Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Определение потерь и границы энергетического баланса
Инженерный вопрос. Как соседний проводник меняет потери при одинаковом действующем токе?
Свяжите требование по потоку, ЭДС, моменту, мощности, потерям или нагреву с наблюдаемой величиной и сравнимыми режимами. Такой переход позволяет выбрать необходимую сложность модели машины.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Перечислите учитываемые механизмы и области потерь; укажите проводимость, частоту и нормировку. Неучтённые торцевые и гистерезисные вклады записываются отдельно.
Результат этого занятия. Сравнение AC и DC потерь с контролем сетки относительно глубины проникновения.
Данные именно этого опыта. Сохраните частоту, нормировку тока, профиль плотности и потери одиночного проводника и пары.
Оформление наблюдений. Потери по областям и механизмам, входная мощность, токовая нормировка и частота; отдельно — добавленные сопротивления и происхождение их значений.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Потери проверяют интегрированием и сходимостью. Формула для полупространства не заменяет решение с близкими проводниками. Интерактивная иллюстрация имеет собственные параметры и допущения, перечисленные в её подписи; её число не является результатом этого практикума. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Независимый контроль. Сведите мощности выводов и объёмные потери в один баланс, используя физически одинаковые границы системы.
Критерий выполнения. Нормировка тока одинакова; контроль \delta =0{,}93459\,\mathrm{мм} при 5 кГц; потери активной длины отделены от лобовых и неопределённости модели обмотки.
Точность и расхождения. Уточняйте сетку в проводнике относительно глубины проникновения; неопределённость проводимости и дополнительных сопротивлений отделяйте от сеточного изменения.
Основание сравнения. Используйте определения потерь и глубины проникновения из занятия. Формула однородного проводника или полупространства служит контрольным пределом; торцевые и неучтённые механизмы перечисляют отдельно.
Вывод для устройства
Определите, какие потери ограничивают режим или передаются тепловой модели; полный КПД нельзя получать без всех требуемых членов баланса.
Границы вывода. Проверенный двумерный вопрос является частью проектирования. Неучтённые торцевые, тепловые, механические и динамические эффекты перечисляются по назначению задачи.
Дополнительный расчётный метод
Транспонированный стержень: выбор числа элементарных проводов
Сравнение массивного и составного стержней позволяет выбрать число элементарных проводов по потерям и коэффициенту увеличения сопротивления.
При идеальной транспозиции каждый из N элементарных параллельных проводов несёт одинаковый ток. В 2D условие равенства можно задавать Series-цепью с током одного элементарного провода.Численный пример применения метода
Синусоидальный ток стержня имеет амплитуду 6000 А. По высоте 24 провода, по ширине 2; идеальная транспозиция. Для отдельной проверки DC-потерь сопротивление каждого провода задано равным 2 мОм.
Получаем N=2\cdot 24=48 проводов.
Амплитуда тока каждого провода 6000/48=125.000 А.
Действующий ток каждого провода 88.388 А; сумма равных мгновенных токов восстанавливает полный ток.
Потери отдельных проводов: P=NI_{\text{эл,д}}^2R_{\text{эл}}=750\,\text{Вт}.
Проверка по эквивалентной цепи: P=I_{\text{ст,д}}^2(R_{\text{эл}}/N)=750\,\text{Вт}.
Ответ. В FEMM-условие равных токов передаём 125 А на элемент при амплитудной нормировке. Полный ток остаётся 6000 А; вычисленные DC-потери 750 Вт служат отдельным аналитическим эталоном.
Страницы источника. PDF 1: физика; 2–3: цепь и расчётные соотношения; 4–5: измерения и варианты
Расчёт потерь в массивных сердечниках электрических машин с помощью конечно-элементных моделей
Парное сравнение токового слоя и пазовой геометрии по спектру и вихревым потерям показывает, сохраняет ли упрощение нужную характеристику массивного сердечника.
Простые конечно-элементные модели для приближённых расчётов потерь в массивных роторах
Упрощение ротора обосновывают сохранением спектра возбуждения и рабочего насыщения. Потери существенных гармоник проверяют по отдельности, затем сравнивают их сумму с полной моделью.
Получаемые величины. состав и амплитуды токового слоя; частота гармоники относительно ротора; P\nu и ошибка суммы потерь; масштаб потерь и глубины проникновения
Получить поле основной гармоники и насыщение базового режима.
Сформировать отдельные гармонические токовые слои с достаточной дискретизацией.
Назначить каждой гармонике частоту в системе ротора.
Сравнить сумму потерь с многогармонической/полной моделью.
При масштабировании проверить подобие поля, глубины проникновения и пересчёт мощности.
Страницы источника. PDF 1–17 полностью: 1–5 гармонические модели; 6–7 сравнение потерь; 8–10 физическое масштабирование; 11–15 реальные роторы и разностное поле; 16–17 литература и автор.
Аналитические коэффициенты вытеснения проверяют сопротивление прямоугольного стержня. По результатам выбирают дробление, транспозицию и форму проводника с учётом ограничений конструкции.
Электродинамические поля и проникновение в проводящий массив
Глубина проникновения, фаза и вихревые потери позволяют оценить проводящий массив и шихтовку. Сравнение выполняют при одном физическом условии: поверхностном поле, средней индукции или полном потоке.
Получаемые величины.\Delta=√(2/(\omega \mu \sigma )); комплексные B(z), J(z) и фаза; Вт/м³ и Вт вихревых потерь; отношение потерь сплошной и шихтованной области
Объявить постоянные \mu,\sigma и амплитудную нормировку.
Проверить экспоненциальное затухание и фазу в полупространстве.
Для пластины задать одинаковые условия на обеих сторонах и сравнить профиль.
Вычислить потери с множителем 1/2 для амплитуд и сопоставить при одном фиксированном поле/потоке.
Сравнить сплошной и шихтованный варианты, сохраняя фактическую среднюю индукцию и геометрию.
Страницы источника. PDF 1–42 полностью: 1–8 уравнения и энергия; 9–18 полупространство; 19–23 интегральные величины; 24–33 пластина; 34–42 потери и шихтовка.
По сопротивлению и потерям выбирают число элементарных проводников при ограниченной высоте паза и заданной изоляции. Эталон глубокого стержня объясняет частотное изменение параметров ротора.
Потери обмотки в переменном поле зависят от поверхностного эффекта и влияния соседних проводников. Модели с однородной плотностью тока и с явно заданными проводящими областями рассматриваются с учётом различий в их предположениях.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Потери обмотки в переменном поле зависят от собственного вытеснения тока и поля соседних проводников. Однородная плотность тока соответствует одному приближению, явная проводящая геометрия — другому.
Замена многопроволочной обмотки сплошным медным блоком может создать несуществующие контуры вихревого тока. Лобовые части и соединения требуют отдельного учёта; двумерные активные потери не автоматически равны полным потерям машины.
Вывод контрольного соотношения
Свяжите частоту, глубину проникновения и разрешение сетки до сравнения AC и DC потерь.
Магнитная гармоника описывает индукционные вихревые токи в своём двумерном приближении; продольные концевые эффекты отсутствуют.
Для 50 Гц подстановка даёт \delta \approx 9{,}3459\,\mathrm{мм}.
При увеличении частоты в сто раз глубина проникновения уменьшается в десять раз: \delta \approx 0{,}93459\,\mathrm{мм}.
Шаг сетки у поверхности выбирают по меньшему \delta; оценка \delta сама по себе не определяет потери конечного проводника.
Границы применимости. Магнитная гармоника описывает индукционные вихревые токи в своём двумерном приближении; продольные концевые эффекты отсутствуют.
Связь с опытом в FEMM
Сравните одиночный проводник и пару проводников при одинаковых \mathrm{RMS}-токах, затем исследуйте поле близости и сеточную сходимость потерь.
Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.
Проверка и границы вывода
Нормировка тока одинакова; контроль \delta =0{,}93459\,\mathrm{мм} при 5 кГц; потери активной длины отделены от лобовых и неопределённости модели обмотки.
Потери проверяют интегрированием и сходимостью. Формула для полупространства не заменяет решение с близкими проводниками.
Одинаковая суммарная площадь меди не делает сплошной блок эквивалентом изолированных проводников в переменном поле.
Пояснения к официальному руководству
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Комплексная проницаемость листа и встроенный учёт вихревых токов
В тонком листе переменное магнитное поле неоднородно по толщине из-за вихревых токов. Если толщина мала по сравнению с остальными геометрическими размерами, этот одномерный внутренний процесс можно включить в частотно-зависимую эффективную проницаемость. Геометрическая сетка тогда описывает пакет как сплошную среду. Это не означает исчезновения потерь: они представлены комплексным материальным законом.
Для линейного железа формула (A.11) включает относительную проницаемость \mu _{r}, проводимость \sigma, толщину металлического листа d, угловую частоту \omega и гистерезисный угол отставания \varphi _{h}. В приведённой ниже компактной записи p безразмерно; d нужно выражать в метрах, \sigma в См/м и \omega в радианах в секунду. Угол в экспоненте задаётся в радианах, хотя поле интерфейса может ожидать градусы. Указание единиц геометрии в миллиметрах не отменяет перевод величин в СИ при ручной проверке формулы.
Частотная проницаемость проводящего листа с гистерезисным запаздыванием
Формула сворачивает распределение поля по толщине тонкого металлического листа в одну комплексную относительную проницаемость. Безразмерный параметр p=(d/2)\sqrt{j\omega\sigma\mu_r\mu_0} сравнивает толщину с масштабом проникновения. Один множитель \exp (-j\varphi _{h}/2) стоит перед \tanh, второй — внутри; при p\to 0 вместе они дают \mu _{r} \exp (-j\varphi _{h}). При \varphi _{h}=0 остаётся \mu _{r} \tanh (p)/p.
d — толщина именно металла, м; \sigma — См/м; \omega — рад/с; \mu_0 — Гн/м.
\varphi_h — угол отставания B от H, рад; j^2=-1.
Условия применения. Линейное железо, тонкий лист относительно его прочих размеров, одномерное распределение по толщине, \exp (j\omega t). При нулевом p используют предел, а не прямое деление 0/0. Затем \mu _{\mathrm{fd}} заменяет \mu _{r} в формулах пакетирования; долю железа учитывают отдельно.
Две фазовые экспоненты и знаменатель сверены визуально. \mu _{\mathrm{fd}} в оригинале относительная: добавление лишнего \mu _{0} к результату нарушило бы последующую подстановку в (A.6) и (A.10).
Полученная \mu _{\mathrm{fd}} является относительной комплексной проницаемостью. В формулах пакетирования она заменяет \mu _{r}; затем учитывается доля железа и направление слоёв. При малой толщине либо малой частоте влияние вихревых токов убывает. Если одновременно отсутствует гистерезисное отставание, предел равен исходной \mu _{r}. Если вихревые токи исчезают, но \varphi _{h} остаётся, сохраняется комплексный множитель \exp (-j\varphi _{h}).
Множитель гистерезисного запаздывания остаётся и без вихревого вытеснения. При нулевом запаздывании сохраняется только диффузионное действие проводящего листа.
p — безразмерный параметр диффузии; \varphi_h — угол запаздывания, рад в экспоненте; \mu_{\mathrm{fd}} — эффективная относительная проницаемость.
Условия применения. Пределы выводятся из модели (A.11) при соглашении e^{j\omega t}; параметры должны быть согласованы с предположениями о листе и гармоническом режиме. Угол \varphi_h подставляется в экспоненту в радианах.
p_{179} прямо указывает множитель \exp (-j\varphi _{h}) для нештихтованного материала. Два предельных выражения раскрывают проверку номерной формулы (A.11), сама формула здесь не дублируется целиком.
При принятой временной зависимости \exp (j\omega t) положительное отставание B от H соответствует отрицательной мнимой части проницаемости. Оно даёт положительную среднюю магнитную потерю. Для массивного материала приближённый гистерезисный эффект также можно представить множителем \exp (-j\varphi _{h}), но проводимость и сетка массивного тела должны описывать его вихревые токи отдельно. Нельзя автоматически считать, что слой и массивный брусок с одинаковой сталью имеют одинаковые потери.
Для нелинейных листов постоянная \mu _{r} в этой формуле не заменяет процедуру приложения A.4: FEMM строит эффективную характеристику с решением внутренней одномерной нелинейной задачи. Потери, уже включённые выбранной моделью материала, нельзя повторно прибавлять к тому же объёму по внешней формуле. Дополнительная эмпирическая модель потерь должна явно представлять отсутствующий механизм либо служить независимым сравнением.
Средняя плотность потерь, представленная комплексной магнитной связью, при амплитудных фазорах и \exp (j\omega t). Для B = \mu H и \operatorname{Im} \mu < 0 результат неотрицателен; при действующих фазорах множителя 1/2 нет.
Проверьте на своей модели
В ручной оценке последовательно уменьшайте d и f: при \varphi _{h} = 0 должна восстанавливаться вещественная \mu _{r}.
Проверьте знак мнимой части и положительность потерь при принятой временной конвенции.
В балансе отдельно перечислите, какие потери уже входят в комплексную проницаемость и какие добавлены внешней моделью.
Шихтованный пакет и обмотка как составной материал
Material Type меняет физическую модель материала. Not laminated означает сплошное тело. Laminated in-plane, x-direction и y-direction задают ориентацию листов относительно сечения; направление выбирают по рисунку 2.12 и реальному пакету, а не по удобству сетки. Lam. thickness вводится в миллиметрах для самого металла без изоляции, Fill factor — доля металла в пакете.
В числителе учитывается только железо, в знаменателе — железо вместе с изоляцией. В примере обе толщины выражены в mil; одинаковая единица сокращается.
Обозначения и единицы
t_{\mathrm{Fe}} — толщина металла; t_{\mathrm{ins}} — толщина изоляции в тех же единицах; c — безразмерная доля железа. Числа 12,8 и 1,2 в примере источника заданы в mil (тысячных долях дюйма).
Условия применения. Обе толщины должны быть выражены в одинаковых единицах. В поле Lam. thickness вводится только металлическая часть, в мм.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
Magnet wire, Plain stranded wire, Litz wire, Square wire, 10% CCA и 15% CCA описывают усреднённую обмотку. У одножильного и квадратного провода Strands фиксируется равным 1; Dia задаёт диаметр либо ширину. Для многожильного провода вводят число одинаковых жил и диаметр одной жилы. Разные калибры внутри одного такого материала не поддерживаются. CCA означает омеднённый алюминий с указанной долей меди; проводимость задают для провода в целом.
Переключение на тип провода сбрасывает \mu, H_c, J и B–H, поскольку эффективные свойства выводятся из конструкции и заполнения. Для шихтованных и проводных типов H_c отключается и принудительно равна нулю: постоянный магнит таким типом не задают. В DC учитывается заполнение, в AC — также усреднённые эффекты вытеснения и близости через комплексные свойства. Поэтому сначала выберите тип, затем заново проверьте все активные поля.
В магнитном диалоге источник J вводится в МА/м², проводимость — в МСм/м, H_c — в А/м. Например, 58 МСм/м равно 58·10⁶ См/м; токовый модуль использует См/м. При ненулевой частоте суммарная плотность тока может отличаться от заданного источника из-за вихревых токов. Заданный полный ток области надёжнее выражать через Circuit Properties.
Проверьте на своей модели
Рассчитайте Fill factor из толщин металла и изоляции; проверьте, что поле толщины содержит только металл.
Сопоставьте единицы \sigma в магнитном и токовом окнах перед переносом чисел.
Проверка: Потери проверяют интегрированием и сходимостью. Формула для полупространства не заменяет решение с близкими проводниками. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.
Углублённый разбор
Индукционный нагрев: поле, мощность, поверхность и теплоперенос
Как индуктор нагревает заготовку
Индукционный нагреватель состоит из питаемой переменным током обмотки и проводящей заготовки. Магнитный поток вызывает в заготовке замкнутые вихревые токи; их джоулевы потери становятся источником тепла. Электрический контакт с заготовкой не нужен. Входные данные — частота, ток, геометрия, электропроводность и магнитная характеристика; выходные — поле, распределение тока, мощность нагрева и температура при заданном охлаждении.
Плоская спиральная катушка под круглым диском допускает осесимметричную идеализацию. Каждое кольцо тока в меридиональном сечении имеет азимутальное направление. Дискретный шаг спирали, подводящие выводы и неодинаковое охлаждение по окружности исключены. Объёмный интеграл обязан включать множитель 2\pi r: площадь сечения сама по себе не является объёмом заготовки.
Связная последовательность соответствует практикуму ENSEM, но исполняемый пример ниже уменьшен: диск радиуса 20 мм и толщины 2 мм, \mu _{r}=100, \sigma =1{,}67 МСм/м; катушка 10 витков радиусами 5…18 мм на 3…5 мм ниже диска. Ток 10 А RMS вводится как 14,1421 А амплитуды. Это самостоятельная геометрия для быстрой проверки методов, а не воспроизведение бытовой плиты автора.
Диффузия поля и разрешение скин-слоя
В квазистационарном приближении ток смещения мал по сравнению с током проводимости. Из \operatorname{rot} H=J, \operatorname{rot} E=-\partial B/\partial t и J=\sigma E в однородном линейном проводнике следует уравнение диффузии. При зависимости \exp (j\omega t) поле в полупространстве убывает как \exp[−(1+j)x/\delta]. Амплитуда уменьшается в e раз за глубину \delta, а фаза запаздывает на один радиан.
Условие h\le \delta /3 — начальный выбор размера элементов, а не доказанная точность. Сравнение \delta /3 и \delta /6 проверяет чувствительность мощности. В углах, возле ребра диска и при неоднородном насыщении нужен дополнительный контроль. При изменении частоты нельзя оставлять сетку, выбранную для низкочастотного режима.
При увеличении частоты в 25 раз глубина проникновения уменьшается в 5 раз. Это одновременно повышает вычислительную стоимость объёмной модели и улучшает асимптотическое обоснование поверхностного импеданса. Нелинейная или комплексная проницаемость требует более аккуратного определения эффективного скин-слоя, чем подстановка одного постоянного \mu _{r}.
Число 1/2 возникает при усреднении произведения амплитудных синусоид.
Когда допустима замена объёма импедансной границей
Если толщина проводника и характерный радиус кривизны намного больше \delta, поле внутри можно исключить из сетки. Его влияние на внешнее поле заменяется соотношением между касательными E и H на поверхности. Поверхностное сопротивление равно реактивной части: обе пропорциональны 1/(\sigma \delta ). В FEMM это Small Skin Depth, тип магнитной границы 1, с явно указанными \mu _{r} и \sigma.
Удаление области проводника меняет способ вычисления мощности: интеграл по отсутствующему объёму больше не определён. Мощность берут либо из потока Пойнтинга по поверхности, либо из активной мощности, передаваемой через идеальный индуктор. Если у индуктора есть собственные потери, их необходимо вычесть; иначе вся входная мощность ошибочно приписывается заготовке.
В новом опыте обмотка представлена идеальными тонкими витками, поэтому переданная мощность выражается через её потокосцепление. Для реальной Litz-катушки следует добавить её материалы и сравнивать P вход−P обмотки с P заготовки. При t/\delta \approx 1{,}6 на 1 кГц поверхностная модель имеет ограниченное основание; на 25 кГц t/\delta \approx 8{,}1, но ребро диска остаётся источником локальной ошибки.
Формула относится к идеальной токовой обмотке; её собственное сопротивление здесь равно нулю.
Слабая связь с тепловой задачей и её пределы
Магнитное решение даёт пространственную плотность потерь q. Тепловой модуль решает баланс накопления энергии, теплопроводности и внешнего теплообмена. При постоянных свойствах сначала можно рассчитать электромагнитную задачу, затем перенести мощность в тепло. При существенном нагреве электропроводность и B–H меняются, поэтому требуется внешняя итерация двух встроенных модулей.
В компактном опыте q усредняется по диску: q=P/V. Это сохраняет полную мощность, но сглаживает нагрев скин-слоя. Для локальной температуры поверхности нужно разбить диск на слои или области и переносить интегральную мощность каждой области, проверяя сумму. Простое копирование значений в узлы другой сетки может нарушить баланс.
На верхней, нижней и боковой поверхностях задана конвекция к 293,15 К с h=10 Вт/(м²·К); ось r=0 имеет условие симметрии. Полученная стационарная температура сухого диска не является температурой воды. Нагрев воды требует её массы, теплоёмкости, теплообмена, возможной конвекции и скрытой теплоты фазового перехода. Переходный тепловой API FEMM 5 доступен, но данный короткий FE-опыт проверяет стационарную передачу мощности.
Сосредоточенная оценка допустима при малом числе Био; это независимая модель, не выполненный переходный расчёт методом конечных элементов.
Две частоты и два представления проводника
Дано.I_{\mathrm{RMS}}=10 А; новый диск r=20 мм, t=2 мм; постоянные \mu _{r}=100, \sigma =1{,}67 МСм/м.
На 1 кГц \delta =1{,}23158 мм; объёмные мощности на \delta /3 и \delta /6: 0,0419902 и 0,0417526 Вт. Импедансная граница: 0,0404700 Вт, отличие−3,07% от более мелкой объёмной сетки.
На 25 кГц \delta =0{,}246316 мм; мощности 3,31846 и 3,30337 Вт. Импедансная граница: 3,28816 Вт, отличие−0,460%.
Для мелкой объёмной сетки 25 кГц мощность через потокосцепление 3,30340 Вт; невязка с объёмным интегралом около 3,06·10⁻⁵ Вт.
Ответ. Уточнение сетки меняет объёмную мощность на 0,455% при 25 кГц; поверхностная модель приближается к объёмной при уменьшении \delta /t.
Проверка. Сравниваются одинаковые ток, геометрия и материалы. Ни правило \delta /3, ни совпадение двух интегралов не доказывают отсутствие геометрической ошибки.
Мощность превращается в температуру
Дано.P=3{,}30337 Вт, V=2{,}51327\cdot 10^{-6} м³, k=15 Вт/(м·К), h=10 Вт/(м²·К).
Переносим q=P/V=1{,}31437\cdot 10^{6} Вт/м³ в новый тепловой документ.
Полная охлаждаемая поверхность 2\pi R^{2}+2πRt даёт сосредоточенную оценку 412,638 К.
Нативный тепловой расчёт даёт температуру центра 413,100 К; разность 0,462 К отражает пространственную неоднородность.
Ответ. Связь поле→мощность→теплоперенос выполнена внутри FEMM 5. Показана стационарная температура сухого учебного диска.
Проверка. При \rho c=3{,}9 МДж/(м³·К) оценка \tau \approx 354{,}5 с; время нагрева не следует из одного стационарного решения.
Самостоятельное воспроизведение и расширение
Запустите 07-induction-heating.py и сопоставьте шесть магнитных строк.
Проверьте RMS/амплитуду; сопоставьте объёмную мощность с мощностью через потокосцепление.
Повторите 25 кГц при другом токе и проверьте P∝I^{2} только для постоянных линейных свойств.
Разбейте диск на поверхностный слой и внутреннюю область; перенесите две интегральные мощности с сохранением их суммы.
Ожидаемый результат. Шесть магнитных моделей, тепловая модель и results.json с балансом мощности.
Проверка.
Уточнение сетки \delta /3\to \delta /6.
Сумма переносимых мощностей равна исходной.
Температуры и тепловые коэффициенты заданы в СИ.
Индукционный нагрев и стационарное тепло
Шесть полевых гармонических решений и одно тепловое; авторская уменьшенная геометрия.
Проверка программы. Программа выполнена во встроенном Python FEMM 5.0. Это ограниченная проверка указанной постановки, не эксперимент.
"""Законченный уменьшенный ENSEM-подобный опыт: ток → потери → температура.FEMM 5/MicroPython. Диск r=20 мм, t=2 мм; mu_r=100, sigma=1.67 МСм/м.Катушка r=5..18 мм, z=-5..-3 мм, N=10, I_peak=sqrt(2)*10 А; тонкие витки.f=1 и 25 кГц; сетки delta/3 и delta/6, затем Small Skin Depth на том же контуре.Тепловая модель: k=15 Вт/(м К), h=10 Вт/(м² К), Ta=293.15 К; потери при 25 кГц.Потери усредняются по объёму с сохранением мощности; стационарная температуране предсказывает время закипания и не учитывает воду/движение/зависимость sigma(T)."""# Каталог сценария определяется явно: запуск не зависит от чужого CWD.importosimportsysos.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(sys.argv[0])))exec(open("common.py").read())folder=result_folder("results-induction-heating")rows=[]forfrequency,mode,divisorin[(1000,"Bulk",3),(1000,"Bulk",6),(1000,"Impedance",3),(25000,"Bulk",3),(25000,"Bulk",6),(25000,"Impedance",3),]:delta=math.sqrt(2/(2*math.pi*frequency*MU0*100*1.67e6))newdocument(0)mi_probdef(frequency,"millimeters","axi",1e-9,1,30)material("Air")material("Metal",mu=100,sigma=1.67)mi_addcircprop("Coil",math.sqrt(2)*10,1)mi_drawrectangle(5,-5,18,-3)label(10,-4,"Air",0.4,"Coil",10,1)mi_drawrectangle(0,0,20,2)label(25,0,"Air",1.5)mi_makeABC(7,70,0,0,0)ifmode=="Bulk":label(10,1,"Metal",delta*1000/divisor,group=2)else:mi_selectsegment(0,1)mi_deleteselectedsegments()mi_addboundprop("SSD",0,0,0,0,100,1.67,0,0,1)forx,yin[(10,0),(20,1),(10,2)]:mi_selectsegment(x,y)mi_setsegmentprop("SSD",delta*1000/3,0,0,2)mi_clearselected()solve(folder,"%dHz-%s-%d"%(frequency,mode,divisor))current,voltage,linkage=mo_getcircuitproperties("Coil")transmitted=-(2*math.pi*frequency*linkage*current.conjugate()).imag/2row={"frequency_Hz":frequency,"mode":mode,"mesh_divisor":divisor,"delta_mm":delta*1000,"P_from_linkage_W":transmitted,"elements":mo_numelements(),}ifmode=="Bulk":mo_groupselectblock(2)row["P_volume_W"]=mo_blockintegral(4).realrows.append(row)close_magnetic()save_json(folder,{"magnetic":rows})power=rows[4]["P_volume_W"]volume=math.pi*0.02**2*0.002newdocument(2)hi_probdef("millimeters","axi",1e-9,1,30)hi_addmaterial("Metal",15,15,power/volume,3.9)hi_addboundprop("Convection",2,0,0,293.15,10,0)hi_drawrectangle(0,0,20,2)hi_addblocklabel(10,1)hi_selectlabel(10,1)hi_setblockprop("Metal",0,0.25,1)hi_clearselected()forx,yin[(10,0),(20,1),(10,2)]:hi_selectsegment(x,y)hi_setsegmentprop("Convection",0.25,0,0,0)hi_clearselected()hi_saveas(os.path.join(folder,"temperature.feh"))hi_analyze(1)hi_loadsolution()temperature=ho_getpointvalues(0,1)[0]ho_close()hi_close()surface=2*math.pi*0.02**2+2*math.pi*0.02*0.002data={"magnetic":rows,"thermal":{"input_W":power,"volume_m3":volume,"uniform_q_W_m3":power/volume,"center_T_K":temperature,"lumped_T_K":293.15+power/(10*surface),},}save_json(folder,data)assertpower>0andtemperature>293.15assertabs(power/rows[4]["P_from_linkage_W"]-1)<0.03print(data)
Сохранённые численные результаты: таблица JSON. Просмотр серий доступен на отдельной странице исследования.
Границы модели.
Связная авторская реконструкция метода ENSEM во встроенном Python. Не модель всей плиты, не расчёт воды и не эксперимент; перенос мощности здесь усреднённый, свойства не зависят от температуры.
Первоисточники: [20] (Раздел Chauffage par induction: Premiers calculs; Impédance de surface; température.).
Проводник в поле: явные жилы, MagnetWire и Litz
Три разных описания одной обмоточной области
Обмотка переносит ток и создаёт магнитодвижущую силу. При переменном токе распределение плотности J внутри меди определяется не только общей площадью, но и собственным полем, полем соседних проводов и электрическим соединением жил. Скин-эффект вытесняет ток от центра отдельной жилы; эффект близости перераспределяет его из-за внешнего поперечного поля.
В явной модели каждый изолированный провод изображается собственной проводящей областью, и вихревое перераспределение решается внутри неё. В MagnetWire несколько витков заменяются однородной обмоточной областью с аналитически учтённым мелкомасштабным поведением провода. В Litz задаются число и диаметр изолированных транспонированных жил одного витка. Эти варианты различаются не только скоростью расчёта: модель Litz предполагает электрическую структуру, которой нет у сплошного провода.
В FEMM 5 коды LamType=0,3,5 обозначают соответственно объёмный проводник, MagnetWire и Litz. Число витков задаётся в метке блока, число жил и их диаметр — в материале. Четыре витка по четыре жилы не следует заменять шестнадцатью витками: это изменит ампер-витки, напряжение и потокосцепление.
Что сохраняют при сопоставлении вариантов
Зафиксируем длину активной части, суммарный ток каждого витка, число витков, площадь меди и область размещения. Для N витков одинаковой длины сопротивление последовательной обмотки Rdc=Nl/(σAw). Для Litz площадь одного витка равна Nsπds²/4; она должна совпасть с площадью заменяемого провода.
Коэффициент заполнения — отношение суммарной площади меди к площади обмоточного окна. Он должен быть физически меньше единицы с учётом изоляции и зазоров. В гомогенизированном описании геометрическое окно и реальные жилы не обязаны иметь одинаковую форму, поэтому остаточная разница индуктивности включает геометрическое усреднение.
Для теста используются четыре круглые жилы диаметра 1 мм на квадратной решётке. MagnetWire содержит четыре витка того же диаметра в квадратном окне 2,5×2,5 мм; Litz заменяет каждый виток четырьмя жилами диаметра 0,5 мм. Площадь меди и ампер-витки одинаковы, но Litz физически имеет более тонкую отдельную жилу.
Для теста kf≈0,5027; ток в цепи относится к одному последовательному витку, а не к сумме токов всех сечений.
Мощность, импеданс и смысл интегралов
При амплитудных фазорах активная входная мощность равна Re(VI*)/2. Для явной меди с действительной \sigma и \mu =\mu _{0} она совпадает с интегралом|J|^{2}/(2\sigma ). В гомогенизированной обмотке часть мелкомасштабных потерь описывается через эффективные комплексные свойства. Поэтому только интеграл 4 не обязательно собирает всю физическую мощность.
В новом опыте значение blockintegral(6), то есть полные потери, совпадает с активной мощностью на выводах во всех трёх вариантах. У MagnetWire на 10 кГц интеграл 4 заметно меньше интеграла 6. Разность нельзя произвольно объявлять гистерезисом меди: это способ представления потерь эффективной моделью.
Уменьшение потерь Litz не делает его универсально лучшим при любой частоте. В реальном проводе учитывают изоляцию, ухудшение заполнения, длину скрутки, неполную транспозицию, концевые соединения и теплоотвод. Нативная модель предполагает идеализированную структуру жил.
На 100 Гц явная модель даёт 4,39139 мВт; MagnetWire 4,39050 мВт; Litz 4,39049 мВт. Все близки к I²Rdc/2=4{,}39048 мВт.
На 10 кГц полные мощности соответственно 4,59171; 4,59692; 4,46879 мВт.
У MagnetWire интеграл 4 равен 4,27092 мВт, а интеграл 6 и мощность на выводах 4,59692 мВт. Пропуск эффективной части дал бы неверный баланс.
Ответ. MagnetWire отличается от явной меди по мощности около 0,113%; Litz снижает потери в этой модели примерно на 2,68% относительно явной одножильной обмотки.
Проверка. Это одна геометрия и две частоты. Сходство одной полной мощности не проверяет локальное распределение тока или все частотные режимы.
Самостоятельное воспроизведение и расширение
Запустите 05-winding-models.py; составьте таблицу Rac/Rdc для всех вариантов.
Проверьте равенство площадей меди и ампер-витков до сравнения потерь.
Сравните интегралы 4 и 6 с Re(VI*)/2; объясните, почему у эквивалентного провода они различаются.
Уменьшите диаметр жил Litz, увеличивая их число с сохранением площади; отдельно измените окно, чтобы увидеть влияние заполнения.
Ожидаемый результат. Шесть гармонических решений и баланс мощности для каждого.
Проверка.
Одинаковая площадь меди.
Одинаковые ампер-витки.
Потери, вычисленные по полю, совпадают с активной мощностью на выводах.
Явные провода, MagnetWire и Litz
Новые геометрии, две частоты; контроль мощности, не универсальная валидация гомогенизации.
Проверка программы. Программа выполнена во встроенном Python FEMM 5.0. Это ограниченная проверка указанной постановки, не эксперимент.
"""Четыре витка: явная медь, MagnetWire и идеальный Litz при равной площади меди.FEMM5/MicroPython; глубина 100 мм, I_peak=1 А в каждом витке.Явные провода d=1 мм; MagnetWire: четыре таких витка в окне 2.5x2.5 мм;Litz: четыре витка по 4 транспонированные жилы d=0.5 мм.Разница Litz/явный одножильный — физическая замена провода, не ошибка FEMM."""# Каталог сценария определяется явно: запуск не зависит от чужого CWD.importosimportsysos.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(sys.argv[0])))exec(open("common.py").read())folder=result_folder("results-winding-models")rows=[]forfrequencyin[100,10000]:formodelin["Explicit","MagnetWire","Litz"]:newdocument(0)mi_probdef(frequency,"millimeters","planar",1e-9,100,30)material("Air")mi_addcircprop("Winding",1,1)ifmodel=="Explicit":material("Cu",sigma=58)forxin[-0.75,0.75]:foryin[-0.75,0.75]:circle(x,y,0.5)label(x,y,"Cu",0.04,"Winding",1,1)else:code=3ifmodel=="MagnetWire"else5strands=1ifmodel=="MagnetWire"else4diameter=1ifmodel=="MagnetWire"else0.5material("Cu",sigma=58,wire_type=code,strands=strands,diameter=diameter)mi_drawrectangle(-1.25,-1.25,1.25,1.25)label(0,0,"Cu",0.15,"Winding",4,1)label(3,0,"Air",1)mi_makeABC(7,20,0,0,0)solve(folder,"%s-%dHz"%(model,frequency))current,voltage,linkage=mo_getcircuitproperties("Winding")mo_groupselectblock(1)p4=mo_blockintegral(4).realp6=mo_blockintegral(6).realpin=(voltage*current.conjugate()).real/2rows.append({"model":model,"frequency_Hz":frequency,"P_ohmic_W":p4,"P_total_W":p6,"P_terminal_W":pin,"Z_ohm":pair(voltage/current),"Rdc_ohm":4*0.1/(58e6*math.pi*0.0005**2),})close_magnetic()save_json(folder,rows)assertall(row["P_total_W"]>0forrowinrows)print(rows)
Сохранённые численные результаты: таблица JSON. Просмотр серий доступен на отдельной странице исследования.
Границы модели.
Оригинальное объяснение и собственный расчётный опыт. Тонкие изолированные транспонированные жилы и сплошной провод представляют разные физические конструкции.
Первоисточники: [31] (Метод явного и приближённого представления проводов; собственная геометрия дополнения.).
Критический скин-эталон: как проверять историческое утверждение о программе
Что именно утверждает источник и что нужно проверить
Статья К. К. Крутикова и В. В. Рожкова «Особенности моделирования электрического и магнитного поверхностного эффекта от переменных электромагнитных полей в Femm» опубликована в 2020 году. Авторы считают транспортный скин-эффект проблемным, а наведённые токи в заготовке без стороннего тока — корректно моделируемыми. Это историческое утверждение о конкретных постановках, а не свойство всех будущих сборок.
На с. 52 вывод статьи связывается с сопоставлением объёмного уравнения и условия малой глубины проникновения; на с. 53 такое граничное условие назначается поверхностям оболочки. Здесь важно различать два способа постановки: полный проводящий объём с разрешённым скин-слоем и исключённый из сетки проводник с асимптотическим поверхностным импедансом. Поверхностное условие не является обязательным дополнением к каждому объёмному проводнику.
Практический вывод — предъявить независимый эталон, версию решателя и настройки. Нельзя переносить общее заключение 2020 года на FEMM 5; нельзя и объявлять всю программу безошибочной по одному проводу. Ниже проверяется линейный немагнитный круглый провод с заданным суммарным током, объёмной проводимостью и без Small Skin Depth на его поверхности.
Транспортный и наведённый ток различаются электрическими условиями. Заданный суммарный ток не требует равномерной J. Тип тонкой обмотки также нельзя подменять типом сплошного проводника при интерпретации результатов.
Точный внутренний импеданс круглого провода
В длинном круглом проводе осевые E и J зависят только от радиуса. Гармонические уравнения Максвелла дают уравнение Бесселя нулевого порядка. Регулярность на оси исключает сингулярное решение; интеграл суммарного тока задаёт коэффициент перед J0.
При \exp (j\omega t) введём k=(1-j)/\delta. Отношение поверхностного E(a) к суммарному току определяет внутренний импеданс. В низкочастотном пределе разложения J0 и J1 дают сопротивление l/(\sigma \pi a^{2}) и внутреннюю индуктивность \mu l/(8\pi ). Это независимые проверки размерности и предельного случая.
Встроенная программа вычисляет J0 и J1 комплексными степенными рядами с критерием остановки и пределом числа слагаемых. Для проверенных частот аргумент умеренный. Такой алгоритм не объявляется устойчивым для сколь угодно высоких частот и больших комплексных аргументов.
Активное сопротивление не содержит внешнюю индуктивность области.
Как сравнить результат конечно-элементного расчёта, не смешивая внутреннее и внешнее поле
Напряжение цепи содержит внутренний импеданс и внешнюю индуктивность между радиусами провода a и границы b. Для концентрической области внешнюю часть можно вычесть аналитически. Ошибка большого внешнего слагаемого заметно влияет на остаточную внутреннюю реактивность; её проверяют отдельно от активного сопротивления.
Прямой тест активного скин-эффекта — объёмная мощность P и Rac=2P/|I|^{2}. В модели заданы LamType=0, \sigma =58 МСм/м, амплитуда тока 100 А, радиус 1 мм и длина 100 мм. При 1 и 100 кГц выполнены две сетки. Воздух возле провода также уточнён, поскольку влияет на реактивность.
Проверка включает размерности, фазорную конвенцию, низкочастотный предел, суммарный ток и баланс мощности. Дополнительная труба с I=0 проверяет наведённые токи без транспортного тока. Это две различённые постановки, а не замена одного опыта другим.
Вычитание применимо к концентрической плоской геометрии, а не к произвольной обмотке.
Ограниченный вывод по текущей сборке
Проверка воспроизводит рост активного сопротивления от транспортного скин-эффекта в FEMM 5.0, сборка 06Oct2026, на предъявленной модели. Высокочастотная мощность приближается к аналитике при уточнении сетки. Поэтому историческую общую формулировку об ошибке нельзя переносить на эту решённую задачу.
Это не полное воспроизведение статьи и не установление причины всех прежних результатов. Для такого вывода потребовались бы исходные FEM-файлы авторов и точная версия программы. Здесь предъявлены собственная геометрия и независимый аналитический ответ; вывод ограничен именно ими.
Медь: измеримый рост Rac
Дано.a=1 мм, l=100 мм, \sigma =58 МСм/м, амплитуда тока 100 А.
При 1 кГц точная мощность 2,747 Вт; FE на мелкой сетке 2,747 Вт. Ошибка около 0,00505%.
При 100 кГц точная мощность 7,304 Вт; сетка \delta /3 даёт 7,32 Вт, \delta /6 — 7,316 Вт. Ошибка уменьшается с 0,2222% до 0,1685%.
Точное Rac при 100 кГц равно 1,461 мОм, Rdc≈0,548810 мОм: рост в 2,662 раза.
Внутренняя реактивность при 100 кГц: FE 1,28628 мОм против точных 1,29956 мОм; остаток около 1,02%.
Ответ. Текущая модель FEMM 5 воспроизводит транспортный скин-эффект с малой, но ненулевой ошибкой активной мощности.
Проверка. Ошибка 0,1685% относится к активной мощности. Реактивность имеет отдельный, больший остаток.
Самостоятельное воспроизведение и расширение
Запустите 09-skin-benchmark.py; проверьте LamType, \sigma, частоту и ток цепи.
Сравните P, R и X раздельно; объясните вычитание внешней индуктивности.
В отдельной копии обнулите \sigma или смените модель провода; объясните, почему это другая физическая постановка.
Сформулируйте вывод с указанием версии, геометрии, частот и проверенной величины.
Ожидаемый результат. Четыре гармонических решения, точный внутренний импеданс и раздельные ошибки R и X.
Проверка.
Низкочастотный предел Rdc.
Два размера сетки.
100 А — амплитуда.
Историческое заключение не переносится на FEMM 5.
Транспортный скин-эффект круглой меди
Две частоты и четыре решения методом конечных элементов; собственный эталон, не полная репликация статьи 2020 года.
Проверка программы. Программа выполнена во встроенном Python FEMM 5.0. Это ограниченная проверка указанной постановки, не эксперимент.
"""Независимый тест транспортного скин-эффекта FEMM5, не пересказ вывода2020г.Круглая медь a=1мм, длина100мм, sigma=58МСм/м,I_peak=100А. f=1 и100кГц.Точный внутренний импеданс через ряды J0,J1; внешняя индуктивность исключается.Две сетки на каждой частоте; реальные провода, LamType=0, задан именно ток цепи."""# Каталог сценария определяется явно: запуск не зависит от чужого CWD.importosimportsysos.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(sys.argv[0])))exec(open("common.py").read())folder=result_folder("results-skin-benchmark")defbessel(order,z):term=1+0jiforder==0elsez/2total=termforkinrange(1,200):term*=-(z*z/4)/(k*(k+order))total+=termifabs(term)<1e-14*max(abs(total),1):returntotalraiseRuntimeError("Ряд Бесселя не сошёлся")rows=[]forfrequencyin[1000,100000]:omega=2*math.pi*frequencydelta=math.sqrt(2/(omega*MU0*58e6))k=(1-1j)/deltaexact=(0.1*k*bessel(0,k*0.001)/(2*math.pi*0.001*58e6*bessel(1,k*0.001)))fordivisorin[3,6]:newdocument(0)mi_probdef(frequency,"millimeters","planar",1e-10,100,30)material("Air")material("Cu",sigma=58)mi_addcircprop("Wire",100,1)circle(0,0,1,1)label(0,0,"Cu",min(0.3/divisor,delta*1000/divisor),"Wire",1,1)circle(0,0,3,1)label(2,0,"Air",0.15/divisor)label(5,0,"Air",0.3)a0_circle(10)solve(folder,"skin-%d-%d"%(frequency,divisor))current,voltage,flux=mo_getcircuitproperties("Wire")mo_groupselectblock(1)power=mo_blockintegral(4).realinternal=voltage/current-1j*omega*MU0*0.1/(2*math.pi)*math.log(10)rows.append({"frequency_Hz":frequency,"divisor":divisor,"delta_mm":delta*1000,"Z_internal_exact_ohm":pair(exact),"Z_internal_FE_ohm":pair(internal),"R_from_loss_ohm":2*power/100**2,"P_FE_W":power,"P_exact_W":100**2*exact.real/2,"relative_R_error":abs(2*power/100**2/exact.real-1),})close_magnetic()save_json(folder,rows)assertmax(row["relative_R_error"]forrowinrows)<0.03print(rows)
Сохранённые численные результаты: таблица JSON. Просмотр серий доступен на отдельной странице исследования.
Границы модели.
Самостоятельный критический разбор полного текста статьи и собственный эталон. Результат относится к текущей линейной круговой модели; причины всех исторических результатов не установлены.
Первоисточники: [136] (С. 51–57; DOI <span class="inline-math" data-inline-latex="10.24160/0013-5380-2020-8-51-57">10.24160/0013-5380-2020-8-51-57</span>. Полный текст прочитан; исторический вывод отделён от нового эталона.).
Создайте магнитную гармоническую модель проводника с фактической проводимостью и воздушной областью.
Задайте физически согласованный ток либо возбуждающее поле; укажите амплитудную нормировку и проводящий объём.
Задайте у поверхности три последовательных ограничения сетки относительно \delta: \delta /2,\delta /4,\delta /8. Сохраняйте объём и источник неизменными.
Получите распределение комплексной плотности тока и интегральные потери; сравните с DC-оценкой при той же нормировке.
Ожидаемый результат.\delta (50\,\mathrm{Гц})\approx 9{,}3459\,\mathrm{мм}; \delta (5000\,\mathrm{Гц})\approx 0{,}93459\,\mathrm{мм}. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.
Как проверить. Потери проверяют интегрированием и сходимостью. Формула для полупространства не заменяет решение с близкими проводниками. Интерактивная иллюстрация имеет собственные параметры и допущения, перечисленные в её подписи; её число не является результатом этого практикума. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Обработка и анализ результатов
Как соседний проводник меняет потери при одинаковом действующем токе?
Сохраните частоту, нормировку тока, профиль плотности и потери одиночного проводника и пары.
Сведите потери по областям и механизмам в общий баланс; сохраняйте одинаковую нормировку тока и границу системы.
С чем сравнить. Используйте определения потерь и глубины проникновения из занятия. Формула однородного проводника или полупространства служит контрольным пределом; торцевые и неучтённые механизмы перечисляют отдельно.
Итог работы. Сравнение AC и DC потерь с контролем сетки относительно глубины проникновения.
Расчётное исследование и разбор результатов
Эти материалы продолжают практикум: постановка, программа встроенного Python, сохранённые численные результаты и проверка их смысла. Графики строятся по результатам FEMM 5.
В сплошном проводнике переменное магнитное поле перераспределяет плотность тока: скин-эффект вытесняет ток к поверхности, а поле соседнего проводника меняет распределение по сторонам сечения. Поэтому сопротивление переменному току зависит от частоты и взаимного расположения проводников.
Фрагмент таблицы Р1.2. Сохранённые результаты FEMM 5
Проводники
δ/шаг
Шаг сетки, мм
Элементы
Потери, Вт
Один
2
0,4673
9375
25,31
Один
4
0,2336
9707
25,34
Один
8
0,1168
11019
25,35
Глубина проникновения из параметров: 0,9346; критерий: 0,9346
Скин-эффект увеличивает сопротивление массивного проводника на переменном токе даже без заметного влияния соседних проводов. Изменяющееся поле порождает вихревые токи, которые вытесняют полный ток к поверхности сечения. В работе вычисленное активное сопротивление сравнивается с аналитическим решением для круглого провода через комплексные функции Бесселя.
Поле соседнего проводника изменяет распределение тока в рассматриваемом проводе. При противоположных токах токи сильнее концентрируются на обращённых друг к другу сторонах, а активные потери превышают сумму потерь двух удалённых проводов. Эффект близости нужно отделять от собственного скин-эффекта, который присутствует и у одиночного провода.
При переменном токе увеличение наружного периметра проводника может уменьшить вытеснение тока без увеличения массы меди. Сравнение стержня и трубы имеет смысл только при явно выбранном общем ограничении: одинаковом сечении металла, длине, материале и токе. В этой работе все эти величины сохранены, а меняется форма поперечного сечения.
Ферромагнитные стенки паза усиливают и изменяют поперечное поле медного проводника. Поэтому потери зависят не только от частоты и площади меди, но и от окружающей магнитной геометрии. Работа сравнивает проводник в открытом воздушном окружении и в U-образном линейном магнитопроводе. Одинаковые токи и размеры позволяют выделить влияние проницаемости стенок.
Шихтование уменьшает вихревые потери, ограничивая размер замкнутых токовых контуров толщиной отдельных пластин. Для понимания этого механизма полезно начать с одной явно разрешённой пластины и сравнить полевое решение с тонколистовой формулой. Работа показывает как физическую квадратичную зависимость удельных потерь от толщины, так и требования к поперечной сетке.
Многожильный провод может уменьшать потери за счёт малого радиуса отдельных жил, но электрическое соединение и распределение токов между жилами остаются существенными. Работа сравнивает общий параллельный вывод семи изолированных жил с условием одинакового полного тока в каждой жиле. Второй вариант задаёт идеализированное выравнивание токов, а не воспроизводит геометрию скрутки.
В трёхфазном шинопроводе фазовые токи могут иметь нулевую сумму, но каждый создаёт локальное поле и потери. Проводящий экран меняет поле снаружи, а его собственные вихревые токи добавляют активную мощность. Работа отделяет потери фазных шин от потерь экрана и показывает значение комплексного фазового соглашения.
Линия с возвратом тока через протяжённую проводящую среду имеет распределённый обратный путь. Его размер определяется не только геометрией проводника, но и глубиной проникновения поля. Работа посвящена выбору размера области и проверке общего тока среды, разбитой на несколько областей ради сгущения сетки.
Неоднородная проводимость детали изменяет распределение вихревых токов и тепловыделения при индукционном нагреве. Кольцевая зона трубы служит удобным осесимметричным примером: её можно менять независимо от геометрии катушки и основного металла. Работа сравнивает однородную трубу с участком пониженной проводимости и рассчитывает мощность каждой области отдельно.
Переменное поле катушки индуцирует токи в проводящем диске. Их взаимодействие с первичным полем создаёт среднюю силу отталкивания и одновременно выделяет теплоту.
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Рабочая область круглых проводов радиусом 5 мм: центры x = −100 и +100 мм, межосевое расстояние 200 мм. Русские назначения меди и прямой/обратной цепей; удалённая граница за кадром. Открыть в полном размереСохранённое решение «Скин-эффект круглого провода и комплексное внутреннее сопротивление». Модуль комплексной амплитуды плотности тока |J|, МА/м², на 5 кГц: вытеснение тока к поверхности круглого провода. Показано увеличенное сечение прямого проводника; обратный проводник на межосевом расстоянии 200 мм за кадром. Шкала отображения 0–6 МА/м²; контуры потенциала скрыты. Открыть в полном размереРабочая область двух круглых проводов радиусом 5 мм с межосевым расстоянием 15 мм. Русские назначения меди и прямой/обратной цепей; удалённая граница за кадром. Открыть в полном размереСохранённое решение «Эффект близости: два медных проводника переменного тока». Модуль комплексной амплитуды плотности тока |J|, МА/м², на 5 кГц при токах ±100 А. При расстоянии 15 мм между центрами круглых проводов ток усиливается на обращённых друг к другу поверхностях. Шкала отображения 0–12 МА/м²; контуры потенциала скрыты. Открыть в полном размереРабочая область трубчатых шин с внутренним радиусом 4 мм и наружным 6 мм: центры x = ±15 мм, межосевое расстояние 30 мм. Видны воздушные полости и русские назначения меди и цепей; удалённая граница за кадром. Открыть в полном размереСохранённое решение «Стержень и труба: равная площадь меди при переменном токе». Модуль комплексной амплитуды плотности тока |J|, МА/м², в трубчатых шинах на 5 кГц при токах ±100 А. Радиусы 4–6 мм, межосевое расстояние 30 мм; шкала отображения 0–8 МА/м². Контуры потенциала скрыты. Открыть в полном размереРабочая область модели «Проводник в ферромагнитном пазу: вытеснение и потери». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Проводник в ферромагнитном пазу: вытеснение и потери». Норма комплексного вектора амплитуд магнитной индукции B, Тл; гармонический режим 2000 Гц. Контуры потенциала скрыты. Открыть в полном размереОтдельная электротехническая пластина 20 × 0,1 мм, глубина плоской модели 1 м. Геометрия показана целиком; толщина существенно меньше ширины. Открыть в полном размереОтдельная пластина толщиной 0,1 мм при 50 Гц: увеличенный центральный фрагмент, торцы за кадром. Норма комплексной амплитуды плотности вихревого тока |J|, МА/м²; шкала отображения 0–0,019 МА/м². Контуры A скрыты. Открыть в полном размереМногожильный провод: семь отдельных жил и обратный проводник. Вариант с заданным равным распределением токов; подписи скрыты для читаемости геометрии. Открыть в полном размереМногожильный провод, 10 кГц: вариант с заданным равным распределением токов по семи жилам и отдельным обратным проводником. Норма комплексной амплитуды |J|, МА/м²; шкала отображения 0–5 МА/м². Контуры A скрыты. Открыть в полном размереТри фазные шины внутри замкнутого цилиндрического экрана. Геометрия экрана и шин показана целиком; подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размереСохранённое решение «Трёхфазный шинопровод с проводящим экраном». Норма комплексного вектора амплитуд магнитной индукции B, Тл; гармонический режим 2000 Гц. Контуры потенциала скрыты. Открыть в полном размереВозврат тока через проводящую землю: общая геометрия расчётной области. Верхняя полуплоскость — воздух, нижняя — проводящая среда; малый надземный провод находится у центра. Подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размереЛиния с возвратом через проводящую землю: 50 Гц, амплитуда тока 100 А, σ = 4 См/м. Увеличенная центральная область; удалённая граница за кадром. Норма комплексной амплитуды B, Т; шкала ограничена 0–2·10⁻⁶ Т, большие значения показаны верхним цветом. Контуры A скрыты. Открыть в полном размереИндукционный нагрев трубного стыка, версия 2: труба, катушка и вспомогательная воздушная дуга R100 мм для раздельного задания сетки. На дуге нет физического граничного условия; внешняя граница R600 мм за кадром. Подписи скрыты. Открыть в полном размереПроводящий диск над катушкой: вихревые токи, потери и подъёмная сила. Геометрия учебной модели; подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размереСохранённое решение «Проводящий диск над катушкой: вихревые токи, потери и подъёмная сила». Норма комплексного вектора амплитуд магнитной индукции B, Тл; гармонический режим 500 Гц. Контуры потенциала скрыты. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Сравните одиночный проводник и пару проводников при одинаковых \mathrm{RMS}-токах, затем исследуйте поле близости и сеточную сходимость потерь. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.
Критерий выполнения: Нормировка тока одинакова; контроль \delta =0{,}93459\,\mathrm{мм} при 5 кГц; потери активной длины отделены от лобовых и неопределённости модели обмотки.
