Обозначения и понятия теории поля

$\varphi(\vec r)$ · скалярное поле

Единица СИ: —. Функция, сопоставляющая каждой точке пространства число. Примеры: потенциал φ, температура T.

• Скалярные и векторные поля. Системы координат

$\vec F(\vec r)$ · векторное поле

Единица СИ: —. Функция, сопоставляющая каждой точке вектор. Примеры: E, B, J, q.

• Скалярные и векторные поля. Системы координат

$\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z$ · декартов базис

Единица СИ: —. Ортонормированные постоянные базисные векторы прямоугольной системы координат.

• Скалярные и векторные поля. Системы координат

$\vec e_r,\vec e_\alpha,\vec e_z$ · цилиндрический базис

Единица СИ: —. Ортонормированный базис цилиндрической системы (r, α, z); направления e_r и e_α зависят от точки.

• Скалярные и векторные поля. Системы координат

$\nabla\varphi$ · градиент

Единица СИ: [φ]/м. Вектор наибольшей скорости возрастания скалярного поля; ортогонален поверхности уровня.

• Градиент и производная по направлению

$\nabla\cdot\vec F$ · дивергенция

Единица СИ: [F]/м. Предел отношения потока через замкнутую поверхность к объёму внутри неё; плотность источников.

• Дивергенция и поток

$\nabla\times\vec F$ · ротор

Единица СИ: [F]/м. Вектор, проекция которого на нормаль равна пределу отношения циркуляции к площади контура; плотность вихрей. В англоязычной литературе этот оператор называют curl.

• Ротор и циркуляция

$\Delta\varphi=\nabla^2\varphi$ · лапласиан

Единица СИ: [φ]/м². ∇· ∇ φ; описывает, насколько значение в точке отклоняется от среднего по окрестности.

• Теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса. Лапласиан

$\partial\varphi/\partial \vec l$ · производная по направлению

Единица СИ: [φ]/м. Скорость изменения скалярного поля вдоль единичного вектора l: равна ∇ φ · l.

• Градиент и производная по направлению

$\oint_S \vec F\cdot\vec n\,\mathrm dS$ · поток через замкнутую поверхность

Единица СИ: [F]·м². Интеграл нормальной составляющей поля по поверхности; n — внешняя нормаль.

• Кривые, поверхности и интегралы по ним
• Дивергенция и поток

$\oint_L \vec F\cdot\mathrm d\vec l$ · циркуляция

Единица СИ: [F]·м. Интеграл тангенциальной составляющей поля по замкнутому ориентированному контуру.

• Кривые, поверхности и интегралы по ним
• Ротор и циркуляция

$\vec n$ · единичная нормаль

Единица СИ: —. Единичный вектор, перпендикулярный поверхности. Для замкнутой поверхности — внешняя; для поверхности с контуром — согласована с обходом по правилу правого винта.

• Кривые, поверхности и интегралы по ним

$\vec E$ · напряжённость электрического поля

Единица СИ: В/м. Сила, действующая на единичный пробный положительный заряд.

• Электростатическое поле

$\varphi$ · электрический потенциал

Единица СИ: В. Скалярный потенциал: E = −∇ φ. Определён с точностью до постоянной (опорный потенциал).

• Электростатическое поле

$\vec D$ · электрическое смещение (электрическая индукция)

Единица СИ: Кл/м². D = ε₀E + P; поток D через замкнутую поверхность равен свободному заряду внутри.

• Электростатическое поле

$\vec P$ · поляризованность

Единица СИ: Кл/м². Дипольный момент единицы объёма диэлектрика.

• Электростатическое поле

$\rho$ · объёмная плотность заряда

Единица СИ: Кл/м³. Заряд в единице объёма. Не путать с удельным сопротивлением ρ_э и плотностью массы ρ_m — в курсе используются индексы.

• Электростатическое поле

$\sigma_s$ · поверхностная плотность заряда

Единица СИ: Кл/м². Заряд на единице площади поверхности (индекс s отличает от проводимости σ).

• Электростатическое поле
• Материальные уравнения и границы раздела сред

$\varepsilon_0$ · электрическая постоянная

Единица СИ: Ф/м. 8,854·10⁻¹² Ф/м.

$\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$ · диэлектрическая проницаемость

Единица СИ: Ф/м. Абсолютная проницаемость; ε_r — относительная (безразмерная).

• Материальные уравнения и границы раздела сред

$q,\;Q$ · электрический заряд

Единица СИ: Кл. q — точечный или элементарный заряд, Q — полный заряд тела.

$U$ · напряжение

Единица СИ: В. Разность потенциалов между двумя точками: U = ∫E·dl.

• Ёмкость, энергия и силы в электростатике

$C$ · ёмкость

Единица СИ: Ф. C = Q/U для двухэлектродной системы; C_ij — элементы матрицы ёмкостей.

• Ёмкость, энергия и силы в электростатике

$W_{\mathrm э}$ · энергия электрического поля

Единица СИ: Дж. W = ½∫E·D dV.

• Ёмкость, энергия и силы в электростатике
• Энергия, коэнергия, сила и момент

$\vec J$ · плотность электрического тока

Единица СИ: А/м². Заряд, проходящий в единицу времени через единицу площади, нормальной к направлению тока.

• Поле стационарного электрического тока

$I$ · сила тока

Единица СИ: А. Поток плотности тока через поверхность: I = ∫J·n dS.

• Поле стационарного электрического тока

$\sigma$ · удельная электрическая проводимость

Единица СИ: См/м. Коэффициент в локальном законе Ома J = σE.

• Поле стационарного электрического тока

$\rho_{\mathrm э}=1/\sigma$ · удельное электрическое сопротивление

Единица СИ: Ом·м. Обратная величина проводимости.

• Поле стационарного электрического тока

$R,\;G$ · сопротивление и проводимость

Единица СИ: Ом, См. R = U/I; G = 1/R.

• Поле стационарного электрического тока

$p_{\mathrm{Дж}}=\vec J\cdot\vec E$ · объёмная плотность потерь Джоуля

Единица СИ: Вт/м³. Мощность тепловыделения в единице объёма проводника.

• Поле стационарного электрического тока
• Связанные электромагнитно-тепловые задачи

$\mathrm j$ · мнимая единица

Единица СИ: —. j² = −1. Обозначение j выбрано, чтобы не конфликтовать с силой тока i и плотностью тока J.

• Электромагнитная индукция и фазоры

$\dot{X}$ · комплексная амплитуда (фазор)

Единица СИ: [X]. x(t) = Re{Ẋ e^{jωt}}; в курсе фазоры — амплитудные (не действующие) значения.

• Электромагнитная индукция и фазоры

$\omega=2\pi f$ · угловая частота

Единица СИ: рад/с. f — частота, Гц.

$\sigma+\mathrm j\omega\varepsilon$ · комплексная проводимость (адмиттивность)

Единица СИ: См/м. Объединяет токи проводимости и смещения в гармоническом режиме.

• Гармонические токи: проводимость и смещение

$\vec B$ · магнитная индукция

Единица СИ: Тл. Силовая характеристика магнитного поля: F = q v × B. ∇· B = 0.

• Магнитостатика: B, H и векторный потенциал

$\vec H$ · напряжённость магнитного поля

Единица СИ: А/м. ∇× H = J; связана с B материальным уравнением B = μH (или B = μ₀(H + M)).

• Магнитостатика: B, H и векторный потенциал

$\vec M$ · намагниченность

Единица СИ: А/м. Магнитный момент единицы объёма.

• Магнитные цепи, насыщение и постоянные магниты

$\mu_0$ · магнитная постоянная

Единица СИ: Гн/м. 4π·10⁻⁷ Гн/м ≈ 1,2566·10⁻⁶ Гн/м.

$\mu=\mu_r\mu_0$ · магнитная проницаемость

Единица СИ: Гн/м. Абсолютная проницаемость; μ_r — относительная.

• Материальные уравнения и границы раздела сред
• Магнитные цепи, насыщение и постоянные магниты

$\vec A$ · векторный магнитный потенциал

Единица СИ: Вб/м. B = ∇× A; в плоских задачах достаточно одной компоненты A_z.

• Магнитостатика: B, H и векторный потенциал

$\Phi$ · магнитный поток

Единица СИ: Вб. Φ = ∫_S B·n dS — поток индукции через ориентированную поверхность.

• Магнитный поток, потокосцепление и ЭДС индукции

$\Psi$ · потокосцепление

Единица СИ: Вб. Сумма потоков, сцепленных с каждым витком обмотки: Ψ = ΣΦ_k; при равных потоках Ψ = NΦ.

• Магнитный поток, потокосцепление и ЭДС индукции

$N$ · число витков

Единица СИ: —. Количество витков обмотки.

$e$ · ЭДС индукции

Единица СИ: В. e = −dΨ/dt при согласованной ориентации контура и нормали.

• Магнитный поток, потокосцепление и ЭДС индукции
• Электромагнитная индукция и фазоры

$L,\;M$ · собственная и взаимная индуктивности

Единица СИ: Гн. L = Ψ/I для линейной системы; M_{12} = Ψ_{12}/I_2.

• От поля к интегральным величинам

$L_{\mathrm{сек}},\;L_{\mathrm{диф}}$ · секущая и дифференциальная индуктивности

Единица СИ: Гн. Ψ/I и dΨ/dI соответственно; совпадают только в линейной системе.

• Энергия, коэнергия, сила и момент

$R_{\mathrm м}$ · магнитное сопротивление

Единица СИ: А/Вб = 1/Гн. R_м = l/(μS) для участка магнитной цепи.

• Магнитные цепи, насыщение и постоянные магниты

$F=Ni$ · магнитодвижущая сила (МДС)

Единица СИ: А. Циркуляция H по контуру магнитной цепи.

• Магнитные цепи, насыщение и постоянные магниты

$W_{\mathrm м},\;W'_{\mathrm м}$ · энергия и коэнергия магнитного поля

Единица СИ: Дж. W = ∫₀^Ψ i dΨ, W' = ∫₀^i Ψ di; совпадают в линейной системе. Штрих у W зарезервирован за коэнергией; погонная энергия обозначается W_ℓ.

• Энергия, коэнергия, сила и момент

$B_r,\;H_{cB}$ · остаточная индукция и коэрцитивная сила (по индукции)

Единица СИ: Тл, А/м. Параметры постоянного магнита; B = μ_rec μ₀ H + B_r на линейном участке размагничивания. Индекс B отличает коэрцитивную силу от H_c — напряжённости поля в сердечнике магнитной цепи.

• Магнитные цепи, насыщение и постоянные магниты

$\vec K$ · поверхностная плотность тока

Единица СИ: А/м. Ток на единицу ширины тонкого слоя на границе раздела; H_{2t} − H_{1t} = K (нормаль из среды 1 в среду 2).

• Материальные уравнения и границы раздела сред
• Магнитостатика: B, H и векторный потенциал

$n=N/\ell$ · плотность намотки

Единица СИ: 1/м. Число витков на единицу длины; в длинном соленоиде H = nI, B = μ₀nI.

• Магнитостатика: B, H и векторный потенциал
• Размерность моделей: плоские и осесимметричные задачи

$\Lambda=1/R_{\mathrm м}$ · магнитная проводимость

Единица СИ: Гн. Обратная величина магнитного сопротивления; для параллельных участков цепи складываются проводимости.

• Магнитные цепи, насыщение и постоянные магниты

$Z_s=R_s+\mathrm jX_s$ · поверхностный импеданс

Единица СИ: Ом. Отношение тангенциальных фазоров E и H на поверхности проводника; при сильном скин-эффекте R_s = X_s = 1/(σδ).

• Вихревые токи, скин-эффект и потери

$\delta$ · глубина проникновения

Единица СИ: м. δ = √(2/(ωμσ)) — расстояние, на котором амплитуда поля убывает в e раз.

• Вихревые токи, скин-эффект и потери

$Z=R+\mathrm jX$ · комплексное сопротивление (импеданс)

Единица СИ: Ом. Отношение комплексных амплитуд напряжения и тока.

• Вихревые токи, скин-эффект и потери
• От поля к интегральным величинам

$\overleftrightarrow{T}$ · тензор натяжений Максвелла

Единица СИ: Н/м². Позволяет вычислять силу интегрированием по поверхности, охватывающей тело.

• Энергия, коэнергия, сила и момент

$T$ · температура

Единица СИ: К (или °C). Абсолютная температура в кельвинах; в формулах излучения — только К.

• Температурное поле и закон Фурье

$\vartheta=T-T_0$ · превышение температуры

Единица СИ: К. Разность температур; не путать с температурой T.

• Температурное поле и закон Фурье

$\vec q$ · плотность теплового потока

Единица СИ: Вт/м². q = −λ ∇ T (закон Фурье).

• Температурное поле и закон Фурье

$P,\;\Phi_{\mathrm т}$ · тепловой поток (мощность)

Единица СИ: Вт. Интеграл q·n по поверхности.

• Граничные условия теплообмена и тепловые схемы

$\lambda$ · коэффициент теплопроводности

Единица СИ: Вт/(м·К). Может быть тензором в анизотропных средах и зависеть от T.

• Температурное поле и закон Фурье

$q_V$ · объёмная мощность тепловыделения

Единица СИ: Вт/м³. Источник в уравнении теплопроводности; для джоулева нагрева q_V = J·E.

• Температурное поле и закон Фурье
• Связанные электромагнитно-тепловые задачи

$c,\;\rho_m$ · удельная теплоёмкость и плотность

Единица СИ: Дж/(кг·К), кг/м³. Произведение ρ_m c — объёмная теплоёмкость.

• Нестационарная теплопроводность

$a=\lambda/(\rho_m c)$ · коэффициент температуропроводности

Единица СИ: м²/с. Определяет скорость выравнивания температуры.

• Нестационарная теплопроводность

$\alpha$ · коэффициент теплоотдачи

Единица СИ: Вт/(м²·К). q = α(T_s − T_∞) — конвективное граничное условие (закон Ньютона–Рихмана).

• Граничные условия теплообмена и тепловые схемы

$\varepsilon_{\mathrm и}$ · степень черноты

Единица СИ: —. Коэффициент излучения поверхности, 0…1.

• Граничные условия теплообмена и тепловые схемы

$\sigma_{\mathrm{СБ}}$ · постоянная Стефана–Больцмана

Единица СИ: Вт/(м²·К⁴). 5,670·10⁻⁸ Вт/(м²·К⁴).

• Граничные условия теплообмена и тепловые схемы

$R_{\mathrm т}$ · тепловое сопротивление

Единица СИ: К/Вт. R_т = ΔT/P; для стенки R_т = d/(λS).

• Граничные условия теплообмена и тепловые схемы

$\mathrm{Bi}=\alpha L/\lambda$ · число Био

Единица СИ: —. Отношение внутреннего (кондуктивного) сопротивления к внешнему (конвективному).

• Нестационарная теплопроводность

$\mathrm{Fo}=at/L^2$ · число Фурье

Единица СИ: —. Безразмерное время нестационарного процесса.

• Нестационарная теплопроводность

$\tau$ · линейная плотность заряда

Единица СИ: Кл/м. Заряд на единицу длины нити или провода; для коаксиала D = τ/(2πr).

• Скалярные и векторные поля. Системы координат
• Кривые, поверхности и интегралы по ним
• От поля к интегральным величинам

$\tau_{\mathrm р}=\varepsilon/\sigma$ · время релаксации заряда

Единица СИ: с. Характерное время рассасывания свободного заряда в проводящей среде; совпадает с RC для той же геометрии.

• Гармонические токи: проводимость и смещение
• Поле стационарного электрического тока

$\operatorname{tg}\delta=\sigma/(\omega\varepsilon)$ · тангенс угла диэлектрических потерь

Единица СИ: —. Отношение активного тока к реактивному в диэлектрике; δ здесь — угол потерь, а не глубина проникновения.

• Гармонические токи: проводимость и смещение

$\varepsilon=\varepsilon'-\mathrm j\varepsilon''$ · комплексная диэлектрическая проницаемость

Единица СИ: Ф/м. Мнимая часть описывает диэлектрические потери: q_V = ½ωε″|Ė|² (амплитудные фазоры).

• Связанные электромагнитно-тепловые задачи
• Гармонические токи: проводимость и смещение

$\alpha_\rho$ · температурный коэффициент сопротивления

Единица СИ: 1/К. ρ_э(T) = ρ_э0[1 + α_ρ(T − T₀)]; для меди ≈ 3,9·10⁻³ 1/К.

• Материальные уравнения и границы раздела сред
• Поле стационарного электрического тока
• Связанные электромагнитно-тепловые задачи

$\kappa$ · коэффициент тепловой обратной связи

Единица СИ: —. κ = I²R′₀α_ρ/(2πaα): отношение прироста потерь к приросту теплоотвода при нагреве; при κ ≥ 1 стационарного режима нет (тепловой разгон).

• Связанные электромагнитно-тепловые задачи

$p=\tfrac12\varepsilon E_n^2$ · электрическое натяжение на поверхности проводника

Единица СИ: Па. Равно плотности энергии поля у поверхности; направлено по внешней нормали проводника (растягивает его).

• Ёмкость, энергия и силы в электростатике
• Энергия, коэнергия, сила и момент

$\tilde S=P+\mathrm jQ$ · комплексная мощность

Единица СИ: В·А. ½U̇İ* для амплитудных фазоров; P — активная, Q — реактивная мощность (не путать с зарядом Q).

• Электромагнитная индукция и фазоры
• Гармонические токи: проводимость и смещение

$\lambda_{\mathrm в}=c/f$ · длина электромагнитной волны

Единица СИ: м. Критерий квазистатики: размер L ≪ λ_в. Не путать с теплопроводностью λ.

• Уравнения Максвелла и переход к статике
• Вихревые токи, скин-эффект и потери

$R_{\mathrm к}$ · контактное тепловое сопротивление

Единица СИ: м²·К/Вт (удельное) или К/Вт. Скачок температуры на контакте двух тел, делённый на плотность теплового потока (или на поток).

• Материальные уравнения и границы раздела сред
• Граничные условия теплообмена и тепловые схемы

$\alpha_{\mathrm{изл}}$ · коэффициент теплоотдачи излучением (линеаризованный)

Единица СИ: Вт/(м²·К). ε_и σ_СБ (T_s² + T_окр²)(T_s + T_окр); позволяет включить излучение в тепловую схему замещения.

• Граничные условия теплообмена и тепловые схемы

$E_m,\;E$ · амплитуда и действующее значение ЭДС

Единица СИ: В. В уроках об индукции E_m = ωΨ_m, E = E_m/√2 = 4,44 f Ψ_m; не путать с модулем напряжённости |E|.

• Магнитный поток, потокосцепление и ЭДС индукции
• Электромагнитная индукция и фазоры

$h$ · полутолщина пластины

Единица СИ: м. В уроке о вихревых токах пластина имеет толщину 2h; в уроках о численных методах h — размер элемента сетки.

• Вихревые токи, скин-эффект и потери

$h$ · характерный размер элемента сетки

Единица СИ: м. Параметр дискретизации; погрешность ∝ h^p.

• Сходимость, проверки и верификация

$N_i(\vec r)$ · функция формы

Единица СИ: —. Базисная функция конечного элемента; равна 1 в узле i и 0 в остальных узлах.

• Основы численного моделирования полей

$\mathbf K\mathbf u=\mathbf f$ · система уравнений МКЭ

Единица СИ: —. K — матрица жёсткости (глобальная), u — узловые значения, f — вектор нагрузки.

• Основы численного моделирования полей

$p$ · порядок сходимости

Единица СИ: —. Показатель в оценке погрешности e ≈ C h^p.

• Сходимость, проверки и верификация

$d$ · глубина плоской модели

Единица СИ: м. Длина в направлении, перпендикулярном плоскости модели; величины на единицу длины умножаются на d. В остальных уроках d — толщина слоя, пластины или зазора (определяется по месту).

• Размерность моделей: плоские и осесимметричные задачи

$C_W=2W_h/U^2,\;C_Q=Q_h/U$ · ёмкость по энергии и по заряду

Единица СИ: Ф (Ф/м). Два способа вычислить ёмкость из дискретного решения; их расхождение — внутренняя оценка погрешности сетки.

• Сходимость, проверки и верификация