FEMM 5

Часть I · Интерфейс FEMM 5, геометрия, сетка и математические основы → § 4 · Обработка и представление результатов

Занятие 4.2

Точки, контуры и выделенные области: знак и размерность интеграла

Цель и задачи

Цель. Согласовать знак и размерность точечных и интегральных тепловых величин.

Задачи

  • Получите полный тепловой поток из постоянной плотности и площади сечения, сохранив направление нормали.
  • Запишите температуру и плотность потока в точке, полный поток двух ориентаций контура и сумму граничных потоков.
Что нужно вспомнить перед началом

Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.

Место занятия в инженерной методике

Расчётная лабораторная работа · Выбор наблюдаемых величин и проверка интегрального закона

Инженерный вопрос. Почему разворот контура меняет знак потока при неизменной температуре?

Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.

Лабораторная работа:

Последовательность решения, отчёт и критерии результата

Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.

Последовательность решения

  1. Обосновать постановку и способ измерения. Определите ориентацию контура или поверхности, охватываемые источники и геометрический множитель. Закон связывает измеряемую величину с независимым источником.

  2. Теплопроводность однородной пластины — аналитический эталон. Проверьте знаки и единицы интегрального закона на разобранной геометрии.

  3. Снимите T и q в точке, профиль вдоль пластины и поток через поперечный контур; разверните порядок точек контура.. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Запишите температуру и плотность потока в точке, полный поток двух ориентаций контура и сумму граничных потоков.

  4. Ответить на вопрос по своим результатам. Приведите результаты к одинаковым единицам и ориентации; вычислите невязку независимых способов измерения.

Что включить в отчёт

Результат этого занятия. Таблица единиц и направлений с проверкой теплового баланса.

Данные именно этого опыта. Запишите температуру и плотность потока в точке, полный поток двух ориентаций контура и сумму граничных потоков.

Оформление наблюдений. Контур или область интегрирования, ориентация, точечные и интегральные величины раздельно, источник и невязка закона.

Как обосновать результат

Проверка из практикума. Сумма полных потоков через все границы с единой внешней нормалью равна нулю. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.

Независимый контроль. Сопоставьте интеграл с источником или суммой потоков, а не с повторным чтением того же интеграла другим именем.

Критерий выполнения. Записаны T_{\mathrm{mid}}=333{,}15\,\mathrm{К}, |q_x|=80000\,\mathrm{Вт/м^2} и |Q|=80\,\mathrm{Вт}; разворот контура меняет знак ориентированного интеграла без изменения поля.

Точность и расхождения. Нормируйте невязку на физический масштаб источника или потока, объявленный до сравнения. Для баланса около нуля приводите также абсолютную невязку в единицах закона.

Основание сравнения. Используйте интегральный закон и ориентацию контура из теории занятия. Плотность, интеграл по сечению и полный объёмный результат сравнивают после учёта геометрического множителя.

Вывод для устройства

Объясните, даёт ли выбранный интеграл полный параметр устройства или только локальную характеристику его сечения.

Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.

Дополнительный расчётный метод

Векторная алгебра и векторный магнитный потенциал

Провод с током даёт количественный эталон B(r), A(r), циркуляции и потока. Через него проверяют калибровку потенциала, локальные производные и допустимость скалярного магнитного потенциала.

Лабораторные работы по методу: Трансформатор от потокосцеплений до схемы замещения и нагрузочной характеристики; Асинхронный двигатель от поля в зазоре до параметров и механической характеристики; Генератор с постоянными магнитами от конструкции ротора до ЭДС и нагрузочного напряжения; Выбор обмотки и расчет момента в кольцевом зазоре; Определение коэффициентов поля явнополюсной машины; Потери массивного ротора: частота, гармоники и магнитное смещение; Пазовый зазор: коэффициент Картера и комплексная передача гармоник; Зубцовые контуры: проводимости, коронки и взаимная связь при смещении; Контрольный опыт: от условия задачи к инженерному выводу; Опыт Эрстеда: момент стрелки, эквивалентный ток и движение; Измерительная рамка: от поля провода к ЭДС; Аналогии полей: проводимость, дуальная сеть и диффузия; От магнитной цепи к карте \Psi (i,\theta ) и моменту SRM

Получаемые величины. B_r и B\tau прямого провода; разности A и поток на единицу длины; циркуляция H; ошибка численной производной и сеточной аппроксимации

  1. Различить скалярное и векторное поле и вычисляемые операции.
  2. Сопоставить аналитическое поле внутри и снаружи провода с точками и контурами FEMM.
  3. Изменить отсчёт A, сохранив B и разности потенциала.
  4. Проверить скачок скалярного магнитного потенциала вокруг тока и объяснить необходимость разреза области.

Страницы источника. PDF 1–31 полностью: 1–12 операции и потенциалы; 13–23 поле прямого провода; 24–28 поток, Биo–Савар, уравнения потенциала; 29–31 разностная схема.

Литература по методу

Теория и вывод формул

Точечные значения, линейные и объёмные интегралы характеризуют разные свойства решения. Ориентация контура задаёт направления касательной и нормали, поэтому изменение направления обхода может изменить знак ориентированного потока.

Соглашения об обозначениях и единицах
  • \(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
  • \(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
  • \(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
  • Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
  • Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
  • Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Указатель формул этого занятия
  1. (4.6) · Вывод контрольного соотношения
  2. (4.7) · Аналитическая сила и три интеграла
  3. (4.8) · Аналитическая сила и три интеграла
  4. (4.9) · Почему методы сходятся с разной скоростью

Физический и методический смысл

Значение в точке, линейный интеграл и интеграл по выделенной области отвечают на разные вопросы. Контур задаёт направление касательной и нормали; при развороте ориентированный поток меняет знак.

Полный тепловой поток через сечение имеет единицу Вт, плотность — Вт/м². Глубина плоской модели входит в полный поток. В осесимметрии вместо постоянной глубины учитывается окружность 2\pi r.

Вывод контрольного соотношения

Получите полный тепловой поток из постоянной плотности и площади сечения, сохранив направление нормали.

T(x)=373{,}15-80\frac{x}{0{,}01},\quad q_x=-k\frac{dT}{dx}=80000\,\mathrm{Вт/м^2},\quad Q=q_xS
(4.6)
Стационарная теплопроводность с заданными температурами; движение газа или жидкости не вычисляется.

  1. Разность температур 80 К равна разности в градусах Цельсия; абсолютные значения в FEMM вводятся в кельвинах.

  2. При постоянном k и отсутствии внутренних источников температура линейна.

  3. В середине T=333{,}15\,\mathrm{К}; плотность теплового потока 80000 Вт/м²; полный поток 80 Вт.

Границы применимости. Стационарная теплопроводность с заданными температурами; движение газа или жидкости не вычисляется.

Связь с опытом в FEMM

Снимите T и q в точке, профиль вдоль пластины и поток через поперечный контур; разверните порядок точек контура.

Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.

Проверка и границы вывода

Записаны T_{\mathrm{mid}}=333{,}15\,\mathrm{К}, |q_x|=80000\,\mathrm{Вт/м^2} и |Q|=80\,\mathrm{Вт}; разворот контура меняет знак ориентированного интеграла без изменения поля.

Сумма полных потоков через все границы с единой внешней нормалью равна нулю.

Выбор блока сохраняется между действиями; интегрирование случайно выделенного воздуха может давать правдоподобный, но иной результат.

Пояснения к официальному руководству

Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.

Рисунки из руководства к этому занятию (3)
  1. М.2.16 · Кнопки панели режимов анализа
  2. М.2.20 · Кнопки панели профиля, интегрирования и результатов цепи
  3. М.2.22 · При неоднозначности графики и интегралы рассчитываются с этой стороны контура
Формулы и таблицы руководства к этому занятию

Точка, контур и область в постпроцессоре

Point Values читает локальную величину; Tab позволяет задать точку числами. Contour Mode создаёт ориентированный путь для профиля и линейных интегралов. Block Mode выбирает область для площадных и объёмных интегралов. Один и тот же значок интеграла открывает разные списки в зависимости от режима.

Три значка магнитного постпроцессора: точка, красный контур и зелёная область.

Рисунок М.2.16. Кнопки панели режимов анализа

Первый режим предназначен для локального поля, второй — для профиля и линейного интеграла, третий — для интеграла по выбранной области. Режим определяет и способ выделения, и список доступных интегральных величин.

Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.

В режиме контура левый щелчок выбирает ближайший геометрический узел, правый добавляет положение указателя. Tab задаёт точку точно, Delete удаляет последнюю точку, Escape очищает контур, Shift преобразует его последний прямой участок в дугу с заданными параметрами. Перед интегралом проверьте последовательность точек и замыкание, если оно требуется физическим смыслом.

Описание магнитного Block Mode на с.41 руководства строит замкнутый зелёный контур по рёбрам исходной геометрии; скалярные разделы описывают выбор области левым щелчком внутри неё. Не переносите жест механически между модулями: проверяйте зелёную подсветку фактически выбранных элементов. В электростатике для взвешенного тензора напряжений проводник из линий и точек можно выбрать правым щелчком; он подсвечивается красным.

Перед новым интегралом сбросьте прежний выбор и заново выделите нужное тело. Интеграл по нескольким областям суммирует их вклад. Попавший в выбор воздух изменяет энергию или усреднение, даже если визуально интересует только центральная деталь.

Проверьте на своей модели

  • В одном решении получите значение в точке, профиль и интеграл по области и объясните разницу единиц.
  • Сохраните изображение выбранной области и список её материалов вместе с числом интеграла.

Источник: [33]. § 2.3.1 · § 2.3.3 · § 2.3.4 · § 2.5.6 · § 2.7.6 · § 2.9.6

Профиль на границе: сторона отсчёта и число точек

X-Y Plot выбирает величину и количество точек вдоль уже построенного контура. Первая координата графика — расстояние вдоль него, а не обязательно x. Увеличение числа выборок делает профиль подробнее, но не уточняет исходную конечную сетку. Export в окне графика сохраняет CSV с заголовками: положение вдоль контура и по одному столбцу для каждой кривой.

Касательная направлена по порядку точек. Нормаль направлена влево от касательной; поэтому обход тела по часовой стрелке даёт внешнюю нормаль. Если путь совпадает с материальным интерфейсом, FEMM читает поле с малым смещением в сторону этой нормали. Разворот контура меняет сторону чтения и знаки нормальной/касательной компонент; модули поля следует сравнивать отдельно от знаков.

Красная ломаная со стрелкой направления обхода и чёрная стрелка нормали, направленная влево от контура.

Рисунок М.2.22. При неоднозначности графики и интегралы рассчитываются с этой стороны контура

На материальном интерфейсе одно геометрическое положение может иметь разные предельные значения поля с двух сторон. Рисунок показывает сторону малого смещения, используемую при чтении: влево от касательной. При развороте контура меняются и знаки компонент, и сторона чтения.

Обозначения на рисунке

direction of contour definition
Направление задания контура
direction of the normal to the contour
Направление нормали к контуру

Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.

Примеры текста руководства на с.44,62,75 содержат неточные названия разрывных компонент. На магнитном интерфейсе без поверхностного тока непрерывен Ht, а Bn непрерывен всегда; при смене \mu Bt и Hn могут изменяться скачком. В электростатике непрерывен Et, а D_n имеет скачок только при свободном поверхностном заряде; при смене \varepsilon обычно меняется En. В тепловой задаче с идеальным контактом непрерывны T и нормальный тепловой поток, но нормальный градиент меняется с k. Курс использует эти физические условия, а не буквальную ошибочную фразу.

Среднеквадратичная нормальная индукция вдоль контура

B_{n,\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac1\ell\int_C(\mathbf B\cdot\mathbf n)^2\,\mathrm dl}
(М.Н.11)
Исходник поясняет применение интеграла (B\cdot n)^{2} для периодического пространственного распределения. Деление на длину и корень превращают интеграл в среднеквадратичное значение вдоль пути.

Обозначения и единицы

  • C — контур длиной \ell, м; \mathbf n — единичная нормаль; \mathbf B — индукция, Тл; B_{n,\mathrm{rms}} — пространственное среднеквадратичное значение, Тл.

Условия применения. Формула дана для действительного пространственного распределения. Она не подменяет временное RMS комплексного фазора.

В PDF дано ядро (B.n)² и его назначение; нормированная RMS-запись раскрыта в курсе.

Не все интегралы используют тот же алгоритм, что график. Руководство отдельно указывает вычисление ряда потенциальных разностей из концов пути, длины из геометрии и численную выборку для напряжений Максвелла. Слово «точно» в описании алгоритма относится к представленному решению, а не к точному полю реального устройства. При сомнении проверяйте закон сохранения и сеточную сходимость.

Три значка: график по линии, знак интеграла и результаты электрической цепи магнитного модуля.

Рисунок М.2.20. Кнопки панели профиля, интегрирования и результатов цепи

Профиль показывает изменение величины вдоль контура, интеграл суммирует соответствующее ядро, а результаты цепи дают ток, напряжение и потокосцепление именованной обмотки. Эти три операции используют разные объекты и не заменяют друг друга.

Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.

Проверьте на своей модели

  • Постройте контур по стыку в обоих направлениях и сравните модули, ориентированные компоненты и точки со смещением в каждый материал.
  • Увеличьте число выборок без пересчёта, затем уточните сетку: объясните, какие изменения имеют вычислительный смысл.

Источник: [33]. § 2.3.9 · § 2.3.10 · § 2.5.4 · § 2.5.5 · § 2.7.4 · § 2.7.5 · § 2.9.4 · § 2.9.5

Выбор магнитного интеграла по инженерному вопросу

Линейные интегралы B\cdot n и H\cdot t отвечают на вопросы о потоке и МДС; Contour Length возвращает метры. Force/Torque from stress tensor оценивают силу и момент вокруг начала координат. B\cdot n^{2} полезен для среднеквадратичной характеристики распределения, но сам по себе не равен ни потоку, ни силе.

Переход от интеграла R^{2} к моменту инерции

I_{\mathrm{mass}}=\sum_k\rho_k\int_{V_k}r_\perp^2\,\mathrm dV
(М.Н.13)
Результат R^{2}-интеграла не является массовым моментом инерции, пока не учтена плотность. При разных материалах суммируют вклады областей с их собственными плотностями.

Обозначения и единицы

  • \rho_k — массовая плотность, кг/м³; r_\perp — расстояние до оси, м; V_k — область материала; I_{\mathrm{mass}} — массовый момент инерции, кг·м².

Условия применения. В плоской задаче ось проходит через x=y=0; в осесимметричной — через r=0. Массовая плотность должна соответствовать физической конструкции.

Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.

Средняя объёмная плотность потерь

\overline p_{\mathrm{loss}}=\frac{P_{\mathrm{loss}}}{V_{\mathrm{selected}}}
(М.Н.14)
Total Loss Density делит суммарную мощность потерь выделенных областей на их объём. Эта величина полезна при сравнении областей разного размера, но не показывает локальный максимум тепловыделения.

Обозначения и единицы

  • P_{\mathrm{loss}} — потери, Вт; V_{\mathrm{selected}} — физический объём выделения, м³; \overline p_{\mathrm{loss}} — средняя объёмная плотность потерь, Вт/м³.

Условия применения. Объём должен быть ненулевым и учитывать Depth или осесимметричный вес.

Блоковые интегралы охватывают A\cdot J, A, энергию, коэнергию, гистерезисные/шихтовочные/проксимити-потери, резистивные потери, полные потери, площадь, объём, ток, интеграл B, силу и момент Лоренца, WST, а также R^{2}. Для R^{2} массовый момент инерции получают умножением на плотность; если материалы различны, суммируют отдельные вклады. Total Loss Density — полные потери выбранных блоков, делённые на их общий объём, в Вт/м³; это не температура и не локальный максимум.

Собственная индуктивность через интеграл A\cdot J

L_{\mathrm{self}}=\frac{\displaystyle\int_V\mathbf A\cdot\mathbf J\,\mathrm dV}{i^2}
(М.2.8)
Поле создаётся исследуемой обмоткой, а интеграл берётся по области её тока. В линейной магнитостатической системе он равен удвоенной энергии поля и даёт собственную индуктивность после деления на квадрат тока. В знаменателе стоит ток одного витка цепи, а число витков уже должно быть правильно отражено в J.

Обозначения и единицы

  • L_{\mathrm{self}} — Гн; i — ток обмотки, А.
  • \mathbf A — Вб/м; \mathbf J — А/м²; \mathrm dV — м³, поэтому интеграл имеет единицу Дж.

Условия применения. Вещественные магнитостатические поля, линейная система без фонового возбуждения постоянными магнитами или другими токами. Насыщение, смещение и комплексные гармонические поля требуют определения нужной индуктивности и отдельной обработки. Объём включает Depth или вращение сечения.

Взаимная индуктивность через поле первой обмотки

L_{\mathrm{mutual}}=\frac{\displaystyle\int_{V_2}\mathbf A_1\cdot\mathbf J_2\,\mathrm dV_2}{i_1i_2}
(М.2.9)
Для A_{1} включают только первую обмотку. Во второй используют пробное распределение J2, соответствующее выбранному направлению её тока i2; фактически возбуждать вторую при вычислении A_{1} не нужно. Знак скалярного произведения сохраняет полярность взаимного потокосцепления.

Обозначения и единицы

  • \mathbf A_1 — потенциал от первой обмотки, Вб/м; \mathbf J_2 — пробная плотность во второй, А/м².
  • i_1,i_2 — токи, А; V_2 — объём второй обмотки; результат — Гн.

Условия применения. Линейная взаимная магнитная система, согласованные направления токов и полный возвратный путь обмоток. Фоновый потенциал от иных источников не должен попадать в A_{1}.

Взаимная индуктивность плоских ветвей обмотки

L_{\mathrm{mutual}}=\frac{n_2}{i_1a_2}\left(\int_{V_{2+}}A_1\,\mathrm dV_2-\int_{V_{2-}}A_1\,\mathrm dV_2\right)
(М.2.10)
При равномерной плотности J2=n_{2}i2/a_{2} ток второй обмотки сокращается. Сначала интегрируют A_{1} по прямой ветви, затем вычитают интеграл по обратной: физические направления их токов противоположны. Вторая обмотка при решении поля остаётся выключенной. Обычная сумма двух неподписанных интегралов дала бы неверную взаимную индуктивность.

Обозначения и единицы

  • n_2 — число витков; a_2 — площадь сечения одной ветви, м²; i_1 — А.
  • V_{2+},V_{2-} — объёмы ветвей с положительным и отрицательным направлением тока; A_1=A_{1z} — Вб/м.

Условия применения. Плоская линейная модель и одинаковая равномерная плотность по модулю в двух ветвях. При разных площадях коэффициенты учитывают отдельно; в осесимметрии нельзя механически добавлять фиктивную обратную ветвь.

В исходной формуле стоит разность. Последующее слово «Add» в тексте следует понимать как сложение с учётом знака ветви; здесь явно сохранён минус.

Энергия линейной индуктивности

E=\frac{Li^2}{2}
(М.2.11)
Квадратичная зависимость позволяет получить L=2E/i^{2} из полной магнитной энергии. Интегрировать нужно всю область поля, включая воздух: энергия не ограничивается объёмом проводника. Для одной синусоиды формула относится к мгновенным i и E; средняя энергия при пиковом токе I_m равна LI_m^{2}/4.

Обозначения и единицы

  • E — запасённая магнитная энергия, Дж; это не напряжённость электрического поля.
  • L — Гн; i — мгновенный или постоянный ток, А.

Условия применения. Линейная индуктивность без фонового магнитного смещения, с характеристикой потокосцепления через начало координат. При насыщении или нескольких возбуждённых обмотках одна скалярная L не заменяет энергетическую характеристику.

Магнитная энергия нелинейного материала

W=\int_V\left(\int_0^B H(B^{\prime})\,\mathrm dB^{\prime}\right)\mathrm dV
(М.2.12)
Внутренний интеграл накапливает плотность энергии вдоль характеристики от исходного состояния до рабочей индукции; внешний суммирует её по объёму. При линейной связи через начало координат получается BH /2, но в насыщении площадь под H(B) уже не равна половине прямоугольника BH.

Обозначения и единицы

  • W — Дж; B,B^{\prime} — Тл; H — А/м; внутренний интеграл — Дж/м³.
  • B^{\prime} — переменная интегрирования, не пространственная производная.

Условия применения. Скалярная однозначная безгистерезисная характеристика и согласованный нулевой уровень энергии. Для анизотропной векторной среды нужен путь интегрирования H\cdot dB; постоянные магниты и гистерезис требуют учёта их модели и истории.

Магнитная коэнергия

W_c=\int_V\left(\int_0^H B(H^{\prime})\,\mathrm dH^{\prime}\right)\mathrm dV
(М.2.13)
Коэнергия строится интегрированием B по H и удобна для силы при заданных токах. Для согласованной однозначной характеристики через начало координат энергия и коэнергия в сумме дают интеграл BH по объёму. Равными они становятся для линейной связи через начало; линейная возвратная линия магнита со смещением сама по себе этого равенства не обеспечивает.

Обозначения и единицы

  • W_c — коэнергия, Дж; H^{\prime} — переменная интегрирования, А/м.
  • B\,\mathrm dH имеет единицу Дж/м³.

Условия применения. Однозначная материальная характеристика с согласованным энергетическим нулём. Значение коэнергии не является независимым запасом энергии, который можно прибавить к W.

Ампер-витки и плотность тока второй катушки

N_2 I_2=J_2 a_2
(М.Н.10)
Это равенство позволяет перейти от интеграла A\cdot J к формуле взаимной индуктивности через интеграл A по второй обмотке. Площадь a_{2} относится к выбранному поперечному сечению распределённой катушки.

Обозначения и единицы

  • N_2 — число витков; I_2 — ток витка, А; J_2 — усреднённая плотность тока, А/м²; a_2 — площадь сечения, м².

Условия применения. Равномерная заданная плотность тока в соответствующей стороне катушки; знак направления учитывают отдельно.

Для силы на немагнитных проводниках с \mu _{r}=1 подходит интеграл J\times B. WST выбирает семейство путей через дополнительную задачу для весовой функции; выбранное тело должно быть окружено воздухом и/или примыкать к внешней границе. При контакте с иной материальной областью применимость WST нарушается; силу можно проверять изменением коэнергии при постоянных токах.

Сила из изменения коэнергии при постоянном токе

F_p\approx\left.\frac{W_c(p+\Delta p)-W_c(p)}{\Delta p}\right|_{\mathbf i=\mathrm{const}}
(М.2.14)
Проводят два согласованных решения с малым смещением тела и одинаковыми токами всех возбуждённых цепей. Разность коэнергий, делённая на смещение, оценивает компоненту силы в направлении p. Слишком большой шаг даёт ошибку конечной разности, слишком маленький усиливает влияние сеточной и итерационной погрешности; проверяют несколько шагов.

Обозначения и единицы

  • p,\Delta p — положение и смещение, м; F_p — Н; W_c — Дж.
  • \mathbf i=\mathrm{const} означает фиксированные токи всех источников. Для углового p в радианах результатом становится момент, Н·м.

Условия применения. Квазистатическое перемещение и энергетически согласованная модель. При заданном напряжении токи обычно меняются, поэтому ту же разность нельзя безоговорочно считать производной при постоянных токах.

В оригинале конечная разность написана со знаком равенства. Для конечного \Delta p это приближение производной; знак заменён на ≈ и явно указана фиксация токов.

Сила Лоренца на ток в объёме

\mathbf F_{\mathrm{Lorentz}}=\int_V\mathbf J\times\mathbf B\,\mathrm dV
(М.2.15)
Векторное произведение задаёт направление силы на проводящий ток; интеграл суммирует действие по выбранному объёму. Это естественный способ оценки силы катушки в поле постоянного магнита. Для ферромагнитного тела вклад намагниченности не сводится к этому интегралу свободной J, поэтому используют подходящую энергетическую или тензорную оценку.

Обозначения и единицы

  • \mathbf J — А/м²; \mathbf B — Тл; \mathbf J\times\mathbf B — Н/м³.
  • \mathbf F — Н; объём содержит глубину плоской модели или осесимметричное вращение.

Условия применения. Статические либо мгновенные поля; для непосредственной оценки силы тела — немагнитный проводник. Для пиковых комплексных амплитуд средняя сила равна \tfrac12 \operatorname{Re} \int \widehat{J}\times \widehat{B}* dV, а не интегралу модулей.

Момент силы Лоренца

\boldsymbol\tau_{\mathrm L}=\int_V\mathbf r\times(\mathbf J\times\mathbf B)\,\mathrm dV
(М.Н.12)
Внешнее векторное произведение использует плечо относительно выбранного начала координат. Для двумерной плоской задачи читают компоненту момента вокруг оси z.

Обозначения и единицы

  • \mathbf r — радиус-вектор от оси момента, м; \mathbf J — плотность тока, А/м²; \mathbf B — индукция, Тл; \boldsymbol\tau_{\mathrm L} — момент, Н·м.

Условия применения. Применение к проводникам с \mu_r=1; для гармонических амплитуд постоянную и 2\omega-составляющие разделяют, а мгновенные вещественные поля не заменяют произведением модулей.

Источник даёт название «Lorentz torque (rxJxB)» и словесное определение. Скобки восстановлены как r\times (J\times B), а не (r\times J)\times B.

Для линейного тензора Максвелла контур замыкают в однородном воздухе на расстоянии хотя бы двух слоёв элементов от интерфейсов и обходят по часовой стрелке. Рисунок 2.23 показывает именно этот отступ вокруг верхнего стального блока; внешние дуги относятся к открытой границе, а не к магнитопроводу. Для результата нужна сходимость по сетке и проверка на нескольких допустимых контурах.

Элементарная сила магнитного тензора Максвелла

\mathrm d\mathbf F=\frac12\left[\mathbf H(\mathbf B\cdot\mathbf n)+\mathbf B(\mathbf H\cdot\mathbf n)-(\mathbf H\cdot\mathbf B)\mathbf n\right]\mathrm dS
(М.2.16)
Выражение в квадратных скобках с множителем 1/2 — поверхностная плотность силы; умножение на dS даёт элементарную силу. Полную силу получают интегрированием по замкнутой поверхности, окружающей тело. В FEMM контур проводят через однородный воздух, отступив от интерфейсов хотя бы на два слоя элементов, и проверяют сходимость.

Обозначения и единицы

  • \mathbf n — единичная внешняя нормаль охватывающей поверхности.
  • \mathbf H — А/м; \mathbf B — Тл; выражение до dS — Н/м²; \mathrm dS — м²; \mathrm d\mathbf F — Н.

Условия применения. Магнитостатические поля на поверхности в однородной линейной среде, обычно воздухе. В плоской модели площадь полосы равна глубине, умноженной на длину контура; гармоническое усреднение требует комплексного сопряжения и амплитудных множителей.

В (2.16) оригинала у правой части отсутствует dS, хотя левая названа дифференциальной силой. Здесь dS восстановлено; без него правая часть имеет размерность напряжения, Н/м², а не силы.

Произведение двух гармоник содержит постоянную и удвоенную частоту; средняя сила не получается подстановкой модулей B и J в статическую формулу. Для пиковых амплитуд в силе Лоренца используют \tfrac12\operatorname{Re}(\widehat{\mathbf J}\times\widehat{\mathbf B}^{*}). Компоненты силы 0 и 2\omega следует подписывать отдельно. При сочетании постоянного поля и малого переменного сигнала дополнительно возникает составляющая \omega; её нельзя смешивать с обычной средней силой чистой гармоники.

\langle\mathbf F_{\mathrm L}\rangle=\frac12\operatorname{Re}\int_V\widehat{\mathbf J}\times\widehat{\mathbf B}^{*}\,\mathrm dV
(Р.30.12)
Средняя сила для пиковых комплексных амплитуд; звёздочка означает комплексное сопряжение.
\operatorname{Re}(\widehat a e^{j\omega t})\operatorname{Re}(\widehat b e^{j\omega t})=\frac12\operatorname{Re}(\widehat a\widehat b^{*})+\frac12\operatorname{Re}(\widehat a\widehat b e^{2j\omega t})
(Р.30.13)
Причина появления средней и удвоенно-частотной составляющих квадратичных сил; аналогично применяется покомпонентно к тензору.

Проверьте на своей модели

  • По имени интеграла предскажите его размерность; отдельно различите полные потери и объёмную плотность потерь.
  • Перед WST покажите окружающий воздух; перед линейным тензором — замыкание, направление и отступ контура.

Источник: [33]. § 2.3.10 · § 2.3.11 · § 2.3.12

Возвраты интегралов, гармоники зазора и ориентация контура

Перед интегралом очищайте старый контур или выбор областей и создавайте новый явно. Числовой type выбирает физическую операцию в конкретном модуле: одинаковое число не переносится из mo в eo/ho/co. Например, код 2 у mo_blockintegral означает энергию, у eo/ho_blockintegral — объём, а у co_blockintegral — полную мощность.

Различайте количество физических величин и конкретный тип Python-контейнера. Документация часто пишет «один результат», не устанавливая скаляр или одноэлементный кортеж. Ранее выполненный нативный эталон курса подтвердил кортеж для eo_blockintegral(0) в своём режиме; это не проверка всех других кодов. Перед массовой выгрузкой исследуйте repr/type нужного ответа на малой модели.

mo_lineintegral может возвращать среднее и полный интеграл, либо компоненты постоянной и удвоенной по частоте силы. Члены 2\omega имеют смысл при ненулевой частоте. Текст упоминает взаимодействие постоянного и малого переменного поля в режиме дифференциальной проницаемости, но таблица не задаёт дополнительные индексы 1\omega: не добавляйте их в распаковку по предположению.

Контурный bendcontour требует не менее двух точек, угла от -180^\circ до +180{}^\circ и положительного anglestep. При менее чем двух точках операция игнорируется. Ориентация n/t задаётся направлением обхода; при смене направления отдельно проверяются знаки потока, напряжения и температурной разности.

У mo_gapintegral коды 0/2/3/5 возвращают одну величину момента или энергии, а 1/4/6 — две компоненты силы F_x,F_y. mo_getgapharmonics без n сообщает максимальный доступный порядок; с n даёт шесть коэффициентов. Угол в API задаётся в градусах, тогда как math.cos/math.sin принимают радианы.

Восстановление одной гармоники в воздушном зазоре

\begin{aligned}A_n(\theta)&=a_{cc}\cos(n\theta)+a_{cs}\sin(n\theta),\\B_{r,n}(\theta)&=b_{rc}\cos(n\theta)+b_{rs}\sin(n\theta),\\B_{\theta,n}(\theta)&=b_{tc}\cos(n\theta)+b_{ts}\sin(n\theta),\\\theta&=\theta_{\mathrm{deg}}\pi/180.\end{aligned}
(М.Н.18)
Три пары коэффициентов mo_getgapharmonics описывают потенциал, радиальную и касательную индукцию одной гармоники. Восстановив её, можно сопоставить результат с прямым чтением поля зазора.

Обозначения и единицы

  • n — безразмерный порядок пространственной гармоники в mo_getgapharmonics(BdryName,n); \theta — угол реконструкции, рад. \theta_{\mathrm{deg}} — та же выбранная точка в градусах: такой угловой аргумент принимают mo_getgapa и mo_getgapb, но не mo_getgapharmonics.
  • a_{cc},a_{cs} — коэффициенты потенциала, Вб/м; b_{rc},b_{rs},b_{tc},b_{ts} — коэффициенты индукции, Тл. Порядок этих шести коэффициентов совпадает с порядком возврата API.

Условия применения. Воздушный зазор рассматривается в плоской магнитной задаче. При использовании math.sin/\cos переводите градусы в радианы. Сумма по нескольким n нужна для полного поля, если присутствуют другие гармоники.

В PDF записаны три строки без номера, а ниже сказано «angle is specified in degrees». В курсе явно добавлен перевод градусов в радианы, чтобы не передавать градусы напрямую в math.sin/\cos.

Таблица Р.45.1. Возвраты интегралов, гармоники зазора и ориентация контура
mo_lineintegral typeДокументированный порядок величин
0 / 1Полный интеграл B\cdot n / H\cdot t; затем среднее соответствующей величины
2Длина контура; площадь поверхности. В таблице PDF строка сдвинута; смысл подтверждён §2.3.10
3F_x /r постоянная; F_y /z постоянная; F_x /r 2\omega; F_y /z 2\omega
4Постоянный момент; момент 2\omega
5Полный интеграл (B\cdot n)^{2}; среднее (B\cdot n)^{2}

Проверьте на своей модели

  • Выберите один контур и проверьте смысл изменения знака при его обходе в другую сторону.
  • Прочитайте фактический контейнер нужного integral перед распаковкой; сохраните версию FEMM.
  • Восстановите B_r по коэффициентам одной гармоники и сравните с прямым getgapb в согласованных углах.

Источник: [33]. § 3.7.1 · § 3.7.2 · § 3.9.1 · § 3.11.1 · § 3.13.1

Числовой график, карта поля и экспорт

makeplot строит зависимость выбранной величины вдоль текущего контура. NumPoints задаёт выборку графика, а не число конечных элементов. Если передать Filename, FEMM 5 записывает CSV с заголовком; старый четвёртый FileFormat принимается, но игнорируется. Изменение расширения имени файла не превращает CSV в изображение.

Встроенный plot принимает массив x и до семи массивов y с необязательными подписями и работает без внешнего CPython. Для сложного оформления, подграфиков, логарифмических осей, аннотаций и векторного файла можно подключить matplotlib. savebitmap сохраняет вид FEMM; savemetafile в Qt оставлен как совместимое имя и ничего не делает.

У showdensityplot порядок параметров различается: магнитная команда размещает type после верхней/нижней границ, а остальные модули — перед ними. У магнитной карты type строковый (bmag, breal, bimag, logb, hmag/hreal/himag, jmag/jreal/jimag), у других модулей он числовой. Вызов с −1 для настроек по умолчанию документирован у mo_showdensityplot; не переносите его на другие карты без проверки.

У всех showcontourplot число линий −1 означает использование настроек по умолчанию и позволяет сокращённый вызов с одним аргументом. Для обычного числа линий задавайте пределы. У mo/co дополнительный type выбирает real, imag или both; у стационарных eo/ho такого выбора нет. В тепловом описании lower_V/upper_V — сохранённые имена аргументов, но физическая величина изолиний — температура.

При сравнении режимов фиксируйте пределы карты, размер стрелок, состояние smoothing, положение контура и компоненту комплексной величины. Выбор реальной части зависит от фазы возбуждения, а модуль не сохраняет знак. Изображение и исходная числовая таблица должны сопровождать друг друга.

Таблица Р.46.1. Числовой график, карта поля и экспорт
КартаПорядок аргументов
mo_showdensityplotlegend,gscale,upper_B,lower_B,type
eo_showdensityplotlegend,gscale,type,upper_D,lower_D
ho/co_showdensityplotlegend,gscale,type,upper,lower
mo_showcontourplotnumcontours,lower_A,upper_A,type
eo/ho_showcontourplotnumcontours,lower_V,upper_V
co_showcontourplotnumcontours,lower_V,upper_V,type; скобка исправлена по описанию PDF

Проверьте на своей модели

  • Экспортируйте makeplot в CSV и убедитесь, что количество строк соответствует выбранной выборке.
  • Постройте два режима на одной шкале и отдельно подпишите выбранную комплексную компоненту.
  • Не применяйте параметры магнитной карты к тепловой по памяти.

Источник: [33]. § 3.7.1 · § 3.7.4 · § 3.9.4 · § 3.11.4 · § 3.13.4 · § 4.2

Разобранный численный пример

Теплопроводность однородной пластины — аналитический эталон

Дано. Пластина L=10\,\mathrm{мм}; высота 10 мм, глубина 100 мм, S=0{,}001\,\mathrm{м^2}; k=10\,\mathrm{Вт/(м\cdot К)}; слева 373,15 К, справа 293,15 К; сверху и снизу теплоизоляция.

  1. Разность температур 80 К равна разности в градусах Цельсия; абсолютные значения в FEMM вводятся в кельвинах.

  2. При постоянном k и отсутствии внутренних источников температура линейна.

  3. В середине T=333{,}15\,\mathrm{К}; плотность теплового потока 80000 Вт/м²; полный поток 80 Вт.

Ответ: T(5\,\mathrm{мм})=333{,}15\,\mathrm{К}; q_x=80000\,\mathrm{Вт/м^2}; Q=80\,\mathrm{Вт}.

Проверка: Сумма полных потоков через все границы с единой внешней нормалью равна нулю. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.

Углублённый разбор

Сила между параллельными проводниками: три полевых метода и точный ориентир

Физический объект и система координат

Два длинных параллельных проводника взаимодействуют магнитными полями. В шинопроводах эта сила определяет механическую нагрузку креплений, особенно при больших токах. В плоской модели ток направлен вдоль z, а поперечное сечение лежит в xy. Входные данные — токи, расстояние осей, форма и материал; выходные — поле и сила на заданной активной длине.

Зададим центры сечений x=-10 и +10 мм, y=0; радиус 1 мм; токи +100 А по z; глубина 100 мм. Сила на левый провод направлена по +x. Компонента F_y в идеальной симметрии равна нулю. Противоположные токи создают отталкивание. Явная система координат устраняет неоднозначность старых подписей F_x /F_y.

Методическая идея Байды — решить одну задачу несколькими способами — выполнена на заново построенной геометрии. Здесь объясняется связь физического интеграла с кодом FEMM 5, а не порядковый номер кнопки в старом интерфейсе.

Аналитическая сила и три интеграла

Поле длинного провода снаружи равно \mu _{0}I/(2\pi r). Подстановка в силу I l\times B второго провода даёт \mu _{0}I1I2l/(2\pi d). Для непересекающихся круглых сечений с равномерным током пространственное усреднение внешнего поля согласуется с этим результатом. Концевые эффекты исключены.

Первый полевой метод — объёмный интеграл Лоренца. Он применим к немагнитному проводнику с \mu _{r}=1; собственное поле в идеальном интеграле не создаёт результирующей силы. Второй метод — тензор Максвелла по замкнутому контуру в воздухе. Контур отодвигают от границы проводника, где производные поля особенно чувствительны к сетке. Третий метод, WST, использует весовую функцию и усредняет напряжения в окружающей области.

Нативные коды: blockintegral(11/12) для Лоренца, blockintegral(18/19) для WST, lineintegral(3) для контурной силы. В плоской DC-задаче последний возвращает (F_x , F_y ). Обход контура согласован с внешней нормалью FEMM; изменение обхода позволяет отдельно проверить знак.

F_x=\frac{\mu_0I_1I_2l}{2\pi d},\qquad F_y=0
(4.7)
Положительный F_x относится к левому проводу; токи одинакового направления.
\mathbf F=\int_V\mathbf J\times\mathbf B\,dV=\oint_S\left[\frac{\mathbf B\mathbf B}{\mu_0}-\frac{B^2}{2\mu_0}\mathbf I\right]\mathbf n\,dS
(4.8)
Равенство предполагает воздушный контур, согласованную глубину и магнитостатическую постановку.

Почему методы сходятся с разной скоростью

Линейные элементы восстанавливают B из производных потенциала. Контурный интеграл квадратичен по B и чувствителен к расположению контура в сетке. Три воздушных контура в одном поле относятся к одной физической задаче; их разброс характеризует постобработку, а не три разных физических силы.

WST обычно менее чувствителен к одному контурному выбору, однако тоже требует проверки. В серии изменены ближняя сетка и внешний радиус. Перестроение внешней области меняет внутреннюю триангуляцию, поэтому разность двух радиусов при одинаковом заданном h не является строго чистым эффектом усечения.

Для нулевой F_y нужна абсолютная невязка. Делить её на точное нулевое значение нельзя. Если результат используется для прочности креплений, необходимо отдельно оценить применимость плоской модели и конечную длину проводников.

\varepsilon_x=|F_{x,FE}/F_{x,exact}-1|,\qquad\varepsilon_y^{abs}=|F_{y,FE}|
(4.9)
Разные показатели для ненулевой и нулевой компоненты.

Три метода на двух проводах

Дано. I1=I2=100 А, d=20 мм, l=100 мм; точный ответ F_x =0{,}010000 Н, F_y =0.

  1. h=0.3 мм, R=100 мм: Лоренц F_x =0.010195796 Н, WST F_x =0.010005166 Н; WST F_y=-6,17 × 10⁻⁶ Н.

  2. h=0.15 мм, R=100 мм: Лоренц F_x =0.010037183 Н, WST F_x =0.010006128 Н; WST F_y=-769 × 10⁻⁹ Н.

  3. h=0.15 мм, R=200 мм: Лоренц F_x =0.010074910 Н, WST F_x =0.010009975 Н; WST F_y=1,62 × 10⁻⁶ Н.

Ответ. При h=0{,}15 мм и R=100 мм ошибка Лоренца 0,372%, WST — 0,0613%. Три контурных F_x лежат в пределах 0,010077…0,010134 Н.

Проверка. Перенос границы меняет триангуляцию и не обязан монотонно улучшать каждый интеграл. Все остатки сохранены в таблице.

Самостоятельное воспроизведение и расширение

  1. Запустите 02-conductor-force.py; восстановите направления токов и силы.
  2. Сравните три метода и три контура, выпишите абсолютный остаток F_y.
  3. Для опыта с противоположными токами сначала создайте две независимые цепи, затем измените знак тока одной из них.
  4. Уточните ближнюю сетку при фиксированной области, затем отдельно измените внешний радиус.

Ожидаемый результат. Три варианта сетки и области; для каждого Лоренц, WST и три контура.

Проверка.

  • Аналитический знак и модуль силы.
  • Глубина 100 мм.
  • Абсолютная невязка нулевой компоненты.
Лоренц, WST и три контурных интеграла

Три магнитостатические модели; провода с \mu _{r}=1, без концевых эффектов.

Проверка программы. Программа выполнена во встроенном Python FEMM 5.0. Это ограниченная проверка указанной постановки, не эксперимент.

Скачать программу для встроенного Python FEMM 5

Для запуска сохраните необходимые файлы, сохраняя их имена и структуру подпапок:

MicroPython · FEMM 5
"""Два длинных круглых провода: Лоренц, WST и контур Максвелла.
Радиус 1 мм, оси x=+-10 мм, I=100 А, глубина 100 мм, DC.
Одинаковые токи притягиваются; сила левого провода направлена по +x.
Концевые эффекты не учитываются. Сетка и внешний радиус проверяются раздельно.
"""

# Каталог сценария определяется явно: запуск не зависит от чужого CWD.
import os
import sys

os.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(sys.argv[0])))
exec(open("common.py").read())
folder = result_folder("results-conductor-force")
rows = []
exact = MU0 * 100**2 * 0.1 / (2 * math.pi * 0.02)
for mesh, radius in [(0.3, 100), (0.15, 100), (0.15, 200)]:
    newdocument(0)
    mi_probdef(0, "millimeters", "planar", 1e-10, 100, 30)
    material("Air")
    mi_addcircprop("I", 100, 1)
    for x, group in [(-10, 1), (10, 2)]:
        circle(x, 0, 1)
        label(x, 0, "Air", mesh, "I", 1, group)
    label(0, 0, "Air", 2 * mesh)
    # Вдали от проводов достаточно редкой сетки; уточняем рабочую область.
    circle(0, 0, 25)
    label(50, 0, "Air", 5)
    a0_circle(radius)
    solve(folder, "mesh-%g-R-%g" % (mesh, radius))
    mo_groupselectblock(1)
    lorentz = [mo_blockintegral(11), mo_blockintegral(12)]
    weighted = [mo_blockintegral(18), mo_blockintegral(19)]
    mo_clearblock()
    contours = []
    for r in [2, 3, 4]:
        mo_clearcontour()
        # Обход по часовой стрелке соответствует внешней нормали FEMM.
        for x, y in [
            (-10 - r, -r),
            (-10 - r, r),
            (-10 + r, r),
            (-10 + r, -r),
            (-10 - r, -r),
        ]:
            mo_addcontour(x, y)
        contours.append([r, list(mo_lineintegral(3))])
    rows.append(
        {
            "mesh_mm": mesh,
            "outer_radius_mm": radius,
            "exact_Fx_N": exact,
            "Lorentz_N": lorentz,
            "WST_N": weighted,
            "Maxwell_contours_N": contours,
            "elements": mo_numelements(),
        }
    )
    close_magnetic()
    save_json(folder, rows)
assert abs(rows[-1]["Lorentz_N"][0] / exact - 1) < 0.02
print(rows)

Сохранённые численные результаты: таблица JSON. Просмотр серий доступен на отдельной странице исследования.

Границы модели.

Собственное изложение и независимая геометрия по методической идее Байды. Координаты и интегралы сверены с FEMM 5.

Первоисточники: [125] (Разбор сил между параллельными проводниками. Доступный PDF содержит 94 страницы, а не 147.).

Практикум в FEMM 5

Снимите T и q в точке, профиль вдоль пластины и поток через поперечный контур; разверните порядок точек контура.

Таблица 4.4. Исходные данные практикума
Исходная величинаЗначениеЕдиница
L10мм
Глубина100мм
k10Вт/(м·К)
T_{\mathrm{left}}373,2К
T_{\mathrm{right}}293,2К
  1. Создайте Heat Flow Problem: millimeters, Planar, Depth=100. Нарисуйте прямоугольник (0,0)–(10,10).
  2. В Material Properties задайте k_x=k_y=10\,\mathrm{Вт/(м\cdot К)}, объёмный источник q_v=0. Разместите метку материала.
  3. В Boundary Properties создайте Fixed Temperature: 373.15 и 293.15 К и назначьте левой и правой сторонам. Горизонтальные границы оставьте теплоизолированными.
  4. Постройте сетку и решите задачу. Прочитайте температуру в (5,5); проведите вертикальный контур и проинтегрируйте нормальный тепловой поток с указанным направлением.

Ожидаемый результат. T(5\,\mathrm{мм})=333{,}15\,\mathrm{К}; q_x=80000\,\mathrm{Вт/м^2}; Q=80\,\mathrm{Вт}. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.

Как проверить. Сумма полных потоков через все границы с единой внешней нормалью равна нулю. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.

Обработка и анализ результатов

Почему разворот контура меняет знак потока при неизменной температуре?

  1. Запишите температуру и плотность потока в точке, полный поток двух ориентаций контура и сумму граничных потоков.
  2. Приведите результаты к одинаковым единицам и ориентации; вычислите невязку независимых способов измерения.

С чем сравнить. Используйте интегральный закон и ориентацию контура из теории занятия. Плотность, интеграл по сечению и полный объёмный результат сравнивают после учёта геометрического множителя.

Итог работы. Таблица единиц и направлений с проверкой теплового баланса.

Самостоятельная работа

Снимите T и q в точке, профиль вдоль пластины и поток через поперечный контур; разверните порядок точек контура. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.

Критерий выполнения: Записаны T_{\mathrm{mid}}=333{,}15\,\mathrm{К}, |q_x|=80000\,\mathrm{Вт/м^2} и |Q|=80\,\mathrm{Вт}; разворот контура меняет знак ориентированного интеграла без изменения поля.
Первоисточники и дополнительное чтение по занятию
  1. [33] — 39–52, 59–65, 72–77, 83–88
  2. [125] — Разбор сил между параллельными проводниками. Доступный PDF содержит 94 страницы, а не 147.
Пояснения и типичные ошибки
Почему нельзя сопоставлять 80000 Вт/м² и 80 Вт напрямую?

Первая величина — плотность потока, вторая включает площадь сечения 0,001 м².

Какое контрольное число и единица проверяют этот опыт?

T(5\,\mathrm{мм})=333{,}15\,\mathrm{К}; q_x=80000\,\mathrm{Вт/м^2}; Q=80\,\mathrm{Вт}.

При каких предположениях получена приведённая формула?

Стационарная теплопроводность с заданными температурами; движение газа или жидкости не вычисляется.

На что обратить внимание

  • Выбор блока сохраняется между действиями; интегрирование случайно выделенного воздуха может давать правдоподобный, но иной результат.
  • Стационарная теплопроводность с заданными температурами; движение газа или жидкости не вычисляется.