Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Согласование поля с внешней электрической цепью
Инженерный вопрос. Выполняет ли найденный ток уравнение подключённого импеданса?
Опыты независимого возбуждения, ХХ, КЗ и нагрузки дают параметры связи, рассеяния и изменения напряжения. Они образуют последовательность построения и проверки схемы замещения трансформатора.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Выберите независимые неизвестные и уравнения выводов. Разделите полевое отображение потокосцеплений и условия источника или нагрузки.
Ответить на вопрос по своим результатам. Вычислите невязки уравнений электрической цепи отдельно от полевых величин; сопоставьте найденный режим с независимым контрольным случаем.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Режим двухпортового трансформатора с независимой проверкой уравнений выводов.
Данные именно этого опыта. Сохраните матрицу параметров, комплексные токи, напряжения и нагрузку.
Оформление наблюдений. Найденные токи, напряжения, потокосцепления, начальное приближение, число итераций и невязки уравнений цепи отдельно от полевого решателя.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Безразмерная невязка напряжения на выводах не больше назначенного 0{,}1 \,\% в линейном учебном эталоне.
Независимый контроль. Подставьте найденные величины обратно в независимые уравнения выводов и сравните с линейным либо нулевым контрольным режимом.
Критерий выполнения. Столбцы Z получены независимо; направления токов и напряжений на выводах описаны; оба уравнения проверены на фактическом полевом результате.
Точность и расхождения. Масштабируйте уравнения по физическим единицам. Малый шаг Ньютона не заменяет малую невязку; критерия цепи недостаточно для оценки сеточной ошибки.
Основание сравнения. Используйте уравнения выводов и выбранные независимые неизвестные из занятия. Сходимость итераций подтверждает решение заданной системы, но не правильность исходной модели.
Вывод для устройства
Обоснуйте, что рассчитанное поле соответствует требуемому питанию и нагрузке устройства, а найденная рабочая точка удовлетворяет выбранным внешним условиям.
Границы вывода. Геометрия активной части и принятые свойства не описывают автоматически лобовые сопротивления, все потери и нелинейную форму тока. Электрические условия каждого опыта проверяются отдельно.
Дополнительный расчётный метод
Математическая модель поля и электрических цепей машины
Протокол краевой задачи связывает среды, свойства, границы, источники и электрические выводы. Проверка одной целевой величины на двух сетках показывает численную устойчивость выбранной постановки.
Получаемые величины. скачки H\tau при поверхностном токе и непрерывность Bn; напряжение вывода и ток; F и невязка действия/противодействия; изменение результата при сетке
Разбить устройство на среды и назначить материальные связи.
Для каждой границы записать физический смысл условия.
Согласовать возбуждение с внешней электрической цепью.
Сравнить силы и внутренние граничные соотношения при независимом уточнении сетки и внешней области.
Страницы источника. PDF 1–15 полностью: 1–4 область и уравнения; 5–8 границы раздела; 9–11 связь поля с цепью; 12–15 проверка геометрии и сетки.
Переход от заданных токов к питанию трансформатора напряжением требует решения уравнений электрической цепи. Небольшая система линейных уравнений связывает параметры полевого расчёта с источником и нагрузкой.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Пара выводов каждой обмотки образует электрический порт: ему соответствуют одно напряжение и один ток с заранее выбранными направлениями. Полевой решатель задаёт токи обмоток и возвращает напряжения. В линейной гармонической задаче два независимых возбуждения дают столбцы матрицы импедансов: ток одной обмотки ненулевой, второй — нулевой. Электрическая цепь связывает найденные напряжения с источником и нагрузкой. Выбираем пассивные направления обоих токов внутрь трансформатора. Напряжение на нагрузке отсчитывается между теми же вторичными выводами: \widehat U_{\text{наг}}=\widehat U_2. Ток, входящий в нагрузку, противоположен току, входящему во вторичную обмотку: \widehat I_{\text{наг}}=-\widehat I_2. Поэтому \widehat U_2=-Z_{\text{наг}}\widehat I_2. Перенос нагрузки в левую часть даёт второе уравнение Z_{21}\widehat I_1+(Z_{22}+Z_{\text{наг}})\widehat I_2=0.
Подстановка U_{2} = Z_{21}I_1 + Z_{22} I_{2} даёт вторую строку системы (Z_{22} + Z_{\text{наг}})I_{2} + Z_{21}I_1 = 0. Первая строка задаётся напряжением источника. Систему решаем встроенной функцией numpy.linalg.solve. Предварительно исключаем двойной учёт сопротивления, если FEMM уже возвращает часть проводниковых потерь. Матрица определяется для одной частоты, геометрии и температуры; при насыщении она не остаётся постоянной и этот линейный алгоритм становится только начальным приближением.
Пассивные направления токов; элементы матрицы и сопротивление нагрузки выражаются в омах, величины амплитудные.
Порядок проверки результата
Численный пример ниже является аналитическим учебным эталоном. Его значения вычислены по указанным формулам; они не обозначают результат решения новой модели методом конечных элементов. Практикум связывает эталон с полевой задачей: сначала воспроизведите уже проверенный результат базового раздела, затем измените только один исследуемый параметр. Именно такое сравнение позволяет отделить ошибку программы от влияния геометрии, сетки и физического приближения. Сохраните исходную модель, рабочую копию и таблицу с заголовками величин. В подписи каждой величины укажите единицу, положительное направление и способ получения; для гармонических величин дополнительно укажите амплитудную нормировку. Если условие задачи не выполнено, остановите серию и сохраните причину отказа вместе с последним корректным состоянием.
Пояснение программы
Сопротивление нагрузки добавлено ко второму диагональному элементу в соответствии с выбранным направлением вторичного тока. Правая часть содержит напряжение первичного источника и ноль уравнения вторичной цепи. После решения системы обе невязки вычисляются повторно подстановкой найденных токов. Такой контроль проверяет правильность уравнений электрической цепи.
Решение линейной системы связанных обмоток
Матрица получена для той же частоты и геометрии, что нагрузочный режим. Токи обеих обмоток направлены внутрь трансформатора.
Добавьте внешнюю нагрузку ко второму диагональному элементу. Вектор правой части содержит заданное первичное напряжение и нулевое независимое вторичное напряжение.
Решите комплексную систему устойчивым методом, не обращая матрицу явно. Контролируйте почти вырожденную систему и слишком малые ведущие элементы.
Подставьте полученные токи в исходную систему, затем в полевую модель. Невязка арифметического решения и расхождение с полевыми напряжениями отвечают за разные ошибки.
Границы применимости. Равенство аналитической невязки нулю не доказывает применимость линейной матрицы при насыщении. Для нелинейного режима требуется повторная оценка поля.
В линейной модели трансформатора в графическом интерфейсе получите два столбца Z двумя независимыми токовыми опытами.
Запишите, какие сопротивления включены в полевое напряжение и какие добавляются отдельно.
Соберите матрицу; добавьте Z_{\text{наг}} только ко второму диагональному элементу.
Решите систему встроенным numpy.linalg.solve. Подставьте токи в FEMM и выполните контрольное решение.
Сравните фактические U_{1} и U_{2} с источником и нагрузкой. Вычислите обе комплексные невязки.
Измените нагрузку вдвое и повторите всю проверку уравнений электрической цепи без пересчёта линейной Z, если физические параметры не изменились.
Ожидаемый результат. Нагрузка и напряжение источника выполнены одновременно, а не только заданы похожие токи.
Как проверить. Безразмерная невязка напряжения на выводах не больше назначенного 0{,}1 \,\% в линейном учебном эталоне.
Обработка и анализ результатов
Выполняет ли найденный ток уравнение подключённого импеданса?
Сохраните матрицу параметров, комплексные токи, напряжения и нагрузку.
Вычислите невязки уравнений электрической цепи отдельно от полевых величин; сопоставьте найденный режим с независимым контрольным случаем.
С чем сравнить. Используйте уравнения выводов и выбранные независимые неизвестные из занятия. Сходимость итераций подтверждает решение заданной системы, но не правильность исходной модели.
Итог работы. Режим двухпортового трансформатора с независимой проверкой уравнений выводов.
Проверенный аналитический эталон. Для полевой практики матрица заменяется измеренной двумя FEMM-опытами.
Python · встроенный MicroPython FEMM 5
"""Линейные уравнения четырёхполюсника.Среда: встроенный MicroPython FEMM 5.Аналитический учебный пример; полевой решатель не вызывается.Параметры, единицы величин и порядок вывода пояснены по стадиям."""importnumpyasnp# Собственные и взаимное комплексные сопротивления обмоток заданы в омах.# Напряжение источника в правой части — комплексная амплитуда, В.z11,z22,mutual,load=2+20j,1+5j,9j,10.0# Нагрузка включена во второе уравнение в соответствии с направлением вторичного тока.matrix=np.array([[z11,mutual],[mutual,z22+load]])rhs=np.array([100+0j,0+0j])# Решаем два уравнения для комплексных амплитуд токов обеих обмоток.current=np.linalg.solve(matrix,rhs)i1,i2=current[0],current[1]# Порядок вывода: первичный ток, А; вторичный ток, А; напряжение нагрузки, В.print(i1,i2,-load*i2)# Повторно вычисляем обе невязки, В; они должны быть близки к нулю.# Так проверяется составление системы, а не только выполнение библиотечной команды.print("Невязка 1:",z11*i1+mutual*i2-100)print("Невязка 2:",mutual*i1+(z22+load)*i2)
Пошаговая настройка расчётного примера
Откройте отдельную страницу с последовательными действиями, точными параметрами, накопительными файлами этапов и программами с русскими комментариями.
Рисунок 21.1. Визуализация численных данных FEMM 5: Однофазный трансформатор: нагрузка. Это экспорт результатов поля, а не снимок окна программы.
Двумерная модель активной части. Модель стали с постоянной магнитной проницаемостью не описывает насыщение. Идеализированные обмотки с нулевой проводимостью не учитывают все потери. Сходимость силы и момента требует отдельной проверки. Комплексные токи и потокосцепления заданы амплитудными значениями; они отличаются от действующих значений источника.
Ориентиры в интерфейсеРисунок 21.2. Однофазный трансформатор: две обмотки, их стороны, сердечник и воздушная область. Для занятий о группе 3×1ф это кадр одной независимой составляющей, а не всей трёхфазной группы. Открыть в полном размереРисунок 21.3. Трансформатор: расчёт при возбуждении первичной обмотки для определения первого столбца матрицы полевых импедансов. Открыть в полном размереРисунок 21.4. Трансформатор: расчёт при возбуждении вторичной обмотки для определения второго столбца матрицы полевых импедансов. Открыть в полном размереРисунок 21.5. Однофазный трансформатор: нагрузка, согласованные токи отдельного режима. Для занятий о группе 3×1ф это кадр одной независимой составляющей, а не всей трёхфазной группы. Открыть в полном размереРисунок 21.6. Нагрузка: цепь Secondary; полевое напряжение и потокосцепление. Для занятий о группе 3×1ф это кадр одной независимой составляющей, а не всей трёхфазной группы. Открыть в полном размереРисунок 21.7. Встроенная Python-консоль: ток, полевое напряжение и потокосцепление рассчитанных обмоток. Открыть в полном размереРисунок 21.8. Встроенная консоль FEMM: Линейная система двух связанных обмоток во встроенном Python. Аналитическая проверка программы занятия. Показана консоль исходной редакции программы, зафиксированной при съёмке. Текущая программа с русскими пояснениями проверена отдельно во встроенном Python FEMM; этот снимок не является новым запуском текущей редакции. Открыть в полном размере
Расчётные исследования по теме
Изучите физическую постановку, выполните программу во встроенном Python FEMM 5 и проверьте результаты по сохранённым моделям и независимым критериям.
Трансформатор тока должен отдавать измерительный ток в нагрузку вторичной цепи. Нельзя одновременно независимо задавать оба тока и считать, что нагрузка уже учтена.
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Трансформатор тока: геометрия сердечника и двух обмоток. Выбрано статическое калибровочное возбуждение для определения матрицы индуктивностей; подписи скрыты. Открыть в полном размереТрансформатор тока: первый статический калибровочный столбец матрицы индуктивностей, I₁ = 1 А, I₂ = 0. Показаны |B|, Т, и линии поля. Режим с подключённой нагрузкой вычисляется отдельно по полученной матрице. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Определите токи при нагрузках 5, 10 и 20 \,\text{Ом} и проверьте активную мощность нагрузки по действующему току.
Критерий выполнения: Столбцы Z получены независимо; направления токов и напряжений на выводах описаны; оба уравнения проверены на фактическом полевом результате.
