Занятие 5.1

Уравнения Лапласа и Пуассона: градиент, дивергенция и единственность

Цель и задачи

Цель. Различать решения без источника и с объёмным источником по профилю.

Задачи

Выведите параболу температуры из баланса постоянного объёмного источника и двух граничных температур.
Сопоставьте линейный и источниковый профили, температуру центра и полный источник.

Что нужно вспомнить перед началом

Перед началом: 4.2 · Точки, контуры и выделенные области: знак и размерность интеграла

Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.

Место занятия в инженерной методике

Теоретическое занятие с количественной проверкой · Определение теплового сопротивления и установившегося нагрева

Инженерный вопрос. Почему при равных граничных температурах внутри пластины появляется максимум?

Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.

Лабораторная работа:

Сила в пазу: нагрузка меди, стенок и выбор глубины проводника — Выбор глубины и численная точность
Аналогии полей: проводимость, дуальная сеть и диффузия — Сходство уравнений

Последовательность решения, отчёт и критерии результата

Тепловой эталон проверяет смысл уравнения и краевых условий; результат нужен для выбора допустимой физической постановки.

Последовательность решения

Обосновать постановку и способ измерения. Согласуйте источники мощности, теплопроводность и условия отвода; выберите температуру, поток или тепловое сопротивление как искомую характеристику.
Пластина с объёмным тепловыделением — аналитический эталон. Проверьте аналитический тепловой путь и баланс в условиях геометрии примера.
Сопоставьте линейную задачу без источника и параболическую с источником; объясните возникновение внутреннего максимума.. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сопоставьте линейный и источниковый профили, температуру центра и полный источник.
Ответить на вопрос по своим результатам. Восстановите профиль или тепловое сопротивление из таблицы; сопоставьте суммарные источники и выходящие потоки.

Что включить в отчёт

Результат этого занятия. Проверка аналитического профиля Пуассона и баланса с объяснением внутреннего максимума.

Данные именно этого опыта. Сопоставьте линейный и источниковый профили, температуру центра и полный источник.

Оформление наблюдений. Температуры в заданных местах, потоки через границы, мощности по областям и свойства; для сопротивления — определённая разность температур и мощность.

Как обосновать результат

Проверка из практикума. Сравнивайте объёмный источник в Вт/м³ с полным потоком в Вт после интегрирования по объёму. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.

Независимый контроль. Сопоставьте суммарную мощность источников с выходящим тепловым потоком и аналитическим пределом, допустимым для этой геометрии.

Критерий выполнения. Указаны неизвестная, коэффициент, источник и размерности; получены T_{\max}=305\,\mathrm{К} и баланс 20 Вт. Объяснено, почему принцип максимума для Лапласа не запрещает этот максимум Пуассона.

Точность и расхождения. Сеточную устойчивость температуры и потока оценивайте отдельно. Неопределённость теплоотдачи и теплопроводности нельзя устранить уменьшением конечного элемента.

Основание сравнения. Опора — закон Фурье и аналитический тепловой баланс из занятия. Теплоотдача и свойства материала являются исходными данными; одномерный предел применим только при согласованном пути тепла.

Вывод для устройства

Определите доминирующий тепловой путь и влияние материала или границы; решение о допустимом нагреве требует заданной температуры среды и предела материала.

Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.

Дополнительный расчётный метод

Гладкий зазор: аналитическая проверка поля и независимых источников ошибки

Сопоставление с точным полем гладкого зазора позволяет отдельно измерить ошибку сетки, дискретизации возбуждения и затухания гармоник.

Лабораторные работы по методу: Пазовый зазор: коэффициент Картера и комплексная передача гармоник

Получаемые величины. B, H на разных высотах зазора; коэффициент затухания; ошибка сетки; ошибка представления токового слоя

Сопоставляем граничные условия скалярного и векторного потенциалов.
Выполняем плоский и кольцевой эталоны при постоянной и гармонической МДС.
Сравниваем точечные значения и гармонические амплитуды с аналитикой.
Меняем только сетку при фиксированном токовом слое, затем только слой при фиксированной сетке.

Страницы источника. PDF 1–4: границы; 5–9: слои и периодичность; 9–12: количественная программа

Литература по методу

Чётное и нечётное поля паза: Картер и разностная проводимость

Разложение на чётное и нечётное поля объясняет, как паз одновременно изменяет главный поток и создаёт рассеяние.

Лабораторные работы по методу: Пазовый зазор: коэффициент Картера и комплексная передача гармоник; Сила в пазу: нагрузка меди, стенок и выбор глубины проводника

Получаемые величины. \beta _s(x), \beta _c(x); поток полузубцового деления; разностная проводимость \theta; коэффициент Картера k\delta

При одинаковой геометрии решить нечётное поле тока паза.
Заменяем распределённый ток тонким слоем, сохранив полный ток.
Рассчитываем чётное поле с согласованной опорной индукцией.
Вычисляем проводимость и k\delta, сопоставляем с аналитическим эталоном.

Страницы источника. PDF 1: смысл разложения; 2–3: варианты, интегралы, k\delta и проверка

Литература по методу

Конформный эталон поля линейного тока

Конформный эталон позволяет независимо проверить потенциалы и выбрать сгущение сетки при резко различающихся геометрических масштабах.

Лабораторные работы по методу: Сила в пазу: нагрузка меди, стенок и выбор глубины проводника

Получаемые величины. A в 7 парах сходственных точек; ошибка потенциала; отклонение от ортогональности линий \psi и \Phi

Строим исходную и отображённую области.
Фиксируем общий уровень потенциала и вычисляем пары координат.
Сопоставляем A и строим одну эквипотенциаль \psi.
Проверяем сгущение сетки и внешнюю границу независимо.

Страницы источника. PDF 1–4: преобразование и точки; 5–7: эквипотенциаль; 8: количественная программа

Литература по методу

Нечётное поле паза как аналитический эталон рассеяния

Нечётное поле служит эталоном собственного потока паза и позволяет проверить точность расчёта рассеяния в зоне раскрытия.

Лабораторные работы по методу: Пазовый зазор: коэффициент Картера и комплексная передача гармоник

Получаемые величины. A и \Phi в сходственных точках/участках; H в заданной точке; ошибка усечения области и сетки

Строим глубокий паз с сохранённым полным током.
Вычисляем отображённые координаты и локально сгущённую сетку.
Сравниваем потенциалы, потоки и H с аналитикой.
Проверяем влияние глубины паза, ширины зубца и удалённой границы.

Страницы источника. PDF 1–3: постановка и формула; 4–7: модели и сохранение величин; 7–8: программа

Литература по методу

Чётное поле паза и контроль комплексной потенциальной функции

Чётное поле позволяет проверить искажение главного потока раскрытием паза по аналитически заданным сходственным точкам.

Лабораторные работы по методу: Пазовый зазор: коэффициент Картера и комплексная передача гармоник

Получаемые величины. комплексный потенциал w; \Phi и разность \psi; координаты одной силовой линии; ошибка по каждой плоскости отображения

Решить униполярное поле без тока рассматриваемого паза.
Строим три отображённые области с согласованными граничными условиями.
Отображаем точки одной силовой линии и сопоставляем A.
Восстанавливаем разность \psi интегралом H·dl и оценить ошибки.

Страницы источника. PDF 1–3: отображения; 4–6: силовая линия; 6–8: потенциалы и программа

Литература по методу

Векторная алгебра и векторный магнитный потенциал

Провод с током даёт количественный эталон B(r), A(r), циркуляции и потока. Через него проверяют калибровку потенциала, локальные производные и допустимость скалярного магнитного потенциала.

Лабораторные работы по методу: Трансформатор от потокосцеплений до схемы замещения и нагрузочной характеристики; Асинхронный двигатель от поля в зазоре до параметров и механической характеристики; Генератор с постоянными магнитами от конструкции ротора до ЭДС и нагрузочного напряжения; Выбор обмотки и расчет момента в кольцевом зазоре; Определение коэффициентов поля явнополюсной машины; Потери массивного ротора: частота, гармоники и магнитное смещение; Пазовый зазор: коэффициент Картера и комплексная передача гармоник; Зубцовые контуры: проводимости, коронки и взаимная связь при смещении; Контрольный опыт: от условия задачи к инженерному выводу; Опыт Эрстеда: момент стрелки, эквивалентный ток и движение; Измерительная рамка: от поля провода к ЭДС; Аналогии полей: проводимость, дуальная сеть и диффузия; От магнитной цепи к карте \Psi (i,\theta ) и моменту SRM

Получаемые величины. B_r и B\tau прямого провода; разности A и поток на единицу длины; циркуляция H; ошибка численной производной и сеточной аппроксимации

Различить скалярное и векторное поле и вычисляемые операции.
Сопоставить аналитическое поле внутри и снаружи провода с точками и контурами FEMM.
Изменить отсчёт A, сохранив B и разности потенциала.
Проверить скачок скалярного магнитного потенциала вокруг тока и объяснить необходимость разреза области.

Страницы источника. PDF 1–31 полностью: 1–12 операции и потенциалы; 13–23 поле прямого провода; 24–28 поток, Биo–Савар, уравнения потенциала; 29–31 разностная схема.

Литература по методу

Аналитические методы: назначение эталонов и допущения

Равномерный зазор и линейная магнитная цепь задают независимый масштаб поля. Сравнение с полевой моделью показывает влияние рассеяния и помогает обосновать необходимую сложность расчёта.

Лабораторные работы по методу: Выбор обмотки и расчет момента в кольцевом зазоре; Определение коэффициентов поля явнополюсной машины; Пазовый зазор: коэффициент Картера и комплексная передача гармоник; Аналогии полей: проводимость, дуальная сеть и диффузия

Получаемые величины. H и B равномерного зазора; поток на единицу длины; скачок магнитного потенциала от тока; погрешность упрощения

Записать линейность, размерность задачи и условия симметрии.
Вывести аналитическое решение Лапласа или Пуассона.
Повторить его в FEMM с совпадающими источниками и границами.
По одному ослабить допущения и оценить изменение искомого параметра.

Страницы источника. PDF 1–19 полностью: 1–4 назначение аналитики и допущения; 5–12 потенциалы и условия; 13–15 равномерный зазор; 16–19 линейный ток и МДС.

Литература по методу

Разделение переменных: поле плоского и кольцевого зазора

Затухание пространственных гармоник зависит от ширины зазора и радиусов. Расчёт связывает геометрию машины с полезной основной гармоникой и подавлением высших.

Лабораторные работы по методу: Асинхронный двигатель от поля в зазоре до параметров и механической характеристики; Генератор с постоянными магнитами от конструкции ротора до ЭДС и нагрузочного напряжения; Выбор обмотки и расчет момента в кольцевом зазоре; Определение коэффициентов поля явнополюсной машины; Асинхронный двигатель: механическая характеристика и вращающееся поле; Синхронный генератор: от полевых параметров к внешней и угловой характеристикам; Пазовый зазор: коэффициент Картера и комплексная передача гармоник; Аналогии полей: проводимость, дуальная сеть и диффузия

Получаемые величины. B\nu (y) и отношение потоков на двух сердечниках; затухание гармоники при \delta /\tau \nu; ошибка замены кольцевого зазора плоским

Задать одну гармонику МДС и её период.
Решить плоский и кольцевой зазоры с одинаковой МДС и согласованным масштабом.
Проверить амплитуды на обеих границах и поток.
Сравнить с FEMM и вычислить ошибку по основной и выбранным высшим гармоникам отдельно.

Страницы источника. PDF 1–33 полностью: 1–11 плоский зазор; 12–21 кольцевой и открытые области; 22–24 погрешности плоского приближения; 25–33 потоковая функция и комплексный потенциал.

Литература по методу

Конформные преобразования и комплексная потенциальная функция

Кольцевой зазор даёт аналитический эталон потока. При преобразовании геометрии важно различать сохранение потенциала и потока и изменение локального поля.

Лабораторные работы по методу: Пазовый зазор: коэффициент Картера и комплексная передача гармоник; Сила в пазу: нагрузка меди, стенок и выбор глубины проводника; Аналогии полей: проводимость, дуальная сеть и диффузия

Получаемые величины. поток между соответствующими линиями; локальная H через производную отображения; погрешность плоского приближения

Выбрать аналитическое однозначное отображение и соответствие границ.
Сохранить значения потенциала и потоковой функции в сходственных точках.
Перенести локальное поле через производную преобразования.
Проверить поток и поле в нескольких точках независимым аналитическим способом и FEMM.

Страницы источника. PDF 1–30 полностью: 1–7 аналитические функции и ортогональность; 8–17 преобразования; 18–25 кольцевой зазор; 26–30 поля линейных токов.

Литература по методу

Преобразование Шварца–Кристоффеля

Отображение Шварца–Кристоффеля даёт углублённый пазовый эталон. Его результат позволяет оценить влияние раскрытия паза на поле без полного аналитического вывода в начальной работе.

Получаемые величины. коэффициенты отображения и соответствие вершин; поле у кромки и поток; ошибка аналитического пазового эталона

Составить таблицу вершин и внутренних/дополнительных углов.
Определить ветви степеней и постоянные по границам.
Проверить отображение геометрии перед переносом поля.
Сравнить интегральный поток и поле на физически заданном удалении от кромки с FEMM.

Страницы источника. PDF 1–13 полностью: 1–6 уравнение и пример; 7–13 определение постоянных и вырожденные многоугольники.

Литература по методу

Аналоговые модели электромагнитного поля

Сходство краевых задач позволяет связать магнитную проводимость с проводимостью токового аналога. Коэффициенты масштаба переводят измеряемую величину аналога в параметр исходного устройства.

Лабораторные работы по методу: Аналогии полей: проводимость, дуальная сеть и диффузия

Получаемые величины. масштабы потенциала, поля и потока; электрическая и магнитная проводимости; ошибка резистивной сетки относительно непрерывной задачи

Сопоставить уравнения и граничные условия двух физических задач.
Задать масштабы геометрии, потенциала и свойств с единицами.
Получить поток и ток на сходственных границах.
Уточнить дискретную сеть или полевую сетку и проверить выбранную интегральную величину.

Страницы источника. PDF 1–18 полностью: 1–6 прямая аналогия; 7–12 обратная и токовводы; 13–15 сеточные аналоги; 16–18 нелинейные аналоги.

Литература по методу

Теория и вывод формул

Для скалярной потенциальной задачи соотношение j=-a\nabla u и локальный баланс \operatorname{div} j=s приводят к уравнению -\operatorname{div} (a\nabla u)=s. При постоянном a и s=0 оно принимает форму уравнения Лапласа; ненулевой источник приводит к уравнению Пуассона.

Соглашения об обозначениях и единицах

\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.

Указатель формул этого занятия

(5.1) · Вывод контрольного соотношения
(5.2) · Что моделирует задача в прямоугольнике
(5.3) · Что моделирует задача в прямоугольнике
(5.4) · Что моделирует задача в прямоугольнике
(5.5) · Что моделирует задача в прямоугольнике
(5.6) · Потенциал в центре квадрата

Физический и методический смысл

Для скалярной потенциальной задачи поток имеет вид j=-a\nabla u, а локальный баланс \operatorname{div} j=s приводит к -\operatorname{div} (a\nabla u)=s. При постоянном a и s=0 получается уравнение Лапласа; ненулевой источник даёт уравнение Пуассона.

Потенциал V, температура T и их потоки имеют разные единицы, несмотря на одинаковую математическую форму. Магнитный векторный потенциал и осесимметричные коэффициенты требуют собственной постановки; формальное сходство не разрешает подменять один модуль другим.

Вывод контрольного соотношения

Выведите параболу температуры из баланса постоянного объёмного источника и двух граничных температур.

-kT^{\prime\prime}=q_v,\quad T(x)=300+\frac{q_v}{2k}(a^2-x^2),\quad T_{\max}=300+\frac{q_va^2}{2k}

(5.1)

Постоянная теплопроводность; параболический профиль является аналитическим решением, с которым сравнивают FEM.

Условие симметрии даёт T'(0)=0. Двойное интегрирование уравнения Пуассона даёт параболу.
Превышение температуры в центре равно 10^{6}\cdot 0{,}01^{2}/(2\cdot 10)=5 К.
Объём 2aS=2\cdot 10^{-5}\,\mathrm{м^3} выделяет 20 Вт; каждая торцевая сторона отводит 10 Вт.

Границы применимости. Постоянная теплопроводность; параболический профиль является аналитическим решением, с которым сравнивают FEM.

Связь с опытом в FEMM

Сопоставьте линейную задачу без источника и параболическую с источником; объясните возникновение внутреннего максимума.

Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.

Проверка и границы вывода

Указаны неизвестная, коэффициент, источник и размерности; получены T_{\max}=305\,\mathrm{К} и баланс 20 Вт. Объяснено, почему принцип максимума для Лапласа не запрещает этот максимум Пуассона.

Сравнивайте объёмный источник в Вт/м³ с полным потоком в Вт после интегрирования по объёму.

Одни условия нулевого нормального потока оставляют постоянную добавку к потенциалу неопределённой; совместимость и фиксация уровня проверяются отдельно.

Пояснения к официальному руководству

Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.

Формулы и таблицы руководства к этому занятию

Формула М.Н.3 · Два разных однородных магнитных условия
Формула М.Н.4 · Простейшее однородное условие Робина
Формула М.Н.6 · Периодическая и антипериодическая пара

Естественная граница, опорный потенциал и совместимость источников

Неназначенная внешняя граница FEMM по умолчанию получает однородное условие Неймана. Это определённое математическое условие, а не отсутствие влияния границы. В плоскопараллельной магнитной задаче оно заставляет поток пересекать границу нормально; постоянный A на границе, напротив, запрещает нормальную компоненту потока. В электростатике однородное естественное условие означает нулевой нормальный электрический поток, а не заземление.

Два разных однородных магнитных условия

A|_\Gamma=0\qquad\text{или}\qquad\left.\frac{\partial A}{\partial n}\right|_\Gamma=0

(М.Н.3)

Заданный постоянный A удерживает поток вдоль границы плоской модели. Нулевая нормальная производная соответствует пересечению границы потоком под прямым углом. Эти варианты нельзя выбирать только потому, что оба содержат ноль.

Обозначения и единицы

A — плоский магнитный потенциал, Вб/м; \Gamma — граница; \mathbf n — её единичная нормаль; \partial A/\partial n имеет единицу Тл.

Условия применения. Указанное направление потока относится к плоскому магнитному потенциалу; осесимметрию интерпретируют с её геометрией.

Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.

Если во всей связной области задана только нормальная производная потенциала, к решению можно прибавить произвольную постоянную. Поле при этом не изменится, но матрица имеет нулевую моду. Значение потенциала на подходящей границе или в опорной точке устраняет эту неопределённость. Для нескольких не связанных друг с другом областей проверяют каждую независимую компоненту. Периодическая связь равных потенциалов сама по себе не всегда устраняет общий постоянный сдвиг.

Простейшее однородное условие Робина

\frac{\partial A}{\partial n}+cA=0

(М.Н.4)

Нормальная производная и значение потенциала связаны линейно. Коэффициент c описывает выбранную модель внешней области; это не универсальное число для всех размеров устройства.

Обозначения и единицы

c — коэффициент, м⁻¹ при длинах в метрах; A — потенциал, Вб/м; \mathbf n — наружная единичная нормаль.

Условия применения. Однородная скалярная запись; более общий FEMM Mixed BC содержит отдельные коэффициенты и свободный член.

Кроме единственности нужна совместимость источников и потоков. Если все электрические границы изолированы, ненулевой суммарный объёмный заряд не согласуется с нулевым выходящим потоком D. Аналогично стационарное положительное тепловыделение требует пути отвода тепла. Искусственная фиксация одного узла при несовместимом балансе не превращает изолированное устройство в физически корректную модель: этот узел фактически становится неописанным стоком.

Осесимметричная магнитная задача имеет особый случай: FEMM автоматически обеспечивает A_{\theta } = 0 на оси r = 0. Если часть границы действительно лежит на оси, это может обеспечить нужную опору и без отдельного свойства Дирихле. В электростатике ось не является заземлённым электродом: V на ней может быть ненулевым. Поэтому переносить магнитное правило A_{\theta } = 0 на электрический потенциал нельзя.

Периодическая и антипериодическая пара

u_2=u_1\quad\text{или}\quad u_2=-u_1

(М.Н.6)

Сопоставленные точки двух границ получают одинаковые либо противоположные значения потенциала. Одно свойство периодичности связывает одну пару соответствующих участков.

Обозначения и единицы

u — потенциал соответствующего модуля: магнитный A, Вб/м, или электрический V, В; индексы 1 и 2 обозначают парные точки.

Условия применения. Геометрическое соответствие пары и физическая симметрия источников обязательны.

В PDF равенство сформулировано словами; курс записывает его математически и сохраняет различие знаков.

Периодическое условие связывает значения на соответствующих точках двух сторон, антипериодическое меняет их знак. Такое условие обосновывается симметрией геометрии, материалов и источников вместе. Выбор половины или сектора только по внешнему виду рисунка недостаточен: встречные токи либо полюса могут менять требуемую связь.

-\nabla\cdot(a\nabla u)=s\quad\Longrightarrow\quad -\oint_{\partial\Omega}a\,\partial_nu\,dS=\int_\Omega s\,dV

(Р.2.1)

Условие совместимости чистой задачи Неймана для скалярного положительного коэффициента a. При нулевом потоке слева суммарный источник справа должен равняться нулю.

Проверьте на своей модели

Для изолированной области с ненулевым суммарным источником сначала исправьте физический баланс, затем выбирайте опорный потенциал.
В осесимметричном конденсаторе проверьте, что ось не получила V = 0 только по аналогии с магнитным расчётом.

Источник: [33]. § 1.4 · § 1.4.1

Разобранный численный пример

Пластина с объёмным тепловыделением — аналитический эталон

Дано. Половина толщины a=10\,\mathrm{мм}; высота 10 мм; глубина 100 мм; k=10\,\mathrm{Вт/(м\cdot К)}; q_v=10^{6}\,\mathrm{Вт/м^3}; T(-a)=T(a)=300\,\mathrm{К}.

Условие симметрии даёт T'(0)=0. Двойное интегрирование уравнения Пуассона даёт параболу.
Превышение температуры в центре равно 10^{6}\cdot 0{,}01^{2}/(2\cdot 10)=5 К.
Объём 2aS=2\cdot 10^{-5}\,\mathrm{м^3} выделяет 20 Вт; каждая торцевая сторона отводит 10 Вт.

Ответ: T_{\max}=305\,\mathrm{К}; полный источник 20 Вт; поток через каждый охлаждаемый торец 10 Вт.

Проверка: Сравнивайте объёмный источник в Вт/м³ с полным потоком в Вт после интегрирования по объёму. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.

Углублённый разбор

Потенциал в прямоугольной области: от граничного условия к ряду

Что моделирует задача в прямоугольнике

Прямоугольная область служит эталоном для проверки постановки и граничных условий. В электростатике это сечение однородного диэлектрика без объёмного заряда, ограниченное электродами. В стационарной электропроводности — сечение однородного проводника, если на соответствующих границах заданы потенциалы. Равенство математических уравнений не делает одинаковыми физические величины: электрическое смещение и плотность тока имеют разные размерности.

Пусть квадрат имеет сторону a. На левой стороне поддерживается потенциал U, на остальных — нулевой потенциал. На углах эти условия несовместимы в одной точке; решение понимают внутри области и на открытых отрезках сторон. Окрестность идеальной кромки требует отдельной трактовки поля.

Подставляя произведение V=X(x)Y(y) в уравнение Лапласа и используя нулевые значения при y=0 и y=a, получаем синусоидальные поперечные функции. Нулевой потенциал справа задаёт гиперболический синус для продольной функции. Разложение постоянного потенциала слева по синусам определяет коэффициенты.

\nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)=0,\qquad \varepsilon=\mathrm{const}\Rightarrow \nabla^2V=0

(5.2)

Здесь \varepsilon — абсолютная диэлектрическая проницаемость, Ф/м; V — потенциал, В. Для постоянного тока вместо \varepsilon стоит проводимость \sigma, См/м.

X^{\prime\prime}-k^2X=0,\quad Y^{\prime\prime}+k^2Y=0,\quad k_n=\frac{n\pi}{a}

(5.3)

Разделение переменных; длины x, y и a выражены в метрах.

b_n=\frac2a\int_0^a U\sin\frac{n\pi y}{a}\,\mathrm dy=\frac{2U}{n\pi}\bigl[1-(-1)^n\bigr]

(5.4)

Чётные гармоники исчезают, для нечётных b_{n}=4U/(n\pi ).

V(x,y)=\frac{4U}{\pi}\sum_{n=1,3,5,\ldots}\frac{\sinh[n\pi(1-x/a)]}{n\sinh(n\pi)}\sin\frac{n\pi y}{a}

(5.5)

Ряд даёт независимый эталон внутри квадрата. При вычислении больших n используйте устойчивое отношение экспонент.

Потенциал в центре квадрата

Дано. a=20 мм, U=100 В; материал однородный, заряда в объёме нет.

Сложим четыре решения, в каждом из которых только одна из сторон имеет потенциал U. По линейности сумма имеет потенциал U на всей границе, поэтому внутри она постоянна и равна U.
В центре все четыре решения равны по поворотной симметрии. Следовательно, каждая задача даёт четверть U.

4V(a/2,a/2)=U\quad\Rightarrow\quad V(a/2,a/2)=25\ \text{В}
(5.6)

Ответ. 25 В. Это проверка симметрии и единственности, независимая от сетки и способа суммирования ряда.

Проверка. В FEMM 5 создайте электростатическую задачу и сравните потенциал в центре. Затем переставьте ненулевой потенциал на другую сторону: центральный результат должен сохраниться.

Границы модели.

Вывод и численный пример написаны для курса. Видео № 2 оставлено необязательным сравнительным источником; названия окон старой версии не заменяют инструкции FEMM 5.

Первоисточники: [6].

Практикум в FEMM 5

Сопоставьте линейную задачу без источника и параболическую с источником; объясните возникновение внутреннего максимума.

Таблица 5.1. Исходные данные практикума
Исходная величина	Значение	Единица
a	10	мм
q_v	1 × 10⁶	Вт/м³
k	10	Вт/(м·К)
T_{0}	300	К

В Heat Flow Problem постройте прямоугольник (−10,0)–(10,10) мм, Depth=100.
Материал: k_x=k_y=10, Volume Heat Generation=1000000 Вт/м³. Слева и справа Fixed Temperature=300 К, горизонтальные стороны изолированы.
Уточните сетку трижды по толщине. В каждом варианте считайте T(0{,}5), а не максимум сглаженной картины поля.
Вычислите интеграл объёмного источника и два граничных потока; запишите направление нормали и невязку баланса.

Ожидаемый результат. T_{\max}=305\,\mathrm{К}; полный источник 20 Вт; поток через каждый охлаждаемый торец 10 Вт. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.

Как проверить. Сравнивайте объёмный источник в Вт/м³ с полным потоком в Вт после интегрирования по объёму. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.

Обработка и анализ результатов

Почему при равных граничных температурах внутри пластины появляется максимум?

Сопоставьте линейный и источниковый профили, температуру центра и полный источник.
Восстановите профиль или тепловое сопротивление из таблицы; сопоставьте суммарные источники и выходящие потоки.

С чем сравнить. Опора — закон Фурье и аналитический тепловой баланс из занятия. Теплоотдача и свойства материала являются исходными данными; одномерный предел применим только при согласованном пути тепла.

Итог работы. Проверка аналитического профиля Пуассона и баланса с объяснением внутреннего максимума.

Самостоятельная работа

Сопоставьте линейную задачу без источника и параболическую с источником; объясните возникновение внутреннего максимума. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.

Критерий выполнения: Указаны неизвестная, коэффициент, источник и размерности; получены T_{\max}=305\,\mathrm{К} и баланс 20 Вт. Объяснено, почему принцип максимума для Лапласа не запрещает этот максимум Пуассона.

Первоисточники и дополнительное чтение по занятию

[33] — 10–16, 168–170
[6]

Пояснения и типичные ошибки

Почему температура может иметь внутренний максимум?

В задаче есть положительный объёмный источник, поэтому решается Пуассон, а не однородное уравнение Лапласа.

Какое контрольное число и единица проверяют этот опыт?

T_{\max}=305\,\mathrm{К}; полный источник 20 Вт; поток через каждый охлаждаемый торец 10 Вт.

При каких предположениях получена приведённая формула?

На что обратить внимание

Одни условия нулевого нормального потока оставляют постоянную добавку к потенциалу неопределённой; совместимость и фиксация уровня проверяются отдельно.
Постоянная теплопроводность; параболический профиль является аналитическим решением, с которым сравнивают FEM.