Нелинейная нагрузка: метод Ньютона по действительным и мнимым составляющим

Цель и задачи

Цель. Проверить нелинейный поиск токов по действительным и мнимым составляющим.

Задачи

• Строить невязку и действительный матрица Якоби с демпфированием без предположения комплексной аналитичности.
• Собрать вещественный Якобиан 4\times 4 центральными разностями.

Место занятия в инженерной методике

Расчётная лабораторная работа · Согласование поля с внешней электрической цепью

Инженерный вопрос. Сходится ли Ньютон к физически согласованному нагрузочному режиму?

Опыты независимого возбуждения, ХХ, КЗ и нагрузки дают параметры связи, рассеяния и изменения напряжения. Они образуют последовательность построения и проверки схемы замещения трансформатора.

Лабораторная работа:

• Трансформатор от потокосцеплений до схемы замещения и нагрузочной характеристики — Нагрузка и проектное решение
• Нагрузка PM-генератора и рабочая область магнитов — Согласование нагрузочной характеристики

Теория и вывод формул

Нелинейную полевую зависимость согласуют с источником напряжения и нагрузкой методом Ньютона. Представление комплексных величин действительными и мнимыми составляющими позволяет записать систему в вещественной форме.

Разобранный численный пример

Вычисленный аналитический эталон

Дано. Скалярный эталон r(x) = x + 0{,}2x^{3} - 2; начальное x = 1; это безразмерная проверка алгоритма.

1. В первой точке r = -0{,}8; производная 1 + 0{,}6x^{2} = 1{,}6; полный шаг \Delta x = 0{,}5.

   \Delta x=-\frac{1+0{,}2\cdot1^3-2}{1+0{,}6\cdot1^2}=0{,}5,\qquad x^{\text{нов}}=1{,}5

   (21.7)

2. При x = 1{,}5: r = 0{,}175; следующая поправка -0{,}175/2{,}35 = -0{,}0744681.

3. Последующие итерации сходятся к x \approx 1{,}4233183448; подстановка даёт нулевую невязку в пределах округления.

Практикум в FEMM 5

Демпфированный Ньютон для двух комплексных токов

1. Проверьте реализацию Ньютона на указанном аналитическом эталоне до вызовов FEMM.
2. Запишите r_{1} = U_{1} - U_{\text{ист}} и r_{2} = U_{2} + Z_{\text{наг}} I_{2}; разложите их на четыре вещественных компоненты.
3. В функции вычисления невязки residual задавайте оба тока, решайте FEMM и читайте оба напряжения. Каждому вызову соответствует новое полевое решение.
4. Соберите действительную матрицу Якоби центральными разностями; масштабируйте токи и напряжения для устойчивого сравнения.
5. Примените демпфирование и контролируйте фактическое уменьшение остатка; журналируйте шаг, коэффициент и число решений.
6. Повторите согласование с половинным разностным шагом и более строгим полевым допуском. Остановите расчёт при недопустимых токах.

Программа с русскими пояснениями: Метод Ньютона с уменьшением длины шага · Порядок запуска

Метод Ньютона с уменьшением длины шага

Вещественный метод Ньютона строит центральный разностный Якобиан и уменьшает длину шага до снижения невязки. Числа в начальном приближении преобразуются к float; проверяются размер системы, конечность значений, положительные шаг и допуск. Неизвестные и невязки предварительно нормируют: единый числовой допуск для величин разных размерностей без масштабирования неприменим. Сингулярный Якобиан и исчерпание итераций означают отказ; обратная матрица явно не вычисляется.

"""Метод Ньютона с центральным Якобианом и уменьшением длины шага.

Неизвестные и невязки предварительно приводятся к согласованным масштабам.
step — шаг разностной производной; tolerance — допуск максимальной невязки.
Пример аналитический: полевой решатель FEMM не вызывается.
"""

import math
import numpy as np


def real_newton(residual, start, step=1e-4, tolerance=1e-7, maximum=20):
    """Найти корень квадратной вещественной системы с конечными входами."""
    if not math.isfinite(step) or step <= 0:
        raise ValueError("Шаг производной должен быть конечным и положительным")
    if not math.isfinite(tolerance) or tolerance <= 0:
        raise ValueError("Допуск должен быть конечным и положительным")
    if type(maximum) is not int or maximum <= 0:
        raise ValueError("Число итераций должно быть положительным целым")

    # Явно создаём вещественный массив: целый start не должен округлять ±step.
    initial = [float(value) for value in start]
    if not initial or any(not math.isfinite(value) for value in initial):
        raise ValueError("Начальное приближение должно содержать конечные числа")
    x = np.array(initial)
    dimension = len(initial)

    def evaluate(state):
        """Проверить размер и конечность невязки перед численным действием."""
        values = [float(value) for value in residual(state)]
        if len(values) != dimension or any(not math.isfinite(v) for v in values):
            raise ValueError("Невязка должна быть конечной и совпадать с размером x")
        return np.array(values)

    for iteration in range(maximum):
        r = evaluate(x)
        norm = max(abs(float(value)) for value in r)
        # Выводим номер итерации и максимальную нормированную невязку.
        print(iteration, norm)
        if norm <= tolerance:
            return x

        # Столбец k содержит производные всех уравнений по неизвестной x[k].
        columns = []
        for k in range(dimension):
            plus = np.array(x)
            minus = np.array(x)
            plus[k] += step
            minus[k] -= step
            columns.append((evaluate(plus) - evaluate(minus)) / (2 * step))
        jacobian = np.array(
            [[columns[k][j] for k in range(dimension)] for j in range(dimension)]
        )
        if any(not math.isfinite(float(v)) for column in columns for v in column):
            raise ValueError("Разностная матрица Якоби содержит неконечное значение")

        # Решаем J·Δx = −r; обратную матрицу явно не вычисляем.
        change = np.linalg.solve(jacobian, -r)
        if any(not math.isfinite(float(v)) for v in change):
            raise ValueError("Поправка Ньютона содержит неконечное значение")
        damping = 1.0
        accepted = False
        for trial in range(12):
            candidate = x + damping * change
            nc = max(abs(float(v)) for v in evaluate(candidate))
            if nc < norm:
                x = candidate
                accepted = True
                break
            damping *= 0.5
        # Без уменьшения невязки метод завершается явным сообщением об отказе.
        if not accepted:
            raise ValueError("Демпфирование не уменьшило невязку")

    # Последняя разрешённая поправка тоже может дать требуемую точность.
    if max(abs(float(v)) for v in evaluate(x)) <= tolerance:
        return x
    raise ValueError("Число итераций исчерпано")


def control(x):
    """Два независимых кубических уравнения с монотонными левыми частями."""
    return [x[0] + 0.2 * x[0] ** 3 - 2.0, x[1] + 0.1 * x[1] ** 3 - 1.0]


# Обе составляющие невязки должны стремиться к нулю; это не расчёт поля.
print(real_newton(control, [1.0, 0.5]))

Расчётное исследование и разбор результатов

Эти материалы продолжают практикум: постановка, программа встроенного Python, сохранённые численные результаты и проверка их смысла. Графики строятся по результатам FEMM 5.

Пошаговая настройка расчётного примера

Откройте отдельную страницу с последовательными действиями, точными параметрами, накопительными файлами этапов и программами с русскими комментариями.

• Однофазный трансформатор: нагрузка — основной пример занятия
• Однофазный трансформатор: возбуждение первичной обмотки
• Однофазный трансформатор: исходный режим с заданным током

Все расчётные примеры курса

Расчётный образец FEMM 5

Откройте модель, воспроизведите указанный режим и сопоставьте свои измерения с таблицей результатов.

Итоговая модель FEMMСохранённое решение эталонаЧисленные результаты

Двумерная модель активной части. Модель стали с постоянной магнитной проницаемостью не описывает насыщение. Идеализированные обмотки с нулевой проводимостью не учитывают все потери. Сходимость силы и момента требует отдельной проверки. Комплексные токи и потокосцепления заданы амплитудными значениями; они отличаются от действующих значений источника.

Самостоятельная работа

Выполните нагрузочную точку при двух близких напряжениях; вторую начните с токов первой и сравните число полевых решений.