничения перечислены.
Точность и расхождения. Масштабируйте уравнения по физическим единицам. Малый шаг Ньютона не заменяет малую невязку; критерия цепи недостаточно для оценки сеточной ошибки.
Основание сравнения. Используйте уравнения выводов и выбранные независимые неизвестные из занятия. Сходимость итераций подтверждает решение заданной системы, но не правильность исходной модели.
Вывод для устройства
Обоснуйте, что рассчитанное поле соответствует требуемому питанию и нагрузке устройства, а найденная рабочая точка удовлетворяет выбранным внешним условиям.
Границы вывода. Геометрия активной части и принятые свойства не описывают автоматически лобовые сопротивления, все потери и нелинейную форму тока. Электрические условия каждого опыта проверяются отдельно.
Дополнительный расчётный метод
Математическая модель поля и электрических цепей машины
Протокол краевой задачи связывает среды, свойства, границы, источники и электрические выводы. Проверка одной целевой величины на двух сетках показывает численную устойчивость выбранной постановки.
Получаемые величины. скачки H\tau при поверхностном токе и непрерывность Bn; напряжение вывода и ток; F и невязка действия/противодействия; изменение результата при сетке
Разбить устройство на среды и назначить материальные связи.
Для каждой границы записать физический смысл условия.
Согласовать возбуждение с внешней электрической цепью.
Сравнить силы и внутренние граничные соотношения при независимом уточнении сетки и внешней области.
Страницы источника. PDF 1–15 полностью: 1–4 область и уравнения; 5–8 границы раздела; 9–11 связь поля с цепью; 12–15 проверка геометрии и сетки.
Завершение итераций сопровождается повторным расчётом найденного режима. Раздельная оценка полевой невязки и невязки уравнений электрической цепи позволяет проверить согласованность решения.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Полевой остаток характеризует выполнение дискретизированного уравнения внутри решателя. Невязка электрической цепи показывает, насколько рассчитанные напряжения удовлетворяют уравнениям источника и нагрузки. Даже очень малый полевой остаток не гарантирует правильное питание. Поэтому эти два критерия задают и проверяют отдельно.
После завершения Ньютона сохраните найденные токи и выполните самостоятельный повторный анализ из рабочей модели. Рассчитайте остатки, мощности и потери по единой границе. Для амплитуд P_{\text{вх}} = \operatorname{Re}(U_{1} I_{1}^{*})/2, P_{\text{наг}} = R_{\text{наг}}|I_{2}|^{2}/2. Оставшаяся разность должна совпадать с включёнными потерями; неучтённые механизмы перечисляются явно; компенсировать их произвольным коэффициентом нельзя. Сначала выводят уравнение баланса из закона сохранения энергии, затем оценивают его безразмерный остаток.
Напряжения и токи должны иметь согласованную нормировку; баланс учитывает только явно включённые механизмы.
Порядок проверки результата
Численный пример ниже является аналитическим учебным эталоном. Его значения вычислены по указанным формулам; они не обозначают результат решения новой модели методом конечных элементов. Практикум связывает эталон с полевой задачей: сначала воспроизведите уже проверенный результат базового раздела, затем измените только один исследуемый параметр. Именно такое сравнение позволяет отделить ошибку программы от влияния геометрии, сетки и физического приближения. Сохраните исходную модель, рабочую копию и таблицу с заголовками величин. В подписи каждой величины укажите единицу, положительное направление и способ получения; для гармонических величин дополнительно укажите амплитудную нормировку. Если условие задачи не выполнено, остановите серию и сохраните причину отказа вместе с последним корректным состоянием.
Пояснение программы
Входная мощность вычисляется с комплексно сопряжённым током, мощность нагрузки — по квадрату модуля вторичного тока. Сопротивления обмоток учитываются по одному разу. Разность мощностей проверяет энергетический баланс. Отдельный список residual_v содержит невязки напряжений на выводах. Проверка баланса мощности не заменяет проверку уравнений электрической цепи.
Разделение полевой, цепной и энергетической ошибок
Три критерия относятся к разным уровням задачи: дискретному полю, внешней цепи и физическому балансу.
Зафиксируйте сходимость полевого решателя при очередных токах. Затем вычислите внешние электрические невязки из фактически полученных напряжений.
Нормируйте электрические невязки заранее выбранным масштабом напряжения, чтобы сравнение режимов не зависело от случайного малого вторичного напряжения.
Вычислите энергетический остаток с явным перечнем потерь и общей амплитудной нормировкой. Уменьшение одного критерия не заменяет проверки двух остальных.
Проверяемый результат; единица определяется выбором результата
по результату
Границы применимости. Мощность, рассчитанная из той же идеальной эквивалентной схемы, не является независимой проверкой её материальных потерь. Для этого нужны полевые интегралы или внешние данные.
Пояснения к официальному руководству
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Какие системы и алгоритмы действительно использует FEMM 5
В FEMM используются итерационные методы подпространств Крылова для разреженных систем. Для обычной вещественной положительно определённой системы применяется метод сопряжённых градиентов с предобусловливанием (PCG). Симметрия матрицы сама по себе не гарантирует положительную определённость. В частности, ограничение заданного потокосцепления или полного тока может добавить строку множителя Лагранжа и сделать симметричную систему неопределённой; тогда применяется метод квазиминимальных невязок (QMR).
Гармоническая задача даёт комплексно-симметричную матрицу: транспонирование её не меняет, но транспонирование с комплексным сопряжением обычно меняет. Обычный вещественный PCG или его эрмитов вариант к такой системе нельзя переносить автоматически. Руководство указывает комплексно-симметричный метод бисопряжённых градиентов (BCG). Для нелинейной гармоники над решением этих систем выполняется внешняя итерация Ньютона. Таким образом, внутренняя алгебраическая сходимость, нелинейная сходимость материала и согласование внешней электрической цепи — три разных проверки.
Комплексная симметрия и эрмитовость — разные свойства
\mathbf K^T=\mathbf K,\qquad\mathbf K^{\dagger}=\overline{\mathbf K}^{\,T},\qquad\mathbf K^{\dagger}\ne\mathbf K\ \text{в общем случае}
Гармоническая матрица FEMM комплексно-симметрична; обычная версия метода сопряжённых градиентов для эрмитовой положительно определённой матрицы к ней напрямую не применяется.
Обозначения и единицы
\mathbf K — комплексная матрица дискретной задачи; T — транспонирование; черта — комплексное сопряжение; \dagger — сопряжённое транспонирование. Размерность элементов определяется физической постановкой.
Условия применения. Последнее неравенство характеризует общий гармонический случай; отдельная матрица может обладать дополнительной симметрией.
Исходник использует A=A^{T} и A=A*; в курсе матрица обозначена K, а * раскрыта как сопряжённое транспонирование, чтобы не путать её с магнитным потенциалом.
Предобусловливатель текущей версии — неполное разложение LDL ^{T} с пороговым заполнением. L имеет единичную диагональ, D хранит величины и знаки диагональных элементов; квадратные корни не нужны. Для ограничения памяти сохраняется только ограниченное число достаточно значимых элементов. Разложение строится один раз для очередной сборки и используется на её итерациях. Для сравнения предобусловливателей рассмотрите SSOR и неполное разложение без дополнительного заполнения; основной алгоритм FEMM использует пороговое заполнение.
Предобуславливатель сохраняет ограниченное заполнение, а D несёт знаки диагональных множителей. Квадратные корни не требуются, поэтому одна схема может использоваться и при потере положительной определённости из-за ограничений цепей.
Обозначения и единицы
\mathbf L — нижнетреугольный множитель с единичной диагональю; \mathbf D — диагональный множитель. Масштабы множителей выбираются согласованно с матрицей \mathbf K.
Условия применения. Знак приближения существенен: факторизация неполная, с порогом и ограничением числа сохраняемых элементов.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
При сборке хранят диагональ и верхний треугольник разреженной матрицы, что удобно при присоединении уравнений цепей и объединении периодических узлов. Перед решением формируется полная копия в формате сжатых разреженных строк (CSR), используемая в умножении матрицы на вектор. Обратная нумерация Катхилла–Макки уменьшает разброс ненулевых элементов относительно диагонали; в описанной версии эту нумерацию выполняет генератор сетки, а не отдельная стадия решателя.
Решатели в этом руководстве намеренно однопоточные. Это свойство реализации объясняется стоимостью неполного разложения и последовательных треугольных проходов. Поэтому число логических процессоров не является ожидаемым коэффициентом ускорения одного расчёта. Упоминаемая автором побитовая повторяемость относится к одинаковому запуску в согласованном окружении; она не гарантирует тождество между другими версиями, платформами, сетками или библиотеками. В отчёте сохраняют версию, входные данные и параметры расчёта.
Типовая структура симметричной системы с ограничением c^{T}u = q и множителем Лагранжа \lambda. Это иллюстрация причины неопределённости, а не универсальная точная матрица любого типа цепи FEMM.
\mathbf r=\mathbf f-\mathbf K\mathbf u,\qquad \mathbf e=\mathbf K^{-1}\mathbf r
Связь невязки и алгебраической ошибки при обратимой K. Малость невязки без учёта обусловленности не даёт той же относительной ошибки поля; ошибка модели в это равенство вообще не входит.
Проверьте на своей модели
Не объясняйте отсутствие загрузки всех ядер неисправностью модели: сначала проверьте, какой решатель и версия используются.
В нелинейной связанной задаче отдельно сохраняйте критерий полевого решателя, невязку внешней цепи и контроль мощности.
Описание SSOR из материалов по старым версиям FEMM не подменяет описание LDL ^{T} текущего руководства.
Дано. Невязки 0,05 и 0{,}08 \,\text{В} при масштабе 100 \,\text{В}. P_{\text{вх}} = 111{,}795725 \,\text{Вт}; P_{\text{наг}} = 76{,}546523 \,\text{Вт}; потери в двух сопротивлениях = 35{,}249201 \,\text{Вт}.
Сохраните полевую невязку, невязки выводов и отдельный баланс мощности.
Вычислите невязки уравнений электрической цепи отдельно от полевых величин; сопоставьте найденный режим с независимым контрольным случаем.
С чем сравнить. Используйте уравнения выводов и выбранные независимые неизвестные из занятия. Сходимость итераций подтверждает решение заданной системы, но не правильность исходной модели.
Итог работы. Таблица независимых проверок и вывод о причине остаточного расхождения.
Код выполняется во встроенном Python FEMM 5. Он проверяет приведённый аналитический вывод; получение полевых данных выполняется отдельным практикумом с указанной моделью.
Python · встроенный MicroPython FEMM 5
"""Проверка полевой невязки и невязки уравнений электрической цепи.Среда: встроенный MicroPython FEMM 5.Аналитический учебный пример; полевой решатель не вызывается.Параметры, единицы величин и порядок вывода пояснены по стадиям."""# Токи — комплексные амплитуды проверенного аналитического примера, А.i1=2.2359144946984446-4.753444593547412ji2=-3.912377856319341-0.05103101551720879j# Входная активная мощность: половина действительной части U·I*, Вт.input_w=0.5*(100*i1.conjugate()).real# Мощность активной нагрузки и потери в сопротивлениях обеих обмоток, Вт.# Каждое сопротивление учитывается ровно один раз.load_w=0.5*10*abs(i2)**2copper_w=0.5*(2*abs(i1)**2+abs(i2)**2)# Порядок вывода: входная мощность; мощность нагрузки; потери в проводниках, Вт.print(input_w,load_w,copper_w)print("Остаток баланса, Вт:",input_w-load_w-copper_w)# Независимый пример невязок напряжения на выводах, В; опорное напряжение — 100 В.# Баланс мощности и выполнение уравнений цепи проверяются раздельно.residual_v=[0.05,0.08]print("Терминальная невязка, %:",100*max(residual_v)/100)
Расчётное исследование и разбор результатов
Эти материалы продолжают практикум: постановка, программа встроенного Python, сохранённые численные результаты и проверка их смысла. Графики строятся по результатам FEMM 5.
Трансформатор передаёт энергию между неподвижными обмотками через общий магнитный поток. Реальная связь неидеальна: часть потока рассеивается, обмотки нагреваются, а намагничивающий ток зависит от нелинейного сердечника.
Фрагмент таблицы Р7.2. Сохранённые результаты FEMM 5
Сетка
Элементы
I₁, действующее, А
Iнаг, действующее, А
Uнаг, действующее, В
Потери, Вт
Остаток, амплитуда, В
Базовая
9633
1,449
4,106
41,06
4,898
450,9 × 10⁻⁶
Средняя
10530
1,449
4,106
41,06
4,896
430,7 × 10⁻⁶
Уточнённая
53762
1,449
4,106
41,06
4,889
380,6 × 10⁻⁶
Баланс мощности исходного решения: 53,29 × 10⁻⁶; критерий: 0.001
Оба цепных остатка: 450,9 × 10⁻⁶; критерий: 0.001
Сначала изучите постановку и таблицу результатов. Программу серии расчётов разбирайте после введения во встроенный Python.
При заданном напряжении ток намагничивания заранее неизвестен: он определяется насыщением сердечника и нагрузкой. FEMM принимает токи обмоток и возвращает поле и портовые величины, поэтому рабочую точку находят согласованием внешней электрической цепи с полевым решением.
Фрагмент таблицы Р6.2. Сохранённые результаты FEMM 5
Рисунок 21.21. Визуализация численных данных FEMM 5: Однофазный трансформатор: нагрузка. Это экспорт результатов поля, а не снимок окна программы.
Двумерная модель активной части. Модель стали с постоянной магнитной проницаемостью не описывает насыщение. Идеализированные обмотки с нулевой проводимостью не учитывают все потери. Сходимость силы и момента требует отдельной проверки. Комплексные токи и потокосцепления заданы амплитудными значениями; они отличаются от действующих значений источника.
Ориентиры в интерфейсеРисунок 21.22. Однофазный трансформатор: две обмотки, их стороны, сердечник и воздушная область. Для занятий о группе 3×1ф это кадр одной независимой составляющей, а не всей трёхфазной группы. Открыть в полном размереРисунок 21.23. Однофазный трансформатор: нагрузка, согласованные токи отдельного режима. Для занятий о группе 3×1ф это кадр одной независимой составляющей, а не всей трёхфазной группы. Открыть в полном размереРисунок 21.24. Нагрузка: цепь Secondary; полевое напряжение и потокосцепление. Для занятий о группе 3×1ф это кадр одной независимой составляющей, а не всей трёхфазной группы. Открыть в полном размереРисунок 21.25. Встроенная Python-консоль: ток, полевое напряжение и потокосцепление рассчитанных обмоток. Открыть в полном размереРисунок 21.26. Встроенная консоль FEMM: Проверка полевой невязки и невязки уравнений электрической цепи. Аналитическая проверка программы занятия. Показана консоль исходной редакции программы, зафиксированной при съёмке. Текущая программа с русскими пояснениями проверена отдельно во встроенном Python FEMM; этот снимок не является новым запуском текущей редакции. Открыть в полном размере
Расчётные исследования по теме
Изучите физическую постановку, выполните программу во встроенном Python FEMM 5 и проверьте результаты по сохранённым моделям и независимым критериям.
Наведённое напряжение соседней жилы зависит от её нагрузки. Идеально заземлённая жила, разомкнутая жила и жила с большим сопротивлением могут иметь существенно разные потенциалы в одном и том же поперечном сечении кабеля. Работа связывает полевую матрицу комплексных проводимостей с простым внешним электрическим узлом и затем проверяет найденное напряжение новым полевым решением.
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Рабочая область модели «Электрическая наводка в кабеле и нагрузка соседней жилы». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Электрическая наводка в кабеле и нагрузка соседней жилы». Модуль комплексного потенциала |V|, В, в изоляции трёхжильного кабеля при гармоническом возбуждении. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Создайте сводную таблицу ХХ, КЗ и нагрузки: токи, напряжения, \varepsilon_{\text{цеп}}, P_{\text{вх}}, P_{\text{наг}} и включённые потери.
Критерий выполнения: Каждый режим повторён независимо; есть сеточная проверка и согласованная мощностная нормировка; ограничения перечислены.
