Одна катушка и потокосцепление без смешения с потоком

Каждый виток имеет свой сцепленный поток

Магнитный поток определяется поверхностным интегралом индукции. Для тонкой многовитковой обмотки потокосцепление — сумма таких потоков по поверхностям отдельных замкнутых витков; по теореме Стокса каждый вклад равен циркуляции векторного потенциала A по соответствующему витку. Направление обхода и нормаль согласуют правилом правой руки. Формула \Psi=N\Phi получается только при одинаковом сцепленном потоке всех N витков. В воздушной катушке наружные и внутренние витки могут охватывать разные потоки, поэтому одной центральной B недостаточно. Для обмотки конечного сечения дополнительно учитывают распределение проводников; FEMM вычисляет потокосцепление из потенциала и назначенных областям витков.

Вывод через магнитное сопротивление

Сначала задают контур C и определяют его МДС как \mathcal F_C=\oint_C\mathbf H\cdot\mathrm d\mathbf l. В магнитостатике закон Ампера даёт \mathcal F_C=\int_S\mathbf J\cdot\mathbf n\,\mathrm dS. Для контура, сцепленного с N последовательными витками одного направления, правая часть равна NI. Только при постоянной касательной H вдоль среднего пути длины l интеграл превращается в Hl. Если B равномерна и нормальна сечению S, поток равен BS. Подстановка линейного закона B=\mu H даёт NI=\Phi l/(\mu S); при одинаковом сцепленном потоке витков получается L=N^2/\mathcal R. Это приближение магнитной цепи предполагает малые рассеяние и выпучивание потока; полевой расчёт позволяет проверить эти допущения.

Распределённая обмотка и потенциал

Для плоской катушки разность средних значений A_z по двум сторонам, умноженная на число витков и глубину, даёт потокосцепление при принятом равномерном распределении проводников. Числа витков со знаком объединяют вклады многих областей. Равномерное добавление константы к A_z сокращается только для замкнутой согласованной обмотки; это полезная проверка знаков. Потенциальный способ объясняет, почему \Psi зависит от всей намотки, а не только от одного сечения сердечника.

Вывод энергетической проверки

При медленном обратимом нарастании тока электрическая работа без потерь равна интегралу i\cdot \mathrm d\Psi. Для линейной \Psi=Li при неизменной геометрии интегрирование даёт W_{\text{м}}=LI^2/2. Отсюда L=2W_{\text{м}}/I^{2}. Энергия должна быть собрана по всему полю, включая воздух, а не только по железу. Метод применим к линейной системе без независимого постоянного источника. Он не превращается в универсальную формулу для магнита или насыщаемого сердечника, где зависимость имеет иной вид.

Что значит расхождение методов

L из \Psi и из энергии должны согласовываться в линейном контрольном опыте. Существенное расхождение часто означает, что выделены не все области энергии, неверно учтена глубина или перепутаны витки. Незначительная разность может быть обусловлена дискретизацией и особенностями вычисления интегралов. Проверку повторяют на более мелкой сетке. Для катушки с постоянным магнитом \Psi содержит ненулевой вклад при I=0; отношение \Psi/I тогда вообще не является собственной индуктивностью.

Как перейти от эталона к реальной обмотке

Идеальная формула N^2/\mathcal R даёт масштаб и контроль размерностей. FEMM добавляет неоднородное поле и рассеяние выбранного двумерного приближения. Сопротивление меди и лобовое рассеяние находятся отдельно: они не входят в магнитостатическую энергию воздушного эталона. В отчёте нужно хранить одновременно исходный I, \Psi, W_{\text{м}} и вычисленные L двумя способами. Проверьте квадратичный закон по числу витков и обратную зависимость от магнитного сопротивления; аналитическая оценка служит ориентиром для полевого результата.

В линейной системе без смещения \Psi=LI, поэтому статическая L_{\text{ст}}=\Psi/I и динамическая L_{\text{дин}}=\mathrm d\Psi/\mathrm dI совпадают при фиксированной геометрии. Различать два значения необходимо для нелинейной характеристики, например при насыщении сердечника с B\text{–}H-кривой. Изменение L с положением само по себе не делает систему нелинейной по току.

Вывод энергетической связи непосредственно из напряжения

У идеальной обмотки без сопротивления напряжение равно скорости изменения потокосцепления. Мгновенная электрическая мощность равна произведению тока на эту скорость. Интегрирование мощности по времени даёт работу как интеграл тока по потокосцеплению. Если геометрия неподвижна и процесс обратим, эта работа запасается в магнитном поле. В линейном случае ток выражается как потокосцепление, делённое на индуктивность, и площадь интеграла становится треугольником. Так получаются формула энергии и её обратное использование для проверки L. При изменяющейся геометрии часть работы становится механической; при сопротивлении часть уходит в потери. Поэтому энергетический контроль чистой статической катушки требует специально сохранить эти исходные допущения.

Вывод индуктивности из закона Ампера

Магнитная цепь здесь линейная, поток по всем виткам одинаков, а рассеяние потока и его выпучивание у краёв зазора пренебрежимо малы.

1. Интегрируйте напряжённость вдоль среднего пути и используйте однородность поля и сечения.

   \mathcal F_C=\oint_C\mathbf H\cdot\mathrm d\mathbf l=NI\ \longrightarrow\ NI=Hl=\frac{Bl}{\mu}=\Phi\frac{l}{\mu S}=\mathcal R\Phi

   (8.59)

2. При одинаковом сцепленном потоке всех витков сумма интегралов превращается в N\Phi. Деление на ток даёт квадрат числа витков в линейной индуктивности.

3. Малая электрическая работа при неизменной геометрии равна току, умноженному на приращение потокосцепления. В линейной модели её интеграл совпадает с коэнергией.

   W=\int_0^\Psi i(\widetilde{\Psi})\,\mathrm d\widetilde{\Psi}=\frac{\Psi^2}{2L}=\frac{LI^2}{2}

   (8.60)

Границы применимости. Формула через магнитное сопротивление — приближение для выбранного пути потока. Полевое потокосцепление позволяет учесть рассеяние, которое такая одноветвевая схема опускает.

Связь с общими определениями

Определения и границы применимости собраны в занятии Статическая и динамическая индуктивности. Используйте интегральную запись как исходную; алгебраические формулы применяйте после проверки перечисленных там условий.

Рассеяние распределённой намотки и нормировка A

Поток рабочего зазора \Phi р, поток выбранного сечения стержня \Phi_{\text{ст}} и потокосцепление \Psi являются разными интегральными величинами. При распределённом рассеянии не каждый виток охватывает весь поток данного сечения. Поэтому \Psi /N нельзя без проверки назвать потоком рабочего зазора. Коэффициенты \Phi_{\text{ст}}/\Phi р и \Psi/(N\Phi р) требуют отдельных определений.

Например, три секции по 100 витков сцеплены с потоками 50, 55 и 60 мкВб. Их \Psi =100\cdot (50+55+60) мкВб=0,0165 Вб; средний сцепленный поток 55 мкВб не равен рабочим 50 мкВб. Это собственный секционный контроль определения, а не решение геометрии FEMM.

В линейной цепи с общим сцеплением \Lambda =\Phi /(NI ), поэтому \Psi =N\Phi =N^{2}\Lambda I. При нелинейной B(H) или неодинаковом сцеплении нельзя переносить одну постоянную \Lambda на все токи и секции. Секущая \Psi /I и локальная d\Psi /dI в насыщении различаются; само наличие рассеяния не обязательно означает нелинейность.

Для обычного A_z в Planar ориентированный поток поверхности, полученной экструзией отрезка на глубину \ell, равен \ell \Delta A_z. Дополнительный \mu _{0} здесь отсутствует: [A_z]=Вб/м. В формулах 3.33–3.34 книги на с. 134 встречается лишний \mu _{0} относительно её же B=\operatorname{rot} A на с. 174. В курсе используем согласованную с FEMM нормировку; знак \Delta A_z выбирается по нормали и направлению обхода.

1. Для каждой секции умножаем её собственный поток на число витков и суммируем; только после равенства всех \Phi k можно вынести общий \Phi за знак суммы.

2. Подставляя \Phi =\Lambda NI в \Psi =N\Phi, получаем N^{2}\Lambda I. Для нелинейной системы этот переход не делает \Lambda независимой от тока.