Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Выбор модели материала и проверка рабочей точки
Инженерный вопрос. Когда линейная модель перестаёт воспроизводить рост поля?
Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Укажите происхождение и диапазон характеристики материала. Различайте линейную проницаемость, кривую намагничивания и температурно зависимые данные.
Параметры учебного магнита. Проследите, как изменение материального закона меняет отклик при прежнем возбуждении.
Линейная и нелинейная модели ферромагнетика. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сравните поле и рабочие точки материала при одинаковых токах двух моделей.
Ответить на вопрос по своим результатам. Сопоставьте рабочие точки с принятой характеристикой материала; отделите изменение материала от изменения возбуждения.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Таблица токов и полей с указанием участка насыщения.
Данные именно этого опыта. Сравните поле и рабочие точки материала при одинаковых токах двух моделей.
Оформление наблюдений. Версия материала, рабочая точка и режим; сравнение материала выполняется при одинаковой геометрии и источниках.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Проверьте введённые единицы H; повторите расчёт с уточнением сетки. Не объявляйте синтетическую таблицу свойством коммерческой стали.
Независимый контроль. Сопоставьте рабочие точки с принятой характеристикой и контрольным линейным пределом, где он допустим.
Критерий выполнения.H_{\text{коэрц}}\approx 723{,}4 \,\text{кА}/\text{м}; названы температурная кривая, колено и компонент H вдоль намагничивания.
Точность и расхождения. Разделите численную устойчивость поля и неопределённость свойств материала. Экстраполяция за диапазон данных требует отдельного обоснования, даже при хорошей сходимости решателя.
Основание сравнения. Пользуйтесь характеристиками и диапазоном данных, указанными в занятии. Одна кривая или линейная ветвь не подтверждает температурную зависимость, гистерезис или необратимое размагничивание.
Вывод для устройства
Решите, достаточен ли выбранный материальный закон для оценки насыщения или локального запаса магнита в заданном режиме.
Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.
Дополнительный расчётный метод
Магнитные поля в электрических машинах — введение (файл Гончарова)
Теория связывает поле с потоком, коэффициентами формы и реакции якоря, рабочей точкой генератора и частотной постановкой асинхронной машины. Каждый переход заканчивается вычисляемым параметром.
Характеристики ферромагнитного материала и постоянного магнита определяют связь между напряжённостью и индукцией поля. Рассматриваются способы задания этих характеристик и физические ограничения принятых моделей материала.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
В линейной изотропной среде материальное соотношение имеет вид B=\mu_0\mu_rH. Относительная магнитная проницаемость безразмерна и в рассматриваемой модели положительна. Пропорциональность поля возбуждению делает такую среду удобной для проверки законов масштабирования, взаимности и энергетических соотношений. Даже при большой \mu_r магнитный поток ограничивается сопротивлением воздушных зазоров и рассеянием. Различающиеся \mu_x и \mu_y описывают анизотропный отклик; соответствующие направления должны совпадать с осями материала. В первом опыте принимают \mu_x=\mu_y, чтобы исследовать влияние геометрии отдельно от анизотропии вещества.
Что означает таблица B(H)
Точки однозначной кривой связывают напряжённость H в \text{А}/\text{м} и индукцию B в Тл. Они должны идти в физически согласованном порядке и описывать именно выбранное состояние материала. В области насыщения прирост B требует всё большего прироста H. Нельзя задавать табличные значения в \text{кА}/\text{м} как значения в \text{А}/\text{м}. Кривая одного направления намагничивания не равна полной петле гистерезиса и не описывает историю. Учебная таблица далее синтетическая; она нужна для демонстрации и не является данными изготовителя для этой марки стали.
Обе абсолютные проницаемости имеют единицу \text{Гн}/\text{м}; первая — наклон луча из начала, вторая — касательной в рабочей точке.
Как нелинейность входит в решение
Решатель сначала оценивает поле, по нему уточняет локальную проницаемость и повторяет решение до согласованности. Поэтому насыщение локально: угол стержня может быть насыщен раньше его середины. Усреднённая индукция не доказывает отсутствие насыщения в кромках. Изменение B(H) требует повторного решения, а не только изменения цветовой шкалы. При сравнении линейной и нелинейной моделей ферромагнетика сохраняют одну геометрию, ток, границу и достаточно близкие сетки; иначе разные причины изменения результата оказываются смешаны.
Линейная аппроксимация линии возврата магнита
В простом магните вдоль намагничивания принимается зависимость на линии возврата B=\mu_0 \mu_{\text{воз}} H+B_r. Остаточная индукция B_r задаёт свободный член; магнитная проницаемость возврата \mu_{\text{воз}} задаёт наклон. В FEMM поле коэрцитивного источника и направление намагничивания согласуют с этой прямой. Направление является векторной физической информацией: поворот на 180^\circ меняет полярность. H_c здесь относится к нулю B на выбранной прямой возврата, а не автоматически к коэрцитивной силе по намагниченности из заявленной изготовителем кривой J(H).
B_{\text{ост}} — остаточная индукция в Тл; H_{\text{коэрц}} — модуль коэрцитивного поля выбранной линейной модели в \text{А}/\text{м}.
Рабочая точка и размагничивание
Рабочая точка магнита определяется совместно его характеристикой и внешней магнитной цепью. Большой воздушный зазор уменьшает B в магните и сдвигает H в размагничивающую область. Линейная аппроксимация линии возврата описывает только обратимый участок и сама не доказывает отсутствие необратимого размагничивания. Для такого вывода нужны температурные характеристики и положение колена реальной кривой. В отчёте следует приводить компоненту H вдоль направления намагничивания, а не только модуль H, который скрывает знак. Здесь подразумевается физическая напряжённость: в используемой версии FEMM нужно проверить соглашение о выводимом поле, поскольку поле эквивалентного токового источника магнита имеет иной отсчёт. Для линейной модели линии возврата контроль даёт H_\parallel=(B_\parallel-B_r)/(\mu_0\mu_{\text{воз}}).
Энергия зависит от материального закона
Для обратимого материала без постоянных источников плотность энергии получают интегрированием H по B. Равенство w=B\cdot H/2 справедливо для линейной связи, проходящей через начало координат. Для нелинейного железа нужна площадь под соответствующей кривой; для постоянного магнита следует учитывать выбранную энергетическую модель и источник. Нельзя применять к магниту формулу линейного воздушного индуктора без проверки. Именно поэтому проверку W=LI^2/2 сначала проводят на линейной катушке, а силу магнитной системы изучают при корректной коэнергии и неизменных токах.
Для однозначного обратимого материала без постоянного смещения; w_{\text{м}} в \text{Дж}/\text{м}^3. Буква b — переменная интегрирования, а не отдельное поле.
Как выбирать данные для учебного и реального материала
У учебной кривой заранее известна цель: показать уменьшение дифференциального отклика и локальное насыщение. У реальной модели данные должны происходить из документации изготовителя материала либо измерения, с указанием температуры, направления и метода испытания. Для электротехнической стали существенны коэффициент заполнения пакета и направление листов; массивный материал с тем же названием не заменяет пакет автоматически. Для магнита важны температурные значения остаточной индукции и коэрцитивной силы по намагниченности. Если данных не хватает, нужно оставить явное допущение и исследовать чувствительность, а не приписать библиотечному материалу точность конкретного изделия. Источник B(H) является частью воспроизводимой модели так же, как размеры и намотка.
Секущая и дифференциальная проницаемости; энергия поля в материале
Для вывода энергии предполагается однозначная обратимая характеристика без гистерезиса. Она не моделирует потери за замкнутый цикл.
Секущая соединяет начало координат с рабочей точкой. Касательная описывает малое приращение около этой точки; при насыщении их наклоны различаются.
Малая работа на единицу объёма равна произведению напряжённости на приращение индукции. Интегрирование даёт энергию; интегрирование по частям — коэнергию.
У постоянного магнита линия возврата имеет ненулевое смещение. Коэрцитивный параметр этой прямой нельзя отождествлять с заявленной изготовителем коэрцитивной силой по намагниченности или точкой необратимого размагничивания.
Границы применимости. Формула половины произведения индукции и напряжённости относится к линейной характеристике через начало координат. При магнитах или гистерезисе отсчёт энергии и материальная модель требуют отдельного определения.
Пояснения к официальному руководству
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Как превратить размагничивающую кривую в данные FEMM
В модели приложения A.1 магнит рассматривается как ферромагнитный объём с эквивалентным возбуждением, которое можно представить тонким поверхностным токовым слоем. Это полезная эквивалентная картина, а не требование дополнительно рисовать реальную обмотку вокруг магнита. Если источник уже задан коэрцитивной силой и направлением намагничивания, отдельный эквивалентный ток создал бы двойное возбуждение.
Рисунок М.A.2. Магнит в представлении эквивалентного поверхностного токового слоя
Схема объясняет источник постоянного магнита через эквивалентный токовый слой. Это альтернативное физическое представление возбуждения: при уже заданном H_c не нужно добавлять вокруг магнита ещё одну обмотку с тем же эквивалентным током.
Обозначения на рисунке
N
Северный полюс
S
Южный полюс
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Сначала выбирают заявленную изготовителем кривую размагничивания B(H) при нужной температуре. Параметр H_c в Material Properties соответствует модулю поля, при котором B обращается в нуль на выбранной кривой. Для нелинейной модели эту кривую сдвигают вправо на H_c: координата H новой таблицы равна H исходной кривой плюс H_c, а B сохраняется. Тогда точка B = 0 попадает в начало координат. В таблицу вносится характеристика материала без постоянного смещения, а само смещение задаётся отдельным H_c.
Отрицательную исходную ветвь сдвигают вправо на положительный модуль H_c, чтобы точка B = 0 совпала с началом координат. Постоянное возбуждение задаётся отдельным полем H_c.
Обозначения и единицы
H_c — модуль коэрцитивного поля по B, А/м; H_{\mathrm{source}},H_{\mathrm{table}} — исходная и сдвинутая координаты, А/м; B — индукция, Тл.
Условия применения. Используется согласованная заявленная изготовителем характеристика при нужной температуре; сдвиг не заменяет модель истории размагничивания.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
Пересечение с осью B даёт остаточную индукцию, а с осью H — коэрцитивное поле по индукции. Для ввода нелинейного магнита требуется согласованно выделить H_c и сдвинуть характеристику; исходную отрицательную ветвь нельзя без преобразования копировать в обычную таблицу материала.
Обозначения на рисунке
Field Intensity, A/m
Напряжённость магнитного поля H, А/м
Flux density, Tesla
Магнитная индукция B, Тл
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
К каждой исходной координате H прибавляют положительный модуль H_c, сохраняя B. Полученная таблица описывает материал без постоянного смещения, а само возбуждение задаётся отдельным параметром H_c. Сдвиг по H не означает произвольного изменения измеренных значений B.
Обозначения на рисунке
Field Intensity, A/m
Напряжённость H, А/м
Flux density, Tesla
Индукция B, Тл
Demagnetization curve shifted to the right to meet the origin
Размагничивающая кривая сдвинута вправо так, чтобы проходить через начало координат
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Для достаточно прямолинейной характеристики вместо полной таблицы используют её наклон. Относительная возвратная проницаемость равна наклону dB /dH, делённому на \mu _{0}; она не равна безразмерному отношению B/H без указания точки. Линейная модель согласует B_r, \mu_{\text{воз}} и H_c. Если взять B_r из одной температурной кривой, H_c — из другой, а \mu_{\text{воз}} оставить произвольной, модель перестанет соответствовать любой из исходных кривых.
Не смешивайте коэрцитивную силу по индукции H_{cB} с собственной коэрцитивной силой H_{cJ}, определяемой нулём магнитной поляризации J = B - \mu _{0}H. В FEMM источник линейной линии возврата согласуется с нулём B. Проверка необратимого размагничивания дополнительно требует колена соответствующей заявленной изготовителем характеристики, температуры и компоненты H против направления намагничивания. Один интегральный магнитный поток не показывает наихудшую локальную рабочую точку.
Для Alnico уход ниже колена может перевести магнит на другую линию возврата: после удаления размагничивающего воздействия прежняя индукция не восстановится. Одна однозначная B(H)-таблица FEMM не хранит эту историю. Редкоземельные магниты при обычной температуре часто допускают линейное описание рабочего участка, но это не отменяет температурной зависимости колена и возможности необратимого размагничивания при неблагоприятном режиме. Статический расчёт оценивает рабочие точки принятой характеристики, а не автоматически моделирует историю повреждения магнита.
Линейная модель вдоль направления намагничивания; \mu_{\text{воз}} безразмерна. Связь применима к одной согласованной линии возврата, а не произвольной петле гистерезиса.
Проверьте на своей модели
Возьмите точку исходной кривой H = -H_c, B = 0 и убедитесь, что после сдвига она стала (0, 0).
В простой линейной проверке H = 0 должно давать B = B_r, а H = -H_c должно давать B = 0.
Для оценки размагничивания сохраните температуру, источник заявленной изготовителем кривой и локальный минимум H вдоль намагничивания.
Энергетическое произведение магнита: полезная оценка и её пределы
В приложении приведена оценка H_c через максимальное энергетическое произведение (BH)max, когда размагничивающая характеристика линейна и относительная проницаемость принята равной единице. Обозначение E в этой формуле руководства означает численное значение энергетического произведения в MGOe; это не напряжённость электрического поля и не полная энергия магнита.
Оценка коэрцитивной силы по энергетическому произведению
Для линейной размагничивающей прямой с относительной возвратной проницаемостью 1 максимум -BH достигается в середине отрезка между B_r и -H_c. После перевода энергетического произведения из MGOe получается эта оценка. Например, 40 MGOe дают H_c\approx 1{,}0066 МА/м и B_r\approx 1{,}2649 Тл; это проверка порядка величины, а не универсальная характеристика всех магнитов такого класса.
Обозначения и единицы
E_{\mathrm{MGOe}} — численное значение (BH)_{\max} в MGOe, не полная энергия и не электрическое поле.
1\,\mathrm{MGOe}\approx7957{,}747 Дж/м³.
H_c — модуль напряжённости при B=0, А/м; не внутренняя коэрцитивная сила H_{ci}.
Условия применения. Линейная размагничивающая характеристика, \mu_{\text{воз}}=1, отсутствие ограничения максимума коленом кривой. При иной возвратной проницаемости или заметном температурном изменении нужны согласованные заявленные изготовителем B–H-данные.
Индекс MGOe и единица результата добавлены, чтобы коэффициент применялся к численному значению в исходных единицах. Исходная E переобозначена для исключения путаницы с энергией в джоулях.
Для прямой B = B_r + \mu _{0}\mu_{\text{воз}}H максимум положительного произведения -BH во втором квадранте достигается при B = B_r/2 и H = -H_c/2. Этим объясняется связь между энергетическим произведением и H_c. Однако заявленный изготовителем максимум может быть ограничен коленом кривой, а возвратная проницаемость может отличаться от единицы. Тогда упрощённая формула перестаёт быть полноценной заменой заявленных изготовителем B(H)-данных.
Число 40 MGOe при \mu_{\text{воз}} = 1 даёт приблизительно H_c = 1{,}0066 МА/м и B_r = 1{,}2649 Тл. Это аналитический пример пересчёта, а не подтверждённый материал конкретного производителя. Для проектного расчёта предпочтительнее согласованные B_r, \mu_{\text{воз}} и температурная характеристика; упрощённая оценка полезна для проверки порядка величины и обнаружения ошибки единиц.
Пакет листов как анизотропная среда: продольное и поперечное поле
Пакет электротехнической стали состоит из железа и межлистовой изоляции. В модели приложения A.2 отдельные листы не обязательно строить геометрически: их заменяют сплошной средой с эффективными свойствами. Коэффициент заполнения c означает долю железа по толщине пакета, а не коэффициент заполнения паза медью. Исходная проницаемость железа в выводе считается изотропной; основная трудность поперечного потока объясняется пересечением слабопроницаемой изоляции.
Для потока вдоль листов железо и изоляция работают как параллельные магнитные пути: напряжённость H вдоль пути общая, а потоки складываются по площадям. Поэтому эффективная проницаемость равна среднему с весами c и 1 - c. Для потока поперёк листов участки железа и изоляции соединены последовательно: нормальная B общая, а магнитные падения напряжения складываются. Здесь усредняется обратная проницаемость. Простое умножение \mu на c в обоих направлениях неверно.
При потоке вдоль листов железо занимает долю c полной площади поперечного сечения. Длина пути остаётся L, поэтому сопротивление железной ветви обратно пропорционально cS. Железная и изоляционная ветви находятся под одной магнитодвижущей силой и затем объединяются параллельно.
Обозначения и единицы
L — длина магнитного пути, м; S=W d_z — полная площадь поперечного сечения, м².
c — доля железа, \mu_r — его относительная проницаемость; \mathcal R — А/Вб=1/Гн.
Условия применения. Однородная изотропная проницаемость железа в локальной рабочей точке, плоские слои, 0<c<1. Нормаль к S направлена вдоль рассматриваемого магнитного пути.
В оригинале знаменатель содержит ширину W плоской схемы без явной глубины. Здесь использована площадь S=W\cdot d_z: d_z — физическая глубина пакета. Так магнитное сопротивление имеет единицу 1/Гн; исходная нормировка соответствует принятой единичной глубине.
Оставшаяся доля сечения 1-c проводит поток параллельно железу, но имеет проницаемость примерно \mu _{0}. Обычно эта ветвь пропускает малую часть потока, однако именно она сохраняет правильный предел при уменьшении доли железа. Исключать её допустимо только после оценки отношения вкладов.
Условия применения. Изоляция принята магнитно эквивалентной воздуху, \mu _{r}\approx 1. При c\to 1 эта ветвь исчезает: её сопротивление стремится к бесконечности, а не к нулю.
Параллельное соединение даёт 1/\mathcal R_{\parallel}=1/\mathcal R_{\parallel,\mathrm{Fe}}+1/\mathcal R_{\parallel,\mathrm{air}}. Потоки складываются при общей МДС, поэтому складываются магнитные проводимости, а не сопротивления. Полученный знаменатель непосредственно задаёт эффективную продольную проницаемость пакета.
Обозначения и единицы
\mathcal R_{\parallel} — 1/Гн; L — м; S — м².
c и \mu_r — безразмерные параметры заполнения и железа.
Условия применения. Модель параллельных плоских слоёв без краевых полей. Площадь S относится ко всему пакету, включая изоляцию.
Общая напряжённость вдоль слоёв и сумма потоков по площадям приводят к среднему арифметическому проницаемостей с весами c и 1-c. При полностью железном сечении получается \mu _{0}\mu _{r}, при отсутствии железа — \mu _{0}. Эта проверка пределов помогает обнаружить ошибку заполнения.
c — доля железа; \mu_r — относительная проницаемость железа.
Условия применения. Плоские слои, изотропное железо и немагнитная изоляция. При нелинейном железе коэффициент соответствует выбранной рабочей точке, а не постоянной для всех возбуждений.
Поперёк пакета один и тот же поток последовательно проходит железо и изоляцию. Железо теперь занимает долю длины cL, а не долю площади. Это геометрическое различие меняет место коэффициента c и объясняет, почему поперечную проницаемость нельзя получить простым умножением \mu на заполнение.
Обозначения и единицы
cL — суммарная длина железных участков пути, м.
S — общая площадь, нормальная поперечному потоку, м²; \mathcal R_{\perp,\mathrm{Fe}} — 1/Гн.
Условия применения. Последовательная модель плоских слоёв, общая нормальная индукция и изотропная проницаемость железа. Краевое выпучивание потока в этой локальной модели отсутствует.
Даже короткий суммарный путь по изоляции может определять основную часть поперечного магнитного сопротивления, потому что её проницаемость намного меньше проницаемости стали. Поэтому тонкие промежутки существенно ограничивают поток поперёк листов.
Обозначения и единицы
(1-c)L — суммарная длина немагнитных промежутков, м.
\mu_0 — Гн/м; S — м²; \mathcal R_{\perp,\mathrm{air}} — 1/Гн.
Условия применения. Промежутки считаются немагнитными; контактные неровности и локальные замыкания не моделируются отдельно. Это магнитное сопротивление, не тепловое контактное сопротивление.
Сопротивления последовательных участков складываются: \mathcal R_{\perp}=\mathcal R_{\perp,\mathrm{Fe}}+\mathcal R_{\perp,\mathrm{air}}. При общей площади и потоке суммируются падения МДС. Переписывание результата как L/(\mu_{\perp}S) определяет эффективную поперечную проницаемость.
Обозначения и единицы
\mathcal R_{\perp} — 1/Гн; L — длина всего составного пути, м; S — м².
c и 1-c — доли длины железа и изоляции.
Условия применения. Одна последовательная цепь потока через слои; не включает боковой обход промежутков. Для однородного железа при c=1 получается L/(\mu _{0}\mu _{r}S).
Поперёк слоёв усредняется обратная проницаемость, то есть используется взвешенное гармоническое среднее. При c=0{,}9 и \mu _{r}=1000 относительная поперечная проницаемость составляет около 9,9108, тогда как продольная — 900,1. Большая анизотропия возникает из геометрии слоёв даже при изотропном железе.
Обозначения и единицы
\mu_{\perp} — абсолютная проницаемость, Гн/м; для относительной делят на \mu_0.
c — доля железа; \mu_r — его относительная проницаемость.
Условия применения. Та же последовательная модель, что в сопротивлениях выше. При c\to 0 получается \mu _{0}, при c\to 1 — \mu _{0}\mu _{r}; ориентацию этого коэффициента согласуют с реальной нормалью к листам.
Рисунок М.A.5. Эквивалентная схема для потока в «лёгком» направлении
Вдоль листов металл и изоляция имеют одинаковое магнитное падение, а их потоки складываются. Поэтому эффективная проницаемость получается из параллельного соединения путей с долями c и 1 - c. В схеме руководства подразумевается единичная глубина; в формулах курса используется полная площадь сечения.
Обозначения на рисунке
Flux traveling in the "easy" lamination direction
Поток в «лёгком» направлении вдоль листов
Lamination
Пакет листов
Equivalent Magnetic Circuit
Эквивалентная магнитная цепь
L
Длина пути потока
W
Ширина пакета на рисунке
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Рисунок М.A.6. Эквивалентная схема для потока в «трудном» направлении
Поперечный поток последовательно пересекает металл и изоляцию. Нормальная B общая, а магнитные падения складываются; поэтому усредняется обратная проницаемость. Даже тонкая изоляция может определять основную часть поперечного магнитного сопротивления.
Обозначения на рисунке
Flux traveling in the "hard" lamination direction
Поток в «трудном» направлении поперёк листов
Lamination
Пакет листов
Equivalent Magnetic Circuit
Эквивалентная магнитная цепь
L
Длина пути потока
W
Ширина пакета на рисунке
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Для нелинейной процедуры FEMM использует упрощение продольной проницаемости \mu _{\parallel} \approx c\mu _{r}\mu _{0} при (1 - c) \ll c\mu _{r}. В учебном примере c = 0{,}9 и \mu _{r} = 1000 точная продольная относительная проницаемость равна 900,1, приближённая — 900, а поперечная — около 9,9108. Небольшой объём изоляции способен уменьшить поперечную проницаемость на два порядка относительно продольной. Само приближение не следует бездумно продолжать к почти пустому пакету или к состоянию, где \mu _{r} близка к единице.
Вклад изоляции в продольную магнитную проводимость отброшен. При c=0{,}9 и \mu _{r}=1000 точная относительная проницаемость 900,1 заменяется на 900: ошибка около 0,0111 %. При \mu _{r}, близкой к единице, либо очень малом заполнении такая замена уже не гарантирует малой ошибки.
Условия применения. Применять только при выполнении критерия. При c\to 0 приближение даёт нуль вместо \mu _{0} и теряет правильный предел; насыщение уменьшает \mu _{r} и может ухудшить точность.
Численный пример объясняет оценку «около 0,01%» в руководстве. Малость ошибки здесь обусловлена высокой проницаемостью и большим заполнением; это не универсальная точность модели пакета.
Обозначения и единицы
c — доля железа; \mu_r — относительная проницаемость металла; \mu_{\parallel,r} — эффективная относительная проницаемость вдоль листов. Эти величины безразмерны.
Условия применения. Линейная оценка в заданной рабочей точке; изоляция принята с \mu_r=1.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
Если листы лежат в плоскости модели, весь двумерный поток идёт по лёгкому направлению и используется соответствующая эффективная характеристика. Если листы ориентированы параллельно x или y, двум направлениям назначаются разные проницаемости. Направление пакета необходимо согласовать с физической конструкцией и типом задачи. Проверка только названия материала без ориентации, толщины листа и коэффициента заполнения недостаточна.
Это магнитная эквивалентная модель. Тепловая анизотропия того же пакета имеет похожую геометрическую логику последовательных и параллельных слоёв, но требует собственных теплопроводностей и контактных сопротивлений. Магнитные \mu _{\parallel} и \mu _{\perp} нельзя переносить в тепловой модуль как численные коэффициенты k.
\(B\)–\(H\): порядок точек, интерполяция и выход за диапазон
Nonlinear B-H curve переключает набор активных полей. В линейной модели задают \mu _{x}, \mu _{y} и углы гистерезисного запаздывания \varphi _{\mathrm{hx}}, \varphi _{\mathrm{hy}}. В нелинейной модели эти поля отключены, а Edit B-H Curve открывает табличные данные. Нельзя считать неактивные числа параллельно действующим материальным законом.
На рисунке выбран сплошной линейный материал: Nonlinear B-H curve выключен, поэтому поле редактирования таблицы неактивно. При выборе нелинейной кривой меняется набор действующих параметров. Обязательно различайте H_c в А/м, J в МА/м² и проводимость в МСм/м.
Обозначения на рисунке
Relative \mu
Относительная магнитная проницаемость
Material Type
Тип материала
Not laminated
Сплошной материал, без шихтовки
Lam. thickness (mm)
Толщина металлического листа, мм
Fill factor
Коэффициент заполнения
Nonlinear B-H curve
Нелинейная кривая B–H
Edit B-H Curve
Редактировать кривую B–H
Strands
Число жил
Dia (mm)
Диаметр или размер провода, мм
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Вводите пары B,H в порядке строго возрастающего B: повторная или уменьшающаяся B отбрасывается. Нужно не менее трёх точек, для разумного описания обычно больше, особенно около колена насыщения. Import from file читает по два числа на строке, сначала B, затем H, разделённые пробелом, табуляцией или запятой; строки с начальным # или % служат комментариями.
Каждая строка должна образовывать согласованную пару B,H; данные вводятся по возрастающему B. Не меняйте порядок столбцов при импорте. Более плотные точки около колена помогают интерполяции передать насыщение без искусственного сглаживания исходной характеристики.
Обозначения на рисунке
B (Tesla)
Магнитная индукция B, Тл
H (A/m)
Напряжённость магнитного поля H, А/м
Import from file...
Импорт из файла
Plot B-H Curve
Построить график B–H
Log Plot B-H Curve
Построить график B–H в логарифмическом масштабе
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Plot B-H Curve показывает точки и кубическую интерполяцию. Если редкая таблица вызывает немонотонную зависимость, программа сглаживает данные трёхточечным средним; итоговая кривая может заметно отклониться от данных изготовителя. Поэтому исправляйте недостаток исходных данных, а не принимайте отсутствие сообщения об ошибке за проверку материала. Логарифмический график исключает точку H=0 по математической причине.
Маркеры показывают введённые данные, линия — их интерполяцию. Смотрите не только на рост B, но и на изменение наклона: в насыщении большой прирост H даёт малый прирост B. График позволяет заметить слишком редкие точки и не является самостоятельным подтверждением данных изготовителя.
Обозначения на рисунке
H, Amp/Meter
Напряжённость H, А/м
B, Tesla
Индукция B, Тл
Export...
Экспорт графика или данных
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
За последней точкой FEMM линейно продолжает кривую. При глубоком насыщении это может завышать проницаемость: после решения сравните достигнутый диапазон B с таблицей. Для нелинейной гармоники поле \varphi _{h} задаёт максимальное гистерезисное запаздывание; это параметр модели, который обосновывают измерениями, а не произвольно подбирают для получения желаемого распределения поля.
В нелинейной гармонической модели заданный максимальный угол масштабируется текущей эффективной проницаемостью. В точке максимальной проницаемости он достигает \varphi _{\mathrm{hmax}}; при глубоком насыщении уменьшается вместе с отношением в формуле. Это принятая модель фазового запаздывания, а не восстановление измеренной петли гистерезиса во времени.
Обозначения и единицы
\mu_{\mathrm{eff}}(B) и \mu_{\mathrm{eff,max}} — значения одной амплитудной характеристики до задания фазового запаздывания; их отношение безразмерно.
\varphi_h и \varphi_{h\max} должны выражаться в одинаковых угловых единицах.
Условия применения. Нелинейная одночастотная магнитная постановка с выбранной моделью гистерезисных потерь. Для фазовых экспонент угол переводят из градусов интерфейса в радианы.
Проверьте на своей модели
Импортируйте таблицу с одной намеренно повторённой B в копии материала и объясните исчезновение точки.
Сопоставьте линейный и логарифмический графики; запишите максимальное допустимое B исходных данных.
Шихтованный пакет и обмотка как составной материал
Material Type меняет физическую модель материала. Not laminated означает сплошное тело. Laminated in-plane, x-direction и y-direction задают ориентацию листов относительно сечения; направление выбирают по рисунку 2.12 и реальному пакету, а не по удобству сетки. Lam. thickness вводится в миллиметрах для самого металла без изоляции, Fill factor — доля металла в пакете.
В числителе учитывается только железо, в знаменателе — железо вместе с изоляцией. В примере обе толщины выражены в mil; одинаковая единица сокращается.
Обозначения и единицы
t_{\mathrm{Fe}} — толщина металла; t_{\mathrm{ins}} — толщина изоляции в тех же единицах; c — безразмерная доля железа. Числа 12,8 и 1,2 в примере источника заданы в mil (тысячных долях дюйма).
Условия применения. Обе толщины должны быть выражены в одинаковых единицах. В поле Lam. thickness вводится только металлическая часть, в мм.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
Рисунок М.2.12. Варианты ориентации листов шихтованного материала
Ориентация определяет, проходит ли поток вдоль металла или поперёк чередующихся металла и изоляции. Средний рисунок соответствует листам, параллельным Y, правый — параллельным X. Название x-direction относится к направлению листов, а не автоматически к направлению наименьшей проницаемости.
Обозначения на рисунке
Laminated in plane
Листы в плоскости модели
Laminated parallel to Y
Листы параллельны оси Y
Laminated parallel to X
Листы параллельны оси X
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Magnet wire, Plain stranded wire, Litz wire, Square wire, 10% CCA и 15% CCA описывают усреднённую обмотку. У одножильного и квадратного провода Strands фиксируется равным 1; Dia задаёт диаметр либо ширину. Для многожильного провода вводят число одинаковых жил и диаметр одной жилы. Разные калибры внутри одного такого материала не поддерживаются. CCA означает омеднённый алюминий с указанной долей меди; проводимость задают для провода в целом.
Переключение на тип провода сбрасывает \mu, H_c, J и B–H, поскольку эффективные свойства выводятся из конструкции и заполнения. Для шихтованных и проводных типов H_c отключается и принудительно равна нулю: постоянный магнит таким типом не задают. В DC учитывается заполнение, в AC — также усреднённые эффекты вытеснения и близости через комплексные свойства. Поэтому сначала выберите тип, затем заново проверьте все активные поля.
В магнитном диалоге источник J вводится в МА/м², проводимость — в МСм/м, H_c — в А/м. Например, 58 МСм/м равно 58·10⁶ См/м; токовый модуль использует См/м. При ненулевой частоте суммарная плотность тока может отличаться от заданного источника из-за вихревых токов. Заданный полный ток области надёжнее выражать через Circuit Properties.
Проверьте на своей модели
Рассчитайте Fill factor из толщин металла и изоляции; проверьте, что поле толщины содержит только металл.
Сопоставьте единицы \sigma в магнитном и токовом окнах перед переносом чисел.
Создайте магнитостатическую Planar-модель в миллиметрах с глубиной 20 \,\text{мм}. Постройте замкнутый П-образный неподвижный сердечник по вершинам (-30;-40), (30;-40), (30;20), (10;20), (10;-20), (-10;-20), (-10;20), (-30;20).
Постройте отдельный якорь прямоугольником x=-30\ldots 30 \,\text{мм}, y=21\ldots 41 \,\text{мм}. Между каждым торцом стержня и якорем получается воздушный зазор 1 \,\text{мм}. Для уменьшения зазора весь якорь перемещается вниз; сами полюса остаются неподвижными.
Одна обмотка охватывает левый стержень: x=-40\ldots -30 и x=-10\ldots 0 \,\text{мм}, y=-10\ldots 10 \,\text{мм}. Назначьте последовательную цепь с током 5 \,\text{А}, витки соответственно +100 и -100. Это две стороны одной 100-витковой обмотки.
Назначьте линейному сердечнику и якорю \mu_r=2000, \sigma=0; воздуху и учебной обмотке \mu_r=1, \sigma=0. Замкните воздушную область квадратом x,y=-150\ldots 150 \,\text{мм} с A=0, разместите необходимые метки областей.
В зазорах установите ограничение размера элемента 0{,}2 \,\text{мм}, на поверхности якоря 0{,}5 \,\text{мм}, в железе 2 \,\text{мм}. Постройте сетку, убедитесь, что в каждом зазоре несколько рядов элементов, затем решите задачу.
В результате снимите B в серединах зазоров: (-20;20{,}5) и (20;20{,}5). Выделите только якорь в режиме областей и выполните интеграл силы по взвешенному тензору напряжений. Компонента F_y должна быть направлена вниз, к сердечнику.
Сохраните отдельный материал «Учебное нелинейное железо» и введите пары (H;B): (0;0), (100;0{,}25), (200;0{,}50), (400;0{,}90), (800;1{,}20), (2000;1{,}45), (5000;1{,}60), (10000;1{,}70), в \text{А}/\text{м} и Тл.
Назначьте его сердечнику и якорю; сравните решения при 5 и 20 \,\text{А} с линейной \mu_r=2000. В таблице отдельно отметьте индукцию в зазоре и максимум внутри железа.
Ожидаемый результат. При увеличении тока нелинейный вариант постепенно отходит от линейного масштабирования; максимум B локален и может находиться у кромки.
Как проверить. Проверьте введённые единицы H; повторите расчёт с уточнением сетки. Не объявляйте синтетическую таблицу свойством коммерческой стали.
Обработка и анализ результатов
Когда линейная модель перестаёт воспроизводить рост поля?
Сравните поле и рабочие точки материала при одинаковых токах двух моделей.
Сопоставьте рабочие точки с принятой характеристикой материала; отделите изменение материала от изменения возбуждения.
С чем сравнить. Пользуйтесь характеристиками и диапазоном данных, указанными в занятии. Одна кривая или линейная ветвь не подтверждает температурную зависимость, гистерезис или необратимое размагничивание.
Итог работы. Таблица токов и полей с указанием участка насыщения.
Пошаговая настройка расчётного примера
Откройте отдельную страницу с последовательными действиями, точными параметрами, накопительными файлами этапов и программами с русскими комментариями.
Рисунок 8.4. Визуализация численных данных FEMM 5: Электромагнит с отдельным якорем. Это экспорт результатов поля, а не снимок окна программы.
Двумерная модель активной части. Модель стали с постоянной магнитной проницаемостью не описывает насыщение. Идеализированные обмотки с нулевой проводимостью не учитывают все потери. Сходимость силы и момента требует отдельной проверки.
Цилиндр Хальбаха создаёт сильное поле в рабочем отверстии благодаря повороту направления намагничивания по окружности. Такая система позволяет связать устройство постоянного магнита, пространственную гармонику и практическую сегментированную сборку.
Две встречные кольцевые магнитные сборки дают бесконтактную осевую силу. Её рост при сближении полезен для подшипниковых узлов, но одна осевая характеристика не устанавливает полную пространственную устойчивость.
Температурный коэффициент остаточной индукции меняет поле постоянного магнита. Шар выбран как учебный объект с известным внутренним размагничивающим полем: так численную модель можно проверить аналитически.
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Сегментированный цилиндр Хальбаха: поле и дискретизация намагничивания. Геометрия учебной модели; подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размереСохранённое решение «Сегментированный цилиндр Хальбаха: поле и дискретизация намагничивания». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического магнитного поля; рабочая область модели. Открыть в полном размереКольцевой магнитный подшипник: осесимметричные сечения двух колец с противоположной осевой намагниченностью. Стрелки направлены по +z у нижнего кольца и по −z у верхнего; текстовые подписи скрыты. Открыть в полном размереСохранённое решение «Кольцевые магниты: репульсивная сила и осевая характеристика». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического магнитного поля; рабочая область модели. Открыть в полном размереТемпература постоянного магнита: обратимая рабочая точка и размагничивающее поле. Геометрия учебной модели; подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размереСохранённое решение «Температура постоянного магнита: обратимая рабочая точка и размагничивающее поле». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического магнитного поля; рабочая область модели. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Рассчитайте H_{\text{коэрц}} для B_{\text{ост}}=1{,}0 \,\text{Тл} и \mu_{\text{воз}}=1{,}1; опишите, каких данных не хватает для оценки необратимого размагничивания.
Критерий выполнения:H_{\text{коэрц}}\approx 723{,}4 \,\text{кА}/\text{м}; названы температурная кривая, колено и компонент H вдоль намагничивания.
